2025版新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其運算課時作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊

1．1.1空間向量及其運算1．給出下列命題：①將空間中全部的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；②若空間向量a、b滿意|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m、n、p滿意m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中隨意兩個單位向量必相等．其中假命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．42．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量表達式eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))化簡后的結(jié)果是()A．eq\o(BD1,\s\up6(→))B．eq\o(D1B,\s\up6(→))C．eq\o(B1D,\s\up6(→))D．eq\o(DB1,\s\up6(→))3．在平行六面體ABCD-EFGH中，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(DH,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝()A．eq\f(7,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6)D．eq\f(3,4)4．在正四面體P-ABC中，棱長為1，且D為棱AB的中點，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的值為()A．－eq\f(1,4)B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)5．已知向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，則向量a與b的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°6．如圖，在三棱錐O-ABC中，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b－eq\f(2,3)cB．eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b＋eq\f(2,3)cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b－eq\f(1,3)cD．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(1,3)c7．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC＝eq\f(π,3)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(BD1,\s\up6(→))，則|eq\o(B1E,\s\up6(→))|＝()A．25B．5C．14D．eq\r(14)8．四面體ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2，則∠BAC＝()A．30°B．45°C．60°D．90°9．(多選)已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積為零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))B．eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))10．(多選)在四面體A-BCD中，各棱長均為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))D．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))11．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M為△A1B1C1的重心，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝________．12．在正四面體ABCD中，|AB|＝2，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．13．(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題正確的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B．eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°D．正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|14．已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝eq\f(π,3).(1)求B1D的長；(2)求eq\o(CD1,\s\up6(→))與eq\o(B1D,\s\up6(→))夾角的余弦值．1．1.1空間向量及其運算必備學問基礎(chǔ)練1．答案：C解析：①假命題．將空間中全部的單位向量移到同一個點為起點時，它們的終點將構(gòu)成一個球面，而不是一個圓；②假命題．依據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不肯定相同；③真命題．與的方向相同，模也相等，應有＝；④真命題．向量的相等滿意遞推規(guī)律；⑤假命題．空間中隨意兩個單位向量模均為1，但方向不肯定相同，故不肯定相等．故選C.2．答案：A解析：如圖所示，∵＝，－＝－＝，＋＝，∴－＋＝．故選A.3．答案：C解析：由于＝＋＋＝＋＋，比照已知式子可得x＝1，－2y＝1，3z＝1，故x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，從而x＋y＋z＝eq\f(5,6).故選C.4．答案：D解析：如圖，因為D為棱AB的中點，所以＝eq\f(1,2)(＋)，·＝eq\f(1,2)·(＋)＝eq\f(1,2)(·＋·)，因為幾何體為正四面體，故與夾角為60°，同理與夾角為60°，·＝·＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，故·＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).故選D.5．答案：C解析：由已知條件得(a＋b)·a＝a2＋|b||a|cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，∴向量a與b的夾角為120°.故選C.6．答案：A解析：＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)(－)－eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b－eq\f(2,3)c.故選A.關(guān)鍵實力綜合練7．答案：B解析：＝＋＋＝＋＋2(＋＋)＝3＋＋2，所以||2＝(3＋＋2)2＝32||2＋||2＋22||2＋6·＋4·＋12·＝32＋12＋22＋6×1×1×eq\f(1,2)＋4×1×1×eq\f(1,2)＋12×1×1×eq\f(1,2)＝25，所以|B1E|＝5.故選B.8．答案：C解析：因為＝－，∠BAD＝90°，所以·＝0，所以·＝·(－)＝·－·＝－2，所以·＝2，又AB＝AC＝2，所以·＝||·||cos∠BAC＝2，所以cos∠BAC＝eq\f(1,2)，因為∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝60°.故選C.9．答案：BCD解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，故D正確；又因為AP⊥AD，AD⊥AB，AP∩AB＝A，AP，AB?平面ABP，所以AD⊥平面ABP，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0.故選BCD.10．答案：BD解析：依題意，四面體ABCD是正四面體，對于A，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos120°＝－a2，A不是；對于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos60°＝a2，B是；對于C，因E，F(xiàn)是AB，AD的中點，則2＝，而〈，〉＝120°，2·＝·＝a2cos120°＝－eq\f(1,2)a2，C不是；對于D，因F，G是AD，DC的中點，則2＝，2·＝2＝a2，D是．故選BD.11．答案：c＋eq\f(a,3)－eq\f(2b,3)解析：如圖，連接C1M并延長，交A1B1于點D，∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，M為△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝c＋eq\f(2,3)＝c＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,3)(－b＋－)＝c＋eq\f(1,3)(－b＋a－b)＝c＋eq\f(a,3)－eq\f(2b,3).12．答案：6解析：·＝(2＋)·＝2·＋·＝2×2×2coseq\f(π,3)＋2×2coseq\f(π,3)＝6.核心素養(yǎng)升級練13．答案：AB解析：如圖所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝＝32，故A正確；·(－＝·＝(＋)·＝·＋·＝0，故B正確；與的夾角是與的夾角，△D1CA為正三角形，所以與的夾角為120°，故與的夾角為120°，故C錯誤；正方體的體積為||·||·||，故D錯誤．綜上可知，AB正確．14．解析：(1)∵AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝eq\f(π,3)，∴·＝2×1×coseq\f(π,3)＝1，·＝2×3×coseq\f(π,3)＝3，·＝1×3×