揚(yáng)大附中東部分校2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)試卷）

揚(yáng)大附中東部分校2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（總分150分時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．不存在2.經(jīng)過點(diǎn)的直線在軸上的截距是（

）A．-10 B．10 C． D．3.若雙曲線的右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9，則到左焦點(diǎn)的距離為（

）A．15 B．12 C．3 D．3或154.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．5.若是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．6.若直線與的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7.已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直互相垂直”的充要條件B．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C．直線的傾斜角的取值范圍是D．若點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是已知直線和圓，則下列結(jié)論成立的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)直線與圓相交時(shí)，直線被圓所截的弦長最大值為C．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，實(shí)數(shù)D．當(dāng)實(shí)數(shù)的值為時(shí)，直線與圓相交，且所得弦長為11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對(duì)值的商恒為定值（），則（

）A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱B．曲線經(jīng)過點(diǎn)，其方程為C．曲線圍成的圖形面積小于D．存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．13.若雙曲線的離心率為3，則該雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為．14.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15.（13分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程；（2）若直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.16.（15分）已知圓的圓心在直線上且與軸相切，圓被直線截得的弦長為4.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的最小值.17.（15分）已知離心率為的雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，且三角形面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求實(shí)數(shù)的值．18.（17分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：.19.（17分）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程．（2）若，試問：是