《高等微波網(wǎng)絡(luò)》課件第2章

第2章網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)

2.1微波網(wǎng)絡(luò)的基本概念2.2工作特性參量2.3A參數(shù)2.4S參數(shù)2.5無耗互易網(wǎng)絡(luò)的幾個重要定理2.6參考面移動對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的影響2.7散射矩陣的別列維奇表示法

2.1微波網(wǎng)絡(luò)的基本概念

微波網(wǎng)絡(luò)是由有限個元件連接而成的一種結(jié)構(gòu)。這些元件可以是集總元件(如電阻、電容、電感等)，也可以是分布參數(shù)元件(如傳輸線、波導(dǎo)等)。微波網(wǎng)絡(luò)可以看做是一個黑箱，如圖2.1-1所示。它通過端口與外界進(jìn)行能量或信息的交換，如果對它作n個激勵，它就有n個響應(yīng)，則該網(wǎng)絡(luò)就稱為n維或n端口網(wǎng)絡(luò)。圖2.1-1n端口網(wǎng)絡(luò)2.1.1復(fù)頻率與復(fù)平面

在電路理論中，傅立葉變換完成的是時域到頻域的變換，而拉普拉斯變換則完成時域到s域的變換。實際上，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一種特殊情況，在拉普拉斯變換中令σ=0，拉普拉斯變換就變?yōu)楦盗⑷~變換。反之，將傅立葉變換中的jω變?yōu)棣?jω，即將定義域從虛軸變換到復(fù)數(shù)域中，則傅立葉變換就變?yōu)槔绽棺儞Q。這種定義域的擴展又稱為解析延拓，其中s=σ+jω稱為復(fù)頻率，對應(yīng)的以σ為橫軸、jω為縱軸的平面稱為復(fù)平面。2.1.2赫維茨(Hurwitz)多項式

所有零點都位于復(fù)頻率s復(fù)平面的左半平面內(nèi)的實系數(shù)多項式稱為赫維茨(Hurwitz)多項式。

1.赫維茨多項式的性質(zhì)

設(shè)赫維茨多項式的一般形式為：

它具有以下幾個性質(zhì):

(1)所有系數(shù)都是正實數(shù)；

(2)冪次齊全；

(3)當(dāng)它只有奇部或只有偶部時，其所有的根都共軛地出現(xiàn)在s復(fù)平面的jω軸上；(2.1.1)

(4)滿足模值定理:(2.1.2)

2.赫維茨多項式的判斷準(zhǔn)則

準(zhǔn)則1:赫維茨多項式可分解為偶部E(s)和奇部O(s)，由奇部和偶部的比值可得電抗函數(shù):

式中的商和qi(i=1，…，n)都是正數(shù)。(2.1.3)式(2.1.3)是采用輾轉(zhuǎn)相除的方法得到的，如果一個多項式的奇部和偶部的比值能夠不中斷地輾轉(zhuǎn)除盡，且所得的商都是正數(shù)，則此多項式就一定是赫維茨多項式。

準(zhǔn)則2:若矩陣

為正定矩陣，則以矩陣中的元素作為系數(shù)的多項式為赫維茨多項式。(2.1.4)2.1.3正實函數(shù)

1.正實函數(shù)的定義

若函數(shù)G(s)滿足:

(1)在s的右半平面解析；

(2)若s是實數(shù)，則G(s)是實函數(shù)；

(3)Res＞0，ReG(s)>0，

則G(s)為正實函數(shù)。

2.正實函數(shù)的性質(zhì)

正實函數(shù)具有下列一些性質(zhì):

(1)正實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是正實函數(shù)。

(2)正實函數(shù)之和仍為正實函數(shù)。

(3)正實函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為正實函數(shù)。

3.正實函數(shù)的判斷法則

對于函數(shù)

式中，E1(s)和E2(s)為偶部，O1(s)和O2(s)為奇部。(2.1.5)若G(s)滿足:

(1)s為實數(shù)時，G(s)為實函數(shù)；

(2)E1(s)+E2(s)+O1(s)+O2(s)為Hurwitz多項式；

(3)當(dāng)s=jω時，E1(jω)E2(jω)－O1(jω)O2(jω)＞0，則G(s)為正實函數(shù)。2.1.4有界實矩陣與有界實函數(shù)

對于一個m階方陣Y(·)，其元素均為復(fù)變量s的函數(shù)，若Y(·)滿足:

(1)在Res>0處，Y(·)的所有元素都是解析的；

(2)對于正實的s，Y(s)是實的；

(3)對于Res>0，I-Y+(s)Y(s)是非負(fù)定的埃爾米特矩陣，則Y(·)為有界實矩陣。

一個1×1階的有界實矩陣稱為有界實函數(shù)。2.1.5網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其性質(zhì)

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可用來描述網(wǎng)絡(luò)的特性，在時域內(nèi)可以用沖激響應(yīng)表征網(wǎng)絡(luò)的特性，在頻域內(nèi)可以用網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表征網(wǎng)絡(luò)的特性。既然沖激響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)都可以用來表征網(wǎng)絡(luò)的特性，那么它們之間必然有密切的聯(lián)系，這一聯(lián)系就是網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是沖激響應(yīng)的拉氏變換。

1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義及其分類

響應(yīng)與激勵之比定義為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，用符號H表示，它是聯(lián)系響應(yīng)與激勵的量。在圖2.1-2(a)的單口網(wǎng)絡(luò)中，激勵和響應(yīng)在同一個端口，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為策動點函數(shù)。策動點函數(shù)有兩種定義:一是激勵為U，響應(yīng)為I，即

稱為策動點導(dǎo)納函數(shù)。

另一種定義是激勵為I，響應(yīng)為U，即

稱為策動點阻抗函數(shù)。(2.1.6)(2.1.7)圖2.1-2單口網(wǎng)絡(luò)和雙口網(wǎng)絡(luò)圖2.1-2(b)的雙口網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)激勵和響應(yīng)在不同的端口上時，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)。

可見，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分為兩大類，策動點函數(shù)和轉(zhuǎn)移函數(shù)。當(dāng)激勵A(yù)(s)是復(fù)指數(shù)信號時，響應(yīng)信號B(s)也是復(fù)指數(shù)信號

的形式，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)便是復(fù)頻率s的函數(shù)，定義為(2.1.8)

2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的一些性質(zhì)

盡管轉(zhuǎn)移函數(shù)和策動點函數(shù)的定義不同，其性質(zhì)也有所差別，但由于它們都是網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，因此它們也應(yīng)具有一些共同的性質(zhì)。這些性質(zhì)包括：

(1)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是實有理函數(shù)。集總、線性、時不變網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一實系數(shù)的有理函數(shù)，形式上是兩個實系數(shù)的多項式之比，形如(2.1.9)式中ai、bj都是實數(shù)，s是復(fù)頻率變量。如果將分子、分母多項式寫成因式形式，則得出另一種表示式:

(2)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)零點和極點的分布關(guān)于實軸對稱。

(3)穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分母是Hurwitz多項式。

(4)策動點函數(shù)是正實函數(shù)。(2.1.10)

2.2工作特性參量

微波網(wǎng)絡(luò)端口的特性，通常都用其輸入量和輸出量之間的關(guān)系來表示，而不考慮網(wǎng)絡(luò)中電磁場的分布。輸入量和輸出量可以是電壓和電流，也可以是功率。由于網(wǎng)絡(luò)的端接條件不同，輸入與輸出間的關(guān)系也不同。雖然網(wǎng)絡(luò)的參量矩陣已完全描述了網(wǎng)絡(luò)的固有特性，但在實際中，為了更直接地描述網(wǎng)絡(luò)的傳輸、衰減和反射等工作特性以及便于網(wǎng)絡(luò)分析與綜合，還常采用工作特性參量，常用的有電壓傳輸系數(shù)、工作衰減、插入相移和輸入駐波比等，它們都是頻率的函數(shù)。

1.電壓傳輸系數(shù)τ

電壓傳輸系數(shù)τ的定義為：

在輸出端口接匹配負(fù)載的條件下輸出端口反射波電壓b2與輸入端口入射波電壓a1之比，即

根據(jù)s21的物理意義可知，τ就是s21。τ也可用歸一化A參數(shù)a表示為(2.2.1)(2.2.2)

2. 工作衰減LA

工作衰減LA也稱插入損耗，其定義為輸出端口接匹配負(fù)載時，輸入端口的輸入波功率與負(fù)載吸收功率之比，即(2.2.3)因為，所以(2.2.4)常用分貝(dB)來表示工作衰減，即

可見，工作衰減等于電壓傳輸系數(shù)模平方的倒數(shù)。因為網(wǎng)絡(luò)是無源的，|τ|≤1，所以LA總是正分貝數(shù)。為了看清LA的物理意義，將式(2.2.5)重新表示為(2.2.5)(2.2.6)上式右邊第一項是網(wǎng)絡(luò)的實際輸入功率(入射波功率減去反射波功率)與匹配負(fù)載吸收功率之比，表征了網(wǎng)絡(luò)自身損耗引起的衰減。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)無耗時因為|s21|2=1－|s11|2，所以其自身衰減為0分貝。上式右邊第二項

為入射波功率與實際入射功率之比，是由于輸入端口不匹配引起的，因此稱為網(wǎng)絡(luò)的反射衰減。當(dāng)輸入端口匹配時s11=0，則反射衰減為0分貝。

3. 插入相移θ

插入相移θ定義為輸出端口接匹配負(fù)載時，輸出端口反射波對于輸入端口入射波的相移。因此它也就是電壓傳輸系數(shù)τ的相角，即

θ=argτ=args21

(2.2.7)

4. 輸入駐波比ρ

輸入駐波比定義為輸出端口接匹配負(fù)載時，輸入端口的駐波比，即(2.2.8)

2.3A參數(shù)

2.3.1A參數(shù)的定義和基本性質(zhì)

一般地，A參數(shù)定義為輸入電壓U1、電流I1和輸出電壓U2、電流I2的一組線性關(guān)系：

由A參數(shù)的定義以及傳輸線理論可以得到無耗傳輸線段的A矩陣，如表2.3.1所示。(2.3.1)表2.3.1無耗傳輸線段的A矩陣

A參數(shù)具有以下性質(zhì)。

1. 互易網(wǎng)絡(luò)

互易網(wǎng)絡(luò)A矩陣的行列式值為1，即

detA=1(2.3.2)

2．級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

如圖2.3-1所示級聯(lián)傳輸系統(tǒng)，總網(wǎng)絡(luò)的A矩陣是各個網(wǎng)絡(luò)Ai矩陣的依次乘積，即(2.3.3)

3. 負(fù)載阻抗Zl與輸入阻抗Zin的關(guān)系

由A參數(shù)定義，計及Zin=U1/I1，而Zl=U2/I2，易得

【例2.3.1】矩形波導(dǎo)H面90°拐角可表示為如圖2.3-2所示網(wǎng)絡(luò)。若輸入功率為P0，終端接匹配負(fù)載，求系統(tǒng)反射系數(shù)Г和負(fù)載吸收功率Pl。(2.3.4)圖2.3-2例2.3.1網(wǎng)絡(luò)圖解微波問題多數(shù)采用歸一化參數(shù)，即所有阻抗對特性阻抗Z0歸一，或?qū)Ъ{對Y0歸一，一般用所表示的參數(shù)的小寫字母表示。如a表示歸一化的A。

可以把H面90°拐角看做是兩個串聯(lián)電抗和一個并聯(lián)導(dǎo)納級聯(lián)而成。根據(jù)A矩陣性質(zhì)，有

注意到上式滿足互易條件。T1參考面的歸一化輸入阻抗為對應(yīng)的反射系數(shù)為

結(jié)果算得負(fù)載吸收功率為

Pl=P0(1－|Γ|2)=0.8P0

從這個例子可以看出：不少微波問題中，電壓、電流僅作為中間量出現(xiàn)。一旦把a參數(shù)轉(zhuǎn)化為輸入阻抗的形式，即可從反射系數(shù)Г研究功率的傳輸問題。

【例2.3.2】考慮兩相距λg的H面90°拐角所組成的U形拐角，如圖2.3-3所示網(wǎng)絡(luò)。若輸入功率為P0，終端接匹配負(fù)載，求系統(tǒng)反射系數(shù)Г和負(fù)載吸收功率Pl。圖2.3-3例2.3.2網(wǎng)絡(luò)圖解這個問題可看做兩只90°拐角的級聯(lián)。利用例2.3.1的結(jié)果，有

這兩個例子的結(jié)果表明，每只H面90°拐角反射20％的功率，而把兩只拐角級聯(lián)，則總反射功率達(dá)50%?？梢?，網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)后的相互作用是十分重要的。2.3.2最佳傳輸問題

很多事物存在“二重性”。上面的例子啟示我們:有無可能利用相互作用達(dá)到最佳傳輸?

【例2.3.3】任意U形拐角是由兩只H面90°拐角和一段電長度為θ的傳輸線構(gòu)成的。試求θ與反射和傳輸功率的關(guān)系。具體結(jié)構(gòu)如圖2.3-4所示。圖2.3-4任意U形拐角和等效網(wǎng)絡(luò)解總的A矩陣相當(dāng)于三個元件的級聯(lián)，即

由完全類似的步驟，得

容易得到負(fù)載功率PL與P0的關(guān)系為求最佳和最劣傳輸所對應(yīng)的θ，可對上式分母求導(dǎo)并令其為零，即d(5+4sinθcosθ+3cos2θ)/dθ=0。于是，最佳傳輸有

θ=n×180°+116.565°

這時，所對應(yīng)的反射系數(shù)模|Γ|min=0。

最劣傳輸有

θ=n×180°+26.565°

這時所對應(yīng)的反射系數(shù)模|Γ|max=0.7454。

負(fù)載吸收功率曲線如圖2.3-5所示。圖2.3-5任意U形拐角功率傳輸曲線我們的興趣主要不在例子本身，而在于所處理的方法和能夠引出的重要概念。由上面的例子已經(jīng)知道：一只90°拐角存在反射，兩只級聯(lián)則反射更大。但是把這兩只拐角和傳輸線段放在一起，則在適當(dāng)條件下，可以做出反射很小的元件。這正是充分利用以反抵反相互作用的結(jié)果。

實際上，H面90°拐角可以做成如圖2.3-6的形式。

適當(dāng)選擇Lm，可以得到一定帶寬的小反射元件。推薦的Lm＝0.38λg或0.55a。圖2.3-6H面90°拐角可以設(shè)想，能夠設(shè)計并利用多個反射點，使它們相互作用的結(jié)果有利于最大傳輸，各反射點之間由傳輸線段相連。根據(jù)這一思想，出現(xiàn)了多節(jié)阻抗變換器設(shè)計。這將在第4章中加以介紹。

由此可見，傳輸線段對于微波網(wǎng)絡(luò)所起的作用遠(yuǎn)不是低頻電路中導(dǎo)線那樣的“配角”，而是在這里擔(dān)當(dāng)舉足輕重的“角色”。這正是由微波波動特性所確定的。

2.4S參數(shù)

2.4.1S參數(shù)的基本性質(zhì)

多端口網(wǎng)絡(luò)采用S參數(shù)來描述較為方便。S參數(shù)是聯(lián)系入射波和散射波的一組線性關(guān)系。對于如圖2.4-1的n端口網(wǎng)絡(luò)，有(2.4.1)或?qū)懗删o湊形式

b=Sa

(2.4.2)

S參數(shù)有下列基本性質(zhì):

(1)互易性。

對于互易網(wǎng)絡(luò)，有

Sij=Sji(i，j＝1，2，3，…，n)

(2.4.3)圖2.4-1n端口網(wǎng)絡(luò)

(2)無耗性。定義

E=Pin－Psc

(2.4.4)

其中，Pin和Psc分別表示網(wǎng)絡(luò)全部的入射功率和散射功率。由S參數(shù)定義有

其中上標(biāo)“+”表示共軛轉(zhuǎn)置矩陣。(2.4.5)(2.4.6)無耗網(wǎng)絡(luò)能量守恒，入射功率應(yīng)等于散射功率，即

E=a+{I－S+S}a=0

(2.4.7)

其中I為單位陣。式中對任何激勵a都成立，故有

S+S=I

(2.4.8)這個性質(zhì)常稱為無耗網(wǎng)絡(luò)的幺正性。

(3)雙口網(wǎng)絡(luò)輸入反射系數(shù)與負(fù)載反射系數(shù)的關(guān)系?？紤]如圖2.4-2所示的雙口網(wǎng)絡(luò)，容易得到Γin和ΓL的關(guān)系為(2.4.9)圖2.4-22.4.2兩個相同無耗網(wǎng)絡(luò)組成的級聯(lián)反射

考慮兩個相同的無耗網(wǎng)絡(luò)，中間由傳輸線段θ連接組成網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)反射。假定終端負(fù)載無反射(ΓL＝0)，如圖2.4-3所示。

由于ΓL＝0，由式(2.4.9)得到圖2.4-3中右面網(wǎng)絡(luò)的輸入端反射系數(shù)為S11，該反射系數(shù)經(jīng)傳輸線段θ后，變?yōu)?/p>

S11e－j2θ，把其帶入式(2.4.9)，得到(2.4.10)圖2.4-3兩個相同無耗網(wǎng)絡(luò)組成的級聯(lián)由無耗網(wǎng)絡(luò)的幺正性條件，容易得到

于是有

上式中已應(yīng)用了互易網(wǎng)絡(luò)條件，且均表示對應(yīng)Sij的相角。若再引入?yún)⒘?/p>

(2.4.15)(2.4.11)則有

或

其中(2.4.16)(2.4.17)這樣，十分明顯，當(dāng)時，|Γin|取最小，且

|Γin|min=0這時所對應(yīng)的最佳傳輸條件為(2.4.18)當(dāng)時，|Γin|取最大，且(2.4.19)這時所對應(yīng)的最劣傳輸條件為

θm=θp+90°

(2.4.20)

無論是何種情況，最佳傳輸和最劣傳輸所對應(yīng)的θ都互差90°的奇數(shù)倍。因為式(2.4.18)和式(2.4.20)均可再任意加180°×n。

【例2.4.1】采用S參數(shù)研究例2.3.3的任意U形拐角的功率傳輸問題。

解可把任意U形拐角看做是兩只H面90°拐角組成的級聯(lián)反射，且每只拐角都是對稱網(wǎng)絡(luò)。由例2.3.1知右側(cè)拐角的輸入反射系數(shù)為0.4427ej116.585°，令其為網(wǎng)絡(luò)的S11，即

S11=0.4427ej116.585°

計及式(2.4.18)，并考慮到S11=S22，于是有

這時，所對應(yīng)的|Γin|min=0。而最劣傳輸條件為

θm=θp－90°=26.565°

這時

與a矩陣分析結(jié)果完全一致。2.4.3廣義散射參數(shù)

一般情況下所定義的S參數(shù)取決于網(wǎng)絡(luò)本身，而不受外界電路的影響，但在電路理論中，它將隨端口所接負(fù)載的不同而不同。

圖2.4-4表示與電源電路相連接的n端口網(wǎng)絡(luò)N，其參考阻抗矩陣為(2.4.21)圖2.4-4n端口網(wǎng)絡(luò)端口電壓、端口電流和電源電壓分別為

n端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣為(2.4.22)(2.4.23)它們分別是實頻率下對應(yīng)量在整個復(fù)平面的解析延拓。

而對于所有復(fù)頻率s，最佳匹配條件是Z(s)=z(-s)=z*(s)。

用Ui(s)和Ii(s)表示入射電壓和入射電流，它們是在共軛匹配情況下的實際電壓和電流，即(2.4.24)(2.4.25)式中

是電源阻抗的偶部，也叫做z(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分。

在非共軛匹配的情況下，將有反射電壓和反射電流，分別用Ur(s)和Ir(s)表示，即(2.4.26)(2.4.27)根據(jù)傳輸線理論，實際工作電壓和電流分別為

電流散射矩陣和電壓散射矩陣的定義為

容易推得(2.4.28)(2.4.29)(2.4.30)此式說明，一般情況下，電流散射參數(shù)和電壓散射參數(shù)是不同的，這使實際使用很不方便，我們可以通過歸一化將它們統(tǒng)一起來。

考慮任一端口k上的有理阻抗zgk(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分rk(s)，容易看出，rk(s)是偶函數(shù)，它為兩個偶多項式之比。這就意味著rk(s)的極點和零點對于實軸和虛軸呈象限對稱。因此，可將rk(s)分解為如下因式:

rk(s)=hk(s)h*k(s)

(2.4.31)實現(xiàn)上式唯一分解的條件是:

(1)rk(s)在開LHS的極點屬于hk(s)，在開RHS的極點屬于h*k(s)。

(2)rk(s)在開RHS的零點屬于hk(s)，在開LHS的零點屬于h*k(s)。

(3)rk(s)在jω軸上的零點均等分配給hk(s)和h*k(s)。

歸一化入射波和歸一化反射波的定義為(2.4.32)歸一化散射矩陣S(s)定義為

b(s)=S(s)a(s)

(2.4.33)

最后得到(2.4.34)

2.5無耗互易網(wǎng)絡(luò)的幾個重要定理

【定理2.5.1】無耗互易雙端口網(wǎng)絡(luò)具有如下基本性質(zhì)：(1)若一個端口匹配，則另一個端口自動匹配；

(2)若網(wǎng)絡(luò)是完全匹配的，即兩個端口均匹配，則必然是完全傳輸?shù)模?/p>

(3)s11、s21和s22的相角只有兩個是獨立的，已知其中的兩個相角，則第三個相角便可確定。

【定理2.5.2】無耗互易三端口網(wǎng)絡(luò)不可能完全匹配，即三個端口不可能同時都匹配。

2.6參考面移動對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的影響

如圖2.6-1所示，已知由參考面T1，T2，NA1AD，Tn所構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣為S，由參考面T1′，T2′，…，Tn′所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣為S′，Ti′與Ti之間的傳輸線段的電長度為θi(i=1，…，n)。圖2.6-1參考面移動對網(wǎng)絡(luò)的影響根據(jù)S矩陣定義，有

不同參考面上歸一化入射波和反射波的關(guān)系為

即(2.6.1)其中diag表示對角矩陣，于是

即所以

各矩陣元之間的關(guān)系為

可以看出，參考面的移動只是改變了矩陣元的相位。

2.7散射矩陣的別列