湖南省長沙2024-2025高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

湖南省長沙2024—2024高二其次學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：___________一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的大致圖象是（）A．B．C．D．4．一家商店運(yùn)用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最終將兩次稱得的黃金交給顧客．你認(rèn)為顧客購得的黃金附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時(shí)有，其中分別為左右盤中物體質(zhì)量，分別為左右橫梁臂長．（）A．等于10gB．小于10gC．大于10gD．不確定5．天文學(xué)中常用“星等”來衡量天空中星體的光明程度，一個(gè)望遠(yuǎn)鏡能看到的最暗的天體星等稱為這個(gè)望遠(yuǎn)鏡的“極限星等”．在肯定條件下，望遠(yuǎn)鏡的極限星等M與其口徑D（即物鏡的直徑，單位：）近似滿意關(guān)系式，例如：50mm口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為10.3．則200mm口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為（）A．12.8B．13.3C．13.8D．14.36．2024年3月，某校A，B，C，D，E，F(xiàn)六名同學(xué)參與了中學(xué)生地球科學(xué)奧林匹克競賽，均在競賽中取得優(yōu)異成果，現(xiàn)這6名同學(xué)和他們的主教練共7人站成一排合影留念，則主教練和A站在兩端，B、C相鄰，B、D不相鄰的排法種數(shù)為（）A．36B．48C．56D．727．已知，則（）A．B．C．D．8．記設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍的是（）A．B．C．D．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．若，則下列不等式正確的是（）A．B．C．D．10．某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)，其中，若在A的各數(shù)位上出現(xiàn)0和1的概率均為且相互獨(dú)立，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)（）A．B．C．X的數(shù)學(xué)期望D．X的方差11．紅黃藍(lán)被稱為三原色，選取隨意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色．已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色．現(xiàn)有紅黃藍(lán)彩色顏料各兩瓶，甲從六瓶中任取兩瓶顏料，乙再從余下四瓶中任取兩瓶顏料，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，A表示事務(wù)“甲調(diào)配出紅色”；B表示事務(wù)“甲調(diào)配出綠色”；C表示事務(wù)“乙調(diào)配出紫色”，則下列說法正確的是（）A．事務(wù)A與事務(wù)C是獨(dú)立事務(wù)B．事務(wù)A與事務(wù)B是互斥事務(wù)C．D．12．對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若滿意：且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“非減函數(shù)”．若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，，又當(dāng)時(shí)，恒成立，下列命題中正確的有（）A．B．C．D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知，則的最小值為_____________．14．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒tk的取值范圍是____________．15．已知，則___________．（用數(shù)字作答）16．若對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x及，均有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17．（本小題滿分10分）已知關(guān)于x的函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象總在直線的上方，為整數(shù)，求的值．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，解關(guān)于x的不等式．19．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長．從中國信息通信探討院發(fā)布的《云計(jì)算白皮書（2024年）》可知，我國2017年至2024年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2017年2024年2024年2024年2024年年份代碼x12345云計(jì)算市場規(guī)模y/億元692962133420913229經(jīng)計(jì)算得：．（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（2）云計(jì)算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本、提升產(chǎn)品質(zhì)量供應(yīng)了強(qiáng)大助推力．某企業(yè)未引入云計(jì)算前，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差，其中m為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且；引入云計(jì)算后，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差，若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則將會(huì)變成多少？若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變），則單件產(chǎn)品的成本將會(huì)下降多少？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．若，則．21．（本小題滿分12分）2024年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國際賽事的城市．為迎接冬奧會(huì)的到來，某地許多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深化了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與狀況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行探討，得到如圖數(shù)據(jù)：（1）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)校”，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記X為可作為“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查探討，求在抽到學(xué)校中恰有一所參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，抽到學(xué)校中恰有一所學(xué)?！皢伟寤背^30人的概率；（3）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測試互不影響．假如小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到3次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測試？22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，函數(shù)．函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）定義在I上的函數(shù)，假如滿意：對(duì)隨意，存在常數(shù)，都有成立，則稱函數(shù)是I上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)在I的上界．探討函數(shù)在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．高二期中考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）題號(hào)12345678答案CBACBDAB1．C解析：由得：，而，所以．故選：C．2．B解析：由可得，即，可等價(jià)變形為：，即或，明顯“或”是“”的必要不充分條件．故選：B．3．A解析：∵，且的值域?yàn)?，∴，?dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以的大致圖象應(yīng)為選項(xiàng)A．故選：A．4．C解析：設(shè)天平左臂長，右臂長，且，設(shè)天平右盤有克黃金，天平左盤有克黃金，所以所以．故選：C．5．B解析：由題意，∴，∴．∴．故選：B．6．D解析：分2步進(jìn)行分析：①主教練和A站在兩端，有種狀況；②中間5人分2種狀況探討：若B、C相鄰且與D相鄰，有種支配方法；若B、C相鄰且不與D相鄰，有種支配方法，則中間5人有種支配方法，則共有種不同的支配方法．故選：D．7．A解析：；設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，，，即，由零點(diǎn)存在定理可知；設(shè)函數(shù)，易知在上遞減，，即，由零點(diǎn)存在定理可知．即．故選：A．8．B解析：設(shè)，則函數(shù)在上遞增，且，且函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則在上有零點(diǎn)，不妨設(shè)零，點(diǎn)為，則，此時(shí)，則，與題意沖突，故函數(shù)在上無零點(diǎn)．二次函數(shù)圖象對(duì)稱銷為直線，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以解得故選：B．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）題號(hào)9101112答案ACABCBDACD9．AC解析：由，可知．A中，因?yàn)椋裕畡t，故A正確；B中，因?yàn)?，所以．故，即，故B錯(cuò)誤；C中，因?yàn)?，又，則，所以，故C正確；D中，因?yàn)?，依?jù)在上單調(diào)遞減，可得，而在定義域上單調(diào)遞增，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．ABC解析：由題意可得，每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，每位數(shù)出現(xiàn)0，1是獨(dú)立的，因此，故A正確；由于，故B正確；∵，∴，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．BD解析：依據(jù)題意，A事務(wù)兩瓶均為紅色顏料，C事務(wù)為一瓶紅色一瓶藍(lán)色顏料，則事務(wù)A發(fā)生事務(wù)C必定不發(fā)生，∴，故A，C不是獨(dú)立事務(wù)，是互斥事務(wù)，故，故A，C錯(cuò)誤；若調(diào)出紅色，須要兩瓶顏料均為紅色，若調(diào)出綠色，則需1瓶黃色和1瓶藍(lán)色，此時(shí)調(diào)出紅色和調(diào)出綠色不同時(shí)發(fā)生，故A，B為互斥事務(wù)，故B正確；若B事務(wù)發(fā)生，，若C事務(wù)發(fā)生，則甲有三種狀況，分別為甲取兩瓶黃色，甲取1瓶黃色和1瓶紅色或藍(lán)色，甲取1瓶紅色1瓶藍(lán)色，則，故D正確．故選：BD．12．ACD解析：A．因?yàn)椋粤畹?，所以，A符合題意；B．由當(dāng)恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，所以，則，B不符合題意；C．，而，所以，由，又，則，則，C符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則，則，即，D符合題意．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．6解析：由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．即，令，則且，得，即的最小值為6．14．解析：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，解不等式得或?5．34解析：令，得；令，得；二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，則，所以．16．解析：由本不等式，，故只須要即可，即對(duì)于隨意的恒成立，等價(jià)于對(duì)隨意的，或．當(dāng)時(shí)，由于，原式可變形為，記，求導(dǎo)可知函數(shù)在上遞減，在上遞增．于是在上遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由于，原式可變形為，記，依據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞減在上遞增，當(dāng)，，留意到，故當(dāng)時(shí)，，故．綜上，．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17．解析：（1）當(dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)覺增，所以的值域?yàn)椋?）由題可知，在上恒成立．，又在上單調(diào)遞增．所以，因此，解得，又為整數(shù)，所以或1．18．解析：（1）恒成立等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立，則，當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)不恒成立．所以此時(shí)必有解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2）依題意，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得或；當(dāng)時(shí)，，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．19．解析：（1）取的中點(diǎn)D，連接，因?yàn)镈，E分別為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)镈，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉橹比庵?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）設(shè)，以C為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，為平面的一個(gè)法向量，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，所以，解得，由（1）知即直線與平面所成的角，，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．20．解析：（1）由，得，令，即，最小三東法公式得：，∵，∴，∴，則，故y關(guān)于x的回來方程為．（2）∵，所以，∴，解得，引入云計(jì)算后，，所以，若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則，∴，若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變），則，∴，即單件產(chǎn)品降價(jià)元．21．解析：（1）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)校有4所，則X的可能取值為0，1，2，3．．所以X的分布列為：X0123P所以．（2）由題可知，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人的學(xué)校，且參與“單板滑雪”的人數(shù)不超過30人的學(xué)校為C、G，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人，且參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校為D、I，參與“自由式滑雪”的人數(shù)不超過40人，且參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校為A、B、E、H，參與“自由式滑雪”的人數(shù)不超過40人，且參與“單板滑雪”的人數(shù)不超過30人的學(xué)校為F、J，設(shè)事務(wù)A為“從這10所學(xué)校中抽3所學(xué)校恰有一個(gè)參與‘自由式滑雪？的人數(shù)超過40人”．事務(wù)B為“從這10所學(xué)校中抽3所學(xué)校恰有一個(gè)參與‘單板滑雪’的人數(shù)超過30人”．則．若“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人和“單板滑雪”人數(shù)超過30人為同一個(gè)學(xué)校，則有種狀況，若“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人和“單板滑雪”人數(shù)超過30人非同一個(gè)學(xué)校，則有種狀況，，所以．（3）由題意可得小明同學(xué)在一輪測試中為“優(yōu)秀”的概率為：．所以小明在n輪測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)Y滿意，由，得．所以理論上至少要進(jìn)行12輪測試．22．解析：函數(shù)，由，可得，．即為奇函數(shù)，且時(shí)遞減，可得在遞減，且的值域?yàn)?，不等式，即為，則，即，即為，解得，則原不等式的