湖北省十七所重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月第一次聯(lián)考試題

Page10湖北省十七所重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月第一次聯(lián)考試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，則（）A．B．C．D．3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A．B．C．D．4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意則z的虛部為（）A．B．C．D．5．某氣象愛(ài)好小組利用身邊的物品探討當(dāng)?shù)氐慕涤炅浚麄冞\(yùn)用一個(gè)上底面半徑為、下底面半徑為、高為的水桶盛接降水．當(dāng)水桶內(nèi)盛水至總高的一半時(shí)，水的體積約占水桶總體積的（）A．B．C．D．6．已知平面對(duì)量滿(mǎn)意，則的最小值為（）A．2B．4C．8D．167．設(shè)集合，則集合S的元素個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．8．設(shè)隨機(jī)變量，當(dāng)正整數(shù)n很大，p很小，不大時(shí)，X的分布接近泊松分布，即．現(xiàn)需100個(gè)正品元件，該元件的次品率為0.01，若要有以上的概率購(gòu)得100個(gè)正品，則至少需購(gòu)買(mǎi)的元件個(gè)數(shù)為（已知…）（）A．100B．101C．102D．103二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知遞增的正整數(shù)列的前n項(xiàng)和為．以下條件能得出為等差數(shù)列的有（）A．B．C．D．10．已知，則（）A．B．C．D．11．已知．點(diǎn)A，B，C分別在上．則（）A．的最大值為9B．的最小值為C．若平行于x軸，則的最小值為D．若平行于y軸，則的最大值為12．已知正方體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P，Q分別在正方形的內(nèi)切圓，正方形的外接圓上運(yùn)動(dòng)，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知多項(xiàng)式滿(mǎn)意對(duì)隨意，則_________（用數(shù)字作答）．14．冰雹猜想是指：一個(gè)正整數(shù)x，假如是奇數(shù)就乘以3再加1，假如是偶數(shù)就析出偶數(shù)因數(shù)，這樣經(jīng)過(guò)若干次，最終回到1．問(wèn)題提出八十多年來(lái)，很多專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家前仆后繼，依舊無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題．已知正整數(shù)列滿(mǎn)意遞推式請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)意條件的首項(xiàng)，使得，而_____________．15．設(shè)實(shí)數(shù)，不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_________．16．設(shè)橢圓的離心率，C的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在C上滿(mǎn)．的角平分線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D．已知，則_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D為線(xiàn)段的中點(diǎn)，側(cè)面的面積為．（1）若證明：；（2）求三棱柱的體積與表面積之比的最大值．18．（12分）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某探討小組將該地區(qū)等面積劃分為200個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取20個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…經(jīng)計(jì)算得：．（1）利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線(xiàn)性回來(lái)方程；（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線(xiàn)性回來(lái)方程，并把這兩條擬合直線(xiàn)畫(huà)在同一坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一樣，（ⅰ）比較前者與后者的斜率大小，并證明；（ⅱ）求這兩條直線(xiàn)的公共點(diǎn)坐標(biāo)．附：y關(guān)于x的回來(lái)方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．19．（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的最小值；（2）證明：．20．（12分）設(shè)點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與C交于不與點(diǎn)A重合的兩點(diǎn)P，Q．（1）求直線(xiàn)的斜率之和；（2）設(shè)在射線(xiàn)上的點(diǎn)R滿(mǎn)意，求直線(xiàn)的斜率的最大值．21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)意：①對(duì)隨意質(zhì)數(shù)p和自然數(shù)n，都；②對(duì)隨意互質(zhì)的正整數(shù)對(duì)，都有．（1）寫(xiě)出的前6項(xiàng)，視察并干脆寫(xiě)出與能整除n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)的關(guān)系；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．22．（12分）已知直線(xiàn)l與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)．證明：（1）l與曲線(xiàn)恰存在兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）．2024屆湖北省十七所重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678ABDCBCDD7．D對(duì)每個(gè)，在中的從屬關(guān)系有以下101種：（1），（2），（3），…（101）．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，集合S中共個(gè)元素．8．D記隨機(jī)變量X為購(gòu)買(mǎi)a個(gè)元件后的次品數(shù)．由題意，此時(shí)X可看成泊松分布．則，記，則．由于t很小，故大致有．分別計(jì)算，左邊約等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，即．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9101112ACDBCABDAB11．ABDA：，且能取到等號(hào)，故正確；同理B正確．C：試想一個(gè)將向左平移的過(guò)程，使得平移后的圓與有公共點(diǎn)的最短平移距離即的最小值，為，故錯(cuò)誤；同理D正確．12．AB以A為原點(diǎn)，為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)．A：，故正確．B：．記，，故正確．C：取的中點(diǎn)M，穿過(guò)一側(cè)的外接圓，取的中點(diǎn)，則不穿過(guò)，故必存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過(guò)外接圓，設(shè)公共點(diǎn)為Q，此時(shí)共線(xiàn)，沖突，故不正確．D：假設(shè)成立，則恒成立．利用協(xié)助角消去，則．取，則左邊，故不正確．故選AB．三、填空題：每小題5分，共20分．13．114．12或13（寫(xiě)出一個(gè)即可）15．16．14．本題采納逆推思想．故填12或13．15．令，得．下證：均滿(mǎn)意題意．當(dāng)時(shí)，左邊關(guān)于a遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，仍關(guān)于a遞減，故只需證明成立．令，即證．遞增，，故在上遞減，在上遞增，．故填．16．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)角平分線(xiàn)交x軸于T，易知．直線(xiàn)．設(shè)中點(diǎn)為M，則．，得．將點(diǎn)A與橢圓聯(lián)立得，故，解得．故填．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（1）取中點(diǎn)H，則．由平面平面，故．又，故平面．而平面，故．（2）及．表面積，體積．故由基本不等式，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．18．（1）．故回來(lái)方程為．（2）（ⅰ）設(shè)前者和后者的斜率分別為．則，r為y與x的相關(guān)系數(shù)．又，故．下證：．若，則，即恒成立．帶入表格中的一組數(shù)據(jù)得：，沖突．故，即前者斜率小于后者．（ⅱ）留意到，兩直線(xiàn)都過(guò)，且，故公共點(diǎn)僅有．19．（1）由余弦定理，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．（2）方法一：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)線(xiàn)段的中垂線(xiàn)交于點(diǎn)D．．在中，由正弦定理，．，故，由．故．則．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故．由（1），故．則．20．（1）的前6項(xiàng)分別為1，2，2，3，2，3．的大小與能整除n的自然數(shù)個(gè)數(shù)相同．（2）方法一：由（1），因?yàn)榇笥谛∮趎的數(shù)不被n整除，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．其中第一行2分，其余共4分．為奇數(shù)時(shí)，，得證．方法二：設(shè)．先說(shuō)明．中為的項(xiàng)數(shù)恰為的正整數(shù)解數(shù)，故．再證．時(shí)，成立；時(shí)，．其中前兩行和后兩行各2分．21．（1）．l斜率明顯存在，故可設(shè)，即．設(shè)即，即．設(shè)的斜率，則，故為方程的兩個(gè)實(shí)根，