浙江省寧波市慈溪市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page19浙江省寧波市慈溪市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一?選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合交集的概念即可干脆求出答案.【詳解】因?yàn)榧希?，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.3.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)兩直線平行，解得的值，再利用充分條件、必要條件的定義求解.【詳解】直線，，的充要條件是，解得因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為：C.4.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部截取了一個(gè)內(nèi)接長方體，進(jìn)而依據(jù)體積公式求解體積即可.【詳解】解：依據(jù)題意，該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部截取了一個(gè)內(nèi)接長方體，其中圓柱底面半徑為，高為，長方體的底面為的正方形，高為，所以該幾何體的體積為故選：B5.若實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件則的最小值為（）A.5 B.4 C.-5 D.-6【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意作出可行域，進(jìn)而依據(jù)z的幾何意義求出最小值.【詳解】如圖所示，可行域?yàn)椋河蓏的幾何意義可知，當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)取得最小值，聯(lián)立，所以z的最小值為：.故選：C.6.如圖，在正四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，則（）A.直線與垂直，直線平面B.直線與垂直，直線與平面相交C直線與異面且不垂直，直線平面D.直線與異面且不垂直，直線與平面相交【答案】C【解析】【分析】將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可推斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、.，，則，結(jié)合圖形可知，直線與異面且不垂直，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，因?yàn)?，故，則，平面，故平面，故選：C.7.已知函數(shù)，，則部分圖像為如圖的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解與的奇偶性，進(jìn)而推斷出與非奇非偶函數(shù)，解除AB選項(xiàng)，再結(jié)合從正數(shù)趨向于0時(shí)，與的趨向的值，選出正確答案.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，則與是非奇非偶函數(shù)，和為奇函數(shù)，當(dāng)從正數(shù)趨向于0時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)從正數(shù)趨向于0時(shí)，，符合題意.故選：D8.設(shè)為三角形的一個(gè)內(nèi)角，已知曲線，現(xiàn)給出以下七個(gè)曲線：（1）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，（2）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，（3）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，（4）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，（5）拋物線，（6）圓，（7）兩條直線.其中是C可以表示的曲線有（）A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)【答案】A【解析】【分析】對進(jìn)行分類探討，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，（i）時(shí)，曲線的方差為，，表示兩條直線，（7）正確.（ii）當(dāng)時(shí)，，，①由于，所以，所以（6）錯(cuò)誤.②當(dāng)時(shí)，，所以曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以（2）正確.③當(dāng)時(shí)，，所以曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以（3）正確.綜上所述，正確的一共有個(gè).故選：A9.設(shè)，為梯形ABCD的兩個(gè)內(nèi)角，且滿意：，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系得，得到，二倍角公式得到，再由兩角差的正切公式得到的正切值，依據(jù)的范圍可得答案.【詳解】因?yàn)椋瑸樘菪蜛BCD的兩個(gè)內(nèi)角，，又，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，，則，，所以，，所以，所以，故選：D.10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】由，，得，所以，，所以，即，所以，所以，所以，，故，，所以.故選：A二?填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）11.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù).商功》闡述：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.”彆臑是一類特別的三棱錐，它的四個(gè)面都是直角三角形.如圖，已知三棱錐是一個(gè)鱉臑，且平面ABC，，則___________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)易知，結(jié)合已知條件即可求的長度.【詳解】由題設(shè)，△、△、△、△均為直角三角形，又，∴，，則，∴.故答案為：.12.已知，函數(shù)若，則___________.【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式可得，則即可求參數(shù)a.【詳解】由解析式可得：，∴，可得.故答案為：.13.若，則___________，且___________.【答案】①.1②.61【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式定理寫出與綻開式，從而可求出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以?故答案為：；.14.在中，，，，點(diǎn)D在邊AC上，且，設(shè)R是外接圓的半徑，則___________，___________.【答案】①.3②.【解析】【分析】利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得外接圓的半徑.【詳解】在中，，，利用余弦定理知所以為直角三角形，在直角中，，，在中利用正弦定理知，，即故答案為：3，15.甲乙兩個(gè)袋子中分別裝有若干個(gè)大小和質(zhì)地相同的紅球和綠球，且甲乙兩個(gè)袋子中的球的個(gè)數(shù)之比為1：3，已知從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率為p.若從甲袋中有放回的摸球，每次摸出一個(gè)，直至第2次摸到紅球即停止，恰好摸4次停止的概率為___________；若將甲?乙兩個(gè)袋子中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，則p的值為___________.【答案】①②.【解析】【分析】（1）從甲袋中有放回摸球，每次摸出紅球概率不變，可以看成獨(dú)立事務(wù)；（2）把甲乙兩袋球混合后，重新計(jì)算袋中紅球個(gè)數(shù)和袋中球的總數(shù)是問題關(guān)鍵.【詳解】（1）從甲袋中有放回的摸球，每次摸出一個(gè)紅球的概率都是.則從甲袋中有放回的摸球，每次摸出一個(gè)，直至第2次摸到紅球即停止，恰好摸4次停止，說明前三次恰好只摸到一次紅球，且第四次摸到紅球.則其概率為；（2）設(shè)甲乙兩個(gè)袋子中的球的個(gè)數(shù)分別為a、3a，則甲袋子中有個(gè)紅球，乙袋子中有個(gè)紅球.將甲乙兩個(gè)袋子中的球裝在一起后，袋中共有4a個(gè)球，其中有個(gè)紅球.則有，解之得，故答案為：（1）；（2）16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)和F分別作傾斜角為的兩條直線，，設(shè)與橢圓C相交于A?B兩點(diǎn)，與橢圓C相交于M?N兩點(diǎn)，那么，當(dāng)時(shí)，___________；當(dāng)時(shí)，___________.【答案】①.②.4【解析】【分析】①已知直線和圓錐曲線，聯(lián)立方程消未知數(shù)y，得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用相交弦公式，可以計(jì)算弦長；②分別求出相交弦長，再計(jì)算.【詳解】，，焦點(diǎn)在x軸上橢圓的左焦點(diǎn)為①當(dāng)時(shí)，直線方程為②當(dāng)時(shí)，求：求：故答案為：①；②4.17.已知平面對量，，，其中，是單位向量且滿意，，若，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知條件將向量代入整理可得關(guān)于x、y的二元二次方程，然后通過換元，利用方程有解可得.【詳解】又，是單位向量且上式令，代入上式整理得：關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解整理得：，解得故答案為：.三?解答題（本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）18.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦的二倍角公式、協(xié)助角公式可得答案；（2）令，則，則配方后可得答案.【小問1詳解】因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)榱?，則，且所以故所求函數(shù)的取值范圍為.19.如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)M在線段BC上，且.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取AB中點(diǎn)為Q，連接QP、QM，可得，在中由已知條件可得，即有，依據(jù)線面垂直的判定定理可得平面PQM，再由性質(zhì)定理可得答案；（2）由線面垂直的判定定理可得平面ABC及，過Q作，由線面垂直的判定定理可得平面PQN，及，所以是二面角的平面角，在中計(jì)算可得答案.【小問1詳解】取AB中點(diǎn)為Q，連接QP、QM，因?yàn)?，所以，在中，，，，所以，因此，于，即，又，所以平面PQM，因此.【小問2詳解】在中，，，，所以，即，又，，所以平面ABC，平面ABC，所以，過Q作，垂足N，連PN，，得平面PQN，平面PQN，所以，所以是二面角的平面角，在中，，，，所以.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)求解的通項(xiàng)公式；（2）先求解的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求出的前n項(xiàng)和，再求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】由題意知所以即,又，所以是等比數(shù)列，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求.【小問2詳解】設(shè)的前n項(xiàng)和為，又，則于是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)故.21.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，是拋物線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，存在動(dòng)點(diǎn)使得直線PA，PB分別交拋物線的另一點(diǎn)M，N，且，.（1）求拋物線的方程；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，進(jìn)而求出拋物線方程；（2）表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入拋物線方程后得到關(guān)于的等量關(guān)系，同理求出關(guān)于的等量關(guān)系，用韋達(dá)定理證明出結(jié)論；（3）在其次問的基礎(chǔ)上，表達(dá)出面積，并求出取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】由知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為又點(diǎn)M在拋物線上，所以，結(jié)合整理得：同理，可得所以?是關(guān)于y的方程的兩個(gè)不相等的根故；【小問3詳解】由（2）知?是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根又，所以所以，，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則，于是故的面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】拋物線的綜合題目，往往會(huì)設(shè)出拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用條件得到方程組，再把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)看成一個(gè)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，這也是與橢圓和雙曲線不同的地方.22.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?，當(dāng)時(shí)，證明：.（注：…是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分