2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章重難點(diǎn)突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題(五大題型)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng) 2題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值 3題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90° 3題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值 4題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值 403過關(guān)測(cè)試 6

活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關(guān)鍵在于理解和運(yùn)用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（定義圓）、到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值、到兩定點(diǎn)的夾角為90°、邊與對(duì)角為定值且對(duì)角互補(bǔ)、到兩定點(diǎn)距離之比為定值。解題時(shí)，首先要識(shí)別題目中的關(guān)鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡(jiǎn)化問題，如利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進(jìn)而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題，使解題過程更加清晰明了。題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-2】設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【變式1-4】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為．【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為．【變式2-1】已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為．【變式2-2】已知圓:，點(diǎn)，.設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為．【變式2-3】正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1，且，則的取值范圍為.題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為.【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是.【變式3-1】已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7，【變式3-2】已知圓：和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是.【典例4-2】設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,E和分別為AD與的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為．題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的方程為B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則C．在C上存在點(diǎn)M，使得D．若，則的最小值為1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為（，），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點(diǎn)，點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．5．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．設(shè)向量，，滿足：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．9．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．比如在平面直角坐標(biāo)系中，、，則點(diǎn)滿足所得點(diǎn)軌跡就是阿氏圓；已知點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．則的最小值為．11．（2024·山東日照·一模）已知向量滿足，，則的最大值為．12．若向量，且向量，滿足，則的取值范圍是．13．如圖，△是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．15．已知圓C：和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)M，使得，則m的最小值為16．已知，點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．重難點(diǎn)突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng) 2題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值 5題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90° 8題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值 10題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值 1203過關(guān)測(cè)試 17

活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關(guān)鍵在于理解和運(yùn)用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（定義圓）、到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值、到兩定點(diǎn)的夾角為90°、邊與對(duì)角為定值且對(duì)角互補(bǔ)、到兩定點(diǎn)距離之比為定值。解題時(shí)，首先要識(shí)別題目中的關(guān)鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡(jiǎn)化問題，如利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進(jìn)而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題，使解題過程更加清晰明了。題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，則，由得：，令，即，，其中銳角滿足，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故選：D【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．∵表示圓P上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，，∴的取值范圍為，故選：C．【變式1-1】如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】問題可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，兩圓圓心距，由得，解得，即.故選：D【變式1-2】設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，時(shí)，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故選:D．【變式1-3】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【答案】B【解析】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過定點(diǎn)，因?yàn)椋詣?dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，則有，，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故選：C．【變式1-4】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．【答案】A【解析】由題意，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，則，動(dòng)直線變形得，則，由得，∴，故選：B．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為．【答案】5【解析】設(shè)點(diǎn)，由得：，即，即，在以為直徑的圓上，不妨設(shè)，，則，，，，其中為輔助角，令，，則，．，令，，，在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，再令，，顯然在，上單調(diào)遞增，故時(shí)，取得最小值，綜上，當(dāng)，時(shí)，取得最小值25．故的最小值為5,故答案為：5．【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為．【答案】10【解析】設(shè)，由題意可得：，則：，ABC構(gòu)成三角形，則：，解得：，由余弦定理：，當(dāng)時(shí)，取得最大值為10.【變式2-1】已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，，，，當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，由圓，則圓心，半徑，易知，則.故答案為：.【變式2-2】已知圓:，點(diǎn)，.設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，令，則的最小值為．【答案】【解析】由已知，，設(shè)Px0,y0所以，因?yàn)?，所以?dāng)OP取得最小值時(shí)，取得最小值，由OP的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.【變式2-3】正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，則由，得，整理得，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，圓心M到點(diǎn)D的距離為，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，，，以所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，與的夾角為，所以，，設(shè)，即，，，所以，，因?yàn)?，所以，即，圓心坐標(biāo)為，半徑，表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即為圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為，所以.故答案為：.【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是.【答案】【解析】向量為單位向量，且，不妨設(shè)，令，則，即，它表示以為圓心，為半徑的圓，可知表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，故其最大值是.故答案為：2.【變式3-1】已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】圓即為：，其圓心為（3，4），半徑為1，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以M（0，0），以AB為直徑的圓的方程為：，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則圓C與圓M有公共點(diǎn)，即，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是6.故選：C【變式3-2】已知圓：和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】圓：，則半徑為，，如上圖，對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，當(dāng)均為圓的切線時(shí)最大，由題意，即時(shí)，此時(shí)為滿足題設(shè)條件的臨界點(diǎn)，此時(shí)有.當(dāng)在臨界點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，有，即，即有：，解得：.故答案為：.題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是.【答案】/【解析】設(shè)，則由得，可得，由得，因此，表示圓上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離；故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故答案為：【典例4-2】設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?.如圖所以，設(shè)，則,,.所以，所以，所以四點(diǎn)共圓.不妨設(shè)為圓M，因?yàn)?所以.所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.所以當(dāng)為圓M的直徑時(shí)，取得最大值4.故選：A.【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,E和分別為AD與的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，.當(dāng)在邊上時(shí)，設(shè)，則；當(dāng)在邊上時(shí)，設(shè)，則；當(dāng)在邊上時(shí)，設(shè)，則；當(dāng)在邊上時(shí)，設(shè)，則.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為．【答案】27【解析】畫出圖像如下圖所示，由于、為定值，故在以為弦的圓上運(yùn)動(dòng)，由正弦定理得，故圓心的坐標(biāo)為，的最大值即為的值，也即是的值，由兩點(diǎn)間的距離公式有.題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，交點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，由，斜率為，由，斜率為，，綜上，.又，直線恒過，，直線恒過，若為的交點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，則圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑為，故的軌跡方程為，即，則有.又，易知O、Q在該圓內(nèi)，又由題意可知圓上一點(diǎn)滿足，取，則，滿足.下面證明任意一點(diǎn)都滿足，即，，又，.所以，又，所以，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，等號(hào)成立即最小值為.故選：A.【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，令，則，由題知圓是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的位置時(shí)，的值最大，最大為.故選：B.【變式5-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，點(diǎn)M在圓上，取點(diǎn)，連接，有，當(dāng)點(diǎn)不共線時(shí)，，又，因此∽，則有，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，有，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線段BN與圓O的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的方程為B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則C．在C上存在點(diǎn)M，使得D．若，則的最小值為【答案】B【解析】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，故A正確；當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，，所以是的角平分線，所以，故B正確；設(shè),則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋訡上不存在點(diǎn)M，使得，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：C.1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，所以，又，所以．因?yàn)榍遥?，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值為．故選：C．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為（，），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點(diǎn)，點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以，整理，得，，點(diǎn)M位于圖中、的位置時(shí)，的值最小可得答案.設(shè)，令，則，由題知圓是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中、的位置時(shí)，的值最小，最小為.故選：B.3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是單位向量，∴.∵且.∴，又∵，∴(θ是與的夾角)．又，∴，∴.根據(jù)一元二次不等式的解法，解得.故選：D.4．如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2則圓和圓相交，又圓的圓心為，半徑為兩圓圓心距，由得，解得，即．故選：D．5．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，且兩條直線互相垂直，且相交于點(diǎn)，所以，即，由基本不等式可得，即，可得，故選：C.6．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線，即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，，，，，故選：B．7．設(shè)向量，，滿足：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，，，又，，設(shè)，，，則，，又，，、、、四點(diǎn)共圓，當(dāng)最大時(shí)，有，為該圓的半徑，由，所以，在中，由正弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)是的平分線時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)的最大值為圓的直徑大小為.故選：A．8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．【答案】9【解析】由為圓上一動(dòng)點(diǎn)，得，由為圓上一動(dòng)點(diǎn)，得，又.因?yàn)椋?，于?當(dāng)共線且時(shí)取得最小值，即.所以，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：9．9．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】【解析】如圖，在軸上取點(diǎn)，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），.故答案為：.10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．比如在平面直角坐標(biāo)系中，、，則點(diǎn)滿足所得點(diǎn)軌跡就是阿氏圓；已知點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．則的最小值為．【