2025年新高考數(shù)學一輪復習第2章第07講函數(shù)與方程(十一大題型)(練習)(學生版+解析)

第07講函數(shù)與方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎練 2題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間 2題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍 2題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題 3題型四：嵌套函數(shù)的零點問題 3題型五：函數(shù)的對稱問題 4題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型 5題型七：唯一零點求值問題 5題型八：分段函數(shù)的零點問題 6題型九：零點嵌套問題 7題型十：等高線問題 7題型十一：二分法 8重難創(chuàng)新練 9真題實戰(zhàn)練 11題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間1．（2024·高三·北京東城·開學考試）已知函數(shù)則函數(shù)的零點為2．（2024·高三·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．（2024·高三·江蘇常州·開學考試）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點構(gòu)成的集合為．題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍5．（2024·高三·廣東深圳·期末）已知函數(shù)在內(nèi)有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2024·高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學考試）若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)的零點位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題10．函數(shù)的零點個數(shù)為11．已知函數(shù)，則方程的解的個數(shù)是.12．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點個數(shù)為.13．函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型四：嵌套函數(shù)的零點問題14．已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．15．已知函數(shù)，方程有6個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．（2024·高三·天津濱海新·開學考試）已知函數(shù)，關(guān)于x的方程在上有四個不同的解，且，若恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．定義域為的函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則等于（

）A．1 B． C． D．0題型五：函數(shù)的對稱問題18．（2024·河南洛陽·一模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．19．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2024·高三·湖北鄂州·期末）若不同兩點、均在函數(shù)的圖象上，且點、關(guān)于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，與函數(shù)，若與的圖象上分別存在點，使得關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．22．（2024·江西·模擬預測）函數(shù)，（），若與的圖象上分別存在點，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型23．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．24．已知函數(shù)的圖象上存在三個不同點，且這三個點關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)的圖象上，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．25．（2024·全國·高三假期作業(yè)）若存在兩個正實數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A．B．C．D．題型七：唯一零點求值問題26．已知函數(shù)有唯一零點，則的值為（

）A． B． C． D．27．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．－2 C．2 D．－128．已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A．1 B． C． D．29．（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．230．已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B．3 C．或3 D．4題型八：分段函數(shù)的零點問題31．（2024·河南開封·模擬預測）已知若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．32．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．33．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．434．（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．535．若函數(shù)有且只有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型九：零點嵌套問題36．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．937．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，且．則實數(shù)的值為（

）A． B． C．－1 D．138．（2024·高三·浙江紹興·期中）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．題型十：等高線問題39．已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，記作，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．40．設函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實根，則的最小值為（

）A． B．23 C． D．2441．已知函數(shù)，若，且，則·c的取值范圍為（）A． B．C． D．42．（2024·貴州貴陽·一模）設函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（

）A．方程的實數(shù)根為-2，0，，2B．若方程有3個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為C．若方程有4個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為D．若方程有3個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為題型十一：二分法43．某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（

）A．是滿足精度為的近似值.B．是滿足精度為的近似值C．是滿足精度為的近似值D．是滿足精度為的近似值44．若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根(精確度為)可以是（

）A． B．C． D．45．用二分法求函數(shù)的零點時，初始區(qū)間可選為（

）A． B．C． D．46．函數(shù)在(1,2)內(nèi)有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0.01，則對區(qū)間至少二等分（

）A．5次 B．6次 C．7次 D．8次47．下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（

）A． B．C． D．48．函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.441．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有一個實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．22．（2024·甘肅張掖·模擬預測）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．-1 C． D．23．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為（

）A．7 B．9 C．10 D．124．（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個不等實根，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．6．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（

）A． B．C． D．7．（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·全國·模擬預測）已知兩函數(shù)與的圖象有兩個交點，則不滿足條件的的值是（

）A． B． C． D．49．（多選題）已知為方程的根，為方程的根，則（

）A． B．C． D．10．（多選題）（2024·福建福州·三模）已知實數(shù)滿足：，則下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．11．（多選題）（2024·河北·三模）已知有三個不相等的零點且，則下列命題正確的是（

）內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（山東卷精編版））已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是A． B．C． D．3．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標I卷））已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）4．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））函數(shù)在的零點個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．55．（2019年浙江省高考數(shù)學試卷）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則（）A． B．C． D．6．（2020年天津市高考數(shù)學試卷）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2021年北京市高考數(shù)學試題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．8．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標III卷））函數(shù)在的零點個數(shù)為．9．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（天津卷））已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是.10．（2019年江蘇省高考數(shù)學試卷）設是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是.11．（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（江蘇卷精編版））設是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，則方程的解的個數(shù)是12．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（浙江卷））已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是．13．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．第07講函數(shù)與方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎練 2題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間 2題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍 3題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題 5題型四：嵌套函數(shù)的零點問題 7題型五：函數(shù)的對稱問題 10題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型 14題型七：唯一零點求值問題 16題型八：分段函數(shù)的零點問題 18題型九：零點嵌套問題 21題型十：等高線問題 24題型十一：二分法 28重難創(chuàng)新練 31真題實戰(zhàn)練 45題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間1．（2024·高三·北京東城·開學考試）已知函數(shù)則函數(shù)的零點為【答案】【解析】當時，由，即，解得或（舍），當時，由，解得，綜上可得，函數(shù)的零點為．故答案為：．2．（2024·高三·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在有零點，且零點是唯一的.故選：B3．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域為，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為，故選：B.4．（2024·高三·江蘇常州·開學考試）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點構(gòu)成的集合為．【答案】【解析】函數(shù)的零點，即方程的所有根，令，根據(jù)函數(shù)，方程的解是，則方程的根，即為方程的根，當時，，由，，當時，，由，，綜上，函數(shù)所有零點構(gòu)成的集合是.故答案為：.題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍5．（2024·高三·廣東深圳·期末）已知函數(shù)在內(nèi)有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因為在內(nèi)有零點，所以，解得.故選：A6．（2024·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.7．（2024·高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學考試）若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因為零點存在定理，.故選：A.8．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A9．已知函數(shù)的零點位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為函數(shù)與在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，，所以函數(shù)的零點位于區(qū)間內(nèi)，故.故選：B.題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題10．函數(shù)的零點個數(shù)為【答案】6【解析】，故，畫出和，兩函數(shù)交點個數(shù)即為的零點個數(shù)，由圖象可得，共6個交點，所以的零點個數(shù)為6.故答案為：611．已知函數(shù)，則方程的解的個數(shù)是.【答案】4【解析】依題意可得，，當時，由得；當時，由，即，得；當時，由，即，得；當時，由，即，得.綜上可得，方程有4個實數(shù)根，故答案為：412．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】3【解析】令,則,令,則與的交點個數(shù)即為的零點個數(shù),當時,,又,所以是周期為1的函數(shù),在上單調(diào)遞減,且,所以可作出與的圖象如圖,所以與有3個交點，故的零點個數(shù)為3,故答案為：3.13．函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，不合乎題意.當時，由于函數(shù)、在上均為增函數(shù)，此時函數(shù)在上為增函數(shù).當時，由于函數(shù)、在上均為減函數(shù)，此時函數(shù)在上為減函數(shù).因為函數(shù)在區(qū)間上有零點，則，即，解得.題型四：嵌套函數(shù)的零點問題14．已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，令，則可化為，則或，則關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解等價于的圖象與直線，的交點個數(shù)之和為5個，由圖可得函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)為2，所以的圖象與直線的交點個數(shù)為3個，即此時，解得，故選：C.15．已知函數(shù)，方程有6個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設，圖象如下圖示，令，要使原方程有6個不同的實數(shù)解，則有兩個不同實根且，若，則，則，此時，，顯然此時不合題意，故由圖知：，即的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi)，而開口向上，故.故選：C16．（2024·高三·天津濱海新·開學考試）已知函數(shù)，關(guān)于x的方程在上有四個不同的解，且，若恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】整理可得：，故或，由于，故無解，由基本不等式，時，，故無解，依題意，于是在上有四個解，由余弦函數(shù)，對勾函數(shù)的圖像，可作出的圖像如下：結(jié)合圖像可知，當時，在上有四個解如圖所示，由于是的一條對稱軸，根據(jù)對稱性，，由，即，整理可得，由于，故，即.于是可以整理為，又，解得，結(jié)合圖像可知，，即，故，當時取得等號，為使得恒成立，只需，即，解得.故選：B17．定義域為的函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則等于（

）A．1 B． C． D．0【答案】A【解析】令，作出函數(shù)的大致圖象，當時，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因為關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)根，則關(guān)于的方程恰有兩根，設為、，且必有一根為，設，設方程的兩根分別為、，且，則，所以，，，因此，.故選：C.題型五：函數(shù)的對稱問題18．（2024·河南洛陽·一模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，，由于，，且，所以．故選：A．19．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】原題等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程有解，即有解，令，利用導數(shù)法求出函數(shù)的值域，即可求得答案函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則原題等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程有解，即有解，令，則，當時，，當，，故，由，，故當時，故的取值范圍為.故選：B.20．（2024·高三·湖北鄂州·期末）若不同兩點、均在函數(shù)的圖象上，且點、關(guān)于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象所對應的函數(shù)為，的圖象上恰好有兩個“匹配點對”等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程有兩個不等式的正實數(shù)根，即有兩個不等式的正實數(shù)根，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個交點.，當時，，單調(diào)遞增.當時，，單調(diào)遞減.且時，，時，所以所以圖象與函數(shù)圖象有2個交點.則，解得.故選：B21．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，與函數(shù)，若與的圖象上分別存在點，使得關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設問題可化為函數(shù)的反函數(shù)的圖像與在區(qū)間上有解的問題.即方程在區(qū)間上有解，由此可得，即，所以.22．（2024·江西·模擬預測）函數(shù)，（），若與的圖象上分別存在點，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設為函數(shù)上一點，則關(guān)于對稱的點為，且在函數(shù)圖象上，所以，得，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，所以單調(diào)遞增，所以在有最小值為，，，所以，故.故選：B.題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型23．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)至少存在一個零點所以有解即有解令，則因為，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當時，單調(diào)遞增當時，單調(diào)遞減所以且當時所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A24．已知函數(shù)的圖象上存在三個不同點，且這三個點關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)的圖象上，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則由題意可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個交點，即方程有三個不同的實數(shù)根．由可得，即，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，易得，當或時，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，極大值為．又，，所以當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，故實數(shù)的取值范圍為．故選B．25．（2024·全國·高三假期作業(yè)）若存在兩個正實數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，設，，則，則有解，設，為增函數(shù)，，當時，遞增，當時，遞減，所以當時函數(shù)取極小值，，即，若有解，則，即，所以或，故選：B．題型七：唯一零點求值問題26．已知函數(shù)有唯一零點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】有零點，則，令，則上式可化為，因為恒成立，所以，令，則，故為偶函數(shù)，因為有唯一零點，所以函數(shù)的圖象與有唯一交點，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標為0，故.故選：D27．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．－2 C．2 D．－1【答案】B【解析】設，∴故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，故函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∵有唯一零點∴，即，經(jīng)檢驗，僅有1個零點.故選：B.28．已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】把函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)性質(zhì)，有唯一零點，由得解.因為，令則，因為函數(shù)有唯一零點，所以也有唯一零點，且為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，由偶函數(shù)對稱性得，所以，解得，29．（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由題設，，可得：，由，易知：關(guān)于對稱.當時，，則，所以單調(diào)遞增，故時單調(diào)遞減，且當趨向于正負無窮大時都趨向于正無窮大，所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.故選：C30．已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B．3 C．或3 D．4【答案】B【解析】，令，則有是偶函數(shù)，若只有唯一零點，則必過原點，即，從而.當時，有3個零點，舍去.故，此時，則，故.故選：B題型八：分段函數(shù)的零點問題31．（2024·河南開封·模擬預測）已知若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，,則,當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時，.當時，，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時，.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：因為函數(shù)有兩個零點，所以與的圖象有兩個交點，由圖可知或.所以的取值范圍為.故選:C.32．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①當時，則只有一個零點0，不符合題意；②當時，作出函數(shù)的大致圖象，如圖1，在和上各有一個零點，符合題意；③當時，作出函數(shù)的大致圖象，如圖2，在上沒有零點．則在上有兩個零點，此時必須滿足，解得．綜上，得或．故選：A33．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】當時，令，解得；當時，令，則，在同一直角坐標系中分別作出，的大致圖像如圖所示，觀察可知，它們有2個交點，即函數(shù)有2個零點；綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為3.故選：C.34．（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】當時，，當時，，，，且定義域為，關(guān)于原點對稱，故為奇函數(shù)，所以我們求出時零點個數(shù)即可，，，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，而，故在有1零點，，故在上有1零點，圖像大致如圖所示：故在上有2個零點，又因為其為奇函數(shù)，則其在上也有2個零點，且，故共5個零點，35．若函數(shù)有且只有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，時，，此時時，;時，,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時，所以在上無零點從而時，有2個零點，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得題型九：零點嵌套問題36．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】B【解析】把f（x）的零點轉(zhuǎn)化為的零點，令，，可得方程有兩實根，，由判別式大于0解得a的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進一步得到，，結(jié)合，可得，，，則可知，，則.∴∴令，，則，∴令，解得∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設關(guān)于t的一元二次方程有兩實根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當且僅當時等號成立，由于，∴，（不妨設）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.37．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，且．則實數(shù)的值為（

）A． B． C．－1 D．1【答案】C【解析】令，則，當時，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)；又趨向于0時趨向負無窮，趨向于正無窮時趨向0，且，令，則，要使有3個不同零點，則必有2個零點，若，則或，所以有兩個不同的根，則，所以或，且，，①若，，與的范圍相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個根一正一負，即，；又，則，且，，故.故選：D38．（2024·高三·浙江紹興·期中）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】令，則，故當時，，是增函數(shù)，當時，，是減函數(shù)，可得處取得最小值，，，畫出的圖象，由可化為，故結(jié)合題意可知，有兩個不同的根，故，故或，不妨設方程的兩個根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個根，一正一負；不妨設，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，故又，，．故選：A．題型十：等高線問題39．已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，記作，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于，可知其對稱軸為，令，解得或；令，解得或；作出函數(shù)的圖象如圖所示：若函數(shù)有四個不同的零點，即方程有四個不同的實根，則與有四個不同的交點，交點橫坐標依次為，對于，，可得，所以；對于，，，，，可得；故由對鉤函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，得，所以的取值范圍是.故選：B.40．設函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實根，則的最小值為（

）A． B．23 C． D．24【答案】B【解析】做出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖可知，，由，可得或，所以，又因為，所以，故，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：B41．已知函數(shù)，若，且，則·c的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，當時，可得，可得，所以在上單調(diào)遞減，且；當時，可得，可得，所以在上單調(diào)遞增，且；當時，在單調(diào)遞減，且，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：若，且，則且，所以.故選：B.42．（2024·貴州貴陽·一模）設函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（

）A．方程的實數(shù)根為-2，0，，2B．若方程有3個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為C．若方程有4個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為D．若方程有3個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為【答案】C【解析】A.當時，，得或，當時，，解得：或，所以方程的實數(shù)根為-2，0，，2，故A正確；B.如圖，若方程有3個互不相等的實數(shù)根，則與有3個交點，則，故B正確；C.如圖，根據(jù)對稱性可知，，即，則，則，由的實數(shù)根并結(jié)合函數(shù)的圖象，可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為，故C正確；D.如圖，由C的說明可知，，，若方程有3個互不相等的實數(shù)根，則，當時，，所以時，，則的取值范圍為，故D錯誤.故選：D題型十一：二分法43．某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（

）A．是滿足精度為的近似值.B．是滿足精度為的近似值C．是滿足精度為的近似值D．是滿足精度為的近似值【答案】B【解析】，又A錯誤；，又，滿足精度為的近似值在內(nèi)，則B正確，D錯誤；，C錯誤.故選：B.44．若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根(精確度為)可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由表格可得，函數(shù)的零點在之間．結(jié)合選項可知，方程的一個近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選：C.45．用二分法求函數(shù)的零點時，初始區(qū)間可選為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，則，即初始區(qū)間可選．故選：C.46．函數(shù)在(1,2)內(nèi)有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0.01，則對區(qū)間至少二等分（

）A．5次 B．6次 C．7次 D．8次【答案】A【解析】區(qū)間的長度為，第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确?，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?，第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?所以要使零點的近似值滿足精確度為0.01，則對區(qū)間至少二等分次.故選：C47．下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，對于A，函數(shù)圖像和x軸無交點，所以無零點，故錯誤；對于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點，函數(shù)均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零點；對于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點，并且其零點為變號零點.故選：C．48．函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】A【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個根，因為，，所以根在內(nèi)，因為，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點，因為，，所以根在區(qū)間，因為，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點，因為，，所以根在區(qū)間內(nèi)，因為滿足精確度，因為，所以根在內(nèi)，所以方程的一個近似解為，故選：C1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有一個實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】若關(guān)于的方程在上恰有一個實數(shù)根，則，即在上恰有一個實數(shù)根，因為恰為的最小正周期，且當時，，所以，若，則關(guān)于的方程在上有兩個實數(shù)根，因為，所以，此時，即，解得，所以．故選：A2．（2024·甘肅張掖·模擬預測）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．-1 C． D．2【答案】B【解析】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，令，則，顯然，所以，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點，設為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點，說明，即.故選:A.3．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為（

）A．7 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，又是奇函數(shù)，所以，則的周期為3，所以，則.故在上的零點個數(shù)的最小值為9.取，顯然滿足題意，且恰好在上有9個零點.故選：B.4．（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知函數(shù)有兩個零點，即有兩個不等實數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個不同交點；設，則，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，當時，，作出的圖象如圖：當直線與圖象相切時，設切點為，此時，則，故此時，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)的圖象有兩個不同交點，需滿足，故，故選：D5．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個不等實根，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.令.因為關(guān)于的方程有兩個不等實根，，則關(guān)于的方程有兩個不等實根，.作出函數(shù)的圖象，如圖所示：.所以結(jié)合圖形可知.由可得：，，解得：，即有.設，則.令，得：；令，得：，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.故選：B.6．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，由，故，由與在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，故，故B錯誤；令，由函數(shù)的圖象及的圖象可得在上只有一個零點，由，故，又，，故，故C錯誤；有，故A錯誤；，故D正確.7．（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)，其圖象如下圖，則因為，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因為關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，即和共有3個不同的實數(shù)根，由的圖象知，只有一個解為，所以有兩個不同的解，且根中不含，即與有兩個不同的交點，與的圖象如下圖所示：所以.故選：A.8．（2024·全國·模擬預測）已知兩函數(shù)與的圖象有兩個交點，則不滿足條件的的值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】令，則，函數(shù)與的圖像有兩個交點可轉(zhuǎn)化為方程，即有兩個不相等的實數(shù)根.因此相當于斜率分別為和1的直線組成的折線與曲線有兩個交點.由解得或，函數(shù)，，的圖像如圖，由圖易得：①當直線與曲線相切時，兩函數(shù)圖像有兩個交點.由，得，由判別式，得或.②當直線過點時，兩函數(shù)圖像有兩個交點.由，得.③當直線過點時，兩函數(shù)圖像有三個交點，由，得，故A不滿足條件.故選：A.9．（多選題）已知為方程的根，為方程的根，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】設，由知均在上單調(diào)遞增.由，可得，則，整理得，A不正確；由，可得，則，從而，B正確；由，可得．因為，所以，則，即，即，則，C正確；令，則，當時，單調(diào)遞增，因為，且，所以，即，從而，D正確.故選：BCD10．（多選題）（2024·福建福州·三模）已知實數(shù)滿足：，則下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BBD【解析】如圖在同一坐標系中分別作出函數(shù)的圖象，依題意直線與三個函數(shù)都有交點，需判斷這些交點的橫坐標之間有怎樣的大小關(guān)系.由圖知，有三種不同的情況：當直線在①位置時，顯然有：；當直線在②位置時，顯然有：；當直線在③位置時，顯然有：.故選：ABD.11．（多選題）（2024·河北·三模）已知有三個不相等的零點且，則下列命題正確的是（

）A．存在實數(shù)，使得B．C．D．為定值【答案】BCD【解析】由方程，可得．令，則有，即，令函數(shù)，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，作出圖象如圖所示，要使關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根，，且，或，，令，若，，則，故，若，，則，無解，綜上：，故C正確；由圖結(jié)合單調(diào)性可知，故B正確；若，則，又，故A不正確；，故D正確，故選：BCD．12．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知則方程可能有（

）個解.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BBCD【解析】，有，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，當時，有極小值.，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，有極大值.由的圖象如圖所示，由得或，由圖象可知有3個解，可能有1，2，3，4個解，若，則有3個解；若，則方程可能有4，5，6，7個解.故選：ABCD.13．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）不經(jīng)過第四象限的直線與函數(shù)的圖象從左往右依次交于三個不同的點，，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為.【答案】【解析】易知必存在斜率，設：，不經(jīng)過第四象限，，設，，，其中，，，為方程的三個根，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，易知.我們先將視作為定值，則由，可得.又，且，.于是的取值隨著的增大而減小，故當時取最大值，此時，解得.同理.，.若，，成等差，所以，即，整理即，解得，，即的最小值為.故答案為：14．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數(shù)的定義域為，，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為.【答案】9【解析】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，又是奇函數(shù)，所以，則的周期為3，所以，，而，則.故在上的零點個數(shù)的最小值為9.故答案為：9.15．（2024·重慶·模擬預測）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】令，則，即，依題意關(guān)于的方程恰有三個不等實數(shù)根，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，當時，當時，所以，令，則（且），則（且），令（且），因為在定義域上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞增，又，，要使關(guān)于的方程恰有三個不等實數(shù)根，則與有兩個交點，且其中一個交點的橫坐標小于，另一個交點的橫坐標位于之間，則，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是.【答案】【解析】當時，，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則；當時，，，其在上單調(diào)遞減，且.作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.故答案為：17．（2024·天津·二模）設，函數(shù).若在區(qū)間內(nèi)恰有2個零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】本解析中，“至多可能有1個零點”的含義是“零點個數(shù)不超過1”，即不可能有2個不同的零點，并不意味著零點一定在某些時候存在1個.當時，只要，就有，故在上至多可能有1個零點，從而在上至多可能有1個零點，不滿足條件；當時，有，所以在上沒有零點.而若，則只可能，所以在上至多可能有1個零點.故在上至多可能有1個零點，從而在上至多可能有1個零點，不滿足條件；當時，解可得到，且由知，從而確為在上的一個零點.再解方程，即，可得兩個不同的實數(shù)根.而，.故確為在上的一個零點，而當且僅當時，另一根是在上的一個零點.條件為在區(qū)間內(nèi)恰有2個零點，從而此時恰有兩種可能：或.解得；當時，驗證知恰有兩個零點和，滿足條件.綜上，的取值范圍是.故答案為：1．（2021年天津高考數(shù)學試題）設，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應滿足或或，則可解得a的取值范圍是.2．（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（山東卷精編版））已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】當時，，單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需選B.3．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標I卷））已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】A【解析】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結(jié)果.畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即，故選C.4．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））函數(shù)在的零點個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D