2025年新高考數學一輪復習第8章第03講圓的方程(八大題型)(練習)(學生版+解析)

第03講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：求圓多種方程的形式 2題型二：直線系方程和圓系方程 2題型三：與圓有關的軌跡問題 2題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 3題型五：點與圓的位置關系判斷 3題型六：數形結合思想的應用 4題型七：與圓有關的對稱問題 4題型八：圓過定點問題 502重難創(chuàng)新練 503真題實戰(zhàn)練 7題型一：求圓多種方程的形式1．（2024·陜西榆林·二模）圓心在x軸的正半軸上，半徑為8，且與直線相切的圓的方程為．2．（2024·全國·模擬預測）與直線相切于點的圓的方程為．（寫出一個即可）3．（2024·北京西城·二模）已知圓經過點和，且與直線相切，則圓的方程為．4．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．題型二：直線系方程和圓系方程5．圓心在直線上，且經過兩圓和的交點的圓的方程為（

）A． B．C． D．6．過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是．7．過兩圓與的交點和點的圓的方程是.題型三：與圓有關的軌跡問題8．（2024·湖南長沙·一模）已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為.9．長為2a的線段AB的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，則AB的中點P的軌跡方程為．10．已知等腰三角形的底邊對應的頂點是，底邊的一個端點是，則底邊另一個端點的軌跡方程是11．由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.12．已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點的軌跡方程；(2)直角邊的中點的軌跡方程.題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件13．（2024·高三·福建龍巖·期中）“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（2024·廣東廣州·三模）設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：點與圓的位置關系判斷16．若點在圓O：外，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．17．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．18．若點在圓的內部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．19．（多選題）（2024·廣西·模擬預測）若點在圓的外部，則的取值可能為（

）A． B．1 C．4 D．7題型六：數形結合思想的應用20．若直線：與曲線：有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是.21．直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．22．（2024·吉林白山·統(tǒng)考二模）若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數k的值不可能是(

)A． B． C． D．2題型七：與圓有關的對稱問題23．若曲線上相異兩點P、Q關于直線對稱，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．424．已知圓：與圓：關于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．25．已知圓關于直線對稱，則實數（

）A． B．1 C． D．326．圓與圓N關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．題型八：圓過定點問題27．對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為．28．點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和29．已知二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為，則圓經過定點的坐標為（其坐標與無關）1．（2024·廣東珠海·一模）已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（

）A．6 B． C． D．2．（2024·山東濟南·三模）圓上的點到直線的距離的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．93．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知點在圓上運動，點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．46．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知，，，點P是圓上的一點，則的最小值為（

）A． B．C． D．7．（2024·山西晉中·模擬預測）已知直線l：與圓：，下列說法正確的是（

）A．所有圓均不經過點 B．若關于l對稱，則C．若l與相交于AB且，則 D．存在與x軸和y軸均相切的圓8．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知拋物線，其焦點到準線的距離為2，過焦點且斜率大于0的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓與準線相切于點，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2024·河南·模擬預測）已知復數，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．若，則的最小值為D．若，則復數z在復平面內所對應的點的軌跡方程為10．（多選題）（2024·江西宜春·三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數），動點M到A，B的距離之比為常數（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當點M不在x軸上時，MO始終平分11．（多選題）（2024·貴州遵義·二模）已知平面內曲線：，下列結論正確的是（

）A．曲線關于原點對稱B．曲線所圍成圖形的面積為C．曲線上任意兩點同距離的最大值為D．若直線與曲線交于不同的四點，則12．（2024·陜西榆林·三模）在中，，則面積的最大值為.13．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）點關于直線的對稱點在圓內，則實數的取值范圍是．14．（2024·上?！つM預測）平面點集所構成區(qū)域的面積為.15．（2024·湖南邵陽·三模）寫出滿足“點在圓外部”的一個的值：．16．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）設，是半徑為3的球體表面上兩定點，且，球體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為.1．（2023年高考全國乙卷數學真題）設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．2．（2007年普通高等學校招生考試數學試題（福建卷））以雙曲線的右焦點為圓心，且與其右準線相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．3．（2004年普通高等學校招生考試數學試題（全國卷III））圓過點的切線方程是（

）A． B．C． D．4．（2001年普通高等學校招生考試數學試題（全國卷））過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．（2006年普通高等學校招生考試數學試題（重慶卷））以點為圓心且與直線相切的圓的方程是A． B．C． D．6．（2004年普通高等學校招生考試數學試題（全國卷IV））已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為A． B．C． D．7．（2004年普通高等學校招生考試數學試題（北京卷））圓的圓心坐標是，如果直線與該圓有公共點，那么實數a的取值范圍是．8．（2004年普通高等學校招生考試數學試題（上海卷））圓心在直線上的圓與軸交于，兩點，則圓的一般方程為.9．（2019年浙江省高考數學試卷）已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓相切于點，則，.第03講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：求圓多種方程的形式 2題型二：直線系方程和圓系方程 3題型三：與圓有關的軌跡問題 4題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 7題型五：點與圓的位置關系判斷 8題型六：數形結合思想的應用 9題型七：與圓有關的對稱問題 11題型八：圓過定點問題 1302重難創(chuàng)新練 1403真題實戰(zhàn)練 24題型一：求圓多種方程的形式1．（2024·陜西榆林·二模）圓心在x軸的正半軸上，半徑為8，且與直線相切的圓的方程為．【答案】【解析】根據題意，設圓心為坐標為因為圓的半徑為8，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得或（舍），則圓的坐標為，所求圓的方程為故答案為：2．（2024·全國·模擬預測）與直線相切于點的圓的方程為．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一，只要滿足即可，其中為圓心的橫坐標，且）【解析】設所求圓的圓心坐標為，則，即，所以滿足條件的圓的方程為，故只要滿足即可，取，可得圓的方程為．故答案為：（答案不唯一）3．（2024·北京西城·二模）已知圓經過點和，且與直線相切，則圓的方程為．【答案】【解析】設圓的方程為，則由題意可得，解得，所以圓的方程為故答案為：4．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設外接圓的方程為則有，解之得則外接圓的方程為故選：D題型二：直線系方程和圓系方程5．圓心在直線上，且經過兩圓和的交點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可先設出圓系方程：，則圓心坐標為；，又圓心在直線上，可得，解得，所以圓的方程為：，故A正確.故選：A.6．過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是．【答案】【解析】設圓的方程為，則，即，所以圓心坐標為，把圓心坐標代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：.7．過兩圓與的交點和點的圓的方程是.【答案】【解析】設所求圓的方程為：將代入得：所求圓的方程為：本題正確結果：題型三：與圓有關的軌跡問題8．（2024·湖南長沙·一模）已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為.【答案】【解析】圓，所以圓心為，半徑為4，設，由線段AB的中點為D，可得，即有，即，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓；故答案為：.9．長為2a的線段AB的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，則AB的中點P的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意，可知，為AB的中點，得為定值，則點P的軌跡方程為，故答案為：.10．已知等腰三角形的底邊對應的頂點是，底邊的一個端點是，則底邊另一個端點的軌跡方程是【答案】（去掉兩點）【解析】設，由題意知，，因是以為底邊的等腰三角形，于是有，即點C的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，又點構成三角形，即三點不可共線，則軌跡中需去掉點B及點B關于點A對稱的點，所以點的軌跡方程為(去掉兩點).故答案為：(去掉兩點)11．由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.【解析】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】直接法設弦的中點的坐標為,連接、,則．在中,由勾股定理有，而在圓內，所以弦AB的中點M的軌跡方程為.［方法2］：定義法因為是的中點,所以,所以點的軌跡是以為直徑的圓,圓心為,半徑為，所以該圓的方程為:,化簡得［方法3］：交軌法易知過點的割線的斜率必然存在，設過點的割線的斜率為,則過點的割線方程為:.∵且過原點,∴的方程為這兩條直線的交點就是點的軌跡.兩方程相乘消去,化簡,得:，其中.［方法4］：參數法設過點的割線方程為:,它與圓的兩個交點為、的中點為，設.由可得，，所以，，即有，，消去，可求得點的軌跡方程為：，．［方法5］：點差法設,則.∵.兩式相減,整理,得.所以,即為的斜率，而的斜率又可表示為,化簡并整理,得.其中.12．已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點的軌跡方程；(2)直角邊的中點的軌跡方程.【解析】（1）設，因為三點不共線，所以，因為，所以，又因為，所以，整理得，即，所以直角頂點的軌跡方程為.（2）設，因為，是線段的中點，由中點坐標公式得，所以，由（1）知，點的軌跡方程為，將代入得，即所以動點的軌跡方程為.題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件13．（2024·高三·福建龍巖·期中）“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由方程表示的圖形是圓，可得，即；由，得，顯然，所以“方程表示的圖形是圓”是“”的必要不充分條件．故選：B．、14．（2024·廣東廣州·三模）設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若方程表示圓，則，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.15．已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實數的取值范圍是.故選：B題型五：點與圓的位置關系判斷16．若點在圓O：外，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓化成標準方程為，點在圓O外，則有，即，解得或.故選：D．17．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點在圓的外部可知：，得.故.故選：C18．若點在圓的內部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D19．（多選題）（2024·廣西·模擬預測）若點在圓的外部，則的取值可能為（

）A． B．1 C．4 D．7【答案】AC【解析】由題設，在圓外，則，解得.故選：BC題型六：數形結合思想的應用20．若直線：與曲線：有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可得直線：即，所以直線恒過定點，曲線：圖象為以為圓心，2為半徑的上半圓（包含軸部分），它們的圖象如圖所示：當直線過點時，它們有兩個交點，此時，當直線與上半部分圓相切時，有一個交點，此時，由圖象可知，若直線與曲線有兩個不同的交點，則，即實數的取值范圍是.故答案為：21．直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，整理可得，其中，所以，曲線表示圓的下半圓，如下圖所示：當直線與曲線相切時，由圖可知，，且有，解得，當直線過點時，則有，由圖可知，當時，直線與曲線有兩個公共點，故選：B.22．（2024·吉林白山·統(tǒng)考二模）若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數k的值不可能是(

)A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，曲線即表示以O為圓心，2為半徑的上半圓，因為直線即與半圓相切，所以，解得．因為所以，又直線l與曲線有且只有一個交點，所以或，所以實數k的取值范圍是故選：B題型七：與圓有關的對稱問題23．若曲線上相異兩點P、Q關于直線對稱，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】若曲線上相異兩點P、Q關于直線對稱，則圓心在直線上，故代入解得，故選：D．24．已知圓：與圓：關于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，，則的中點的坐標為，直線的斜率.由圓與圓關于對稱，得的斜率.因為的中點在上，所以，即.故選：C.25．已知圓關于直線對稱，則實數（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【解析】由得，則圓心坐標為，又因為圓關于直線對稱，故由圓的對稱性可知：圓心在直線上，則.故選：D.26．圓與圓N關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為，關于直線的對稱點是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：D題型八：圓過定點問題27．對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標是或．故答案為：或.28．點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【解析】設點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經過定點坐標為、.故選：D.29．已知二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為，則圓經過定點的坐標為（其坐標與無關）【答案】和【解析】二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，記為，易知，滿足，，，，設圓方程為，則，①－②得，，∴，從而，代入③得，∴圓方程為，整理得，由得或．∴圓過定點和．1．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎c，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】A【解析】兩點，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，因此點到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D2．（2024·山東濟南·三模）圓上的點到直線的距離的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的距離的最大值為.故選：C.3．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知點在圓上運動，點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圓，可得圓心，半徑，又A?2,0，所以，所以，因為，所以.故選：A.4．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，圓化為，所以圓的圓心為，半徑為.因為Px0,所以圓與直線有公共點，即圓的圓心到直線的距離不大于圓的半徑，所以，解得，即的最大為.故選:D.5．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因為圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，而拋物線的通徑與軸垂直，所以圓的這條直徑與軸垂直，且圓的直徑的上端點就是拋物線通徑的右端點，因為圓的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的直徑的上端點為2,1，即拋物線經過點2,1，則，即.故選：C6．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知，，，點P是圓上的一點，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】點，B?2,0，，設，則，因為點P在圓上運動，所以表示圓上的點到點的距離的平方，所以的最小值為，即的最小值為.故選：D﹒7．（2024·山西晉中·模擬預測）已知直線l：與圓：，下列說法正確的是（

）A．所有圓均不經過點 B．若關于l對稱，則C．若l與相交于AB且，則 D．存在與x軸和y軸均相切的圓【答案】A【解析】對于A，若圓經過點，則，化簡整理得，因為，所以方程無解，所以所有圓均不經過點，所以A正確，對于B，圓：的圓心為，若關于l對稱，則直線過圓心，所以，得，所以B錯誤，對于C，因為l與相交于AB且，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或，所以C錯誤，對于D，若存在與x軸和y軸均相切的圓，則，此方程組無解，所以不存在與x軸和y軸均相切的圓，所以D錯誤，故選：A8．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知拋物線，其焦點到準線的距離為2，過焦點且斜率大于0的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓與準線相切于點，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】拋物線的焦點到準線距離為2，則（因為），焦點為，準線方程是，拋物線方程是，又軸，，所以的縱坐標為2，設，，，兩式相減得，所以，又，，即，所以圓半徑為，圓方程為．故選：A．9．（多選題）（2024·河南·模擬預測）已知復數，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．若，則的最小值為D．若，則復數z在復平面內所對應的點的軌跡方程為【答案】ACD【解析】復數，,對于A，，故A錯誤；對于B，設，則，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由于，將問題轉化為點與點距離的范圍，所以，，則，故B正確；對于C，設，則，，由于，則，化簡可得：，即，所以，所以當時，，故C正確；對于D，設，則，，所以，即點到點與到點的距離之和為定值，根據橢圓的定義可得復數z在復平面內所對應的點的軌跡是以焦點為與，長軸長為的橢圓，則其軌跡方程為，故D正確；故選：BCD10．（多選題）（2024·江西宜春·三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數），動點M到A，B的距離之比為常數（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當點M不在x軸上時，MO始終平分【答案】ABD【解析】對于A，設點，由，得，化為，所以點M的軌跡是以點為圓心、4為半徑的圓，所以面積的最大值為，故A正確；對于B，設線段AB的中點為N，，當點M的坐標為時取等號，故的最大值為72，故B正確；對于C，顯然點在圓外，點在圓內，，當B，M，Q三點共線且點M在線段BQ之間時，，故C錯誤；對于D，由，|OB|=2，有，當點M不在x軸上時，由三角形內角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分線，故D正確．故選：ABD．11．（多選題）（2024·貴州遵義·二模）已知平面內曲線：，下列結論正確的是（

）A．曲線關于原點對稱B．曲線所圍成圖形的面積為C．曲線上任意兩點同距離的最大值為D．若直線與曲線交于不同的四點，則【答案】AC【解析】對于A，在曲線：中，分別換方程不變，因此曲線關于原點對稱，A正確；對于B，當時，，即表示以點為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓弧，圓弧端點，，，則，，扇形的面積，在曲線的方程中，用換或者用換方程都不變，則曲線關于對稱，也關于軸對稱，所以曲線所圍成圖形的面積為，B錯誤；對于C，由選項B知，曲線在第二象限、在第三象限、在第四象限內的部分分別是以點為圓心，半徑為的圓弧，圓心角都等于，由圖知，兩個點分別在兩段圓弧上時，兩點間的距離才可能最大，由圓的性質知，當兩個點在相鄰兩個象限的圓弧上時，兩點間距離最大值等于，當兩個點在相對兩個象限的圓弧上時，兩點間距離最大值等于，而，所以曲線上任意兩點同距離的最大值為，C正確；對于D，直線交軸于點，交軸于點都在曲線在第四象限的圓弧下方，點到直線的距離，于是直線曲線無公共點，且在曲線的下方，當時，直線在曲線的下方，與曲線無公共點，D錯誤.12．（2024·陜西榆林·三模）在中，，則面積的最大值為.【答案】3【解析】取中點，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，故，設，則,整理得，所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去點，），則當時，面積取最大值，此時.故答案為：3.13．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）點關于直線的對稱點在圓內，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】設與關于直線對稱，則，解得，即，因為在圓的內部，所以，解得，即實數的取值范圍是．故答案為：．14．（2024·上?！つM預測）平面點集所構成區(qū)域的面積為.【答案】【解析】點集為以為圓心，為半徑的圓上的點的集合，又點在以為圓心，為半徑的圓上，所以平面點集所構成區(qū)域為圖中陰影，面積為.故答案為：.15．（2024·湖南邵陽·三模）寫出滿足“點在圓外部”的一個的值：．【答案】4（答案不唯一，）【解析】圓，則，由點在圓外部，得，解得，取.故答案為：416．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）設，是半徑為3的球體表面上兩定點，且，球體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為.【答案】【解析】以所在的平面建立直角坐標系，為軸，的中垂線為軸：則，，，設，由，可得：，整理得到：，故點在平面的軌跡是以為圓心，半徑的圓，轉化到空間中：當繞為軸旋轉一周時，，不變，依然滿足，故空間中點的軌跡為以為球心，半徑為2的球，同時點在球商，故點在兩球的交線，為圓，球心距為，所以為直角三角形，對應圓的半徑為，周長為故答案為：1