河南省洛陽(yáng)市孟津區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題含解析

河南省洛陽(yáng)市孟津區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)用公式解肯定值不等式的方法，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由于集合，，則.故選：B2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義推斷即可得解.【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒(méi)有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.4.假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”.若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為（）A.[1，＋∞) B.[0，]C.[0，1] D.[1，]【答案】D【解析】【分析】分別利用二次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)得出答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x＋的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù).又當(dāng)x≥1時(shí)，＝x＋－1，令g(x)＝x＋－1(x≥1)，則g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0，得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間[1，]上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1，].故選：D.【點(diǎn)睛】本題利用新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為A.（-1,0） B.（0,1） C.（1,2） D.（2,3）【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式，求得，依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定，其中解答中熟記函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)是奇函數(shù)且其圖象在點(diǎn)處的切線方程，設(shè)函數(shù)，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即得解.【詳解】解：由已知得，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)椋?，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.故選：A7.已知向量，滿(mǎn)意，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出、的值，利用平面對(duì)量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面對(duì)量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.8.在等差數(shù)列中，若，且它的前項(xiàng)和有最小值，則當(dāng)時(shí)，的最小值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件得，，由等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式，能求出時(shí)，的最小值．【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和有最小值∴公差，首項(xiàng)，為遞增數(shù)列∵∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，.∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為16．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特性．9.已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根為滿(mǎn)意則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次方程實(shí)根分布列式可解得.【詳解】設(shè),依據(jù)二次方程實(shí)根分布可列式:,即,即,解得:.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次方程實(shí)根的分布.屬基礎(chǔ)題.10.在直三棱柱中，，，，，為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段EF上（包括端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則二面角的正弦值的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作協(xié)助線，利用二面角的定義找到二面角的平面角，再設(shè)，用表示出二面角的正弦值，最終利用函數(shù)學(xué)問(wèn)求二面角的正弦值的范圍即可.【詳解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，故平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，故，過(guò)點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，連接DN，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，又平面，則，故即二面角的平面角.設(shè)，在直角中，，所以，，所以，.所以，則，易知在上的值域?yàn)?，所?故選：C.11.已知雙曲線（，），直線與T交于A，B兩點(diǎn)，直線與T交于C，D兩點(diǎn)，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)E，，則雙曲線T的離心率為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意分別得到點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，然后依據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)E在y軸上，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，再結(jié)合得到是等邊三角形，利用三角形的學(xué)問(wèn)得到a與b之間的關(guān)系，最終可得雙曲線的離心率.【詳解】在中，令，得，不妨設(shè)，，同理可得，，由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)E在y軸上.易知直線AC的方程為，令，得，即.因?yàn)?，所以是等邊三角形，，所以，即，因?yàn)椋?，所?故選：A12.某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為，現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)探討表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，而沒(méi)有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則他真的患肝癌的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】記事務(wù)某人患肝癌，事務(wù)化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，利用全概率公式求出的值，再利用條件概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】記事務(wù)某人患肝癌，事務(wù)化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則他真的患肝癌的概率是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________．【答案】.【解析】【分析】本題依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【點(diǎn)睛】精確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則駕馭不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本要求．14.已知正數(shù)滿(mǎn)意，且，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合>0及z?3x，可得，從而可求的范圍，化簡(jiǎn)得到，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求結(jié)果．【詳解】∵正數(shù)x，y，z滿(mǎn)意，∴，由>0且x>0，y>0可得2y?x>0，∵z?3x，∴，整理可得，，∴，∵2y?x>0，∴(3x?2y)(x?y)?0，∴，令，則，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，P有最小值，當(dāng)t=1或t=時(shí)，P有最大值，P的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力，解題的關(guān)鍵在于得出的范圍，屬難題.15.某個(gè)微信群在某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機(jī)安排為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲?乙?丙?丁4人參加搶紅包，每人只能搶一次，則甲?乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出基本領(lǐng)件總數(shù)及滿(mǎn)意條件的有利事務(wù)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．【詳解】由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本領(lǐng)件總數(shù)為，，，，，共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含，，共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率.故答案為：．16.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)意(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)的虛部為2.則為實(shí)數(shù)的條件是________.【答案】【解析】【詳解】因?yàn)?，所以?設(shè).則.因?yàn)閷?shí)數(shù)，所以，.故三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角B；（2）若________，求的面積.請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并加以解答.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及正弦定理變形，再結(jié)合二倍角的正弦求解作答.（2）選擇①，利用正弦定理、余弦定理求出角A即可計(jì)算得解；選擇②，利用和角的正切求出角A即可計(jì)算得解；選擇③，求出角A，C的正弦及邊a即可計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】在中，依題意，，由正弦定理，又因?yàn)?，因此，即，而，即有，則，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】選①，依題意，得，由正弦定理得，由余弦定理得，而，則，由（1）知，因此為等邊三角形，又，所以的面積.選②，，解得，而，則，由（1）知，因此等邊三角形，又，所以的面積.選③，由，明顯A為銳角，解得，由正弦定理，得，而，所以的面積.18.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，；數(shù)列滿(mǎn)意.（1）求；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先令和求出，從而得到公比，再求通項(xiàng)公式即可.（2）首先依據(jù)已知求出，再利用裂項(xiàng)求和即可得到答案.【詳解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以；（2）當(dāng)時(shí)，①又，②②–①，因?yàn)?，所以，時(shí)也成立，所以.，所以.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，其次問(wèn)考查由前項(xiàng)和求通項(xiàng)，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和，屬于中檔題.19.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再依據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；【小?wèn)2詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.20.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線C上，TP垂直x軸于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為2.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且的外接圓圓心Q在y軸上，求滿(mǎn)意條件的全部直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)在雙曲線上和點(diǎn)到漸近線的距離等于2得到關(guān)于、的方程組，進(jìn)而求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先分析直線l不存在斜率時(shí)的情形，再設(shè)出直線l方程，聯(lián)立直線和雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線l與雙曲線C的右支相交于兩點(diǎn)得到斜率的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形外心的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】解：由在雙曲線C上，得，由TP垂直x軸于點(diǎn)P，得，則由到雙曲線C的漸近線的距離為2，得，得，聯(lián)立和，解得，，即雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，，當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，直線方程為，則、，則為等腰三角形，若的外接圓的圓心Q在y軸上，則，而，，，不符合題意（舍）；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，即設(shè)直線l與雙曲線C的右支相交于、，則，解得，即或；則，，從而，則線段AB的中點(diǎn)，且.由題意設(shè)，易知Q在線段AB的垂直平分線上，因此，得，即，連接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，則，化簡(jiǎn)得，得（舍去），因此直線l的方程為，即或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題要做好兩點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)化，把題中的已知條件和所求精確轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)與式，即形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，如本題中將是的外心轉(zhuǎn)化為且；二是設(shè)而不求，其主要思路是：要先設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，通常狀況下設(shè)直線方程要留意直線斜率不存在的狀況.21.某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間相互獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間（分）12345頻率0.10.40.30.101從第一個(gè)顧客起先辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí).（1）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務(wù)的概率；（2）表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）0.22；（2）分布列見(jiàn)解析，0.51.【解析】【分析】（1）設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列，對(duì)“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務(wù)”分三種狀況探討①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間為1分鐘，且其次個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且其次個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和其次個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘，求概率.（2）確定X全部可能的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到X的分布列即數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1記事務(wù)A：第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務(wù)①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間為1分鐘，且其次個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；

②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且其次個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；

③第一個(gè)和其次個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘

所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；（2）X全部可能的取值為：0，1，2

X=0對(duì)應(yīng)第