自動控制原理 課件 3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

凡是由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單的系統(tǒng)，如

網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機勵磁控制系統(tǒng)、室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位控制系統(tǒng)等，都可視為一階系統(tǒng)。有些高階系統(tǒng)的特性，?？捎靡浑A系統(tǒng)的特性來近似表征。3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的微分方程為式中，r(t)

和

c(t)

分別為系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號；

T為時間常數(shù)，具有時間“秒”的量綱。在零初始條件下對式兩邊取拉普拉斯變換，可得傳遞函數(shù)為相應(yīng)一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-2-1所示。1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

下面分析一階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時間響應(yīng)，設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。3.2.2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)設(shè)輸入信號為單位階躍函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換為

對上式兩邊取拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為。圖3-2-2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

由式可見，響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量1和瞬態(tài)分量

兩部分組成。當時間

時，瞬態(tài)分量衰減為零，穩(wěn)態(tài)輸出為1。顯然，單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖3-2-2所示。一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)具有以下兩個重要特征。表3-2-1時間常數(shù)T與輸出值的對應(yīng)關(guān)系(1)時間常數(shù)

是表征系統(tǒng)響應(yīng)特性的唯一參數(shù)，它與輸出值的對應(yīng)關(guān)系如表3-2-1所示。根據(jù)這一特點，可用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，或判定所測系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。(2)響應(yīng)曲線的斜率初始值等于

，即上式表明，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如果以初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值1時，所需要的時間恰好為

。這一特點為用實驗方法求取系統(tǒng)的時間常數(shù)

提供了依據(jù)。

根據(jù)動態(tài)性能指標定義，可知一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒有超調(diào)量

和峰值時間

，其主要動態(tài)性能指標為調(diào)節(jié)時間

，由于

時，輸出響應(yīng)可達穩(wěn)態(tài)值的

，

時，輸出響應(yīng)可達穩(wěn)態(tài)值的

，故一般取(取

誤差帶)(取

誤差帶)顯然，時間常數(shù)

越小，調(diào)節(jié)時間

越小，響應(yīng)過程的快速性也越好。圖3-2-3反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖例3-1已知原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

，現(xiàn)采用如圖3-2-3所示的負反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間減小為原來的十分之一，并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)

和

的取值。解：依題意可知原系統(tǒng)的時間常數(shù)

T=

0.5s，放大倍數(shù)K=10

。要求采用負反饋后系統(tǒng)的時間常數(shù)為T'=0.5

x

0.1

=

0.05，放大倍數(shù)K'=10。由結(jié)構(gòu)圖可知，反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為應(yīng)有

解得

，

。

2.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

設(shè)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。對上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

相應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖3-2-4所示。由圖可見，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為一單調(diào)衰減的指數(shù)曲線，其斜率初始值為

圖3-2-4一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線3.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)對上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為

設(shè)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。由式(3-2-7)可見，響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量

和瞬態(tài)分量

兩部分組成。當時

，瞬態(tài)分量衰減為零，而穩(wěn)態(tài)分量是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但時間滯后

的斜坡函數(shù)。單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3-2-5所示。由圖可見，一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡輸入信號時，在位置上存在穩(wěn)態(tài)誤差，其值正好等于時間常數(shù)

。

圖3-2-5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線4.一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)對上式兩邊求拉普拉斯反變換，可得一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)為

設(shè)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)

，其拉普拉斯變換為

，則系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為。將一階系統(tǒng)在典型輸入作用下的輸出響應(yīng)歸納如表3-2-2所示。3.2.3一階系統(tǒng)的重要特性表3-2-1時間常數(shù)T與輸出值的對應(yīng)關(guān)系由表3-2-2得到如下結(jié)論：(1)一階系統(tǒng)只有時間常數(shù)

這一特征參數(shù)。在一定的輸入信號作用

下，時間響應(yīng)由時間常數(shù)

唯一確定。(2)比較一階系統(tǒng)對脈沖、階躍、斜坡和加速度輸入信號的響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下關(guān)系上式表明，系統(tǒng)對輸入信號微分(或積分)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的微分(或積分)，該結(jié)論適用于任何線性定常連續(xù)系統(tǒng)。因此，研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時，不必對每種輸入信號的響應(yīng)都進行計算或求解，只要求解出其中一種響應(yīng)，便可通過上述關(guān)系求出其他響應(yīng)。因此，在以后對二階和高階系統(tǒng)的討論中，主要研究系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。3.2.4MATLAB實現(xiàn)在MATLAB中，提供了求取各種連續(xù)系統(tǒng)時間響應(yīng)的函數(shù)，其調(diào)用格式如下y=step(num,den,t)%當不帶輸出變量y時，step命令可直接繪制階躍響應(yīng)曲線。其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)按降冪排列構(gòu)成的系數(shù)行向量。t為選定的仿真時間向量，一般可由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生，可缺省。y=impulse(num,den,t)%當不帶輸出變量y時，impulse命令可直接繪制脈沖響應(yīng)曲線。t用于設(shè)定仿真時間，可缺省。y=lsim(num,den,u,t,x0)%當不帶輸出變量y時，lsim命令可直接繪制任意輸入響應(yīng)曲線。其中u表示輸入，t用于設(shè)定仿真時間，可缺省，x0用于設(shè)定初始狀態(tài)，缺省時為0。解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1];den=[11];sys=tf(num,den);t=0:0.01:5;subplot(2,2,1);step(sys,t);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');subplot(2,2,2);impulse(sys,t);grid例3-1已知原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)在單位階躍、單位脈沖、單位斜坡和單位加速度輸入時的輸出響應(yīng)曲線。xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulseresponse');subplot(2,2,3);lsim(sys,t,t,0);gridxlabel('t');ylabel('