自動控制原理 課件 3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是自動控制理論的基本任務(wù)之一。本節(jié)主要研究線性系統(tǒng)穩(wěn)定的概念、穩(wěn)定的充要條件和穩(wěn)定的代數(shù)判定方法等內(nèi)容。3.5.1穩(wěn)定性的概念

為了建立穩(wěn)定性的概念，首先通過一個直觀的例子來說明穩(wěn)定的含義。

圖3-5-1(a)表示小球在一個光滑的凹面里，原平衡位置為A，在外界擾動作用下，小球偏離了原平衡位置A，當(dāng)外界擾動消失后，小球在重力和阻力的作用下，經(jīng)過來回幾次減幅擺動，最終可以回到原平衡位置A，稱具有這種特性的平衡是穩(wěn)定的。反之，若小球處于圖3-5-1(b)所示的平衡位置B，在外界擾動作用下偏離了原平衡位置B，當(dāng)外界擾動消失后，無論經(jīng)過多長時間，小球也不可能再回到原平衡位置B，稱具有這種特性的平衡是不穩(wěn)定的。

通過上面關(guān)于穩(wěn)定性的直觀示例可以看出，任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。當(dāng)擾動消失后，若系統(tǒng)能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動作用消失后不能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知，穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)在擾動消失后自身的一種恢復(fù)能力，因而它是系統(tǒng)的一種固有特性。對于線性系統(tǒng)來講，其穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件即輸出增量收斂于原平衡點，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

設(shè)線性系統(tǒng)在零初始條件下，作用一個理想單位脈沖

，這時系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)

。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡點的問題。若

時，脈沖響應(yīng)(3-5-1)

由于理想單位脈沖

的拉普拉斯變換等于1，所以系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換。如同3.4節(jié)所假設(shè)的那樣，若系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)有

個實數(shù)極點，

對共軛復(fù)數(shù)極點，且閉環(huán)極點彼此不等，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

綜上所述，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實部，也就是說，系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點都位于s左半平面。

由式可見，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實部時，式(3-5-1)才成立，即系統(tǒng)穩(wěn)定；若特征根中有一個或一個以上正實部根，脈沖響應(yīng)c(t)

趨于發(fā)散，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；若特征根中具有一個或一個以上零實部根，而其余的特征根均具有負(fù)實部，脈沖響應(yīng)

c(t)

趨于常數(shù)，或趨于等幅振蕩，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在工程上認(rèn)為是不穩(wěn)定的。3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可知，只要能夠求出系統(tǒng)的全部特征根，就可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對于三階或三階以上特征方程，求根是比較困難的。勞斯(E.J.Routh)于1877年提出了由特征方程的系數(shù)，直接利用代數(shù)方法判別特征根的分布位置，以此判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，這就是勞斯穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1.穩(wěn)定的必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是閉環(huán)特征方程各項系數(shù)均為正數(shù)。這是因為一個具有實系數(shù)的s

多項式，總可以分解成一次和二次因子，即

和

，式中

a、b

和c都是實數(shù)。一次因子具有實根，而二次因子則是復(fù)根。只有當(dāng)b

和

c都是正值時，因子

才能具有負(fù)實部的根。所有因子中的常數(shù)

a、b

和

c都是正值是所有根都具有負(fù)實部的必要條件。任意個只包含正系數(shù)的一次和二次因子的乘積，必然也是一個具有正系數(shù)的多項式。因此，閉環(huán)特征方程若缺項或具有負(fù)的系數(shù)，系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。2.勞斯判據(jù)

如果閉環(huán)特征方程中所有系數(shù)均為正值，根據(jù)特征方程的系數(shù)編制勞斯表如表3-5-1所示。勞斯表的前兩行系數(shù)由特征方程系數(shù)組成，第一行由特征方程的第1,3,5,…項系數(shù)組成，第二行由特征方程的第2,4,6,…項系數(shù)組成，以后各行系數(shù)按表3-5-1逐行計算，直到計算到第(n

+1)行為止，而勞斯表第

(n

+1)行系數(shù)只有一個，恰好等于特征方程最后一項系數(shù)

a0。在計算勞斯表的過程中，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一整行系數(shù)，這樣不會改變所得結(jié)論。

表3-5-1勞斯表

勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表第一列系數(shù)均為正數(shù)，若出現(xiàn)零或負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實部根的個數(shù)。解：列勞斯表為由于勞斯表第一列系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號改變了兩次，因此特征方程有兩個正實部根。例3-11已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在列勞斯表時，可能遇到下面兩種特殊情況。(1)勞斯表中某一行第一個系數(shù)為零，其他系數(shù)不為零或不全為零。這時計算勞斯表下一行的第一個系數(shù)時，將出現(xiàn)無窮大而使勞斯表無法繼續(xù)進行，解決的辦法是用一個很小的正數(shù)

來代替這個零元素，使勞斯表繼續(xù)運算下去。觀察勞斯表第一列系數(shù)，若

的上下系數(shù)均為正數(shù)，則說明系統(tǒng)特征方程存在純虛根；若

的上下系數(shù)的符號不同，則符號改變的次數(shù)為特征方程正實部根的個數(shù)。解：列勞斯表為例3-12已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于

是很小的正數(shù)，所以

為負(fù)數(shù)，勞斯表第一列系數(shù)符號改變了兩次。因此，系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征方程有兩個正實部根。(2)勞斯表中某行系數(shù)均為零。這種情況下勞斯表的計算工作也由于出現(xiàn)無窮大系數(shù)而無法繼續(xù)進行。為了解決這個問題，可以利用全零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程，再將輔助方程對復(fù)變量

s

求導(dǎo)一次后的系數(shù)代替全零行的系數(shù)，使勞斯表繼續(xù)運算下去。輔助方程的解就是原特征方程的部分特征根，這部分特征根對稱于原點，可能為一對共軛純虛根或者兩個大小相等符號相反的實根或者對稱于實軸的兩對共軛復(fù)數(shù)根。解：列勞斯表為例3-13已知線性系統(tǒng)的特征方程為

，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輔助方程將輔助方程求導(dǎo)一次，得由勞斯表可知，第一列系數(shù)均為正值，表明系統(tǒng)沒有在右半平面的特征根。求解輔助方程，得到兩對大小相等、符號相反的特征根為

。顯然，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍勞斯穩(wěn)定判據(jù)除了可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性外，還可以用來確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。例3-14某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-5-2所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時的

K取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為列勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為因此系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍是

。(2)確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性勞斯穩(wěn)定判據(jù)解決了系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性問題，但不能表明特征根距虛軸的遠近。如果一個系統(tǒng)的特征根緊靠虛軸，盡管是在s左半平面，滿足穩(wěn)定條件，但動態(tài)過程將具有緩慢的非周期特性或強烈的振蕩特性，甚至?xí)捎谙到y(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的微小變化，使特征根轉(zhuǎn)移到s右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了保證系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕度，且具有良好的動態(tài)性能，希望特征根在s

左半平面且與虛軸有一定的距離。為此，可在s左半平面作一條

的直線，而

是系統(tǒng)特征根與虛軸之間的最小距離，通常稱為穩(wěn)定裕量，然后將

代入原特征方程，得到以s1為變量的新特征方程，對新特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷特征根是否位于

直線的左半部分，

即具有

以上的穩(wěn)定裕量。整理后得列勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為例3-15

對于例3-14系統(tǒng)，若要使系統(tǒng)具有

以上的穩(wěn)定裕量，試確定

K的取值范圍。解：將

代人原系統(tǒng)的特征方程，得因此，當(dāng)K滿足

，系統(tǒng)具有

以上的穩(wěn)定裕量。

僅僅通過調(diào)整參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能夠工作的，必須從結(jié)構(gòu)上對系統(tǒng)進行改造，使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的條件。3.5.4結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進圖3-5-3所示系統(tǒng)是一個結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由于閉環(huán)特征方程缺項，即

s一次項系數(shù)為零，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，并且無論怎樣改變

K

和

Tm

的數(shù)值，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。這是一個結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)才可能使之穩(wěn)定。令

，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1.改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)用反饋環(huán)節(jié)

KH

包圍積分環(huán)節(jié)即可改變積分性質(zhì)。如圖3-5-4(a)所示，被包圍后的小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定常采用以下兩種方法：一種是設(shè)法改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)；另一種是引入比例-微分控制，以填補特征方程的缺項?？梢?，積分環(huán)節(jié)已被改變成慣性環(huán)節(jié)。這樣，電動機及減速器中的積分性質(zhì)也被改變了。用反饋環(huán)節(jié)KH

包圍電動機及減速器，如圖3-5-4(b)所示，被包圍后小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程不再缺項，只要適當(dāng)選擇參數(shù)，便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。需要指出，通過改變積分環(huán)節(jié)性質(zhì)的方法可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但改變了系統(tǒng)的型別，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。關(guān)于這個問題，在3.6節(jié)會有進一步的闡述。若將圖3-5-3所示的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)

用反饋環(huán)節(jié)

包圍后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程變?yōu)?.引入比例-微分環(huán)節(jié)若在3-5-3所示的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的前向通路中引入比例-微分環(huán)節(jié)，如圖3-5-4所示。系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是可見，引入比例-微分環(huán)節(jié)，適當(dāng)選擇參數(shù)便可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最直接的方法是求出系統(tǒng)的所有特征根，根據(jù)特征根是否位于左半平面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB提供了求解特征根的函數(shù)roots()，其調(diào)用格式為p=roots(den)%求解系統(tǒng)特征根，其中den為特征多項式降冪排列的系數(shù)行向量；p為特征根。另外，MATLAB中的pzmap()函數(shù)可用于繪制系統(tǒng)的零極點圖，其調(diào)用格式為pzmap(num,den)%繪制系統(tǒng)的零極點圖，num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)按降冪排列構(gòu)成的系數(shù)行向量。零極點圖中的極點用“x”表示，零點用“o”表示。[p,z]=pzmap(num,den)%該調(diào)用格式不繪制系統(tǒng)的零極點圖，而是返回系統(tǒng)的零極點，其作用與tf2zp()函數(shù)相同。3.5.5MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1,5,6];den=[12176];p=roots(den)