自動控制原理 課件 8.2 相平面法

8.2相平面法

相平面法是龐加萊于1885年首先提出的。該方法是求解一、二階線性或非線性系統(tǒng)的圖解法，可以用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)、時(shí)間響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動的影響。8.2.1相平面的基本概念設(shè)一個二階系統(tǒng)為常微分方程8.2.1相平面的基本概念其中

為

和

的線性或非線性函數(shù)。方程的解可以用

的時(shí)間函數(shù)曲線表示，也可以用

和

的關(guān)系曲線表示，而時(shí)間

為參變量。以

為橫坐標(biāo)，以

為縱坐標(biāo)構(gòu)成的直角坐標(biāo)平面叫做相平面。相平面上的點(diǎn)隨時(shí)間

變化描繪出來的曲線稱為相軌跡。根據(jù)微分方程解的存在與唯一性定理，對于任一給定的初始條件，相平面上有一條相軌跡與之對應(yīng)。多個初始條件下的運(yùn)動對應(yīng)多條相軌跡，形成相軌跡簇，而由一簇相軌跡所組成的圖形稱為相平面圖。相平面圖能夠直觀地反映系統(tǒng)在各種初始條件或輸入作用下的運(yùn)動過程。（8-2-1）8.2.2相軌跡的性質(zhì)式（8-2-1）可寫為如下形式1.相軌跡的斜率又因

，用其去除上式，可得相軌跡上任意一點(diǎn)

處的斜率為由上式可知，只要在點(diǎn)

處不同時(shí)滿足

和

，則相軌跡斜率是一個確定的值，通過該點(diǎn)的相軌跡不可能多于一條，即相軌跡不會在該點(diǎn)相交。這些點(diǎn)是相平面上的普通點(diǎn)。在相軌跡與橫軸的交點(diǎn)處，由于

，除去

的點(diǎn)外，相軌跡在該點(diǎn)處的斜率為

，即相軌跡垂直穿過橫軸。2.相軌跡的奇點(diǎn)在相平面上同時(shí)滿足

和

的點(diǎn)處，相軌跡的斜率為即相軌跡的斜率形式不定，這樣性質(zhì)的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。由于相軌跡在奇點(diǎn)處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點(diǎn)處可以按任意方向趨近或離開奇點(diǎn)，因此在奇點(diǎn)處，多條相軌跡相交。由奇點(diǎn)定義可知，奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上。在奇點(diǎn)處，

和

，

表明系統(tǒng)運(yùn)動的速度和加速度同時(shí)為零，系統(tǒng)不再發(fā)生運(yùn)動，處于平衡狀態(tài)，故奇點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)。3.相軌跡的運(yùn)動方向在相平面的上半平面，由于

，則

x隨

t的增大而增加，相軌跡的走向是由左向右的；相反，在相平面的下半平面，由于

，則x隨

t的增大而減小，相軌跡的走向是由右向左的。8.2.3相軌跡的繪制相平面法是一種圖解法，圖解的關(guān)鍵是繪制相軌跡。這里介紹兩種繪制相軌跡的方法，即解析法和等傾線法。1.解析法

當(dāng)描述系統(tǒng)的微分方程比較簡單時(shí)，可以通過積分法，直接由微分方程獲得和的解析關(guān)系式，進(jìn)而繪制系統(tǒng)的相軌跡。

例8-2已知某系統(tǒng)自由運(yùn)動的微分方程為

，若初始條為

，和

，試確定系統(tǒng)自由運(yùn)動的相軌跡。解：由微分方程可得可寫成兩邊積分可得整理得顯然，該系統(tǒng)自由運(yùn)動的相軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以

為半徑的圓，如圖8-2-1所示。圖中箭頭表示相軌跡的運(yùn)動方向。等傾線法是繪制系統(tǒng)相軌跡的一種圖解方法。具體做法是先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪制出相軌跡的切線方向場，結(jié)合系統(tǒng)初始條件，沿方向場逐步繪制相軌跡。2.等傾線法設(shè)相平面上某點(diǎn)處的的相軌跡斜率為令

等于某一常數(shù)

，得等傾線方程為由該方程可在相平面上作出一條曲線，稱為等傾線。當(dāng)相軌跡經(jīng)過該等傾線上任一點(diǎn)時(shí)，其切線的斜率等于

。取

為若干不同的常數(shù)，由上式即可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為

的短直線，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場，沿方向場畫連續(xù)曲線就可以繪制出相軌跡。解：由微分方程可得例8-3設(shè)某二階系統(tǒng)的微分方程為

，試?yán)玫葍A線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。令

，可得等傾線方程為當(dāng)

取不同值時(shí)，可畫出等傾線以及等傾線上對應(yīng)的小線段如圖8-2-2所示。若給定的初始狀態(tài)為A點(diǎn)，從

A點(diǎn)起順時(shí)針把各小線段光滑地連接起來，就得到了從

A點(diǎn)出發(fā)的一條特定的相軌跡。

在使用等傾線法繪制相軌跡時(shí)，坐標(biāo)軸

x和

應(yīng)選取相同的比例尺，以便根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點(diǎn)的相軌跡切線。一般地，等傾線分布越密，所做的相軌跡越準(zhǔn)確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時(shí)也使作圖產(chǎn)生的積累誤差增大。8.2.4二階線性系統(tǒng)的相軌跡設(shè)描述二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動的微分方程為可得根據(jù)系統(tǒng)特征方程根的分布特點(diǎn)，分下述幾種情況討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡。（8-2-5）1.無阻尼運(yùn)動特征方程的根為一對共軛純虛根

，系統(tǒng)的自由運(yùn)動為等幅正弦振蕩形式。則兩邊積分，可得相軌跡方程式中，

為由初始條件

和

決定的常數(shù)。系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動時(shí)的相平面圖如圖8-2-3所示，其為一簇同心的橢圓，每一個橢圓相當(dāng)于一個簡諧振動。坐標(biāo)原點(diǎn)為奇點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)通常稱為中心點(diǎn)。其中2.欠阻尼運(yùn)動特征方程的根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根

，系統(tǒng)的自由運(yùn)動為衰減振蕩形式。通過求取方程(8-2-5)的解可得系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動時(shí)的相平面圖如圖8-2-4所示，其為一簇收斂的對數(shù)螺旋線。坐標(biāo)原點(diǎn)為奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。其中3.過阻尼運(yùn)動特征方程的根為兩個互異的負(fù)實(shí)根

，系統(tǒng)的自由運(yùn)動為非振蕩衰減形式。通過求取方程（8-2-5）的解可得系統(tǒng)過阻尼運(yùn)動時(shí)的相平面圖如圖8-2-5所示，其為一簇通過原點(diǎn)的高次“拋物線”。坐標(biāo)原點(diǎn)為奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。圖8-2-5系統(tǒng)過阻尼運(yùn)動時(shí)的相平面圖4.負(fù)阻尼運(yùn)動當(dāng)

時(shí)，特征方程的根為一對具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)的自由運(yùn)動為振蕩發(fā)散形式，相平面圖如圖8-2-6所示，其為一簇發(fā)散的對數(shù)螺旋線，相應(yīng)的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。當(dāng)

時(shí)，特征方程的根為兩個正實(shí)根，系統(tǒng)的自由運(yùn)動為非振蕩發(fā)散狀態(tài)，相平面圖如圖8-2-7所示，其為發(fā)散的拋物線簇，相應(yīng)奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。圖8-2-6

時(shí)的相平面圖圖8-2-7

時(shí)的相平面圖另外，若系統(tǒng)極點(diǎn)

s1和

s2為兩個符號相反的實(shí)根，系統(tǒng)的自由響應(yīng)呈現(xiàn)非振蕩發(fā)散狀態(tài)，對應(yīng)的相軌跡是一簇雙曲線，相應(yīng)奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)，是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。圖8-2-8系統(tǒng)的相平面圖對于非線性系統(tǒng)的各個平衡點(diǎn)，若描述非線性過程的非線性函數(shù)解析，可在平衡點(diǎn)附近作增量線性化處理，即對非線性微分方程兩端的各非線性函數(shù)作泰勒級數(shù)展開，并取一次項(xiàng)近似，獲得平衡點(diǎn)處的增量線性微分方程。然后基于線性系統(tǒng)特征根的分布，確定奇點(diǎn)的類型，進(jìn)而確定平衡點(diǎn)附近相軌跡的運(yùn)動形式。解：由微分方程可得令

，求得系統(tǒng)的兩個奇點(diǎn)為例8-4已知非線性系統(tǒng)的微分方程為

，試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)及其類型，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。奇點(diǎn)

處的一階偏導(dǎo)數(shù)及增量線性化方程為特征根為

，是一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，故奇點(diǎn)

為穩(wěn)定焦點(diǎn)。奇點(diǎn)

處的一階偏導(dǎo)數(shù)及增量線性化方程為特征根為

，

是兩個相異的實(shí)根，故奇點(diǎn)

為鞍點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)的位置和類型，作出該系統(tǒng)的相平面圖如圖8-2-8所示。相交于鞍點(diǎn)

的兩條特殊相軌跡稱為奇線，它們將相平面分成兩個不同的區(qū)域。如果初始點(diǎn)位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，則其相軌跡將收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果初始點(diǎn)落在陰影區(qū)域的外部，則其相軌跡會趨于無窮遠(yuǎn)，表示相應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可見，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性確實(shí)與其初始條件有關(guān)。8.2.5極限環(huán)極限環(huán)是非線性系統(tǒng)在相平面上的一條封閉的特殊相軌跡，它將相平面劃分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分，相軌跡不能從環(huán)內(nèi)穿越極限環(huán)進(jìn)入環(huán)外，或者相反。根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn)，可將極限環(huán)分為穩(wěn)定的極限環(huán)、不穩(wěn)定的極限環(huán)和半穩(wěn)定的極限環(huán)，分別如圖8-2-9所示。當(dāng)時(shí)間

t

趨于無窮時(shí)，起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡都逐漸卷向極限環(huán)，這樣的極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖8-2-9（a）所示。當(dāng)任何微小擾動使系統(tǒng)的狀態(tài)離開極限環(huán)后，最終仍會回到這個極限環(huán)。該極限環(huán)所表示的周期運(yùn)動是穩(wěn)定的，對應(yīng)系統(tǒng)的自激振蕩。1.穩(wěn)定的極限環(huán)當(dāng)時(shí)間

t

趨于無窮時(shí)，起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡都逐漸卷離極限環(huán)，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖8-2-9（b）所示。任何微小擾動使系統(tǒng)的運(yùn)動或者收斂于環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)或者發(fā)散至無窮，極限環(huán)所表示的周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。2.不穩(wěn)定的極限環(huán)當(dāng)時(shí)間

t

趨于無窮時(shí)，起始于極限環(huán)內(nèi)（外）部的相軌跡卷向極限環(huán)，而起始于極限環(huán)外（內(nèi)）部的相軌跡卷離極限環(huán)，這樣的極限環(huán)叫做半穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖8-2-9（c）和（d）所示。具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)不會產(chǎn)生自激振蕩，系統(tǒng)的運(yùn)動或者趨于發(fā)散（見圖8-2-9（c））或者趨于收斂（見圖8-2-9（d））。3.半穩(wěn)定的極限環(huán)(a)(b)(c)(d)圖8-2-9不同類型的極限環(huán)應(yīng)當(dāng)指出，不是相平面內(nèi)所有的封閉曲線都是極限環(huán)。在無阻尼的二階線性系統(tǒng)中，其相平面圖是一簇連續(xù)的封閉曲線，這類閉合曲線不是極限環(huán)，因?yàn)樗鼈儾皇枪铝⒌?，在任何特定的封閉曲線鄰近，仍存在著封閉曲線。而極限環(huán)是相互孤立的，在任何極限環(huán)的鄰近都不可能有其他的極限環(huán)。8.2.6非線性控制系統(tǒng)的相平面分析

許多非線性控制系統(tǒng)所含有的非線性特性是分段線性的，用相平面法分析這類系統(tǒng)時(shí)，一般將非線性元件的特性作分段線性化處理，即把整個相平面分成若干個線性區(qū)域，在各線性區(qū)域內(nèi)，分別用線性微分方程來描述，然后繪出各線性區(qū)域的相平面圖，最后將各區(qū)域的邊界線上（邊界線又稱相軌跡的開關(guān)線）的相軌跡銜接成連續(xù)的曲線，即可獲得系統(tǒng)的相平面圖。1.具有死區(qū)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)具有死區(qū)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-2-10所示。其中

為反饋網(wǎng)絡(luò)，輸入

。（1）單位反饋情況當(dāng)反饋網(wǎng)絡(luò)

時(shí)，誤差

。根據(jù)圖8-2-10，可列寫系統(tǒng)的微分方程為可得取

和

為相坐標(biāo)，相平面以直線

為界被分成三個不同的區(qū)域，稱

為相軌跡的開關(guān)線。在

的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)方程為求導(dǎo)，可得若初始條件為

且

，上式的解為當(dāng)

時(shí)有當(dāng)

時(shí)可解出可得當(dāng)

時(shí)有當(dāng)

時(shí)有在

的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)方程為此時(shí)系統(tǒng)的相軌跡為一簇斜率為

的直線，其方程為在

的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)方程為將上述三個區(qū)域的相軌跡銜接合并，就可以得到具有死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖如圖8-2-11所示。圖8-2-11

時(shí)，具有死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖由圖8-2-11可見，在

開關(guān)線處，相軌跡發(fā)生了轉(zhuǎn)換，表明繼電特性由一種工作狀態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種工作狀態(tài)。以圖中由

出發(fā)的相軌跡為例，該條相軌跡經(jīng)過

終止于

點(diǎn)，在

和

處，繼電器的工作狀態(tài)均發(fā)生了轉(zhuǎn)換。

點(diǎn)處取

c最大值。圖中

，

是一段相軌跡的終止線段，稱為平衡段，它上面每一點(diǎn)都對應(yīng)于系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。（2）速度反饋情況系統(tǒng)相軌跡方程可以分為下面幾種情況討論。當(dāng)反饋網(wǎng)絡(luò)

時(shí)，誤差

。該系統(tǒng)的微分方程為①當(dāng)

時(shí)若

，則

；若

，則

。若

，則

；若

，則

。②當(dāng)

時(shí)，則③當(dāng)

時(shí)系統(tǒng)開關(guān)線方程為

和

。由此可畫出具有速度反饋的死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖如圖8-2-12所示。圖8-2-12具有速度反饋的死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖將圖8-2-12與圖8-2-11進(jìn)行比較可以看出，系統(tǒng)相軌跡的開關(guān)線發(fā)生改變。未接入速度反饋時(shí)，開關(guān)線為通過

的兩條與

c軸垂直的直線，接入速度反饋后，這兩條開關(guān)線分別繞

c軸上

的點(diǎn)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)了一個角度

，由于開關(guān)線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，相軌跡提前進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這樣就使得自由運(yùn)動的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，系統(tǒng)的性能得到改善。2.具有變增益特性的非線性控制系統(tǒng)具有變增益特性的非線性控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖和變增益特性如圖8-2-13所示，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零?？傻迷撓到y(tǒng)的微分方程為取

為相坐標(biāo)，系統(tǒng)的開關(guān)線

將相平面分成三個區(qū)域。下面討論在階躍輸入和斜坡輸入兩種情況下系統(tǒng)的相軌跡。（1）階躍輸入

情況當(dāng)

時(shí)，有

，系統(tǒng)的微分方程為相應(yīng)系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)特征根為若

，

，在區(qū)域

和

內(nèi)，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，奇點(diǎn)

為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，相應(yīng)的相軌跡為收斂的對數(shù)螺旋線；在區(qū)域

內(nèi)，特征根為兩個不相等的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)，奇點(diǎn)

為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，相應(yīng)的相軌跡為收斂的拋物線。繪出階躍輸入下系統(tǒng)誤差信號的相軌跡如圖8-2-14所示。相軌跡的起點(diǎn)A由初始條件

決定，相軌跡依次通過

BCDEF最終收斂于穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)P2(0,0)，其橫坐標(biāo)即為穩(wěn)態(tài)誤差，說明在階躍信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，與線性放大器時(shí)的情況相同。以上分析表明，在這種情況下，引入變增益線性放大器不但不會增加階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，還加快了系統(tǒng)誤差響應(yīng)的收斂速度，改善了系統(tǒng)性能。圖8-2-14階躍輸入下的相軌跡（2）斜坡輸入

的情況當(dāng)

時(shí)，有

，

系統(tǒng)的微分方程為求得不同區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)的奇點(diǎn)為

和

，系統(tǒng)在奇點(diǎn)處的增量線性化方程為與階躍輸入相比，斜坡信號作為輸入時(shí)，系統(tǒng)相平面的開關(guān)線不變，奇點(diǎn)的位置發(fā)生變化。若

，

，奇點(diǎn)

為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，奇點(diǎn)

為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。由于

，所以奇點(diǎn)P2總在P1的右邊。圖8-2-15表示了

而

時(shí)誤差信號的相軌跡。相軌跡的起點(diǎn)

A由初始條件

所決定，相軌跡經(jīng)過B點(diǎn)最終到達(dá)P2點(diǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為OP2。圖8-2-15

且

時(shí)的相軌跡圖8-2-16表示了

而

時(shí)誤差信號的相軌跡。相軌跡的起點(diǎn)A由

所決定，相軌跡經(jīng)過點(diǎn)BCDE最終趨于

，誤差信號表現(xiàn)為振蕩的特性，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為

。圖8-2-16

且

的相軌跡圖8-2-17表示了

而

時(shí)誤差信號的相軌跡。相軌跡起點(diǎn)A由初始條件

所決定，它經(jīng)過

BCD最終趨向于

P1

點(diǎn)，穩(wěn)態(tài)誤差等于OP1

。圖8-2-17

且

時(shí)的相軌跡

綜上分析表明，非線性控制系統(tǒng)的輸入信號形式、大小不同時(shí)，響應(yīng)曲線可以是非周期形式或振蕩形式。8.2.7MATLAB實(shí)現(xiàn)利用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡，可以采用編程方法，也可以采用Simulink仿真方法。1.編程方法繪制相軌跡的實(shí)質(zhì)是求解微分方程的解。在MATLAB中提供了求解微分方程數(shù)值解的常用函數(shù)ode45，它是一種變步長的龍歌-庫塔4/5階算法，其調(diào)用格式如下。[t,y]=ode45(’fun’,t,y0)%fun為一個自定義的M文件函數(shù)名；參數(shù)t為由初始時(shí)間和終止時(shí)間構(gòu)成的向量；參數(shù)y0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，其默認(rèn)值是一個空矩陣。函數(shù)調(diào)用后，將返回系統(tǒng)的時(shí)間向量t和狀態(tài)變量y。例8-5已知二階非線性微分方程為

，設(shè)初始條件為

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡圖及時(shí)間響應(yīng)曲線。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=0:0.01:80;x0=[50]';[t,x]=ode45('test1',t,x0);subplot(1,2,1);plot(x(:,1),x(:,2));gridsubplot(1,2,2);plot(t,x(:,1));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)')（a）系統(tǒng)的相軌跡圖（b）系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線functiondx=test1(t,x)dx=[x(2);(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];%調(diào)用函數(shù)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2-18所示，由圖可見系統(tǒng)相軌跡為一個穩(wěn)定的極限環(huán)，對應(yīng)時(shí)間響應(yīng)為等幅振蕩。圖8-2-18運(yùn)行結(jié)果解：描述系統(tǒng)的微分方程為例8-6設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖8-2-19所示，已知

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡圖及相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)曲線。MAT