《電路分析》課件第4章

第四章電路基本定理4.1疊加定理4.2替代定理

4.3戴維寧定理和諾頓定理

4.4最大功率傳輸定理

習(xí)題4【本章要點(diǎn)】本章介紹常用的電路定理，包括線性電路的疊加定理、替代定理、有源二端網(wǎng)絡(luò)的對外等效定理——戴維寧定理與諾頓定理及最大功率傳輸定理。4.1疊加定理疊加定理是線性電路中非常重要的定理。在線性電路中，利用疊加定理可以把復(fù)雜的電路轉(zhuǎn)化為若干個簡單電路之和，或?qū)㈦娐分械奈粗兞吭O(shè)為已知，根據(jù)電路中的比例關(guān)系求出該未知量。疊加定理：在線性電路中，流過任意一條支路的電流和兩端的電壓都等于電路中的每一個獨(dú)立電源單獨(dú)作用下在該支路產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。下面通過具體例子來驗(yàn)證疊加定理的正確性。如圖4－1(a)所示，該支路可用網(wǎng)孔法求電流i。圖4-1疊加定理的證明由圖4-1(a)可得網(wǎng)孔方程(R1+R2)i1+R1i2=us

i2=is

解方程得所以令i=i′+i″其中

為電壓源us單獨(dú)作用時在待求支路里產(chǎn)生的電流，

為電流源is單獨(dú)作用時在待求支路里產(chǎn)生的電流，分別對應(yīng)于圖4-1(b)和圖4-1(c)。應(yīng)用疊加定理時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)疊加定理只適用于線性電路。

(2)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時，其他的獨(dú)立源應(yīng)“置零”。電流源“置零”時，電流源應(yīng)開路；電壓源“置零”時,電壓源應(yīng)短路。

(3)將每個獨(dú)立電源單獨(dú)作用時產(chǎn)生的電流或電壓疊加(選擇參考方向的方法為：與原變量相同的取正號，相反的取負(fù)號)。

(4)疊加定理只適用于電流、電壓的疊加，不能用于功率的疊加。

例4-1電路如圖4-2(a)所示，試用疊加定理求電流I。圖4-2例4-1用圖解

60V電壓源單獨(dú)作用時，將40V電壓源短路，如圖4-2(b)所示，有

40V電壓源單獨(dú)作用時，將60V電壓源短路，如圖4-2(c)所示，有

兩電源共同作用時，由于方向一致，因此有

I=I′+I″=5+1.67=6.67A

例4-2

電路如圖4-3(a)所示，試用疊加定理求u0。圖4-3例4-2用圖

解用疊加定理求解。首先將圖4-3(a)電路分解為每個獨(dú)立源單獨(dú)作用時的電路圖，如圖4-3(b)、(c)、(d)所示。由圖4-3(b)可得由圖4-3(c)可得由圖4-3(d)可得所以

例4-3

電路如圖4-4(a)所示，求Ix。圖4-4例4-3用圖解將圖4-4(a)所示電路分解為每個獨(dú)立源單獨(dú)作用時的等效電路,如圖4-4(b)、(c)所示。由圖4-4(b)可得所以由圖4-4(c)可得所以因此可得4.2替代定理替代定理是集總參數(shù)電路理論中一個重要的定理。從理論上講，無論線性、非線性、時變、非時變電路，替代定理都是成立的。在線性非時變電路中替代定理應(yīng)用較普遍，這里主要討論替代定理在線性電路中的應(yīng)用。替代定理：在具有唯一解的電路中，若已知某支路的電壓u，流過的電流i，且該支路與其他支路無耦合關(guān)系，則無論該支路是由什么元件組成的，都可以用電壓為u的電壓源、電流為i的電流源代替或阻值為u/i的電阻代替，代替前后電路中其他部分的電壓、電流保持不變。替代定理的表述如圖4－5所示。圖4－5替代定理在圖4-5(a)中已知X支路兩端的電壓u，流過的電流i，則可用電壓為u的電壓源代替X支路，且它們的電壓方向保持一致，如圖4-5(b)所示；或用電流為i的電流源代替X支路，且電流源的方向與流過X支路的電流方向保持一致，如圖4-5(c)所示；也可用電阻值為u/i的電阻代替X支路，如圖4-5(d)所示。替代定理的正確性是由于替代前后電路各處的KCL、KVL方程保持不變，故替代前后電路各處的電流、電壓不變，它的實(shí)質(zhì)來源于方程解的唯一性定理。在電路分析時，如電路中某支路電壓或電流是已知量，則可利用替代定理簡化電路的分析與計算。例4-4

電路如圖4－6(a)所示，已知uab=0，求電阻R。圖4－6例4－4用圖解由于uab=0，因此3V電壓源支路的電流為1A，根據(jù)替代定理，可用一個1A的電流源代替該支路，電路如圖4-6(b)所示。設(shè)參考點(diǎn)和電阻R兩端電壓與電流參考方向如圖4-6(b)所示，可列出節(jié)點(diǎn)方程為解方程得

ua=8V由于uab=0，因此

ub=ua=8V由圖4-6(b)，可得

u=20－ub=20－8=12V所以例4－5電路如圖4-7(a)所示，已知i=1A，N為電路的一部分，求電壓u。圖4-7例4-5用圖解由替代定理可知，電路N可以用電流為1A的電流源代替，電路如圖4-7(b)所示。利用尼爾曼定理可知4.3戴維寧定理和諾頓定理在分析線性電路問題時，有時往往只研究某一個支路的電壓和電流。此時，雖然可以用網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法等分析方法求解，但由此引出一些不必要的量，使計算過于繁瑣。為簡化電路分析計算過程，可以把待求支路以外的部分電路等效為一個電源，這種等效分別稱為戴維寧定理和諾頓定理。4.3.1戴維寧定理

戴維寧定理：任何一個含獨(dú)立源的線性二端網(wǎng)絡(luò)N，都可以用一個電壓源和一個電阻串聯(lián)來代替。電壓源的電壓等于該線性二端網(wǎng)絡(luò)N的開路電壓，串聯(lián)的電阻等于該線性二端網(wǎng)絡(luò)N中所有獨(dú)立源置零時的等效電阻。戴維寧定理可以用圖4-8進(jìn)一步說明。圖4-8戴維寧定理圖4-8(a)所示為一個含有獨(dú)立源線性二端網(wǎng)絡(luò)N和一個待求支路M的電路框圖。把待求支路M去掉，如圖4-8(b)所示,因N含有獨(dú)立電源，在N兩端會有電壓，稱為N開路電壓uoc。把N內(nèi)部的獨(dú)立源置零，如圖4-8(c)所示，用N0表示，可以求出N0兩端的等效電阻R0。由此該網(wǎng)絡(luò)N可以用一個電壓源和一個電阻串聯(lián)來表示，如圖4-8(d)所示。利用戴維寧定理求解電路的關(guān)鍵在于如何求得N的開路電壓uoc和N0的等效電阻R0。開路電壓的求法：先將負(fù)載支路斷開，設(shè)定開路電壓uoc的參考方向，然后計算該電路的開路電壓uoc。其計算方法可根據(jù)具體電路形式而定,如串、并聯(lián)等效，分流分壓公式關(guān)系，實(shí)際電源模型的等效互換，點(diǎn)法等。

N0兩端的等效電阻R0的求法有以下兩種。

(1)開路、短路法：即在求得電路N兩端子間開路電壓uoc后，將兩端子短路，并設(shè)端子短路電流isc參考方向(注意：若uoc的參考方向是a為高電位端，則isc的參考方向設(shè)成從a流向b)，應(yīng)用所學(xué)的任何方法求出isc，如圖4-9所示，則等效內(nèi)阻R

注意，求uoc、isc時N內(nèi)所有的獨(dú)立源、受控源均保留。(4-1)

圖4-9求短路電流電路(4-2)

(2)外加電源法：令N內(nèi)所有的獨(dú)立源為零(理想電壓源短路，理想電流源開路)，若含有受控源，受控源要保留，這時的二端電路用N0表示，在N0兩端子間外加電源。若加電壓源u，就求端子上的電流i(i與u對N0二端電路來說參考方向關(guān)聯(lián))，如圖4-10(a)所示；若加電流源i，就求端子間的電壓u，如圖4-10(b)所示。N0兩端子間的等效電阻為圖4-10外加電源法求內(nèi)阻R0上述求電阻R0的兩種方法具有一般性。若二端電路N內(nèi)不含受控源，則由N變?yōu)镹0的電路是不含受控源的純電阻二端電路。這時可用電阻串、并聯(lián)等效求得R0，而不再用前述的“開路、短路法”和“外加電源法”求R0。如果純電阻的二端電路是Y形、△形連接形式，可由Y-△形等效互換后，再應(yīng)用電阻串、并聯(lián)等效求R0。若N內(nèi)含有受控源，這種情況一般使用“開路、短路法”或“外加電源法”求等效內(nèi)阻R0，不能使用電阻串、并聯(lián)等效求R0。4.3.2諾頓定理諾頓定理是將一個有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為電流源和電阻并聯(lián)的定理，該定理可表述為：一個含有獨(dú)立源、線性受控源、線性電阻的有源二端網(wǎng)絡(luò)，對其外部來說，可以用一個電流源并聯(lián)電阻來等效。理想電流源的大小為有源二端網(wǎng)絡(luò)的短路電流，并聯(lián)電阻為令二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的所有獨(dú)立源置零時從二端網(wǎng)絡(luò)兩端看的等效電阻。諾頓定理可用圖4－11所示框圖作進(jìn)一步的說明。圖4-11諾頓定理圖4-11中，與戴維寧定理相同，圖4-11(a)是將電路分成待求支路和有源二端網(wǎng)絡(luò)的模型，其中，網(wǎng)絡(luò)M是待求支路，網(wǎng)絡(luò)N是有源二端網(wǎng)絡(luò)；圖4-11(b)是將有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為一個電流源isc和等效電阻R0的并聯(lián)；圖4-11(c)說明等效電流源isc的求取方式；圖4-11(d)說明等效電阻R0的求取方式，其中N0是將有源二端網(wǎng)絡(luò)N中的所有獨(dú)立源置零后的網(wǎng)絡(luò)，是一個無源網(wǎng)絡(luò)。在求取isc時可采用前面講述的任何方法，如網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、實(shí)際電源等效互換、分壓、分流等分析計算方法，但要特別注意電流源isc的方向必須與計算isc時的方向相反。例4－6電路如圖4－12(a)所示，求當(dāng)RL為1W、6W

時該支路的電流i。圖4-12例4-6用圖

解將圖4-12(a)所示電路從a、b處斷開,如圖4-12(b)所示，該電路是以a、b為引出端的有源二端網(wǎng)絡(luò)。(1)求開路電壓uoc。由圖4-12(b)可知所以

(2)求等效電阻R0。將圖4-12(b)的電壓源短路，可得圖4-12(c)，可求得R0=6∥3+4∥4=4W

(3)畫出戴維寧等效電路，接上待求支路，如圖4-12(d)所示。當(dāng)RL為1W時，電流i為當(dāng)RL為6W，電流i為由此例可以看出，如果只求某一支路的電壓、電流或功率，則用戴維寧定理求解比較方便，一般可以避免解多元方程的麻煩。特別是本例在待求支路中的一些元件參數(shù)發(fā)生變化時，求改變后該支路的電壓、電流或功率，就顯示了采用這種方法求解的優(yōu)越性。

例4-7電路如圖4-13(a)所示，求當(dāng)RL為16W時該支路的電流i。圖4-13例4-7解法1用圖

解將圖4-13(a)所示電路從a、b處斷開，可得如圖4-13(b)所示的有源二端網(wǎng)絡(luò)。解法1：應(yīng)用戴維寧定理求解。

(1)求電路電壓。由圖4-13(b)可得開路電壓uoc為uoc=4×0.5+12i1

為了求出電流i1，可將圖4-13(b)等效為圖4-13(c)，由于圖4-13(b)中的4W電阻與電流源為串聯(lián)，故在等效時可將其去掉；將圖4-13(c)中的電流源與6W電阻并聯(lián)等效為電壓源，可得圖4-13(d)，由圖4-13(d)可得所以

(2)求等效電阻R0。將圖4-13(b)所示的有源二端網(wǎng)絡(luò)中的獨(dú)立源置零，可得如圖

4-13(e)所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)，其電阻串、并聯(lián)關(guān)系明確，可得R0=Rab=12∥6+4=8W

(3)畫出戴維寧定理等效電路，接上待求支路，電路如圖4-13(f)所示。由圖4-13(f)可得解法2：應(yīng)用諾頓定理求解。將圖4-13(b)所示的有源二端網(wǎng)絡(luò)a、

b端短路,如圖4-14(a)所示。圖4-14例4-7解法2用圖

(1)求短路電流isc。由圖4-14(a)可見，短路電流isc為isc=0.5－i1

由于a、b端短路，可將圖4-14(a)等效為圖4-14(b)。由圖4-14(b)可見，4W電阻與12W電阻并聯(lián)，故又可將圖4-14(b)等效為圖4-14(c)。由圖4-14(c)可得由圖4-14(b)可得所以

(2)求等效電阻R0。等效電阻R0與用戴維寧定理時相同，即R0=8Ω

(3)畫出諾頓等效電路，接上待求支路，電路如圖4-14(d)所示。由圖4-14(d)可得例4-8電路如圖4-15(a)所示，求戴維寧、諾頓定理等效電路。圖4-15例4-8用圖解由圖4-15(a)所示電路可見，開路電壓uoc為uoc=10×1.5i+10i+10由于a、b端開路，i=0，因此uoc=10V圖4-15(b)將a、b短路，可得10×1.5i+10i+10=0isc=－i=0.4A所以或由圖4-15(c)可得所以由計算結(jié)果可得如圖4-16(a)、(b)所示的戴維寧、諾頓定理等效電路。圖4-16例4-8戴維南、諾頓等效電路例4-9電路如圖4-17(a)所示，求電壓u。圖4-17例4-9用圖解因?yàn)樽詀、b處斷開待求支路后，開路電壓沒有短路電流，所以，這個問題用諾頓定理求解比較方便。

(1)求短路電流isc。自a、b斷開電流源，再將a、b短路，設(shè)isc及有關(guān)電流參考方向如圖4-17(b)所示。由電阻串并聯(lián)等效、分流關(guān)系及KCL可求得，，

(2)求等效內(nèi)阻R0。將圖4-17(b)中的24V電壓源短路，并將a、b間短路線斷開，如圖4-17(c)所示。利用串并聯(lián)等效可求得R0=(6∥3+6)∥(3∥6+6)=4W

(3)畫出諾頓等效電源，接上待求支路(從斷開處接上)，如圖4-17(d)所示。注意畫諾頓等效電源時，勿將isc電流源的流向畫錯了。若圖4-17(b)中isc的參考方向設(shè)為由a流向b，則在圖4-17(d)中電流源應(yīng)畫成由b流向a。由圖4-17(d)，應(yīng)用KCL及歐姆定律可求得u=(3+1)×4=16V4.4最大功率傳輸定理許多實(shí)際電路中，無論是直流穩(wěn)壓源，還是各種波形的信號發(fā)生器，其內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)都是相當(dāng)復(fù)雜的，但它們在向外供電時都引出兩個端子接到負(fù)載?？梢哉f，它們就是一個有源二端電路。當(dāng)所接負(fù)載不同時，二端電路傳輸給負(fù)載的功率也就不同?，F(xiàn)在我們討論對給定的有源二端電路，當(dāng)負(fù)載為何值時，網(wǎng)絡(luò)傳輸給負(fù)載的功率最大，負(fù)載所能得到的最大功率又是多少，即最大功率傳輸定理。最大功率傳輸定理：設(shè)一負(fù)載RL接于有源二端網(wǎng)絡(luò)上，該網(wǎng)絡(luò)等效為戴維寧電源模型，負(fù)載RL可變，則當(dāng)RL=R0時，負(fù)載RL可獲得最大功率。如圖4-18所示，電路中負(fù)載RL消耗的功率為（4-3）圖4-18實(shí)際電壓源接負(fù)載為了求出功率最大的條件，我們?nèi)對RL的導(dǎo)數(shù)，并令它等于零，即亦即應(yīng)有（4-4）解得又由于因此，當(dāng)RL=R0時負(fù)載獲得的功率最大，功率的最大值為（4-5）當(dāng)負(fù)載獲得最大功率，即RL=R0時，稱為負(fù)載與電源匹配，或稱最大功率匹配。

例4-10

電路如圖4-19(a)所示，如電阻RL可變，求負(fù)載RL獲得功率最大時的RL和功率Pmax。圖4-19例4-10圖

解將圖4-19(a)中a、b端以左的電路看做是有源二端網(wǎng)絡(luò)電路，可求得如圖4-19(b)所示的戴維寧等效電路。根據(jù)負(fù)載與電源匹配條件式可知，當(dāng)RL=R0=4W時，其獲得功率最大，即

例4-11

電路如圖4-20所示，若負(fù)載RL可以任意改變，問負(fù)載為何值時其上獲得的功率為最大,并求出此時負(fù)載上得到的最大功率Pmax。圖4-20例4-11用圖

解此類問題應(yīng)用戴維寧定理(或諾頓定理)與最大功率傳輸定理結(jié)合求解最簡便。

(1)求uoc。從a、b斷開RL，設(shè)uoc如圖4-20(b)所示。在圖4-20(b)中，應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式、歐姆定律及KVL，可求得

(2)求R0。令圖4-20(b)中各電源為零，如圖4-20(c)所示，可求得R0=(4+4)∥8+3∥(3+3)=6Ω

(3)畫出戴維寧等效電路，接上待求支路RL，如圖4-20(d)所示。由最大功率傳輸定理知，當(dāng)RL=R0=6W時，其上獲得最大功率。此時負(fù)載RL上所獲得的最大功率為

例4-12

電路如圖4-21(a)所示，問電阻RL為何值時可獲得最大功率，并求出該最大功率。圖4-21例4-12用圖

解斷開負(fù)載電阻RL，得如圖4-21(b)所示的有源二端網(wǎng)絡(luò)。由圖4-21(b)可得開路電壓uoc為uoc=5×5+u1

因?yàn)閡1=15i

所以，可解得uoc=55V采用外加電壓法求等效電阻，外加電壓后的電路如圖4-21(c)所示。由圖4-21(c)可得u=5i+u1

因?yàn)?/p>

u1=15i1

所以可得等效電阻根據(jù)uoc和R0可得如圖4-21(d)所示的戴維寧等效電路。當(dāng)RL=11W時可獲得最大功率，其最大功率為習(xí)題4

4-1電路如圖所示。(1)當(dāng)將開關(guān)S合在a點(diǎn)時，求電流I1、I2和I3；(2)當(dāng)將開關(guān)S合在b點(diǎn)時，利用(1)的結(jié)果，并用疊加定理計算電流I1、I2和I3。習(xí)題4-1圖4-2電路如圖所示，用疊加定理求電流i。習(xí)題4-2圖4-3