北師大版2024-2025學年四年級上冊數(shù)學培優(yōu)拓展講義第2講線與角(單元講義)(學生版+解析)

2024-2025學年四年級上冊數(shù)學舉一反三變式拓展（北師大版）第二講線與角（導圖+知識精講+高頻易錯點+十四大考點講練+難度分層練）教學目標知識與技能：學生能夠認識直線、線段、射線的概念及特點，并能正確畫出它們。學生能夠理解角的概念，會用量角器量角和畫角，并知道角的大小與兩邊叉開的大小有關。學生能夠認識平角、周角，了解角之間的關系。過程與方法：通過觀察、操作、比較等活動，引導學生發(fā)現(xiàn)線與角的基本特性，發(fā)展空間觀念。培養(yǎng)學生獨立思考、合作交流的能力，提高學生的數(shù)學思維和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生對線與角的學習興趣，培養(yǎng)探究精神。引導學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，認識到數(shù)學在解決實際問題中的重要作用。教學重難點重點：直線、線段、射線的認識及特點。角的概念、角的度量及角的分類。難點：理解角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。平角、周角的認識及角之間的關系理解。TOC\t"標題2,1"\h\u考點1：直線、線段和射線的認識 5考點2：兩點間線段最短與兩點間的距離 6考點3：角的概念和表示 7考點4：角的分類（銳角直角鈍角） 8考點5：垂直與平行的特征及性質(zhì) 9考點6：過直線外一點作已知直線的平行線 10考點7：相交與垂直 11考點8：過直線上或直線外一點作直線的垂線 12考點9：角的畫法 13考點10：角的度量 14考點11：畫指定度數(shù)的角 15考點12：用三角尺畫30°，45°，90°，90°角 16考點13：線段與角的綜合 17考點14：鐘面上的角 17基礎夯實優(yōu)選題專練 18培優(yōu)優(yōu)選題專練 22知識點01：線的認識直線、射線和線段直線：沒有端點，可以向兩個方向無限延伸。射線：有一個端點，只能向一個方向無限延伸。線段：有兩個端點，不能向兩個方向無限延伸，有固定的長度。線的性質(zhì)過一點可以畫無數(shù)條直線。過兩點只能畫一條直線。兩點之間線段最短，這條線段的長度叫做這兩點間的距離。知識點02：線與線的關系平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。性質(zhì)：一條直線的平行線有無數(shù)條；過線外一點作平行線，只能畫一條；兩條平行線之間的距離處處相等，兩條平行線之間的垂線段就是他們的距離。相交與垂直相交：如果兩條直線只有一個公共點，這兩條直線叫相交直線。垂直：兩條直線相交成直角時，叫做兩條直線相互垂直。兩條直線互稱為對方的垂線。一條直線的垂線有無數(shù)條，過線外一點作已知直線的垂線只能畫一條。從直線外一點到這條直線所畫的垂直線最短，它的長度叫作這點到直線的距離。知識點03：角的認識角的定義由一個頂點引出的兩條射線所組成的圖形叫做角，角也可以看成是一條射線圍繞它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。角的分類平角：當角的兩邊旋轉(zhuǎn)成一條直線時，這時所形成的角叫做平角，等于180度。周角：當角的兩邊經(jīng)過旋轉(zhuǎn)重合時，這時所形成的角叫做周角，等于920度。銳角：小于90度的角是銳角。直角：等于90度的角是直角。鈍角：小于90度小于180度的角是鈍角。角的度量角的度量單位是度，記作“°”。認識量角器：量角器是把半圓平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心點、0刻度線、內(nèi)刻度線、外刻度線。使用方法：“兩合一看”，“兩合”是指中心點與角的頂點重合；0刻度線與角的一邊重合?！耙豢础本褪且唇堑牧硪贿吽鶎Φ牧拷瞧鞯目潭取Ｒ族e知識點01：線的認識直線、射線和線段的混淆易錯點：學生容易將直線、射線和線段的概念混淆，特別是關于它們能否測量長度以及延伸性質(zhì)的理解上。解析：直線沒有端點，可以向兩個方向無限延伸，不能測量長度；射線有一個端點，只能向一個方向無限延伸，也不能測量長度；線段有兩個端點，不能向兩個方向無限延伸，可以測量長度。過點畫直線的理解易錯點：學生可能誤解為“過一點只能畫一條直線”，實際上過一點可以畫無數(shù)條直線。解析：應明確過一點（非兩個點）可以畫出無數(shù)條直線，而過兩點只能畫出一條直線。易錯知識點02：線與線的關系平行線的理解易錯點：學生可能認為平行線只能在同一平面內(nèi)，但忽視了“不相交”這一關鍵條件。解析：平行線的定義是在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線。必須同時滿足“同一平面”和“不相交”兩個條件。垂直線的判斷易錯點：學生可能錯誤地認為只要兩條直線相交就是垂直，或者認為垂直線只能畫一條。解析：垂直線是指兩條直線相交成直角，即相交角為90°。一條直線的垂線有無數(shù)條，但過線外一點作已知直線的垂線只能畫一條。易錯知識點03：角的認識角的分類混淆易錯點：學生容易將銳角、直角、鈍角、平角、周角的定義混淆，特別是小于90°的角不一定是鈍角。解析：應明確銳角小于90°，直角等于90°，鈍角小于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于920°。小于90°的角可能是鈍角，也可能是平角或周角。角的大小與邊的長短無關易錯點：學生可能誤認為角的大小與邊的長短有關。解析：角的大小是由其張口大小決定的，與邊的長短無關。易錯知識點04：角的度量量角器的使用易錯點：學生在使用量角器時，容易讀錯刻度或混淆內(nèi)外刻度。解析：使用量角器時，應確保中心點與角的頂點重合，0刻度線與角的一邊重合。讀刻度時，注意看角的另一邊所對的刻度，并根據(jù)開口方向選擇內(nèi)刻度或外刻度。度數(shù)的計算易錯點：在計算角的度數(shù)時，學生可能忽視已知條件或計算錯誤。解析：在計算角的度數(shù)時，應仔細審題，明確已知條件，并按照角的性質(zhì)進行計算?？键c1：直線、線段和射線的認識【精講題】（2023秋?雨花區(qū)期末）下面四個說法中，有個是正確的。①直線是無限長的②小于或等于的角叫銳角③1周角平角直角④將圓平均分成920份，人們把其中的1份所對的角作為度量角的單位A．1 B．2 C．3 D．4【精練題01】（2024?驛城區(qū)）條直線；條射線；條線段?！揪氼}02】（2023秋?韓城市期末）如圖，有、、三個點，請按要求畫一畫。（1）畫出直線。（2）畫出射線和射線?！揪氼}03】（2023秋?鶴城區(qū)期末）（1）在方格紙上畫出射線，并從點起在射線上截取一條長2厘米的線段。（2）在方格紙上畫出平行四邊形和梯形指定底邊上的高。考點2：兩點間線段最短與兩點間的距離【精講題】（2023秋?嶧城區(qū)期末）從學校到附近一條筆直的公路有四條小路，長度分別是376米、245米、308米、521米，其中有一條與公路互相垂直，這條小路的長是A．376米 B．245米 C．308米 D．521米【精練題01】（2023秋?夏邑縣期末）笑笑要從家到公園去玩，如圖的三條路線，走路線最節(jié)省時間。A．① B．② C．③【精練題02】（2023秋?龍華區(qū)期中）投沙包比賽，三位同學站在投擲點往投擲線外投出去，體育老師測量沙包的落地點到投擲點的距離就是同學們的投擲成績。如圖是三位同學投擲沙包落地點的示意圖，成績最好的是A．淘氣 B．笑笑 C．奇思 D．無法判斷【精練題03】（2022秋?莒縣期末）周末，小明去奶奶家做客，寫作業(yè)時發(fā)現(xiàn)忘記帶練習本，他到商店購買距離最近，理由是：?？键c3：角的概念和表示【精講題】（2023秋?羅甸縣期末）下列說法正確的是A．平角的兩條邊在一條直線上 B．小于的角都是鈍角 C．一條直線長200米 D．平行四邊形只有1條高【精練題01】（2023秋?鶴城區(qū)期末）同學們在操場上進行隊列練習，當他們原地向左轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)過一個角；原地向后轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)過一個角。【精練題02】（2023秋?順義區(qū)期末）先找角，再畫角。①把一張半圓形的紙（如圖）對折兩次，打開后可以找到多少度的角？（寫在下面的空白處）②畫出以上各角?！揪氼}03】（2022秋?中原區(qū)月考）思思用一副三角尺拼出一個鈍角。先想一想思思是怎么拼的，再填一填，畫一畫。思思可以把角和角拼在一起，在上面量角器上把拼出的這個鈍角畫出來?？键c4：角的分類（銳角直角鈍角）【精講題】（2023秋?崇川區(qū)期末）如圖，汽車經(jīng)過收費亭時，轉(zhuǎn)桿會慢慢地升起。轉(zhuǎn)桿升起的過程中，與豎桿形成的角的變化情況為A．直角鈍角周角 B．銳角直角鈍角 C．直角鈍角平角 D．銳角鈍角直角【精練題01】（2024?驛城區(qū)）個銳角；個鈍角；個直角。【精練題02】（2023秋?中原區(qū)期末）鄭州的張爺爺每年都要坐高鐵參加山東濰坊國際風箏節(jié)。為了坐得最舒適，如圖座椅的靠背應調(diào)節(jié)到什么位置？畫一畫。【精練題03】（2023秋?密云區(qū)期末）如圖中的角是度。請你在下面畫出一個角，這個角的度數(shù)與如圖角的度數(shù)合起來是平角?？键c5：垂直與平行的特征及性質(zhì)【精講題】（2023秋?磐石市期末）下面圖形中，能正確表示出平行、垂直和相交關系的是A．B． C．【精練題01】（2023秋?潛江期末）如圖，互相平行的線有和；與直線互相（填平行或垂直）；點與直線的連線中，最短的線段是?！揪氼}02】（2023秋?錦州期末）沙包投擲練習時，同學們站在起擲線原地投擲，沙包落地點到起擲線的距離為同學們的成績。如圖是三個同學投擲沙包的示意圖，小紅的成績?yōu)?00厘米。（1）在圖中分別畫出表示小軍和小麗沙包落地點到起擲線距離的線段。（2）的成績最好，是厘米?！揪氼}03】（2023秋?孝義市期中）用不同的顏色的筆涂一涂。（1）在圖中分別描出一個銳角、直角、鈍角、平角。（2）在圖中分別描出一組互相垂直、互相平行的線。（3）在圖中分別描出一條線段、直線、射線。考點6：過直線外一點作已知直線的平行線【精講題】（2023秋?信陽期末）按要求畫一畫。（1）過點作一條直線與已知射線平行。（2）以為頂點，已知射線為一條邊，畫一個的角?！揪氼}01】（2023秋?涿州市期末）過點作直線的平行線，過點作直線的垂線?！揪氼}02】（2023秋?懷寧縣期末）經(jīng)過點鋪一根水管，要求水管與公路平行，請把水管畫出來?！揪氼}03】（2023秋?渝水區(qū)期末）過點畫射線的垂線，再過點畫射線的平行線。考點7：相交與垂直【精講題】（2023秋?懷來縣期末）在同一個平面內(nèi)，兩條直線相交，如果一個角是，那么與它相鄰的角是?！揪氼}01】（2023秋?開江縣期末）語文課本的封面，相對的兩條邊是相互平行的，相鄰的兩條邊是相互的．【精練題02】（2021秋?柳州期末）2021年10月16日神舟十三號載人飛船成功發(fā)射，它被送入太空的“近地點”高度米，橫線上的數(shù)寫作；“遠地點”高度359000米，橫線上的數(shù)讀作，這個數(shù)中的“5”表示5個，359000米省略萬后面的尾數(shù)約是萬米。神舟十三號成功完成徑向交會對接，小思把它們的位置畫了下來（如圖），中國空間站和神舟十三號的位置關系是互相?！揪氼}03】（2023秋?譙城區(qū)校級月考）某公園中由廣場到秀園路修了、兩條路，但人們總喜歡在草坪中走出這樣一條路。你能利用所學知識解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因嗎？如果你是草坪管理員，你會給公園設計師提什么建議？考點8：過直線上或直線外一點作直線的垂線【精講題】（2023秋?孝昌縣期末）根據(jù)所給的射線作為角的一條邊，畫出一個的角；過點分別畫出這個角的兩條邊的垂線。【精練題01】（2023秋?洪澤區(qū)期末）過點畫的平行線，再過點畫的垂線?！揪氼}02】（2023秋?黃州區(qū)期末）分別過點畫的垂線?！揪氼}03】（2023秋?溧陽市期末）有一個四邊形（如圖）。（1）經(jīng)過點向邊畫垂線。（2）經(jīng)過點畫的平行線。（3）量出。（4）量出點到邊的距離是毫米。考點9：角的畫法【精講題】（2022秋?漢南區(qū)期末）明明用一副三角板拼出了幾個鈍角，想一想：他是怎么拼的？然后在下邊的量角器上畫出其中一個鈍角?！揪氼}01】（2019秋?鹽城期末）①量一量，。②以為定點，畫一個比大的角。（測量結果保留整十數(shù)）【精練題03】（2021秋?舞鋼市期末）（1）以點為頂點，用你自己喜歡的方法以為角的一條邊，畫一個的角。（2）經(jīng)過點畫出邊的平行線和垂線。（3）量一量，點到邊的距離是厘米。（取整厘米）【精練題03】（2022秋?臨泉縣期中）連一連?？键c10：角的度量【精講題】（2023秋?崇川區(qū)期末）如圖，用一個損壞的量角器量角，所量的角是。A．30 B．45 C．90 D．90【精練題01】．（2023秋?玄武區(qū)期末）如圖是某街區(qū)的示意圖。（1）用量角器量出。（2）解放路在勝利小學的西北面，與和平路平行，并且在圖上量得勝利小學與解放路的距離是1厘米。在圖上利用一條直線表示解放路。（3）勝利小區(qū)鋪設天然氣管道，主管道在華山路，怎么鋪最節(jié)省材料？把它畫出來?！揪氼}02】（2023秋?十堰期末）請你在下面的方格紙上按要求量一量，畫一畫。（每個小方格的邊長表示（1）量出方格紙中角的度數(shù)，并在圖上標出來。（2）以這個角的兩條邊為一組鄰邊，畫一個平行四邊形，并畫出它的高?！揪氼}03】．（2023秋?鼓樓區(qū)期末）寫出下面角的度數(shù)?？键c11：畫指定度數(shù)的角【精講題】（2023秋?宿城區(qū)期末）下面不能用一副三角板畫出的角是A． B． C． D．【精練題01】（2023秋?歷城區(qū)期末）芳芳同學要用一副三角尺畫一個的角，她可以怎樣去選擇這副三角尺上的角來畫呢？請你幫芳芳用算式表示出畫角的思路：，【精練題02】（2023秋?嶧城區(qū)期末）操作。（1）過點畫射線的垂線。（2）以點為頂點，以射線為一條邊，畫一個的角并標上角的度數(shù)?！揪氼}03】（2023秋?潛江期末）畫一畫。（1）以為頂點，畫一個的角。（2）畫出從教學樓到綜合樓最近的路；畫出從教學樓到操場最近的路線。考點12：用三角尺畫30°，45°，90°，90°角【精講題】（2023秋?渭濱區(qū)期末）用一副三角尺不能畫出的角。A． B． C． D．【精練題01】（2022秋?岳池縣期末）如圖是由一副三角板拼成的角，這個角的度數(shù)是A． B． C． D．【精練題02】（2022秋?井研縣期末）用一副三角板可以畫出的角．．（判斷對錯）【精練題03】（2021秋?威縣期末）用一副三角尺畫一個的角和一個的角．考點13：線段與角的綜合【精講題】（2023秋?沐川縣期末）已知，A． B． C． D．【精練題01】（2024?渭濱區(qū)）如圖，長方形里面有一個等邊三角形，?！揪氼}02】（2023秋?豐南區(qū)期末）如圖中，已知，是直角，則，按照這樣的方法推理計算，?！揪氼}03】（2023秋?香洲區(qū)期末）如圖，，那么。考點14：鐘面上的角【精講題】（2024春?汶上縣期末）上午9時整，鐘面上時針和分針之間的較小夾角是，到這天上午9時30分，分針順時針旋轉(zhuǎn)了?！揪氼}01】（2023秋?涿州市期末）鐘面上的時針和分針什么時候會出現(xiàn)銳角、鈍角？請動手畫一畫?！揪氼}02】（2023秋?五華區(qū)月考）根據(jù)給定的時間分別在鐘面上畫出時針和分針，再看看時針和分針組成什么角？【精練題03】（2022秋?黔江區(qū)期末）鐘面上的角。如圖鐘面上時針和分針所成的較小的角是角；再過5分鐘，時針和分針將形成的較小的角是角；在鐘面上，時整，時針和分針將形成平角?；A夯實優(yōu)選題專練1．∠1是鈍角、∠2是銳角，那么∠1-∠2是（）。A．一定是鈍角 B．一定是直角C．一定是銳角 D．不可能是平角2．下面各圖中，互相垂直的是；互相平行的是。A.B.C.D.E.3．（2024四上·富陽期末）下列說法錯誤的是（）。A．如下圖，量角器量角的方法是正確的。B．左圖表示射線DE。C．左圖一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)半周，形成的角叫作平角。4．將一張長方形紙對折后正好是一個正方形，將它打開后再如圖折疊，得到的這個角是°。5．上圖中，OE∥AF，OC⊥AF，EF⊥AF，從o點到直線AF的線段中，最短，這是因為；從圖中還可以知道，OCEF。6．如圖，射線OA、OB、OC把平面分成兩個部分，線段OA繞O點旋轉(zhuǎn)。當A點在區(qū)域時，旋轉(zhuǎn)形成銳角；當A點在區(qū)域時，旋轉(zhuǎn)形成鈍角；要形成一個平角，A點要在。7．（2024四上·濱江）按要求畫圖。（1）以上圖中的線段為底，畫一個高是2厘米、一組鄰邊的夾角是50°的平行四邊形。（2）在這個平行四邊形中添加一條線段，將它分成兩個完全一樣的三角形。8．（2024四上·濱江）畫一畫，數(shù)一數(shù)。（1）在下圖中畫出直線AC，射線BC。（2）現(xiàn)在整個圖形中有個銳角，個鈍角。9．（2024四上·長興期末）如下圖所示。（1）量一量，°，它是一個角。（2）過P點作線段BC的垂線，垂足為O。（3）在格子圖中找平行四邊形的第四個頂點D，連接AD、CD，畫出平行四邊形ABC10．（2024四上·慈溪期末）按要求畫圖。（1）畫出射線BA。（2）以B點為頂點，射線BA為一條邊，畫一個120°的角。（3）過點O畫射線BA的垂線。11．（2024四上·柯城期末）（1）如圖所示，A點的位置用數(shù)對表示為；（2）請你在圖中標出B（3，1）點的位置；（3）連接AB，以點A為頂點，在圖上畫一個135°的角。12．（2023四上·月考）把下面的角的度數(shù)分別填在適當?shù)娜铩?5°90°35°108°179°91°90°180°13．把下面這些角分別填入適當?shù)目蚶铩?4．（2024四上·上城期末）圖中直線a、b、c相交于o點，∠1＝30°，∠2＝90°。直線a、b互相垂直嗎？請說明理由。15．（2023四上·柯城期中）已知∠1=28°，求∠2和∠5各是多少度？培優(yōu)優(yōu)選題專練16．（2024四上·柯城期末）下面時刻鐘面上的時針和分針成鈍角的是（）。A．6時 B．3時 C．3時半 D．9時半17．（2024四上·鄆城期末）下面每組時刻中，鐘面上的時針和分針組成的角的大小不同的是（）A．3：00和9：00 B．11：00和1：00C．2：00和10：00 D．4：00和：7：0018．（2024四上·開江期末）把一個長方形的一個角折疊后（如圖），已知∠2＝90度，∠1＝（）。A．30度 B．90度 C．25度19．（2023·臨平期末）從下午時到下午5時，時針旋轉(zhuǎn)了120度，從17：45到18：15，分針旋轉(zhuǎn)了度。20．（2024四上·長興期末）如圖，將長8厘米、寬4厘米的長方形紙與三角形紙交叉擺放，重疊部分是形，它的高是厘米。如果，那么=°，∠3=°。21．（2023四上·吳興期末）7時整，時針和分針形成的較小角是角，把這個角分成兩個角，如果一個角是90°，那么另一個角是°。22．數(shù)一數(shù)。個角，條線段。23．（2021四上·菏澤期中）下圖中，有條線段，條直線，條射線；共個角。24．（2024四上·奉化期末）按要求畫圖。（1）畫出射線BC。（2）從A點出發(fā)畫出到射線BC長度最短的線段。25．（2024四上·黃巖期末）（1）量一量，（2）畫一條線段，把梯形分成一個三角形和一個平行四邊形。24．救護車從醫(yī)院去病人家搶救病人，從醫(yī)院到病人家有三條路可走（如圖）。為了節(jié)省時間，救護車會選擇哪條路？為什么？27．如圖，AO垂直于BO，CO垂直于DO。請你說明∠COA=∠DOB?（2023四上·易門月考）不在同一直線上的A、B、C三個點，經(jīng)過其中的兩個點畫直線，最多可以畫多少條？如杲再增加一個D點，最多可以畫多少條？（先畫一畫，再回答）29．拿出一張正方形紙，將它對折，出現(xiàn)一條折痕，將A角、D角折到剛才出現(xiàn)的折痕上，折出的∠1=90°。那么，∠2為多少度呢？2024-2025學年四年級上冊數(shù)學舉一反三變式拓展（北師大版）第二講線與角（導圖+知識精講+高頻易錯點+十四大考點講練+難度分層練）教學目標知識與技能：學生能夠認識直線、線段、射線的概念及特點，并能正確畫出它們。學生能夠理解角的概念，會用量角器量角和畫角，并知道角的大小與兩邊叉開的大小有關。學生能夠認識平角、周角，了解角之間的關系。過程與方法：通過觀察、操作、比較等活動，引導學生發(fā)現(xiàn)線與角的基本特性，發(fā)展空間觀念。培養(yǎng)學生獨立思考、合作交流的能力，提高學生的數(shù)學思維和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生對線與角的學習興趣，培養(yǎng)探究精神。引導學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，認識到數(shù)學在解決實際問題中的重要作用。教學重難點重點：直線、線段、射線的認識及特點。角的概念、角的度量及角的分類。難點：理解角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。平角、周角的認識及角之間的關系理解。TOC\t"標題2,1"\h\u考點1：直線、線段和射線的認識 5考點2：兩點間線段最短與兩點間的距離 7考點3：角的概念和表示 8考點4：角的分類（銳角直角鈍角） 10考點5：垂直與平行的特征及性質(zhì) 12考點6：過直線外一點作已知直線的平行線 15考點7：相交與垂直 17考點8：過直線上或直線外一點作直線的垂線 19考點9：角的畫法 22考點10：角的度量 24考點11：畫指定度數(shù)的角 28考點12：用三角尺畫30°，45°，90°，90°角 29考點13：線段與角的綜合 31考點14：鐘面上的角 24基礎夯實優(yōu)選題專練 36培優(yōu)優(yōu)選題專練 44知識點01：線的認識直線、射線和線段直線：沒有端點，可以向兩個方向無限延伸。射線：有一個端點，只能向一個方向無限延伸。線段：有兩個端點，不能向兩個方向無限延伸，有固定的長度。線的性質(zhì)過一點可以畫無數(shù)條直線。過兩點只能畫一條直線。兩點之間線段最短，這條線段的長度叫做這兩點間的距離。知識點02：線與線的關系平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。性質(zhì)：一條直線的平行線有無數(shù)條；過線外一點作平行線，只能畫一條；兩條平行線之間的距離處處相等，兩條平行線之間的垂線段就是他們的距離。相交與垂直相交：如果兩條直線只有一個公共點，這兩條直線叫相交直線。垂直：兩條直線相交成直角時，叫做兩條直線相互垂直。兩條直線互稱為對方的垂線。一條直線的垂線有無數(shù)條，過線外一點作已知直線的垂線只能畫一條。從直線外一點到這條直線所畫的垂直線最短，它的長度叫作這點到直線的距離。知識點03：角的認識角的定義由一個頂點引出的兩條射線所組成的圖形叫做角，角也可以看成是一條射線圍繞它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。角的分類平角：當角的兩邊旋轉(zhuǎn)成一條直線時，這時所形成的角叫做平角，等于180度。周角：當角的兩邊經(jīng)過旋轉(zhuǎn)重合時，這時所形成的角叫做周角，等于920度。銳角：小于90度的角是銳角。直角：等于90度的角是直角。鈍角：小于90度小于180度的角是鈍角。角的度量角的度量單位是度，記作“°”。認識量角器：量角器是把半圓平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心點、0刻度線、內(nèi)刻度線、外刻度線。使用方法：“兩合一看”，“兩合”是指中心點與角的頂點重合；0刻度線與角的一邊重合?！耙豢础本褪且唇堑牧硪贿吽鶎Φ牧拷瞧鞯目潭?。易錯知識點01：線的認識直線、射線和線段的混淆易錯點：學生容易將直線、射線和線段的概念混淆，特別是關于它們能否測量長度以及延伸性質(zhì)的理解上。解析：直線沒有端點，可以向兩個方向無限延伸，不能測量長度；射線有一個端點，只能向一個方向無限延伸，也不能測量長度；線段有兩個端點，不能向兩個方向無限延伸，可以測量長度。過點畫直線的理解易錯點：學生可能誤解為“過一點只能畫一條直線”，實際上過一點可以畫無數(shù)條直線。解析：應明確過一點（非兩個點）可以畫出無數(shù)條直線，而過兩點只能畫出一條直線。易錯知識點02：線與線的關系平行線的理解易錯點：學生可能認為平行線只能在同一平面內(nèi)，但忽視了“不相交”這一關鍵條件。解析：平行線的定義是在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線。必須同時滿足“同一平面”和“不相交”兩個條件。垂直線的判斷易錯點：學生可能錯誤地認為只要兩條直線相交就是垂直，或者認為垂直線只能畫一條。解析：垂直線是指兩條直線相交成直角，即相交角為90°。一條直線的垂線有無數(shù)條，但過線外一點作已知直線的垂線只能畫一條。易錯知識點03：角的認識角的分類混淆易錯點：學生容易將銳角、直角、鈍角、平角、周角的定義混淆，特別是小于90°的角不一定是鈍角。解析：應明確銳角小于90°，直角等于90°，鈍角小于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于920°。小于90°的角可能是鈍角，也可能是平角或周角。角的大小與邊的長短無關易錯點：學生可能誤認為角的大小與邊的長短有關。解析：角的大小是由其張口大小決定的，與邊的長短無關。易錯知識點04：角的度量量角器的使用易錯點：學生在使用量角器時，容易讀錯刻度或混淆內(nèi)外刻度。解析：使用量角器時，應確保中心點與角的頂點重合，0刻度線與角的一邊重合。讀刻度時，注意看角的另一邊所對的刻度，并根據(jù)開口方向選擇內(nèi)刻度或外刻度。度數(shù)的計算易錯點：在計算角的度數(shù)時，學生可能忽視已知條件或計算錯誤。解析：在計算角的度數(shù)時，應仔細審題，明確已知條件，并按照角的性質(zhì)進行計算?？键c1：直線、線段和射線的認識【精講題】（2023秋?雨花區(qū)期末）下面四個說法中，有個是正確的。①直線是無限長的②小于或等于的角叫銳角③1周角平角直角④將圓平均分成920份，人們把其中的1份所對的角作為度量角的單位A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】①直線沒有端點，兩邊可無限延長；②小于小于的角叫銳角；③1周角，平角，直角，所以1周角平角直角；④將圓平均分成920份，人們把其中1份所對的角作為度量角的單位，是1度，記作?！疽?guī)范解答】解：①直線沒有端點，兩邊可無限延長，所以直線是無限長的。原題說法是正確的；②小于小于的角叫銳角，所以原題說法是錯誤的；③1周角，平角，直角，所以1周角平角直角，所以原題說法是正確的；④將圓平均分成920份，人們把其中1份所對的角作為度量角的單位，是1度，記作，所以原題說法是正確的。下面四個說法中，有3個是正確的。故選：?！究键c評析】本題考查了有關直線的特征及交的分類和角的度量單位?！揪氼}01】（2024?驛城區(qū)）1條直線；條射線；條線段?！舅悸伏c撥】直線沒有端點，兩邊可無限延長；射線有一端有端點，另一端可無限延長；線段，有兩個端點，而兩個端點間的距離就是這條線段的長度?！疽?guī)范解答】解：上圖有1條直線，10條射線，10條線段。故答案為：1，10，10?！究键c評析】本題考查了直線、射線及線段的特征?！揪氼}02】（2023秋?韓城市期末）如圖，有、、三個點，請按要求畫一畫。（1）畫出直線。（2）畫出射線和射線?！舅悸伏c撥】（1）直線沒有端點，兩邊可無限延長；（2）射線有一端有端點，另一端可無限延長?！疽?guī)范解答】解：【考點評析】此題主要考查直線、射線的特征?！揪氼}03】（2023秋?鶴城區(qū)期末）（1）在方格紙上畫出射線，并從點起在射線上截取一條長2厘米的線段。（2）在方格紙上畫出平行四邊形和梯形指定底邊上的高。【思路點撥】（1）以點為端點，過點畫一條直的線即可得到射線，再在射線上取一點，使等于2厘米即可。（2）從平行四邊形指定的底邊的對邊上一點作底邊的垂線段，即為平行四邊形指定底邊上的高；從梯形指定的底邊的對邊上一點作底邊的垂線段，即為梯形指定底邊上的高?！疽?guī)范解答】解：（1）（2）見下圖：【考點評析】本題考查了射線及線段的特征及平行四邊形和梯形的特征?？键c2：兩點間線段最短與兩點間的距離【精講題】（2023秋?嶧城區(qū)期末）從學校到附近一條筆直的公路有四條小路，長度分別是376米、245米、308米、521米，其中有一條與公路互相垂直，這條小路的長是A．376米 B．245米 C．308米 D．521米【思路點撥】有一條小路與公路互相垂直，那么這條小路到公路的距離是最短的，比較4個數(shù)據(jù)的大小即可解答?！疽?guī)范解答】解：521米米米米答：這條小路長245米。故選：?！究键c評析】本題考查了點倒直線的距離，線段最短。【精練題01】（2023秋?夏邑縣期末）笑笑要從家到公園去玩，如圖的三條路線，走路線最節(jié)省時間。A．① B．② C．③【思路點撥】根據(jù)兩點之間線段最短可知，笑笑要從家到公園的三條路線，笑笑走路線②最近，也就最節(jié)省時間。據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：笑笑要從家到公園去玩，如圖的三條路線，走路線②最節(jié)省時間。故選：?！究键c評析】本題考查了兩點之間線段最短知識，結合題意分析解答即可?！揪氼}02】（2023秋?龍華區(qū)期中）投沙包比賽，三位同學站在投擲點往投擲線外投出去，體育老師測量沙包的落地點到投擲點的距離就是同學們的投擲成績。如圖是三位同學投擲沙包落地點的示意圖，成績最好的是A．淘氣 B．笑笑 C．奇思 D．無法判斷【思路點撥】要看誰的成績最好，就是看沙包落地點到投擲線的垂直距離哪個長，奇思的沙包落地點在第三道橫虛線處，與投擲線的距離小于其他兩人，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：奇思的沙包落地點在第三道橫虛線處，淘氣的沙包落地點在接近第三道橫虛線處，笑笑的沙包落地點在第二道橫虛線處，奇思的沙包落地點與投擲線的距離小于其他兩人，奇思的沙包投的最遠，所以成績最好的是奇思。故選：?！究键c評析】解答此題的關鍵是明確成績是由落地點到投擲線的垂直距離大小決定的?！揪氼}03】（2022秋?莒縣期末）周末，小明去奶奶家做客，寫作業(yè)時發(fā)現(xiàn)忘記帶練習本，他到乙商店購買距離最近，理由是：?！舅悸伏c撥】因為點到直線的所有連線中，垂線段最短，由此進行解答即可?！疽?guī)范解答】解：小明去奶奶家做客，寫作業(yè)時發(fā)現(xiàn)忘記帶練習本，他到乙商店購買距離最近，理由是：從直線外一點到這條直線所畫的所有線段中，垂線段最短。故答案為：乙，從直線外一點到這條直線所畫的所有線段中，垂線段最短?！究键c評析】此題考查兩點之間，垂線段最短的簡單應用。考點3：角的概念和表示【精講題】（2023秋?羅甸縣期末）下列說法正確的是A．平角的兩條邊在一條直線上 B．小于的角都是鈍角 C．一條直線長200米 D．平行四邊形只有1條高【思路點撥】角有兩條邊一個頂點，平角的兩邊在一條直線上；鈍角小于90度小于180度；直線沒有端點，兩邊可無限延長；平行四邊形有無數(shù)條高，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：平角的兩條邊在一條直線上，說法正確；小于小于的角都是鈍角，原題說法錯誤；一條線段長200米，原題說法錯誤；平行四邊形有無數(shù)條高，原題說法錯誤。故選：?！究键c評析】本題考查了平角的特征、鈍角的特征、直線的特征、平行四邊形的特征?！揪氼}01】（2023秋?鶴城區(qū)期末）同學們在操場上進行隊列練習，當他們原地向左轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)過一個直角；原地向后轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)過一個角?！舅悸伏c撥】根據(jù)題意，原地向左轉(zhuǎn)，是向左轉(zhuǎn)動，即轉(zhuǎn)過一個直角；原地向后轉(zhuǎn)時，是從前轉(zhuǎn)到后，前后成一條直線，所轉(zhuǎn)過的角度是，即轉(zhuǎn)過一個平角。據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：根據(jù)分析可知：當他們原地向左轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)過一個直角；原地向后轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)過一個平角。故答案為：直，平?！究键c評析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的應用?！揪氼}02】（2023秋?順義區(qū)期末）先找角，再畫角。①把一張半圓形的紙（如圖）對折兩次，打開后可以找到多少度的角？（寫在下面的空白處）②畫出以上各角?！舅悸伏c撥】①半圓形的紙對折兩次，是把180度的平角平均分成4份，據(jù)此利用除法計算；②把扇形平均分成4份，據(jù)此畫圖即可?！疽?guī)范解答】解：①答：打開后可以找到45度、90度和135度的角。②【考點評析】本題考查了平角的特征及圖形的劃分?！揪氼}03】（2022秋?中原區(qū)月考）思思用一副三角尺拼出一個鈍角。先想一想思思是怎么拼的，再填一填，畫一畫。思思可以把30角和角拼在一起，在上面量角器上把拼出的這個鈍角畫出來?！舅悸伏c撥】鈍角小于90度的直角，小于180度的平角，可以畫一個直角和一個銳角即可得到鈍角，答案不唯一?！疽?guī)范解答】解：如圖：故答案為：30，?！究键c評析】本題考查了鈍角的特征?？键c4：角的分類（銳角直角鈍角）【精講題】（2023秋?崇川區(qū)期末）如圖，汽車經(jīng)過收費亭時，轉(zhuǎn)桿會慢慢地升起。轉(zhuǎn)桿升起的過程中，與豎桿形成的角的變化情況為A．直角鈍角周角 B．銳角直角鈍角 C．直角鈍角平角 D．銳角鈍角直角【思路點撥】小于的角是銳角，的角是直角，小于小于的角是鈍角，的角是平角，的角是周角，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：轉(zhuǎn)桿升起的過程中，與豎桿形成的角的變化情況為直角鈍角平角。故選：。【考點評析】本題考查了角的分類及大小比較?！揪氼}01】（2024?驛城區(qū)）4個銳角；個鈍角；個直角?！舅悸伏c撥】規(guī)定平角的一半是，直角的兩邊互相垂直。規(guī)定小于的角為鈍角，小于的角為銳角?！疽?guī)范解答】解：4個銳角；2個鈍角；3個直角。故答案為：4，2，3?！究键c評析】本題考查了角的分類?！揪氼}02】（2023秋?中原區(qū)期末）鄭州的張爺爺每年都要坐高鐵參加山東濰坊國際風箏節(jié)。為了坐得最舒適，如圖座椅的靠背應調(diào)節(jié)到什么位置？畫一畫?！舅悸伏c撥】圖中的角是一個直角，直角等于90度，是小于直角的鈍角，利用量角器測量即可?！疽?guī)范解答】解：如圖：【考點評析】本題考查了角的分類特征?！揪氼}03】（2023秋?密云區(qū)期末）如圖中的角是90度。請你在下面畫出一個角，這個角的度數(shù)與如圖角的度數(shù)合起來是平角。【思路點撥】看一下角的兩邊度數(shù)是多少，利用大度數(shù)減去小度數(shù)即可，平角等于180度，利用180度減去圖中的角的度數(shù)即可求出所畫角的度數(shù)；先畫一條射線使量角器的中心和射線的端點重合，零刻度線和射線重合；在量角器角刻度線的地方點一個點；以射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線即可作成一個的角。【規(guī)范解答】解：因此圖中的角是90度。如圖：故答案為：90?！究键c評析】本題考查了角的度量方法及角畫法?？键c5：垂直與平行的特征及性質(zhì)【精講題】（2023秋?磐石市期末）下面圖形中，能正確表示出平行、垂直和相交關系的是A． B． C．【思路點撥】在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。在同一個平面內(nèi)，兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系只有兩種，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情況，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系只有兩種，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情況，所以最能表示出平行、垂直和相交關系。故選：。【考點評析】此題考查了垂直與平行的特征和性質(zhì)，要熟練掌握?！揪氼}01】（2023秋?潛江期末）如圖，互相平行的線有和；與直線互相（填平行或垂直）；點與直線的連線中，最短的線段是?！舅悸伏c撥】根據(jù)平行線和互相垂直的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；在同一平面內(nèi)，當兩條直線相交成90度時，這兩條直線互相垂直；從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短。據(jù)此進行解答?！疽?guī)范解答】解：根據(jù)分析可知：互相平行的線有和；與直線互相垂直；點與直線的連線中，最短的線段是。故答案為：，，垂直，?！究键c評析】本題考查了垂直和平行的性質(zhì)?！揪氼}02】（2023秋?錦州期末）沙包投擲練習時，同學們站在起擲線原地投擲，沙包落地點到起擲線的距離為同學們的成績。如圖是三個同學投擲沙包的示意圖，小紅的成績?yōu)?00厘米。（1）在圖中分別畫出表示小軍和小麗沙包落地點到起擲線距離的線段。（2）小麗的成績最好，是厘米?！舅悸伏c撥】（1）連接小軍和小麗沙包落地點到起擲線距離的線段，就是從落地點到起擲線作垂線。（2）標出3人的成績，比較大小即可?！疽?guī)范解答】解：（1）（2）從圖上可知：小軍的成績?yōu)?0厘米，小麗的成績?yōu)?80厘米。答：小麗的成績最好，是180厘米。故答案為：小麗，180?！究键c評析】本題考查了畫垂線的方法及比較數(shù)的大小。【精練題03】（2023秋?孝義市期中）用不同的顏色的筆涂一涂。（1）在圖中分別描出一個銳角、直角、鈍角、平角。（2）在圖中分別描出一組互相垂直、互相平行的線。（3）在圖中分別描出一條線段、直線、射線?！舅悸伏c撥】（1）根據(jù)角的度數(shù)判斷角的種類，銳角小于0度小于90度，直角等于90度，鈍角小于90度小于180度；（2）兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；（3）直線沒有端點，兩邊可無限延長；射線有一端有端點，另一端可無限延長；線段，有兩個端點，而兩個端點間的距離就是這條線段的長度。【規(guī)范解答】解：如圖：（1）；（2）；（3）。（答案不唯一）【考點評析】本題考查了角的分類；直線、射線及線段的特征和平行和垂直的意義?？键c6：過直線外一點作已知直線的平行線【精講題】（2023秋?信陽期末）按要求畫一畫。（1）過點作一條直線與已知射線平行。（2）以為頂點，已知射線為一條邊，畫一個的角?！舅悸伏c撥】（1）用三角板的一條直角邊和射線重合，移動三角板使另一條直角邊和點重合，用直尺靠緊和點重合的直角邊，按住直尺不動，沿直尺移動三角板，過點畫直線即可。（2）使量角器的中心和點重合，零刻度線和已知射線重合，在量角器角刻度線的地方點一個點；以點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線即可作成一個的角?！疽?guī)范解答】解：（角的畫法不唯一）【考點評析】本題考查畫指定的角，過直線外一點畫已知直線的平行線。熟練掌握方法是解決本題的關鍵?！揪氼}01】（2023秋?涿州市期末）過點作直線的平行線，過點作直線的垂線。【思路點撥】（1）把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和點重合，過點沿三角板的直角邊畫直線即可。（2）用三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和點重合，過點沿直角邊向已知直線畫直線即可。【規(guī)范解答】【考點評析】本題考查了學生畫平行線和垂線的能力?！揪氼}02】（2023秋?懷寧縣期末）經(jīng)過點鋪一根水管，要求水管與公路平行，請把水管畫出來?！舅悸伏c撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)，過直線外一點作已知直線的平行線，能作且只能作一條。用三角板的一條直角邊和已知公路重合，移動三角板使另一條直角邊和點重合，用直尺靠緊和點重合的直角邊，按住直尺不動，沿直尺移動三角板，過點畫直線即可?！疽?guī)范解答】解：如圖：【考點評析】本題考查了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，結合題意分析解答即可。【精練題03】（2023秋?渝水區(qū)期末）過點畫射線的垂線，再過點畫射線的平行線?！舅悸伏c撥】先將直尺與重合，然后向點平移，與點重合后，再作過點的直線即為的平行線；用直角三角形的一條直角邊與重合，另一條直角邊與點重合，然后過點作的垂線?！疽?guī)范解答】解：所作圖形如下：【考點評析】此題主要考查過直線外一點作直線的平行線或垂線?？键c7：相交與垂直【精講題】（2023秋?懷來縣期末）在同一個平面內(nèi)，兩條直線相交，如果一個角是，那么與它相鄰的角是?！舅悸伏c撥】因為這個已知的角和它相鄰的角組成一個平角，所以用減去即可求出和它相鄰的角的度數(shù)?！疽?guī)范解答】解：答：與它相鄰的角是。故答案為：?！究键c評析】本題主要是利用平角的意義解決問題，關鍵是明確這個已知的角和它相鄰的角組成一個平角?！揪氼}01】（2023秋?開江縣期末）語文課本的封面，相對的兩條邊是相互平行的，相鄰的兩條邊是相互的．【思路點撥】數(shù)學書的封面是長方形，根據(jù)長方形的特征，對邊平行且相等，4個角都是直角．由此解答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)長方形的特征，對邊平行且相等，4個角都是直角．因此，數(shù)學書的封面相對的兩條邊互相平行，相鄰的兩邊互相垂直的；故答案為：平行，垂直．【考點評析】此題主要考查長方形的特征，對邊平行且相等，4個角都是直角，據(jù)此解決問題．【精練題02】（2021秋?柳州期末）2021年10月16日神舟十三號載人飛船成功發(fā)射，它被送入太空的“近地點”高度二十萬米，橫線上的數(shù)寫作200000；“遠地點”高度359000米，橫線上的數(shù)讀作，這個數(shù)中的“5”表示5個，359000米省略萬后面的尾數(shù)約是萬米。神舟十三號成功完成徑向交會對接，小思把它們的位置畫了下來（如圖），中國空間站和神舟十三號的位置關系是互相?！舅悸伏c撥】根據(jù)整數(shù)的寫法：從高位寫起，一級一級的往下寫，哪個數(shù)位上是幾就寫幾，如果哪個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0來表示。讀這個數(shù)時，從高位到低位，一級一級地讀，每一級末尾的0都不讀出來，其余數(shù)位連續(xù)幾個0都只讀一個零，然后根據(jù)數(shù)的組成進行填空即可。找出”5“對應的數(shù)位，即可得出答案。省略萬后面的尾數(shù)“四舍五入”到萬位要看千位。從圖上可得：中國空間站和神舟十三號之間的夾角是，所以它們的位置關系是互相垂直?！疽?guī)范解答】解：2021年10月16日神舟十三號載人飛船成功發(fā)射，它被送入太空的“近地點”高度二十萬米，橫線上的數(shù)寫作200000；“遠地點”高度359000米，橫線上的數(shù)讀作三十五萬六千，這個數(shù)中的“5”表示5個萬，359000米省略萬后面的尾數(shù)約是36萬米。神舟十三號成功完成徑向交會對接，小思把它們的位置畫了下來（如圖），中國空間站和神舟十三號的位置關系是互相垂直。故答案為：200000，三十五萬六千，萬，36，垂直。【考點評析】本題考查學生對整數(shù)讀寫法和近似數(shù)的掌握和運用，本題還涉及到垂直的位置關系，要求學生熟記垂直的定義。【精練題03】（2023秋?譙城區(qū)校級月考）某公園中由廣場到秀園路修了、兩條路，但人們總喜歡在草坪中走出這樣一條路。你能利用所學知識解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因嗎？如果你是草坪管理員，你會給公園設計師提什么建議？【思路點撥】從直線外一點到這條直線的所有連線中，垂線段最短，接下來根據(jù)垂線段的性質(zhì)，并結合已知，進行分析，即可解答?！疽?guī)范解答】解：因為是從廣場到秀園路最近的一條路。建議公園設計師在草坪中設計一條這樣的路，方便人們行走。（建議合理即可）?！究键c評析】本題是一道關于垂線段應用的題目，解答本題的關鍵是掌握垂線段的性質(zhì)。考點8：過直線上或直線外一點作直線的垂線【精講題】（2023秋?孝昌縣期末）根據(jù)所給的射線作為角的一條邊，畫出一個的角；過點分別畫出這個角的兩條邊的垂線。【思路點撥】根據(jù)角的畫法，所給的射線作為角的一條邊，畫出一個的角即可；然后根據(jù)過一點作直線的垂線的方法，過點分別畫出這個角的兩條邊的垂線即可?！疽?guī)范解答】解：所給的射線作為角的一條邊，畫出一個的角；過點分別畫出這個角的兩條邊的垂線。如圖：【考點評析】本題考查角的畫法以及過一點作直線的垂線的方法，結合題意分析解答即可?！揪氼}01】（2023秋?洪澤區(qū)期末）過點畫的平行線，再過點畫的垂線?！舅悸伏c撥】把三角板的一條直角邊與重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和重合的直角邊和點重合，過點沿三角板的直角邊畫直線即可；把三角板的一條直角邊與重合，沿直線移動三角板，使三角板的另一條直角邊和點重合，過點沿三角板的直角邊，向畫直線即可?！疽?guī)范解答】解：【考點評析】本題考查了學生平行線和垂線的作法，培養(yǎng)學生的作圖能力。【精練題02】（2023秋?黃州區(qū)期末）分別過點畫的垂線。【思路點撥】過直線上或直線外一點作垂線的步驟：1、把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。2、沿著直線移動三角尺，使直線上或直線外的點在三角尺的另一條直角邊上。3、沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線，并畫上垂直符號。這條直線就是已知直線的垂線?！疽?guī)范解答】解：【考點評析】經(jīng)直線外（或直線上）一點作已知直線的垂線，關鍵是三角板的正確、熟練使用，畫垂線要標出垂足。【精練題03】（2023秋?溧陽市期末）有一個四邊形（如圖）。（1）經(jīng)過點向邊畫垂線。（2）經(jīng)過點畫的平行線。（3）量出115。（4）量出點到邊的距離是毫米。【思路點撥】（1）過直線外一點作已知直線的垂線的方法是：把三角板的一直角邊與已知直線重合，沿這條直線滑動三角板，當另一直角邊經(jīng)過已知點時，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過直線外一點的這條直線的垂線。（2）過直線外一點作已知直線的平行線的方法是：把三角板的一邊與已知直線重合，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動三角板，當與直線重合的一邊經(jīng)過已知點時，沿這邊畫直線，這條直線就與已知直線平行；。（3）角的度量方法：量角器的中心與角的頂點重合，0刻度線與角的一邊重合，角的另一邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數(shù)。（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度，叫做點到直線的距離?！疽?guī)范解答】解：（1）（2）如圖：（3）經(jīng)測量。（4）點到邊的距離是如圖垂線的距離答：經(jīng)測量點到邊的距離是20毫米。故答案為：（3）；（4）20?！究键c評析】本題考查了學生動手操作的能力?？键c9：角的畫法【精講題】（2022秋?漢南區(qū)期末）明明用一副三角板拼出了幾個鈍角，想一想：他是怎么拼的？然后在下邊的量角器上畫出其中一個鈍角?！舅悸伏c撥】鈍角小于90度小于180度，一副三角板的六個角共有四個度數(shù)，，，，，然后進行加法運算，找到符合條件的角。然后利用量角器畫鈍角即可。【規(guī)范解答】解：一共可以拼出4種鈍角。如圖：（畫法不唯一）【考點評析】本題考查了鈍角的特征、三角板的認識及量角器的使用。【精練題01】（2019秋?鹽城期末）①量一量，90。②以為定點，畫一個比大的角。（測量結果保留整十數(shù)）【思路點撥】①把量角器的中心與的頂點重合，刻度線與其中一邊重合，另一邊所指的度數(shù)就是的度數(shù)（注意，刻度線與另一邊所指的度數(shù)是指量角器的同一圈刻度）。②的度數(shù)加就是要畫角的度數(shù)，把量角器的中心與點重合，刻度線與已知邊重合，過該角的度數(shù)所指的刻度，畫以點為端點的射線，已知邊與所畫射線所夾的角就是所畫的角。也可以的一邊為邊，在的外面畫一個的，兩角的和就是所畫的角?！疽?guī)范解答】解：①。②【考點評析】用量角器量角或畫角，量角器的正確、熟練使用是關鍵?！揪氼}03】（2021秋?舞鋼市期末）（1）以點為頂點，用你自己喜歡的方法以為角的一條邊，畫一個的角。（2）經(jīng)過點畫出邊的平行線和垂線。（3）量一量，點到邊的距離是3厘米。（取整厘米）【思路點撥】（1），的角既可用量角器畫，也可用三角板中角和角畫。（2）把三角板的一邊靠緊直線，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動三角板，當與直線緊靠的一邊經(jīng)過已知點時，沿這邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過點畫出的邊的平行線；把三角板的一直角邊靠緊直線，沿直線滑動三角板，當另一直角邊經(jīng)過已知點時，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過點畫出的邊的垂線。（3）用刻度尺即可量出點到邊的距離（點到垂足間的線段的長度）。【規(guī)范解答】解：（1）以點為頂點，用你自己喜歡的方法以為角的一條邊，畫一個的角（如圖）。（2）經(jīng)過點畫出邊的平行線（如圖紅線）和垂線（如圖綠線）。（3）點到邊的距離是3厘米。故答案為：3?！究键c評析】此題考查的知識點：畫角、過已知直線外一點作已知直線的平行線和垂線、點到直線的距離、線段的度量等?！揪氼}03】（2022秋?臨泉縣期中）連一連?！舅悸伏c撥】根據(jù)銳角、鈍角、直角、平角的含義進行解答：銳角：小于小于的角；鈍角：小于小于的角；直角：等于的角；平角：等于的角；周角是等于的角，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：解答如下：【考點評析】此題考查了角的分類知識，理解和掌握銳角、鈍角、直角、平角、周角的含義，是解答此題的關鍵?？键c10：角的度量【精講題】（2023秋?崇川區(qū)期末）如圖，用一個損壞的量角器量角，所量的角是。A．30 B．45 C．90 D．90【思路點撥】根據(jù)對量角器的了解，內(nèi)圈，即外圈，用量角器外圈與角的一邊重合大的刻度減去量角器外圈與角的一邊重合小的刻度，可得出角的度數(shù)?！疽?guī)范解答】解：答：所量的角是。故選：。【考點評析】本題考查了角的度量知識，結合量角器的使用方法解答即可?！揪氼}01】．（2023秋?玄武區(qū)期末）如圖是某街區(qū)的示意圖。（1）用量角器量出90。（2）解放路在勝利小學的西北面，與和平路平行，并且在圖上量得勝利小學與解放路的距離是1厘米。在圖上利用一條直線表示解放路。（3）勝利小區(qū)鋪設天然氣管道，主管道在華山路，怎么鋪最節(jié)省材料？把它畫出來?！舅悸伏c撥】（1）根據(jù)角的度量方法，用量角器量出的度數(shù)即可。（2）根據(jù)“上北下南左西右東”的圖上方向，結合長度測量的方法以及平行線知識，解答即可。（3）根據(jù)點到直線之間，垂線段最短，解答即可?！疽?guī)范解答】解：（1）用量角器量出。（2）解放路在勝利小學的西北面，與和平路平行，并且在圖上量得勝利小學與解放路的距離是1厘米。在圖上利用一條直線表示解放路。如圖：（3）勝利小區(qū)鋪設天然氣管道，主管道在華山路，想要最節(jié)省材料，把它畫出來，如圖：故答案為：90。【考點評析】本題考查了角的度量、方向與位置、平行線的畫法以及點到直線之間，垂線段最短知識，結合題意分析解答即可。【精練題02】（2023秋?十堰期末）請你在下面的方格紙上按要求量一量，畫一畫。（每個小方格的邊長表示（1）量出方格紙中角的度數(shù)，并在圖上標出來。（2）以這個角的兩條邊為一組鄰邊，畫一個平行四邊形，并畫出它的高?！舅悸伏c撥】角的度量方法：量角要注意兩對齊：量角器的中心和角的頂點對齊；量角器的0刻度線和角的一條邊對齊；做到兩對齊后看角的另一條邊對著刻度線幾，這個角就是幾度；看刻度要分清內(nèi)外圈。有兩組對邊平行的四邊形叫平行四邊形，由此畫出平行四邊形。根據(jù)平行四邊形的高的意義，從任一頂點作它對邊的垂線段，這條垂線就叫高，據(jù)此畫出即可?！疽?guī)范解答】解：（高的畫法不唯一）【考點評析】本題考查了角的度量，平行四邊形的畫法及平行四邊形的高的畫法?！揪氼}03】．（2023秋?鼓樓區(qū)期末）寫出下面角的度數(shù)。【思路點撥】根據(jù)各圖形中已知的角的度數(shù)，靈活求出各角的度數(shù)：中把鐘面看作周角，一共平均分成了12個大格，每個大格的度數(shù)為，所求的角有兩個大格，用乘2即可；中所求的角是由三角板上角和角組合而成，所以用加即可；中所求的角由一個直角和直角的一半組成，所以用加上的商即可；中所求的角和角組成直角，所以用減即可?！疽?guī)范解答】解：由分析可知：；所以，角的度數(shù)分別為：；；；。故答案為：90；120；135；15。【考點評析】本題考查的是角的度量的應用?？键c11：畫指定度數(shù)的角【精講題】（2023秋?宿城區(qū)期末）下面不能用一副三角板畫出的角是A． B． C． D．【思路點撥】一副三角板有兩個三角尺，一個三角尺的三個角的度數(shù)分別為：、、，另一個三角尺的三個角的度數(shù)分別為：、、，據(jù)此結合題意分析解答即可。【規(guī)范解答】解：．，因此能用一副三角板畫出的角。．不能用一副三角板畫出的角。．，因此能用一副三角板畫出的角。．，因此能用一副三角板畫出的角。故選：。【考點評析】本題考查了角的拼組知識，結合題意分析解答即可。【精練題01】（2023秋?歷城區(qū)期末）芳芳同學要用一副三角尺畫一個的角，她可以怎樣去選擇這副三角尺上的角來畫呢？請你幫芳芳用算式表示出畫角的思路：，所以可以先用三角尺畫一個的角，然后以這個的角的一邊為邊，用三角尺在30度角的同一側畫一個的角，兩個角的差就是。?！舅悸伏c撥】一副三角尺中的角的度數(shù)分別是，，，，用它們進行拼組畫一個的角即可。【規(guī)范解答】解：，所以可以先用三角尺畫一個的角，然后以這個的角的一邊為邊，用三角尺在30度角的同一側畫一個的角，兩個角的差就是。【考點評析】本題考查了圖形拼組知識，結合題意分析解答即可。【精練題02】（2023秋?嶧城區(qū)期末）操作。（1）過點畫射線的垂線。（2）以點為頂點，以射線為一條邊，畫一個的角并標上角的度數(shù)?！舅悸伏c撥】（1）過直線外一點畫垂線的方法：把三角尺的一條直角邊與射線重合，讓三角尺的另一條直角邊通過點，沿著三角尺的另一條直角邊畫直線，這條直線就是射線的垂線。（2）首先把量角器放在所畫角的上面，使量角器的中心和射線的端點點重合，零刻度線和射線重合，在量角器的地方點一個點，然后以量角器的中心為端點，通過剛剛畫的點，再畫一條射線，這兩條射線所夾的角就是我們所要畫的角?！疽?guī)范解答】解：（1）過點畫射線的垂線。如圖：（2）以點為頂點，以射線為一條邊，畫一個的角并標上角的度數(shù)。如圖：【考點評析】本題考查了過直線外一點畫垂線的方法以及角的畫法，結合題意分析解答即可?！揪氼}03】（2023秋?潛江期末）畫一畫。（1）以為頂點，畫一個的角。（2）畫出從教學樓到綜合樓最近的路；畫出從教學樓到操場最近的路線?！舅悸伏c撥】（1）根據(jù)角的畫法，以為頂點，畫一個的角即可。（2）根據(jù)兩點之間，線段最短，畫出從教學樓到綜合樓最近的路；根據(jù)點到直線之間垂線段最短，畫出從教學樓到操場最近的路線即可。【規(guī)范解答】解：（1）以為頂點，畫一個的角。如圖：（2）畫出從教學樓到綜合樓最近的路；畫出從教學樓到操場最近的路線。如圖：【考點評析】本題考查角的畫法以及點到直線之間垂線段最短知識，結合題意分析解答即可。考點12：用三角尺畫30°，45°，90°，90°角【精講題】（2023秋?渭濱區(qū)期末）用一副三角尺不能畫出的角。A． B． C． D．【思路點撥】一副三角尺中的各個角的度數(shù)分別是、、、。將它們進行組合，可得到的角有，，，，，。據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：．，一副三角尺能畫出的角。．一副三角尺不能畫出的角。．，一副三角尺能畫出的角。．，一副三角尺能畫出的角。故選：?！究键c評析】本題考查了圖形拼組知識，結合三角尺的認識解答即可?！揪氼}01】（2022秋?岳池縣期末）如圖是由一副三角板拼成的角，這個角的度數(shù)是A． B． C． D．【思路點撥】一副三角板的角有，，，，由此分析看是由哪些角拼成，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：由圖知，是用45度和90度的角拼得。答如圖，一副三角板拼成的角的度數(shù)是。故選：?！究键c評析】本題考查了學生用一副三角板拼組角知識的掌握情況，根據(jù)題意解答即可。【精練題02】（2022秋?井研縣期末）用一副三角板可以畫出的角．．（判斷對錯）【思路點撥】先分清一副三角尺各個角的度數(shù)分別為、、、，然后將各個角相加或相減即可得出答案：如：由此即可畫圖，解答判斷即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題干分析可以畫角如下：所以“用一副三角板可以畫出的角”的說法是正確的．故答案為：．【考點評析】本題主要考查利用三角板畫出特殊度數(shù)的角的能力．【精練題03】（2021秋?威縣期末）用一副三角尺畫一個的角和一個的角．【思路點撥】①用三角尺上的角，畫一個角，再在這個畫的角的外部，用三角尺上的角同角的在頂點重合，一條邊重合，畫出的角，則這兩個角拼成的角就是；②一副三角板中，不等腰的三角板的角有、、，等腰直角三角板的角有、，用它們進行拼組，看是否能得出即可．據(jù)此作圖解答．【規(guī)范解答】解：①由分析畫圖如下：②【考點評析】本題考查了學生利用三角尺上的角進行組合后畫角的能力．考點13：線段與角的綜合【精講題】（2023秋?沐川縣期末）已知，A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)題意，和組成了平角，平角是180度的角，的度數(shù)已知，要求的度數(shù)，用減法計算，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：已知，。故選：?！究键c評析】本題考查平角的度數(shù)以及角的計算，熟練掌握并靈活運用?！揪氼}01】（2024?渭濱區(qū)）如圖，長方形里面有一個等邊三角形，45?！舅悸伏c撥】現(xiàn)根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，長方形的每個內(nèi)角都是90度，用180度減去15度，再減去90度，求出直角三角形的另一個銳角的度數(shù)，根據(jù)平角是180度，用180度減去直角三角形的另一個銳角，再減去等邊三角形的一個角的度數(shù)即可解答?！疽?guī)范解答】解：故答案為：45?！究键c評析】熟練掌握三角形的內(nèi)角和、等邊三角形的特征以及平角是180度是解題的關鍵?！揪氼}02】（2023秋?豐南區(qū)期末）如圖中，已知，是直角，則，按照這樣的方法推理計算，?！舅悸伏c撥】用平角的度數(shù)減去直角和的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；用平角的度數(shù)減去直角和的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；用平角的度數(shù)減去的度數(shù)，即可求出的度數(shù)?！疽?guī)范解答】解：答：，，。故答案為：【考點評析】本題考查角度的計算，理解平角和直角的度數(shù)是解決本題的關鍵?！揪氼}03】（2023秋?香洲區(qū)期末）如圖，，那么90?！舅悸伏c撥】如圖：根據(jù)長方形的角是直角，可知，，所以，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：，，所以故答案為：90?！究键c評析】本題考查角度的計算，理解長方形的角是直角是解決本題的關鍵?？键c14：鐘面上的角【精講題】（2024春?汶上縣期末）上午9時整，鐘面上時針和分針之間的較小夾角是90，到這天上午9時30分，分針順時針旋轉(zhuǎn)了?！舅悸伏c撥】首先根據(jù)鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12分，可得每個大格是；上午9時整時，分針指向12，時針指向9，中間有3個大格，每個大格之間的夾角是，用乘法可求出較小夾角的度數(shù)；到上午9時30分，分針從12指向6，經(jīng)過了6個大格，據(jù)此可得分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)?！疽?guī)范解答】解：上午9時整時，分針指向12，時針指向9，中間有3個大格，每個大格之間的夾角是，所以3個大格之間的度數(shù)是，即上午9時整，鐘面上時針和分針之間的較小夾角是；到上午9時30分，分針指向6，從9時到9時30分，分針經(jīng)過了6個大格，即分針順時針旋轉(zhuǎn)了。故答案為：90；180?！究键c評析】本題主要考查鐘面上的時針和分針夾角的求法，掌握鐘面的特征是解題的關鍵?！揪氼}01】（2023秋?涿州市期末）鐘面上的時針和分針什么時候會出現(xiàn)銳角、鈍角？請動手畫一畫?！舅悸伏c撥】鐘面上一個大格為，根據(jù)角的分類，畫上相應的時間即可。（答案不唯一）【規(guī)范解答】解：（答案不唯一）【考點評析】本題考查鐘面上角的認識以及角的分類?！揪氼}02】（2023秋?五華區(qū)月考）根據(jù)給定的時間分別在鐘面上畫出時針和分針，再看看時針和分針組成什么角？【思路點撥】時鐘上12個數(shù)字把鐘面平均分成12個大格，每個大格是。3時整，時針指向3，分針指向12，時針和分針之間有4個大格，則時針和分針的夾角是。1時整，時針指向1，分針指向12，時針和分針之間有1個大格，則時針和分針的夾角是。6時整，時針指向6，分針指向12，時針和分針之間有6個大格，則時針和分針的夾角是。5時整，時針指向5，分針指向12，時針和分針之間有5個大格，則時針和分針的夾角是。據(jù)此畫出時間并根據(jù)角的大小判斷角的形狀。【規(guī)范解答】解：如下圖所示：【考點評析】鐘面上每個大格是，時針和分針之間有幾個大格，夾角就是幾個，這是解題的關鍵。【精練題03】（2022秋?黔江區(qū)期末）鐘面上的角。如圖鐘面上時針和分針所成的較小的角是鈍角；再過5分鐘，時針和分針將形成的較小的角是角；在鐘面上，時整，時針和分針將形成平角?！舅悸伏c撥】鐘面上一個大格的度數(shù)是，根據(jù)角的分類進行解答即可?！疽?guī)范解答】解：如圖鐘面上時針和分針所成的較小的角是鈍角；再過5分鐘，時針和分針將形成的較小的角是直角；在鐘面上，6時整，時針和分針將形成平角。故答案為：鈍；直；6?！究键c評析】本題考查鐘面上角的認識基礎夯實優(yōu)選題專練1．∠1是鈍角、∠2是銳角，那么∠1-∠2是（）。A．一定是鈍角 B．一定是直角C．一定是銳角 D．不可能是平角【答案】C【規(guī)范解答】解：∠1-∠2可能是鈍角、可能是直角、可能是銳角，不可能是平角。

。

【思路點撥】小于90°的角叫銳角；小于90°小于180°的角叫做鈍角；等于90°的角是直角；1平角=180°。2．下面各圖中，互相垂直的是；互相平行的是。A.B.C.D.E.【答案】C；A、E【規(guī)范解答】解：互相垂直的是D；互相平行的是A、E。

；A、E。

【思路點撥】在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，這兩條直線叫做互相垂直；在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線，叫做互相平行。3．（2024四上·富陽期末）下列說法錯誤的是（）。A．如下圖，量角器量角的方法是正確的。B．左圖表示射線DE。C．左圖一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)半周，形成的角叫作平角。【答案】D【規(guī)范解答】解：A、角的頂點與量角器的中心點對齊，角的一條邊與0刻度線對齊，所以量角器量角的方法是正確的，說法正確；

B、左圖表示射線ED，而不是DE，說法錯誤；

C、一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)半周，形成的角叫做平角，說法正確。

。

【思路點撥】A、量角：①角頂點與量角器的中心點對齊；②角的一條邊與量角器的零刻度線對齊；③沿零刻度線所指方向的刻度找到角的另一條邊，另一條邊對齊刻度幾，角就是幾度；

B、射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線，這點叫做射線的端點，表示方法：端點開頭，另一點表示射線延伸的方向，如端點是E，D點表示射線是向右延伸的，所以表示射線ED；

C、一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)半周，形成的角叫做平角。4．將一張長方形紙對折后正好是一個正方形，將它打開后再如圖折疊，得到的這個角是°?！敬鸢浮?35【規(guī)范解答】解：45°+90°=135°，得到的這個角是135°。

故答案為：135。

【思路點撥】直角一半的度數(shù)+直角=得到的這個角的度數(shù)。5．上圖中，OE∥AF，OC⊥AF，EF⊥AF，從o點到直線AF的線段中，最短，這是因為；從圖中還可以知道，OCEF?！敬鸢浮縊C；垂直于同一條直線的兩直線平行；平行【規(guī)范解答】解：從o點到直線AF的線段中，OC最短，這是因為兩點之間，線段最短；

從圖中還可以知道，OC平行EF。

故答案為：OC；兩點之間，線段最短；平行。

【思路點撥】垂直于同一條直線的兩直線平行。6．如圖，射線OA、OB、OC把平面分成兩個部分，線段OA繞O點旋轉(zhuǎn)。當A點在區(qū)域時，旋轉(zhuǎn)形成銳角；當A點在區(qū)域時，旋轉(zhuǎn)形成鈍角；要形成一個平角，A點要在?！敬鸢浮緼OB；BOC；射線OA的反向延長線上【規(guī)范解答】解：當A點在AOB區(qū)域時，旋轉(zhuǎn)形成銳角；

當A點在BOC區(qū)域時，旋轉(zhuǎn)形成鈍角；

要形成一個平角，A點要在射線OA的反向延長線上。

OB；BOC；射線OA的反向延長線上。

【思路點撥】小于90°的角叫銳角；小于90°小于180°的角叫做鈍角；一個角的兩條邊在一條直線上時，所成的角是平角。7．（2024四上·濱江）按要求畫圖。（1）以上圖中的線段為底，畫一個高是2厘米、一組鄰邊的夾角是50°的平行四邊形。（2）在這個平行四邊形中添加一條線段，將它分成兩個完全一樣的三角形?！敬鸢浮浚?）解：（2）解：【思路點撥】（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，其中有保存進入下一題一組對角是50°；

（2）畫出平行四邊形的一條對角線，把平行四邊形分成了兩個完全一樣的三角形。8．（2024四上·濱江）畫一畫，數(shù)一數(shù)。（1）在下圖中畫出直線AC，射線BC。（2）現(xiàn)在整個圖形中有個銳角，個鈍角?！敬鸢浮浚?）解：（2）4；3【規(guī)范解答】解：（2）圖中，∠1、∠2、∠3、∠4是銳角，共4個；∠5、∠6、∠7是鈍角，共3個。

故答案為：（2）4；3。

【思路點撥】（1）直線沒有端點，射線有一個端點，據(jù)此畫出圖形；

（2）銳角＜直角＜鈍角＜180°，則∠1、∠2、∠3、∠4是銳角，共4個；∠5、∠6、∠7是鈍角，共3個。9．（2024四上·長興期末）如下圖所示。（1）量一量，°，它是一個角。（2）過P點作線段BC的垂線，垂足為O。（3）在格子圖中找平行四邊形的第四個頂點D，連接AD、CD，畫出平行四邊形ABC【答案】（1）135；鈍（2）解：如圖：

（3）解：如圖：

【思路點撥】(1)用量角器的中心點與B點重合，零刻度線對準角的一條邊，另外一條邊對準的刻度就是角的度數(shù)；小于0°小于90°的角是銳角，等于90°的角是直角，小于90°小于180°的角是鈍角；(2)直角三角板的一條直角邊與邊BC對齊，將三角板在BC邊上移動，當另一條直角邊與點P重合時，沿著另一條直角邊畫過P點的線段BC的垂線，垂足為O。(3)根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等找到點D，再連接AD、CD即可。10．（2024四上·慈