新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列素養(yǎng)作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊

第一章§22.1第1課時A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．假如2，a，b，c,10成等差數(shù)列，那么c－a＝(C)A．1 B．2C．4 D．8[解析]設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則10－2＝4d，解得d＝2，所以c－a＝2d＝4，故選C．2．已知在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝4，公差d＝－2，則通項公式an等于(C)A．4－2n B．2n－4C．6－2n D．2n－6[解析]由等差數(shù)列的通項公式得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.3．已知等差數(shù)列{an}的前三項為a－1，a＋1,2a＋1，則此數(shù)列的通項公式為(C)A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1[解析]∵a－1，a＋1,2a＋1是等差數(shù)列{an}的前三項，∴a＋1－(a－1)＝2a＋1－(a＋1)，∴a＝2，∴{an}的首項a1＝1，公差d＝2，∴通項公式an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a11＝24，a4＝3，則數(shù)列{an}的公差等于(B)A．1 B．3C．5 D．6[解析]設(shè){an}的首項為a1，公差為d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＋a1＋10d＝24，,a1＋3d＝3，))解得d＝3.5．(多選)下列命題中正確的是(BCD)A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2肯定成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差數(shù)列[解析]對于A，令a＝1，b＝2，c＝3，則a2＝1，b2＝4，c2＝9，A錯；對于B，取a＝b＝c?2a＝2b＝2c，B正確，對于C，因為a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正確．對于D，取a＝b＝c≠0，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，D正確．二、填空題6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3，則an＝_－2n＋3__.[解析]設(shè)公差為d，由題意，得a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.7．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且對隨意大于1的正整數(shù)n，點(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝_3n2__.[解析]∵點(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，∴eq\r(an)－eq\r(an－1)－eq\r(3)＝0，即eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)(n≥2)．則數(shù)列{eq\r(an)}是以eq\r(3)為首項，eq\r(3)為公差的等差數(shù)列，∴eq\r(an)＝eq\r(3)＋eq\r(3)(n－1)＝eq\r(3)n，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2.8．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．[解析]設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答題9．在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項．[解析](1)證明：因為3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)可得eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\f(1,3n－2).B組·實力提升一、選擇題1．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a101的值為(A)A．52 B．51C．50 D．49[解析]由已知{an}滿意2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝eq\f(1,2)，又由a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq\f(1,2)＝52.2．《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺．?dāng)乇疽怀?，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重多少？”按這一問題的題設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等差數(shù)列，則從粗端起先的其次尺的質(zhì)量是(B)A．eq\f(7,3)斤 B．eq\f(7,2)斤C．eq\f(5,2)斤 D．3斤[解析]依題意，金箠由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項為a1＝4，則a5＝2，設(shè)公差為d，則2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2)，所以a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).3．(多選)在數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差數(shù)列，公差為d，則(ABD)A．a(chǎn)4＝eq\f(1,2) B．a(chǎn)3＝1C．d＝eq\f(1,4) D．d＝eq\f(1,6)[解析]設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差為d，則eq\f(1,a6＋1)－eq\f(1,a2＋1)＝4d，代入數(shù)據(jù)可得d＝eq\f(1,6).因此eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋2d＝eq\f(2,3)，故a4＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，解得a3＝1.二、填空題4．已知x≠y，且兩個數(shù)列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(n＋1,m＋1).[解析]設(shè)這兩個等差數(shù)列公差分別是d1，d2，則a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一個數(shù)列共(m＋2)項，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次個數(shù)列共(n＋2)項，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1)，∴eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).5．已知數(shù)列{an}滿意an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項公式為_an＝2n－1__.[解析]由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.三、解答題6．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，試說明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，并求x95的值．[解析]因為當(dāng)n≥2時，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).C組·創(chuàng)新拓展(多選)在數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的推斷正確的是(BCD)A．若{an}是等方差數(shù)列，則{an}肯定是等差數(shù)列B．若{an}是等方差數(shù)列，則{an}可能是等差數(shù)列C．{(－1)n}是等方差數(shù)列D．若{an}是等方差數(shù)列，則{a2n}也是等方差數(shù)列[解析]an＝eq\r(n)，則aeq\o\al(2,n)＝n，{an}是等方差數(shù)列，但{an}不是等差數(shù)列，A錯誤；若an＝a，則aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝0，{an}是等方差數(shù)列，{an}也是等差數(shù)列，B正確；an＝(－1)n，則aeq\o\al(2,n)＝1，aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n