北京市昌平區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試卷

北京市昌平區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．已知集合A={x∣?1≤x<2}，A．(?∞，2) B．[?1，+∞) C．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(a，1)，且滿足(1?i)?z=2，則A．1 B．?1 C．2 D．?23．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是（）A．y=1x B．y=?x3 C．4．若a>b>0,c>d>0，則一定有（）A．a(chǎn)c>bd B．a(chǎn)c<5．已知二項式(x+ax)5的展開式中A．?1 B．1 C．?2 D．26．若sin(π?α)=?45，A．34 B．?34 C．47．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，則“角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱”是“sinα=sinβ”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．圖1：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在圖2中，將小球放入容器中從頂部下落，則小球落入D區(qū)的路線數(shù)有（）A．16 B．18 C．20 D．229．設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l.斜率為3的直線經(jīng)過焦點F，交拋物線C于點A，交準(zhǔn)線l于點BA．y2=2x B．y2=3x C．10．已知向量a，b，c滿足A．2?1 B．5?12 C．5二、填空題11．已知數(shù)列{an}中，a1=212．若直線y=kx+2與圓(x?1)2+y13．已知正三棱錐P?ABC的六條棱長均為a，O是底面△ABC的中心，用一個平行于底面的平面截三棱錐，分別交PA，PB，PC于給出下列四個結(jié)論：①三棱錐O?A②三棱錐P?ABC的高為63③三棱錐O?A④當(dāng)PA1PA其中所有正確結(jié)論的序號是.14．已知雙曲線x24?y25=1的焦點為F1，F(xiàn)15．在△ABC中，a=8，c=7，cosA=17，則三、解答題16．已知函數(shù)f(x)=3sin2ωx?cos2ωx(0<ω<2)，再從條件①條件①：函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(π條件②：函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到；條件③：函數(shù)f(x)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為π2注：如果選擇條件①?條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.（1）求f(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[0，π2]時，關(guān)于x的不等式17．不粘鍋是家庭常用的廚房用具，近期，某市消費者權(quán)益保護委員會從市場上購買了12款不粘鍋商品，并委托第三方檢測機構(gòu)進行檢測.本次選取了食物接觸材料安全項目中與消費者使用密切相關(guān)的6項性能項目進行比較試驗，性能檢測項目包含不粘性?耐磨性?耐堿性?手柄溫度?溫度均勻性和使用體驗等6個指標(biāo).其中消費者關(guān)注最多的兩個指標(biāo)“不沾性?耐磨性”檢測結(jié)果的數(shù)據(jù)如下：

檢測結(jié)果序號品牌名稱不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ級Ⅰ級2品牌2Ⅱ級Ⅰ級3品牌3Ⅰ級Ⅰ級4品牌4Ⅱ級Ⅱ級5品牌5Ⅰ級Ⅰ級6品牌6Ⅱ級Ⅰ級7品牌7Ⅰ級Ⅰ級8品牌8Ⅰ級Ⅰ級9品牌9Ⅱ級Ⅱ級10品牌10Ⅱ級Ⅱ級11品牌11Ⅱ級Ⅱ級12品牌12Ⅱ級Ⅱ級（Ⅰ級代表性能優(yōu)秀，Ⅱ級代表性能較好）（1）從這12個品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，求這兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級的概率；（2）從前六個品牌中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從后六個品牌中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)Y為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù)，比較隨機變量X和隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望的大小（結(jié)論不要求證明）.18．如圖，在多面體ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1A（1）求證：CC1∥（2）求直線A1C1（3）求直線A1B119．已知橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程和短軸長；（2）已知點P(1，0)，直線l過點(0，3)且與橢圓C有兩個不同的交點A，B，問：是否存在直線l，使得20．已知函數(shù)f(x)=e（1）當(dāng)m=0時，求曲線y=f(x)在點(0，（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）當(dāng)?e≤m<?1時，證明：對任意的x∈(0，21．已知數(shù)列{an}滿足：a1∈（1）若a1=2，寫出集合（2）若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合M的元素個數(shù)的最大值.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】依題意A∩B={x|故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合交集的運算法則得出集合A和集合B的交集。2．【答案】A【解析】【解答】由(1?i)?z=2得z=2又復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(a，1)，即故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，進而得出復(fù)數(shù)z，再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算法則和復(fù)數(shù)相等的判斷方法，進而得出實數(shù)a的值。3．【答案】B【解析】【解答】對于A，設(shè)f(x)=1x，則故f(x)=1對于B，設(shè)g(x)=?x3，其定義域為R且故g(x)=?x3為奇函數(shù)，而y=x故g(x)=?x3為對于C，設(shè)h(x)=x|x|，因為h(1)=1<4=h(2)，故h(x)=x|x|在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，C不符合題意.對于D，y=log12故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合奇函數(shù)的定義和減函數(shù)的定義，進而找出滿足要求的函數(shù)。4．【答案】C【解析】【解答】由題可得cd>0,則1cd因為a>b,c>d>0則ac>bc,bc>bd,則有ac>bd,所以ac?1cd故答案為：C【分析】由題,可得1cd>0,且ac>bc>bd,即5．【答案】B【解析】【解答】二項式(x+ax)令5?2r=?1，解得r=3，所以a3故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合二項式定理求出展開式中的通項公式，再結(jié)合展開式中的通項公式得出展開式中1x的系數(shù)，再利用展開式中16．【答案】D【解析】【解答】sin(π?α)=sin所以cosα=所以tanα=故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進而得出tanα7．【答案】A【解析】【解答】由題意知，角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱時，則α+β=π+2kπ，k∈Z，故α=π?β+2kπ，k∈Z，則sinα=sin(π?β+2kπ)=sinβ，k∈Z，即sinα=sinβ；當(dāng)α=β+2kπ，k∈Z時，此時sinα=sinβ，角α與角β的終邊不關(guān)于y軸對稱，即“sinα=sinβ”成立不能得出“角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱”成立，故“角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱”是“sinα=sinβ”的充分而不必要條件。故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法，進而推出“角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱”是“sinα=sinβ”的充分而不必要條件。8．【答案】C【解析】【解答】第一層只有一個小球，其左右各有一個空隙，小球到這兩個空隙處的線路數(shù)均為1；第二層有兩個小球，共有三個空隙，小球到這三個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為：1，2，1，第三層有三個小球，共有4個空隙，小球到這四個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為：1，1+2，第四層有四個小球，共有5個空隙，小球到這五個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為：1，1+3，第五層有五個小球，共有6個空隙，小球到這六個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為：1，1+4，第六層有六個小球，共有7個空隙，小球到這七個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為：1，1+5，故小球落入D區(qū)的路線數(shù)有20條。故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合分類加法計數(shù)原理，進而得出小球落入D區(qū)的路線數(shù)。9．【答案】B【解析】【解答】直線AB的斜率為3，傾斜角為π3過A作AH⊥l，垂足為H，連接HF，由于|AH|=|AF|，∠HAF=π所以|HF|=|AH|=1由于∠FHB=π6，所以所以拋物線方程為y2故答案為：B

【分析】利用直線AB的斜率為3結(jié)合直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式得出直線的傾斜角，過A作AH⊥l，垂足為H，連接HF，由于|AH|=|AF|，∠HAF=π3，所以三角形10．【答案】C【解析】【解答】把a，b平移到共起點，以b的起點為原點，b所在的直線為x軸，b的方向為x軸的正方向，見下圖，設(shè)OB又∵(c?a)?(c?b)=0??∴AC⊥BC則點C的軌跡為以AB為直徑的圓，又因為|a|=2，|故答案為：C

【分析】把a，b平移到共起點，以b的起點為原點，b所在的直線為x軸，b的方向為x軸的正方向，設(shè)OB=b，OA=a，OC=c，再利用向量的運算和數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，則點C的軌跡為以AB為直徑的圓，再利用|a11．【答案】a【解析】【解答】數(shù)列{an則an≠0，否則與故an+1an所以an故答案為：an

【分析】利用已知條件結(jié)合遞推公式變形和等比數(shù)列的定義，進而判斷出數(shù)列{an}12．【答案】5【解析】【解答】由題意知k∈R，直線y=kx+2過定點(0當(dāng)點(0，2)在圓上或圓內(nèi)時，直線即(0?1即a的最小值為5。故答案為：5。

【分析】由題意知k∈R，再將直線方程轉(zhuǎn)化為點斜式方程得出直線y=kx+2過定點(0，2)，當(dāng)點(013．【答案】①②④【解析】【解答】如圖所示∵用一個平行于底面的平面截三棱錐，且P?ABC為正三棱錐，O是底面△ABC的中心∴三棱錐O?A1B∵正三棱錐P?ABC的六條棱長均為a，O是底面△ABC的中心，∴三棱錐P?ABC的高為PO，△ABC的高為CD，且CD=32a∴PO=a2?，∵A1，B1，∴A1B1=x∈(0，a)，設(shè)O?A∴f(f'(x)=26ax?2所以f(x)在(0，2a3)當(dāng)PA1PA=2∴A1B∴VO?故④正確；故答案為：①②④

【分析】利用已知條件結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征、三棱錐的高求解方法、三棱錐的體積公式，函數(shù)的最值求解方法，進而找出正確的結(jié)論的序號。14．【答案】y=±52【解析】【解答】依題意a=2，b=5由于|PF1|=4=2a，所以P故答案為：y=±5

【分析】依題意得出a，b的值，再結(jié)合雙曲線的漸近線方程求解方法得出雙曲線的漸近線方程；由于|PF1|=4=2a，所以P15．【答案】5；π【解析】【解答】由余弦定理可得64=b故b2?2b?15=0，故b=?3（舍）或故cos∠C=64+25?492×5×8=1故答案為：5，π3

【分析】利用已知條件結(jié)合余弦定理得出b的值，再結(jié)合余弦定理和三角形中角C的取值范圍，進而得出角C的值。16．【答案】（1）解：f(x)=3選①：函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(π3，所以2ω×π3?由0<ω<2，可得ω=1，則f(x)=2sin(選②：函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到，即f(x)=2sin(2ωx?π則ω=1，則f(x)=2sin(選③：函數(shù)f(x)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為π2則函數(shù)的最小正周期為π，故2ω=2π故f(x)=2sin(（2）解：當(dāng)x∈[0，π2]時，故f(x)=2sin(又當(dāng)x∈[0，π2]時，關(guān)于x的不等式即實數(shù)m的取值范圍為[2【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)；選①：函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(π3，2)結(jié)合代入法和0<ω<2，進而得出ω的值，從而得出函數(shù)f(x)的解析式；選②：函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到，即f(x)=2sin(2ωx?π6)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到，再利用正弦型函數(shù)的圖象變換得出ω的值，從而得出函數(shù)f(x)的解析式；選③：利用函數(shù)f(x)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為π2，進而得出函數(shù)的最小正周期為π，再結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期公式得出ω的值，從而得出函數(shù)f(x)的解析式。

（2）當(dāng)17．【答案】（1）解：“不粘性”性能都是Ⅰ級的品牌有5個，記事件A為兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級，則P(A)=（2）解：前六個品牌中性能都是Ⅰ級的品牌有3個，X可能取值為0，1，2，P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C∴X分布列為X012P131E(X)=0×（3）解：后六個品牌性能都是Ⅰ級的品有2個，Y可能取值為0，1，2，P(Y=0)=CP(Y=1)=CP(Y=2)=C∴Y數(shù)學(xué)期望為E(Y)=0×【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合古典概型求概率公式得出這兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級的概率。

（2）利用已知條件得出隨機變量X可能的取值，再利用組合數(shù)公式和古典概型求概率公式得出隨機變量X的分布列，再結(jié)合隨機變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式得出隨機變量X的數(shù)學(xué)期望。

（3）利用已知條件得出隨機變量Y可能的取值，再利用組合數(shù)公式和古典概型求概率公式得出隨機變量Y的分布列，再結(jié)合隨機變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式得出隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望。

18．【答案】（1）證明：由題意CA⊥平面ABB1A1，CA?平面ABC，故平面又側(cè)面ABB1A而A1A?平面ABB1A所以A1A⊥平面ABC，又CC所以A1A∥CC1，而A1A?平面故CC1∥（2）解：因為CA⊥平面ABB1A1，AB?平面而A1A⊥平面故以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，因為AA則A(則AB=設(shè)平面ABC1的法向量為n=即3x=04y+2z=0，令y=1，則n設(shè)直線A1C1與平面AB則sinθ=（3）解：因為側(cè)面ABB1A而AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，故則直線A1B1到平面ABC1A1C1=(故點A1到平面ABC1即直線A1B1到平面AB【解析】【分析】（1）由題意得出直線CA⊥平面ABB1A1，再利用線面垂直證出面面垂直，故平面ABC⊥平面ABB1A1，再利用側(cè)面ABB1A1為矩形，故A1A⊥AB，再利用線線垂直證出線面垂直，所以（2）利用CA⊥平面ABB1A1結(jié)合線面垂直證出線線垂直，故CA⊥AB，而A1A⊥平面ABC，故以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC，AA1的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用AA1=AC=4，CC1=2，AB=3，從而得出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量求解方法得出平面ABC1的法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式，進而得出直線A1C1與平面AB19．【答案】（1）解：由題意知橢圓C：x2a2則a=2，且ca故橢圓C的方程為x24+（2）解：假設(shè)存在直線l，使得△PAB是以點P為頂點的等腰三角形，由于直線l過點(0，3)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線l為此時A，B為橢圓的短軸上的兩頂點，此時△PAB是以點當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+3，聯(lián)立y=kx+3x24當(dāng)直線y=kx+3與橢圓C有兩個不同的交點A，該方程Δ=(12k)設(shè)A(則x1所以y1設(shè)AB的中點為點D，則D(即D(?6k當(dāng)?6k2k此時AB的斜率k為0，不滿足k2>7由題意可知kAB×k解得k=?1或k=?12，由于k2>7綜合以上，存在直線l：x=0，使得△PAB是以點【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和代入法，再結(jié)合橢圓的離心率公式和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，進而得出a，b，c的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）假設(shè)存在直線l，使得△PAB是以點P為頂點的等腰三角形，由于直線l過點(0，3)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線l為x=0，此時A，B為橢圓的短軸上的兩頂點，此時△PAB是以點P為頂點的等腰三角形；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+3，再利用直線與橢圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合當(dāng)直線y=kx+3與橢圓C有兩個不同的交點A，B時，從而結(jié)合判別式法得出k的取值范圍，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，再利用韋達定理得出x1+x2=?12k2k2+1，x20．【答案】（1）解：當(dāng)m=0時，f(x)=ef(0)=1，所以切線方程為y?1=(e?1)x，（2）解：依題意，f(x)=ef'當(dāng)m=0時，f'(x)=e則f(x)在區(qū)間(?∞，0)，當(dāng)m<0時，f'(x)=0解得x=ln當(dāng)?1<m<0時，f(x)在區(qū)間(?∞，ln在區(qū)間(ln當(dāng)m=?1時，f'(x)≥0，當(dāng)m<?1時，f(x)在區(qū)間(?∞，在區(qū)間(0，ln（3）證明：當(dāng)?e≤m<?1時，1<?m≤e，由（2）可知，f(x)在(0，ln(?