(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級寒假講義11 菱形的性質(zhì)與判定+隨堂檢測（教師版）

第頁12菱形的性質(zhì)和判定知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一菱形的定義●●定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆1、菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等，二者必須同時具備，缺一不可.◆2、菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法.知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二菱形的性質(zhì)◆1、菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.⑤利用菱形的性質(zhì)可證線段線段，角相等.性質(zhì)定理應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；◆2、菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式=底×高．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）③四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；知識點(diǎn)三菱形的判定知識點(diǎn)三菱形的判定●●菱形的判定方法：◆1、定義法：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.◆2、判定定理1（從對角線）：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.定理1應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形.◆3、判定定理2（從邊）：四條邊相等四邊形是菱形.定理2應(yīng)用格式：∵AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形.【要點(diǎn)解析】（1）判斷菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的；（2）①若從“四邊形”出發(fā)的，則還需四條邊相等.②若從“平行四邊形”出發(fā)的，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.（3）①若用對角線進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；②若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等.題型一利用菱形的性質(zhì)求角度題型一利用菱形的性質(zhì)求角度【例題1】如圖，AC為菱形ABCD的對角線，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【分析】直接利用菱形的性質(zhì)可得∠BCD的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，∵∠ADC＝140°，∴∠BCD＝40°，∴∠BCA＝∠DCA=12∠解題技巧提煉在求有關(guān)菱形的角的問題時，由于菱形的對角線互相垂直且平分一組對角，因此常通過連接對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形（等邊三角形、直角三角形）問題來解答.【變式1-1】如圖，菱形ABCD中對角線相交于點(diǎn)O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得△ABC是等邊三角形，進(jìn)一步可得∠ADC＝60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ADB的度數(shù)．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝30°，故選：A．【變式1-2】如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為．【分析】證明△ACD是等邊三角形，則∠D＝60°，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD=404=10（cm），AB∥CD，∴∠D+∠又∵AC＝10cm，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等邊三角形，∴∠D＝60°，∴∠DAB＝120°，故答案為：60°，120°．【變式1-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以O(shè)H為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度數(shù)【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故選：A．【變式1-4】已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，在AC上取點(diǎn)P，連接PB、PD，若∠PBD＝20°，則∠PDC的度數(shù)為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直平分，對角線平分對角進(jìn)行分情況討論即可．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∴AC，BD互相垂直平分，∵∠ABC＝∠ADC＝100°，∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=1∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝20°，∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°；當(dāng)點(diǎn)P如下圖P′點(diǎn)所在位置時：∵P'B＝P'D，∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°，∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°；綜上：∠PDC的度數(shù)為30°或70°，故答案為：30°或70°．題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長【例題2】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，則OE＝．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，則BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝23，∴AO=33BO＝2，∵E為AD的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，∴OE=1解題技巧提煉由于菱形的對角線互相垂直平分，所以對于菱形的兩條對角線及邊這三個元素中知道任意兩個的長度，都能根據(jù)勾股定理求出第三個.【變式2-1】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，則OH的長為（）A．45 B．8 C．4 D．【分析】由菱形的性質(zhì)得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，則AC＝16，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OH=1【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝16，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH=1∵菱形ABCD的面積=12×AC×BD=12×16×BD=64【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，則DH等于（）A．245 B．485 C．5【分析】設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，由勾股定理求出OA、OB的長，得出AC、BD的長，再由菱形面積的計算方法即可求解．【解答】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC：BD＝3：4，∴OA：OB＝3：4，設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，在Rt△AOB中，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，解得：a＝2（負(fù)值已舍去），∴OA＝6，OB＝8，∴AC＝2OA＝12，BD＝2OB＝16，∵菱形ABCD的面積＝AB?DH=12AC?BD=12×12×【變式2-3】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長為6．【分析】設(shè)BE＝x，則CD＝3x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，再證明DE＝DA＝3x，所以1+x＝2x，解得x＝1，然后利用勾股定理計算OA，再計算AE的長．【解答】解：設(shè)BE＝x，則CD＝3x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝3x，∴BD＝4x，∴OB＝OD＝2x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝2x，解得x＝1，即AB＝3，OB＝2，在Rt△AOB中，OA=A在Rt△AOE中，AE=AO2【變式2-4】如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于．【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為40，面積為24，∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，∵分別作P點(diǎn)到直線AB、AD的垂線段PE、PF，∴12×AB×PE+12×PF×AD＝12，∴1【變式2-5】如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點(diǎn)B作BE⊥AB交CD于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，連接FH和CF，CF交BE于點(diǎn)G，則GF的長為（）A．3 B．5 C．23 D．19【分析】由菱形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位線定理得FH=12AB＝2，F(xiàn)H∥AB，然后證△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GH=1【解答】解：∵菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，∵F為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，∴EH=12BE，F(xiàn)H是∴FH=12AB＝2，F(xiàn)H∥AB，∴FH∥AB∵BE⊥AB，∴FH⊥BE，CD⊥BE，∴∠FHE＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴CE=12BC＝2，∴BE=BC2?CE2=42在△FHG和△CEG中，∠FHG=∠CEG∠FGH=∠CGEFH=CE，∴△FHG≌△CEG（AAS），∴EG＝GH=1在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF=F題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積題型三利用菱形的性質(zhì)求周長或面積【例題3】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若∠BAD＝60°，AC＝23，則菱形ABCD的周長為（）A．8 B．43 C．6 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AO=12AC=3，【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=1∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝30°，∴AD＝2OD，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，∴AD2=14解題技巧提煉因為菱形的四邊都相等，所以菱形的周長等于邊長×4；菱形的面積計算公式：（1）底×高；（2）對角線乘積的一半.【變式3-1】在菱形ABCD中，若對角線AC=2，BD＝8，則菱形ABCD的面積是【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可．【解答】解：菱形ABCD中，AC=2，BD＝8，∴AC⊥∴菱形ABCD的面積=12AC?BD＝42，故答案為：4【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝4，則菱形ABCD的周長為（）A．48 B．32 C．24 D．16【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD為直角三角形．∵OE＝4，點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，∴CD＝2OE＝8．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32．故選：B．【變式3-3】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點(diǎn)O，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，連接EF，著EF=3，BD＝4，則菱形ABCDA．4 B．46 C．47 D．28【分析】首先利用三角形的中位線定理得出AC，進(jìn)一步利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求得邊長，得出周長即可．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，EF=3，∴AC＝2EF＝23∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=3∴AB=OA2+OB【變式3-4】如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為（）A．48 B．24 C．12 D．6【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．【解答】解：∵菱形的兩條對角線的長分別為12和8，∴菱形的面積=12×∵O是菱形兩條對角線的交點(diǎn)，∴陰影部分的面積=1題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明題型四利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例題4】已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊AB和BC上的點(diǎn)，且∠ADE＝∠CDF，求證：BE＝BF．【分析】證△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF，則AB﹣AE＝BC﹣CF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，∠A=∠CAD=CD∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF．解題技巧提煉菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形（特殊時為兩個全等的等邊三角形），兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，所以有關(guān)菱形的一些證明與計算問題常常與特殊三角形的有關(guān)問題綜合在一起.【變式4-1】如圖，在菱形ABCD中，E是對角線AC上的一點(diǎn)．連BE，DE，求證：BE＝DE．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠BCA＝∠DCA，∵BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，CE＝CE，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴DE＝BE，【變式4-2】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)在對角線BD上，且BF＝DE，連接AE，AF．求證：AE＝AF．【分析】由菱形的性質(zhì)得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到AE＝AF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，∴OF＝OE，∴AE＝AF．【變式4-3】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分別與AC交于點(diǎn)M，N．求證：DM＝DN．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS，可以證明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可以得到DE＝DF，DM＝DN．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠DAE=∠DCF∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠DCN，∵∠ADM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠DNC，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN．【變式4-4】如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H．（1）若對角線AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的長；（2）連HO，求證：∠BOH＝∠DAH．【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根據(jù)菱形的面積公式可得出答案；（2）由菱形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出答案．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵AC＝8cm，BD＝6cm，∴OA=12AC=∴AB=OA2+OB2=42+∴DH=1（2）證明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAH＝2∠OAB，∵∠OAB＝90°﹣∠OBH，∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH，∴∠BOH＝∠DAH．題型五菱形判定的條件題型五菱形判定的條件【例題5】如圖?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，故選項A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項D符合題意；故選：D．解題技巧提煉①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③【變式5-1】中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使平行四邊形ABCD是菱形．【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB時，四邊形ABCD為菱形．故答案為：AB＝BC（答案不唯一）．【變式5-2】如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，請你添加一個條件，使四邊形AEDF是菱形．【分析】根據(jù)DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．【解答】解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【變式5-3】如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是．（寫出一個即可）【分析】由平移的性質(zhì)得AB∥DE，AB＝DE，則四邊形ABED是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：這個條件可以是AB＝AD，理由如下：由平移的性質(zhì)得：AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴平行四邊形ABED是菱形，故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．【變式5-4】在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．現(xiàn)存在以下四個條件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號是（寫出所有可能的情況）．【分析】根據(jù)角平分線定義得到∠DAO＝∠BAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DO＝CB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，則四邊形ABCD是菱形，證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAO＝∠BAO，在△AOD和△AOB中，AD=AB∠DAO=∠BAOAO=AO，∴△AOD≌△AOB（ASA），∵AO＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，若①AB∥CD；②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD；③AB＝AD；④AC平分∠DAB或②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四邊形ABCD為菱形．故答案為：①②③或②③④或①②④或①③④．【變式5-5】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，DF，當(dāng)△ABC滿足下列哪個條件時，四邊形AEDF為菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，分析得出當(dāng)△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形．【解答】解：要使四邊形AEDF是菱形，則應(yīng)有DE＝DF＝AE＝AF，∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴AE＝BE，AF＝FC，∴DE＝BE，DF＝CF，∴△BDE≌△CDF（SSS），∴BD＝CD，∴當(dāng)點(diǎn)D應(yīng)是BC的中點(diǎn)，而AD⊥BC，∴△ABC應(yīng)是等腰三角形，∴應(yīng)添加條件：AB＝AC或∠B＝∠C．則當(dāng)△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形．故選：A．題型六菱形的判定的證明題型六菱形的判定的證明【例題6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)D作DE∥BC，且DE＝BC，連接BE，求證：四邊形BCDE是菱形．【分析】先證明四邊形BCDE是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=BD=12AB【解答】證明：∵DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形．∵CD為Rt△ABC的斜邊AB上的中線，∴CD=BD=1∵∠ABC＝60°，∴△BCD為等邊三角形，∴BC＝CD，∴四邊形BCDE是菱形．解題技巧提煉證明一個圖形是菱形時，關(guān)鍵是看已知條件，若是一般的四邊形，則考慮證明四條邊相等或?qū)蔷€互相垂直平分；若是平行四邊形，則考慮證明一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.【變式6-1】如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M為AC中點(diǎn)，MN⊥BD于點(diǎn)O，BN∥DM，求證：BNDM為菱形．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝DM=12AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BMN＝∠DMN，由平行線的性質(zhì)得到∠BNM＝∠DMN，等量代換得到∠BMN＝【解答】證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M為對角線AC的中點(diǎn)，∴BM＝DM=1∵M(jìn)N⊥BD，∴∠BMN＝∠DMN，∵BN∥DM，∴∠BNM＝∠DMN，∴∠BMN＝∠BNM，∴BM＝BN，∴BN＝DM＝BM＝DN，∴四邊形BNDM是菱形．【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF．（1）求證：△ADF≌△CBE；（2）不添加輔助線，請你補(bǔ)充一個條件，使得四邊形AECF是菱形；并給予證明．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS證得△ADF≌△CBE；（2）平行四邊形的性質(zhì)知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AECF是平行四邊形，由AC⊥EF可得平行四邊形AECF是菱形．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，AD=CB∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE（SAS）；（2）解：補(bǔ)充的條件是：AC⊥BD．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形AECF是菱形．【變式6-3】如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD∥FC交FE的延長線于點(diǎn)D．（1）求證：BF＝AD；（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）證明△AED≌△BEF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BF；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出AB＝BF＝BC，證出AD＝BC，得出四邊形ABCD為平行四邊形，由菱形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD∥FC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF；（2）證明：∵∠FAC＝90°，B為CF的中點(diǎn)，∴AB＝BF＝BC，∵AD＝BF，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型七菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題7】如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：①OG=12②四邊形ABDE是菱形；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=12CD=1②先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證△ABD、△BCD是等邊三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，則四邊形ABDE是菱形，②正確；③由菱形的性質(zhì)得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS證明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，由中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，得出③正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴OG是△ACD的中位線，∴OG=12CD=1∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，故②正確；∴AD⊥BE，由菱形的性質(zhì)得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），在△BGA和△COD中，AG=DO∠BAG=∠CDO∴△BGA≌△COD（SAS），∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四邊形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，故③正確；故正確的結(jié)論有3個．故選：D．解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線段或角的對應(yīng)關(guān)系.【變式7-1】如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（）A．45 B．8 C．4 D．5【分析】根據(jù)作圖可得：OA＝AC＝BC＝OB，從而可得四邊形OACB是菱形，然后利用菱形的面積公式進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：OA＝AC＝BC＝OB，∴四邊形OACB是菱形，∵AB＝2，OC＝4，∴菱形OACB的面積=12OC?AB=1【變式7-2】如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形，轉(zhuǎn)動其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是.（只填序號）【解答】解：由題意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，故答案為：②．【變式7-3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝32，AB＝42，求四邊形ADCF的面積．【分析】（1）由“AAS”可證△AFE≌△DBE，得AF＝BD＝CD，再證四邊形ADCF是平行四邊形，然后由直角三角形的性質(zhì)可證AD＝CD，可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)和面積關(guān)系可求解．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∠FAE=∠BDEAE=DE∠AEF=∠DEB，∴△AFE≌△DBE（ASA），∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，∴AD=12BC＝CD，（2）解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴S△ABD＝S△ACD=12S△由（1）可知，四邊形ADCF是菱形，∴S四邊形ADCF＝2S△ACD＝S△ABC=12AC?AB=12×12菱形隨堂檢測1.菱形的周長為12，一個內(nèi)角為60°，則較短的對角線長為（）A．2 B．3 C．1 D．【分析】根據(jù)已知可得較短的對角線與兩鄰邊組成等邊三角形，則菱形較短的對角線長＝菱形的邊長，根據(jù)周長可求得菱形的邊長從而較短的對角線也就求得了．【解答】解：由已知得，較短的對角線與兩鄰邊組成等邊三角形，則菱形較短的對角線長＝菱形的邊長＝12÷4＝3，故選：B．3.如圖，菱形ABCD的兩條對角線長分別為AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD的面積為（）A．4 B．30 C．54 D．27【分析】直接根據(jù)菱形面積等于兩條對角線的長度乘積的一半進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面積＝BD?AC＝×6×9＝27，故選：D．3.如圖，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．則菱形的面積為（）A．20 B．40 C．28 D．24【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半可得答案．【解答】解：菱形的面積為6×8÷2＝24，故選：D．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在x軸上，邊BC在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，13），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（0，﹣8） B．（0，﹣5） C．（﹣5，0） D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解決問題．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故選：B．5.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面積為12，則AB的長為（）A．10 B．4 C． D．6【分析】由菱形的性質(zhì)得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，則OB＝2，然后由菱形面積求出AC＝6，則OA＝3，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面積＝AC?BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故選：C．6.如圖，在菱形ABCD中，M．N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BC若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．28° B．52° C．62° D．72°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后證BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數(shù)【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故選：C．7.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，若AC＝24，AB＝13，則菱形ABCD的面積是120．【分析】由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的長，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×24×10＝120，故答案為：120．8.已知菱形的兩條對角線長為10cm和24cm，那么這個菱形的周長為52cm，面積為120cm2．【分析】由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的長，即可解決問題．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S菱形