與圖形與幾何有關(guān)的核心素養(yǎng)及思想方法

中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)學生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。研究學生發(fā)展核心素養(yǎng)是落實立德樹人根本任務的一項重要舉措，也是適應世界教育改革發(fā)展趨勢、提升我國教育國際競爭力的迫切需要。中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面。綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細化為國家認同等十八個基本要點。根據(jù)這一總體框架，可針對學生年齡特點進一步提出各學段學生的具體表現(xiàn)要求。社會參與自主發(fā)展文化基礎(chǔ)全面發(fā)展的人

學會學習健康生活人文底蘊科學精神責任擔當

實踐創(chuàng)新中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系（一）高中數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的。數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體。

高中數(shù)學核心素養(yǎng)與課程目標2024/12/19（二）課程目標

通過高中數(shù)學課程的學習，獲得進一步學習以及未來發(fā)展必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；學會用數(shù)學眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)；學會用數(shù)學思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；學會用數(shù)學語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。2024/12/19小學數(shù)學核心素養(yǎng)2011版課標：四基：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題十大核心概念：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識高中數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。把基本和重要的數(shù)學思想，上升到面對世界的高度：三會我們先從中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)（如下）開始分析，從中可以發(fā)現(xiàn)，如果每個學科都從自己學科內(nèi)部角度界定本學科核心素養(yǎng)，那么各學科核心素養(yǎng)主要集中在文化修習這個維度，其他兩個維度中的責任擔當、學會學習、健康生活的一部分等，可能會成為少人問津的真空地帶，即各學科核心素養(yǎng)的交集為0（如下左圖）。也就是說，各學科在制定本學科的核心素養(yǎng)時，不能完全從學科本位的角度考慮、不能只掃門前雪，應該站在中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的高境界思考問題，即每個學科承擔更多的公共責任和義務。這樣的學科核心素養(yǎng)才是有境界的、有內(nèi)涵的、有擔當?shù)?，否則各學科還有可能重蹈覆轍，在各自的小圈子里搞應試教育。

關(guān)于學科核心素養(yǎng)的制定，反應了學科教育的一種思想和理念，從世界一些發(fā)達國家各學科的核心素養(yǎng)中可以看出他們的理念和豐富內(nèi)涵。

德國數(shù)學學科核心素養(yǎng)為：數(shù)學證明、數(shù)學的解決問題、數(shù)學建模、運用數(shù)學表達、運用數(shù)學符號、公式和技巧、數(shù)學交流。

美國數(shù)學教育強調(diào)問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)、表征。

韓國高中數(shù)學核心素養(yǎng)為：問題解決、推理、創(chuàng)新·融合、思想溝通、信息處理、態(tài)度和實踐。

從以上幾個發(fā)達國家的學科核心素養(yǎng)可以發(fā)現(xiàn)，交流是各個國家各個學科都特別重視的，超越了學科知識本位的思想局限，沒有完全站在學科內(nèi)部考慮，而是體現(xiàn)了學生總體的核心素養(yǎng)。

綜上所述，中國學生的各學科核心素養(yǎng)應該站在中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的時代高度考慮，具有大局觀念、大視野，即各學科核心素養(yǎng)的交集才會盡可能地大（見上右圖），或者最大公約數(shù)盡可能地大，這樣中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)才會全面落實。

據(jù)此我們認為，小學數(shù)學核心素養(yǎng)是在理解數(shù)學核心概念、掌握和運用數(shù)學規(guī)律和關(guān)系的基礎(chǔ)上形成的，具有可持續(xù)學習數(shù)學和交流、表達、解決現(xiàn)實世界實際問題的思想和能力。

根據(jù)小學生的年齡和認知特點、教師對核心素養(yǎng)的理解及教學的可行性，把數(shù)學核心素養(yǎng)直接提煉成數(shù)學思想對于學生和教師而言，落實起來是有難度的，因此在四基、四能、十大核心概念和高中數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，我們從數(shù)學認知、思想能力、個人發(fā)展三個維度構(gòu)建小學數(shù)學核心素養(yǎng)思想能力個人發(fā)展核心素養(yǎng)從哪里來？數(shù)學認知具有數(shù)學素養(yǎng)的人思考自學合作交流創(chuàng)新實踐數(shù)學概念數(shù)學規(guī)律數(shù)學關(guān)系數(shù)學抽象

運算推理

數(shù)學模型

直觀想象

數(shù)據(jù)分析

轉(zhuǎn)化思想核心素養(yǎng)到哪里去？核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手段又是目標核心素養(yǎng)內(nèi)涵是什么？小學數(shù)學核心素養(yǎng)體系數(shù)學認知水平：了解、理解、掌握、運用（只見樹木、不見森林）

分析與綜合

評價、創(chuàng)造(數(shù)學課程標準沒有高級認知目標)數(shù)學概念：概念是關(guān)系、規(guī)律、思想方法的基礎(chǔ)。

有研究表明：對數(shù)學概念的表征水平與數(shù)學成績呈正相關(guān)。表征（representation）是信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式。也可以用“表示”，更容易理解。數(shù)學認知

多元表征是加強學生理解知識的有效方式。

有研究表明，高中生對數(shù)學概念的表征（理解）水平，多數(shù)通過具體例子、畫圖（像）和描述性語言表征，如單調(diào)增函數(shù)的概念，有52.63%的學生通過畫函數(shù)圖像、28.42%的學生通過描述性語言表征；只有3.16%的學生能夠用定義表征。

高中學生數(shù)學成績與數(shù)學概念表征水平（單個表征的層次水平和多元表征水平）有顯著正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0.52.初三學生數(shù)學成績與數(shù)學概念表征水平相關(guān)系數(shù)是0.637.

為了提高數(shù)學成績，要堅強多元表征，同時要適時抽象。直觀與抽象形影不離。當然，抽象的定義不能直接灌輸給學生，而是由學生自己經(jīng)歷建構(gòu)概念的過程。

概念意象（表象）與概念定義都重要，但是基于很多優(yōu)秀的學生也經(jīng)常用直觀的方式（概念意象、表象）表示概念。所以不必讓學生死記硬背定義，關(guān)鍵是概念的各種表征方式的關(guān)聯(lián)，以及概念的運用。圖形中高的概念的建立1.生活中的高2.平行四邊形的高、梯形的高3.三角形的高4.長方體的高5.圓柱的高6.圓錐的高案例：2017年5月福州人教版觀摩交流會，黑龍江哈爾濱王均杰執(zhí)教的：認識三角形數(shù)學規(guī)律：性質(zhì)、法則、定律、公理、定理等，是運算和推理的依據(jù)數(shù)學關(guān)系：模型（公式、數(shù)量關(guān)系式、方程、函數(shù)等）

關(guān)聯(lián)（整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)（有理數(shù)）、無理數(shù)，圖形之間的關(guān)系，數(shù)與形數(shù)學與生活、數(shù)學與其他學科等）

結(jié)構(gòu)化（知識結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)）為什么數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而不是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)？因為數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是屬于數(shù)學的，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是屬于學生的。數(shù)學認知學習除法認識了一棵楊樹學習分數(shù)認識了一棵柳樹學習比認識了一棵梧桐樹都學習了要看到一片森林！a÷b==a:b(b≠0)分數(shù)的基本性質(zhì)類推分式的基本性質(zhì)蘊含了豐富的思想方法：變中有不變的思想、恒等變形方法、數(shù)形結(jié)合方法、關(guān)聯(lián)思想（普遍聯(lián)系）、類比推理方法a÷b==a:b(b≠0)商不變規(guī)律分數(shù)的基本性質(zhì)比的基本性質(zhì)?初中的圖形與幾何：?初中主要研究圖形的性質(zhì)和判定，其中概念是基礎(chǔ)?什么是性質(zhì)——組成要素（邊、角）之間的關(guān)系（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）如三角形的三條邊、三個角、三個頂點是基本要素，高、中線、中位線、角平分線、外角等是相關(guān)要素，相交、平行、垂直是位置關(guān)系，內(nèi)角和是180°、a+b>c等是數(shù)量關(guān)系。?什么是判定——組成要素需要具備的條件?性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系?從一般到特殊研究圖形數(shù)學思想數(shù)學概念、關(guān)系、規(guī)律是數(shù)學思想的基礎(chǔ)和載體。數(shù)學抽象：數(shù)量及數(shù)量關(guān)系、圖形及關(guān)系的數(shù)學屬性的提取概括。

在數(shù)學的教與學的過程中，始終伴隨著抽象，但是有意識與無意識地抽象是有區(qū)別的，有意識去抽象有利于學生思維的發(fā)展。圖形的抽象，從生活情境中抽象出圖形是共性，理解概念，用不同方式表征概念，理解、探索性質(zhì)、公式如無論什么形狀的圖形，度量的本質(zhì)都是求這個圖形里含有多少個度量單位（單位1）符號思想是模型思想、方程思想、函數(shù)思想、推理思想

的基礎(chǔ)。有利于從本質(zhì)上理解和應用數(shù)學。

推理思想：

推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真時，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。案例3：如下左圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2=∠4嗎？分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補角相等”來證明對頂角相等。那么，在小學階段，如何根據(jù)已有知識進行簡單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：因為∠1和∠2、∠1和∠4分別組成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據(jù)等量代換，可得∠2=∠4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，在小學階段同樣可以類似地得到證明。（2012?杭州）有一組互不全等的三角形，它們的邊長均為整數(shù)，每個三角形有兩條邊的長分別為5和7．

（1）請寫出其中一個三角形的第三邊的長；

（2）設組中最多有n個三角形，求n的值；

（3）當這組三角形個數(shù)最多時，從中任取一個，求該三角形周長為偶數(shù)的概率．分析：利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，進行關(guān)系推理?？闪信e出第三邊的長：11，10，9，8，7，6，5，4，3。

兩邊的和：5+7=12，

第三邊為偶數(shù)：10，8，6，4.

概率為：4/9.四下練習：關(guān)系推理、分類討論思想：開放題：一個等腰三角形的兩條邊長分別5cm和6cm,求周長。分類討論：（1）腰6、底邊5，C=6×2+5=17（2）腰5、底邊6，C=5×2+6=16一個等腰三角形的兩條邊長分別1cm和3cm,求周長。只有一種情況。證明的兩種方法：綜合法和分析法綜合法：根據(jù)已知條件和規(guī)律，能推出什么？分析法：從問題（需要證明的結(jié)論）出發(fā)，尋找條件。小升初試題長方形BCFE的面積=9×2=18.所以ABCD的面積=18×4=72BC×CD=9×CD=72，所以CD=8，DF=CD-CF=8-2=6，AE=DF=6.歸納法在小學運用廣泛。類比法是非常重要的，應該加強。如與平面圖形推導面積計算公式類比，

立體圖形的體積就是求一個立體圖形含有多少個

單位正方體（棱長為1的正方體）再如，通過四邊形的對角線把一個四邊形轉(zhuǎn)化為2個三角形，求出四邊形的內(nèi)角和是360°.五邊形、六邊形等都可以與四邊形進行類比、歸納出多邊形的內(nèi)角和公式。在數(shù)學各個模塊的學習中，初次學習用歸納法，第二次及以上的學習用類比方法！當然，中學的很多命題或者結(jié)論需要用演繹推理證明。運算能力:計算是具體的推理，推理是抽象的計算長度（周長）、角、面積、體積等的計算，不追求復雜，但是簡單的計算要熟練掌握。2015北京中考數(shù)學題：計算與推理加強聯(lián)系，減少計算的量和繁瑣程度張景中院士：推理是抽象的計算，計算是具體的推理平行線的性質(zhì)及其應用問題直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)2016年：南昌2014河南：加強計算中的推理Rt?OAB,AB=4,AO=6/2=3,BO=5,BD=10?？臻g觀念（想象）雖然義務教育階段以平面幾何為主。但是仍然要重視空間（一維、二維、三維）觀念的培養(yǎng)。主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?？臻g知覺空間觀念空間想象數(shù)學教學：傳統(tǒng)的數(shù)學教育重視思維訓練，那么，數(shù)學思維與數(shù)學思想方法的關(guān)系是什么？哲學：認識的過程：感性理性，實踐理論實踐心理學：認知過程：感覺知覺注意記憶思維想象思維的過程：分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、系統(tǒng)化思維的形式：概念、判斷、推理思維的分類：直觀動作思維、具體形象思維、抽象邏輯思維

形式邏輯、辯證邏輯數(shù)學思維：本來應該是十分豐富的，但現(xiàn)實往往就是抽象邏輯推理和復雜計算，分析抽象的數(shù)量關(guān)系。概念是思維的基本形式，也是判斷、推理的基礎(chǔ)空間能力既需要以表象為基礎(chǔ)，也需要理解概念，在此基礎(chǔ)上進行判斷和推理，想象。觀察：實物、幾何體、直觀圖，比較異同操作：拼擺、折疊、裁剪、測量、活動、展開圖、制作、畫圖

幾何畫板等現(xiàn)代技術(shù)的運用概念：多元表征判斷、推理：想象：拼擺：各種基本平面及立體圖形、七巧板、三角板等折疊：2016年：烏蘭浩特加強推理與計算的融合折疊就是軸對稱，DQ=AQ=9-BQ，（9-BQ）2=BQ2+32，BQ=4裁剪：畫圖：2017年全國小學數(shù)學人教版觀摩交流會廣東汕頭林清老師：線段、直線、射線幾何直觀（1）什么是幾何直觀？

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。

幾何直觀與數(shù)形結(jié)合的關(guān)系：以形助數(shù)，以數(shù)解形。（2）幾何直觀的應用幾何知識的學習本身需要借助直觀，其他知識更需要借助直觀：數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率等，如數(shù)形結(jié)合：線段圖、圖形、樹狀圖、數(shù)軸、函數(shù)圖像、統(tǒng)計圖表等

高中和大學的微積分也離不開數(shù)形結(jié)合。從幾何直觀到推理論證是研究幾何圖形的重要方法如平行四邊形，通過對角線，轉(zhuǎn)化為三角形和平行線等知識。那么就可以利用研究三角形和平行線的方法研究平行四邊形。1.性質(zhì)：組成要素及關(guān)系？2.判定：通過小學的觀察、測量、實驗操作等幾何直觀的方法初步得到結(jié)論，如何證明？第一、二、三學段，幾何直觀、合情推理與演繹推理證明相結(jié)合，從實驗幾何、直觀幾何逐步過渡到論證幾何。觀察、測量、實驗、探究、歸納、類比得出結(jié)論，通過演繹推理證明結(jié)論，逐步養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣。推理論證不僅是證明或推翻猜想，也是發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的重要手段。循序漸進安排推理論證：“說點兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”知道內(nèi)角畫不同類型三角形明確問題（結(jié)論）可猜想，再測量計算由平角引導學生把內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成平角操