新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)二十四拋物線的幾何性質(zhì)新人教B版選擇性必修第一冊

課時作業(yè)(二十四)拋物線的幾何性質(zhì)一、選擇題1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y2．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線x23－y2＝1的右焦點(diǎn)重合，則A．1B．－1C．4D．63．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，假如x1＋x2＝6，則|AB|的值為()A．10B．8C．6D．44．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，且MN⊥l.若|MF|＝8，∠MFN＝60°，則p的值為()A．8B．4C．2D．1二、填空題5．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為43，則焦點(diǎn)到AB的距離為________．6．直線3x－4y＝0與拋物線W：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線W的焦點(diǎn)，若|AB|＝5，則△ABF的面積為________．7．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23＝1相交于A、三、解答題8．已知定點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，動點(diǎn)P在拋物線y2＝2x上移動，求PA·PB的最小值．9.已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．[尖子生題庫]10．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2(2)1AF(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.課時作業(yè)(二十四)拋物線的幾何性質(zhì)1．解析：依題意知拋物線方程為x2＝±2py(p＞0)的形式，又eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，2p＝12，故方程為x2＝±12y.答案：C2．解析：eq\f(p,2)＝eq\r(3＋1)?p＝4，解得p＝4.答案：C3.解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由拋物線定義知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.答案：B4．解析：由拋物線的定義可得|NM|＝|MF|＝8，又∠MFN＝60°，故△MFN為等邊三角形，所以∠NMF＝60°且|MN|＝|MF|＝|NF|＝8，因?yàn)镸N平行于x軸，故MF的傾斜角為60°.故∠NFO＝60°，F(xiàn)到準(zhǔn)線的距離為8cos60°＝4，即p＝4.故選B.答案：B5．解析：不妨設(shè)A(x，2eq\r(3))，則(2eq\r(3))2＝4x，所以x＝3，所以AB的方程為x＝3，拋物線的焦點(diǎn)為(1，0).所以焦點(diǎn)到AB的距離為2.答案：26．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝0,y2＝2px))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(32p,9),y＝\f(8p,3)))，所以|AB|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\f(322p2,81)＋\f(64p2,9))＝eq\r(\f(322＋242,81)p2)，而|AB|＝5，可得eq\r(\f(322＋242,81)·p2)＝5，解得p＝eq\f(9,8)，即Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，0))，所以F到直線AB的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3×\f(9,16))),\r(32＋（－4）2))＝eq\f(27,16×5)，所以S△ABF＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)×5·eq\f(27,16×5)＝eq\f(27,32).答案：eq\f(27,32)7．解析：由題意知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,\r(3))，－\f(p,2)))，代入方程eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1得p＝6.答案：68．解析：設(shè)P(x，y)，則y2＝2x，因?yàn)锳(－3，0)，B(3，0)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x＋3，y)·(x－3，y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，故當(dāng)x＝0時，取得最小值為－9.9．解析：(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).10．證明：(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)由y1，y2是方程(*)的兩個實(shí)數(shù)根，所以y1y2＝－p2.因?yàn)閥eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝2px1，yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2px2，所以yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4p2)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4)).因?yàn)閤1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)（|AB|－p）