分析力學(xué)教學(xué)課件

分析力學(xué)

24學(xué)分1.5性質(zhì)必修2021/6/271致童鞋們

之學(xué)生虐我千百遍，我待學(xué)生如初戀

教書是一場(chǎng)盛大的暗戀，你費(fèi)勁心思去愛一群人，最后卻只感動(dòng)了自己。曾經(jīng)怕自己一個(gè)人考不好，現(xiàn)在怕一群人考不好。你若不離不棄

我必生死相依

你若自我放棄

我也無能無力2021/6/272緒論一什么是分析力學(xué)？分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支，是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)。經(jīng)典力學(xué)最初的表達(dá)形式由牛頓給出，大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學(xué)（有時(shí)也叫“牛頓力學(xué)”）。2021/6/273拉格朗日、哈密頓、雅可比等人使用廣義坐標(biāo)和變分法建立了一套同矢量力學(xué)等效的力學(xué)表述方法。同矢量力學(xué)相比，分析力學(xué)的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學(xué)中極為復(fù)雜的問題，運(yùn)用分析力學(xué)可以較為簡(jiǎn)便的解決。2021/6/274二研究對(duì)象它的研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系可視為宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系。工程上的力學(xué)問題大多數(shù)是約束的質(zhì)點(diǎn)系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學(xué)系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。2021/6/275三發(fā)展歷史1788年拉格朗日《分析力學(xué)》世界上最早的一本分析力學(xué)的著作。虛功原理和達(dá)朗貝爾原理兩者結(jié)合，可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。1834年，哈密頓正則方程用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示的動(dòng)力學(xué)方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個(gè)系統(tǒng)的點(diǎn)的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學(xué)問題。2021/6/2761894年赫茲首次將系統(tǒng)按約束類型分為完整約束和非完整約束兩大類。20世紀(jì)至今分析力學(xué)對(duì)非線性、不定常、變質(zhì)量等力學(xué)系統(tǒng)作了進(jìn)一步研究，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。2021/6/277四應(yīng)用分析力學(xué)的方法可以推廣到量子力學(xué)系統(tǒng)和復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，在量子力學(xué)和非線性動(dòng)力學(xué)中都有重要應(yīng)用。近20年來，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點(diǎn)來研究分析力學(xué)的原理和方法。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。2021/6/278五研究意義分析力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)之一，也是整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)之一。2021/6/279六分析力學(xué)與理論力學(xué)比較理論力學(xué)分析力學(xué)相同點(diǎn)同屬經(jīng)典力學(xué)不同點(diǎn)對(duì)象力能量方法幾何法分析法基礎(chǔ)牛頓定律變分原理2021/6/27102021/6/2711分析靜力學(xué)以一般質(zhì)點(diǎn)系為力學(xué)模型，應(yīng)用達(dá)朗伯原理和虛位移原理方法得出平衡的普遍規(guī)律。在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程，解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。分析動(dòng)力學(xué)2021/6/2712內(nèi)容第一章虛位移原理第二章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程第三章哈密頓正則方程第四章力學(xué)的變分原理第五章一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第六章兩個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第七章狹義相對(duì)論的拉格朗日方法和……2021/6/2713

第一章虛位移原理1.約束及約束方程2.自由度和廣義坐標(biāo)3.虛位移4.虛位移原理5.虛位移原理的應(yīng)用舉例6.用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件7.在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件及平衡的穩(wěn)定性2021/6/27141.約束及約束方程2021/6/2715實(shí)現(xiàn)這些約束條件的物體稱為約束體。受到約束條件限制的物體叫做被約束體。習(xí)慣上，把約束體簡(jiǎn)稱為約束,將被約束體簡(jiǎn)稱為物體。注意：這里的約束是名詞，而非動(dòng)詞的約束。非自由質(zhì)點(diǎn)系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束2021/6/2716約束力（或約束反力）——把約束對(duì)物體的作用力稱為約束力。主動(dòng)力和約束力（或約束反力）主動(dòng)力——作用于被約束物體上的除了約束以外的力統(tǒng)稱為主動(dòng)力，如重力，結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)力和水壓力、機(jī)械結(jié)構(gòu)中的彈簧力以及電磁力等等。約束反力是主動(dòng)力引起的，故它是一種被動(dòng)力。2021/6/27171.約束反力取決于約束本身的性質(zhì)、主動(dòng)力和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。約束反力的特點(diǎn)：2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。3.作用點(diǎn)在物體與約束相接觸的那一點(diǎn)。4.方向總是與約束限制物體的位移方向相反。2021/6/2718例如，光滑接觸面約束：約束力沿接觸面公法線方向指向物體。在支座約束中，固定鉸支座，約束反力過銷中心，方向不能確定，通常用正交的兩個(gè)分力表示。2021/6/2719解除約束原理當(dāng)受約束的物體在某些主動(dòng)力的作用下處于平衡，若將其部分或全部約束解除，代之以相應(yīng)的約束反力，則物體的平衡不受影響。2021/6/27202021/6/27211-3約束的分類2021/6/2722xyoφlMlABxoyrω2021/6/2723Cxoyφω瞬心CMMxCPvCrωMMPvCωMMPvCωMPvCφφM輪C在水平軌道上純滾動(dòng)的條件表達(dá)為yC=r運(yùn)動(dòng)約束方程vC－rω=0或yC=r2021/6/2724約束：?jiǎn)螖[約束分類約束方程剛性擺桿雙面約束不可伸長(zhǎng)的繩單面約束2021/6/2725舉例：定常約束：前面所列的單擺、曲柄連桿機(jī)構(gòu)及車輪的約束；非定常約束：變擺長(zhǎng)的單擺。xyoφlMv其中擺錘M可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，軟線是擺錘的約束，初始長(zhǎng)度為

，穿過固定的小圓環(huán)，在拉拽過程中,以速度v伸長(zhǎng)。在任意瞬時(shí)t，其約束方程為:2021/6/27262021/6/27272.自由度和廣義坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)、s個(gè)完整約束組成，則其自由度N=3n－s對(duì)平面問題，如Oxy平面內(nèi)，zi≡0，則N=2n－s情形一：以質(zhì)點(diǎn)作為質(zhì)點(diǎn)系基本單元xyoφlM例：圖示的平面擺，其中：n=1，s=1。則

N=2×1－1=12021/6/2728情形二：以剛體作為質(zhì)點(diǎn)系基本單元質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)剛體、s個(gè)完整約束組成，則其自由度

N=6n－s對(duì)平面問題，如Oxy平面內(nèi)，兩個(gè)平動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，則

N=3n－s例1：圖示的輪C在水平軌道上純滾動(dòng)，其中：n=1，s=2。則

N=3×1－2=1CxoyxCPvCφωyC=rvC－rω=02021/6/2729例2：圖示的平面雙擺由剛體OA、AB及鉸鏈O、A組成，其中：n=2，s=4，則

N=3×2－4=2xyoABφ1φ2l1l22021/6/2730例一：如曲柄連桿機(jī)構(gòu)有一個(gè)自由度，可任選xA、yA

、xB之一為廣義坐標(biāo)，而選

更方便。xoylrAB

2021/6/2731例二：再如平面雙擺有兩個(gè)自由度，選

1

、

2為廣義坐標(biāo)比較合適。xyoAB

1

2l1l22021/6/2732對(duì)于有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，若有s個(gè)完整約束組成，則其自由度N=3n－s，可選N個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，…，qN。則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可由廣義坐標(biāo)表示為：矢量形式為：注：用廣義坐標(biāo)表示各質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，隱含了約束條件，這是采用廣義坐標(biāo)的方便之處。2021/6/27333.虛位移2021/6/27342021/6/27354-1.在定常幾何約束下，質(zhì)點(diǎn)系無限小的實(shí)位移是其虛位移之一。MMMMM

在圖示瞬時(shí)，物塊M在dt內(nèi)發(fā)生的無限小的實(shí)位移dr沿斜面向下。

物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因?yàn)棣膔1，δr2都是約束所容許的。drdrdrdrδr1δr1δr1δr2δr1物塊M置于固定的斜面上，斜面對(duì)于物塊M的約束是定常約束。δr2δr2δr22021/6/27364-2.非定常約束下，無限小的實(shí)位移不是虛位移之一！物塊M置于以速度vo移動(dòng)的斜面上，斜面對(duì)于物塊M的約束是非定常約束。MdrdredrrM'v0

在dt內(nèi)，斜面位移為dre，物塊的實(shí)位移為dr。根據(jù)合成運(yùn)動(dòng)理論，有dr=dre+drr=MM‘dre=v0dt---牽連位移drr---物塊相對(duì)斜面的位移drdredrrdrdredrrdrdredrrdredredredreM

物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因?yàn)棣膔1，δr2都是約束所容許的。δr1δr2δr1δr2δr1δr2δr1δr22021/6/2737——約束方程2021/6/2738為曲面上該點(diǎn)的法向矢量!其中：所以

非自由質(zhì)點(diǎn)

M的虛位移垂直于曲面上該點(diǎn)處的法線，也就是說虛位移必在通過該點(diǎn)的曲面的切平面上。2021/6/27392021/6/2740補(bǔ)充知識(shí)：剛體的平面運(yùn)動(dòng)

------平面圖形上各點(diǎn)的速度

2021/6/2741剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果體內(nèi)任意一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變，則這種運(yùn)動(dòng)成為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。即：剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)任意一點(diǎn)都在與某固定平面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。一．剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義2021/6/27421．速度基點(diǎn)法平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是:

牽連運(yùn)動(dòng)（隨同基點(diǎn)A的平動(dòng)）與相對(duì)運(yùn)動(dòng)（繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)）的合成因此:

平面圖形上任意一點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)可用合成運(yùn)動(dòng)的概念進(jìn)行分析，其速度可用速度合成定理求解。二．剛體平面運(yùn)動(dòng)的特征2021/6/27432.速度投影定理定理:同一瞬時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。反映了剛體不變形的特性：

因剛體上任意兩點(diǎn)間的距離應(yīng)保持不變，所以剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影應(yīng)該相等，否則，這兩點(diǎn)間的距離不是伸長(zhǎng)，就要縮短，這將與剛體的性質(zhì)相矛盾。因此，速度投影定理不僅適用于剛體作平面運(yùn)動(dòng)，而且也適用于剛體的一般運(yùn)動(dòng)。2021/6/2744問題的提出？若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化。于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)，平面上是否有速度等于零的點(diǎn)？如果有，該點(diǎn)如何確定？3.速度瞬心法2021/6/2745定理:

一般情況下，每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。在某瞬時(shí)，平面圖形上速度為零的點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱為速度瞬心或瞬心。AN’上任意一點(diǎn)M：證明：總有一點(diǎn)I滿足：則I點(diǎn)的（絕對(duì)）速度：2021/6/27464.平面圖形上各點(diǎn)速度的分布其中，I為瞬心剛體上任意一點(diǎn)M的速度:總結(jié)：平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是繞它的速度瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。注意：速度瞬心的速度為零，但是加速度不為零。2021/6/27475.速度瞬心位置的確定（1）若平面圖形沿一固定面滾動(dòng)而無滑動(dòng)，則圖形與固定面的接觸點(diǎn)I就是該瞬時(shí)圖形的速度瞬心。注意：是在固定面上的純滾動(dòng)，如果不是固定面，接觸點(diǎn)并非瞬心。2021/6/27485.速度瞬心位置的確定（2）已知某瞬時(shí)平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度方向，且兩者不相平行，則速度瞬心必在過每一點(diǎn)且與該點(diǎn)速度垂直的直線上。2021/6/27495.速度瞬心位置的確定（3）已知某瞬時(shí)平面圖形上兩點(diǎn)的速度相互平行，并且速度的方向垂直于這兩點(diǎn)的連線，但兩速度的大小不等，則圖形的速度瞬心必在這兩點(diǎn)的連線與兩速度矢端的連線的交點(diǎn)。2021/6/27506.瞬時(shí)平動(dòng)已知某瞬時(shí)平面圖形上兩點(diǎn)的速度相互平行，但速度方向與這兩點(diǎn)的連線不相垂直；或雖然速度方向與這兩點(diǎn)的連線垂直，但兩速度的大小相等，則該瞬時(shí)圖形的速度瞬心在無限遠(yuǎn)處，圖形的這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為瞬時(shí)平動(dòng)。此時(shí)，圖形的角速度等于零，圖形上各點(diǎn)的速度大小相等，方向相同，速度分布與平動(dòng)時(shí)相似。2021/6/2751注意：瞬時(shí)平動(dòng)只是剛體平面運(yùn)動(dòng)的一個(gè)瞬態(tài)，與剛體的平動(dòng)是兩個(gè)不同的概念，瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然圖形的角速度為零，圖形上各點(diǎn)的速度相等，但圖形的角加速度一般不等于零，圖形上各點(diǎn)的加速度也不相同。例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)裝置示意圖，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)。補(bǔ)充內(nèi)容結(jié)束！2021/6/27526-1.幾何法用求實(shí)位移的方法來求各質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系；質(zhì)點(diǎn)的實(shí)位移與其速度成正比dr=vdt，所以實(shí)位移之間的關(guān)系可以用速度之間的關(guān)系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。2021/6/27532021/6/27546-2.解析法2021/6/2755解析法的一般推廣選廣義坐標(biāo)q1，q2，…，qN

，則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)上式中第一式求變分，則得到：質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)中的虛位移與廣義坐標(biāo)中的虛位移之間的關(guān)系為δqk稱為廣義虛位移。2021/6/27564.虛位移原理4-1.虛功：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功，用δW表示。注：虛位移是虛設(shè)的，虛功也是虛設(shè)的元功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)m的虛位移為δr，力F在虛位移上所作的虛功為δW=F·δr

=Fδrcosφ滑塊的虛位移為δrB，設(shè)曲柄的虛位移為δφ，δW=－FδrB力偶M的虛功：δW=Mδφ力F的虛功：如曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在力偶M和力F的作用下處于平衡，ABδφMMMMδφδφδφxoyFFFFδrBδrBδrBδrB2021/6/27574-2.理想約束：在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，如果約束反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。若質(zhì)點(diǎn)系中任意質(zhì)點(diǎn)Mi，受約束反力Ni，虛位移δri，則理想約束的條件為：如光滑的接觸面δW=N·δr=0M

N

δrN

δrN

δrN

δr對(duì)于作純滾動(dòng)剛體的固定面約束C

ω

F

T

N

DG

F

N

F

N

2021/6/2758理想約束舉例：光滑鉸鏈連接N

N'

δrA

N

N'

δrN

N'

δr光滑鉸支座或光滑軸承N

δrN

δrN

δr理想剛體δrBδrAABδrBδrAδrBδrANANANANBNBNBB

A

δrB柔性體約束TBTAβ

α

TBTATBTAδrBδrBδrA2021/6/27594-3.虛位移原理：具有完整、雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零，又稱虛功原理。矢量表達(dá)式為坐標(biāo)分解式為虛功方程虛功方程又稱為靜力學(xué)普遍方程！2021/6/2760必要性：如果質(zhì)點(diǎn)系平衡則虛功原理的證明設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)Mi平衡，受力有Fi-----主動(dòng)力的合力Ni-----約束反力的合力則Fi+Ni=0∴

WFi+

WNi

=n個(gè)方程求和得∵系統(tǒng)的約束為理想約束，∴∑Ni·

ri=0(Fi+Ni)·

ri=0（i=1,2,…，n）0得證！2021/6/2761充分性：如果則質(zhì)點(diǎn)系平衡反證法：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在給定的位置的任意虛位移中所作的虛功之和等于零，但該質(zhì)點(diǎn)系不平衡。即至少有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)Mj不平衡，則

Fj+Nj＝

Rj

≠0質(zhì)點(diǎn)Mj由靜止開始運(yùn)動(dòng)，其實(shí)位移drj應(yīng)沿著Rj的方向該質(zhì)點(diǎn)的合力在實(shí)位移中的元功為Rj

·drj=（Fj+Nj）

·drj＞0∵質(zhì)點(diǎn)系受定常約束，∴drj∈δrj

，∴（Fj+Nj）·

rj＞0∴

∑Fi

·

ri＞0這與假設(shè)矛盾！∴質(zhì)點(diǎn)系必然平衡。得證！∴∑（Fj+Nj）·

rj＞0又∵∑Ni·

ri=02021/6/27625.虛功原理的應(yīng)用已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系或平衡位置。已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，求其內(nèi)力或約束反力。2021/6/2763WAolPPPPB例1：螺旋千斤頂中，旋轉(zhuǎn)手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面內(nèi)作用一垂直手柄的力P=160N，試求舉起重物B的重量。不計(jì)各處摩擦。2021/6/2764例1續(xù)已知OA=l=0.6m，螺距h=12mm。P=160N，求舉起重物B的重量W。WδrAδφl解：千斤頂受理想約束給P力點(diǎn)A虛位移δrA=

lδφ，由虛功方程∑δWF=0得：Pl

－W

rB=0，約束條件為：手柄旋轉(zhuǎn)一周，頂桿上升一螺距，即AoPδφδφδφδrAδrAδrAδrBδrBδrBδrB相應(yīng)地W力點(diǎn)B