廣東省東莞市2022屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

PAGE2021－2022學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高三數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?，，故選：A2.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求得中項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而可求得的展開式中含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】當(dāng)且，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式中含的系數(shù)為，的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是.故選：B.3.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】先以偶函數(shù)定義去判斷選項(xiàng)A的正誤，再以奇函數(shù)的定義去判斷選項(xiàng)B、C、D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A:，是奇函數(shù)，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:,是偶函數(shù)，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:，是奇函數(shù)，判斷正確；選項(xiàng)D:，是偶函數(shù)，判斷錯(cuò)誤.故選：C4.若，，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，和，即可得到，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，故選：B.5.甲乙兩人在數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)解一道題，先解出題的人贏得一局，假設(shè)無平局，且每局甲乙兩人贏的概率相同，先贏3局者獲勝，則甲獲勝且比賽恰進(jìn)行了4局的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式去解決即可.【詳解】甲乙兩人各自解題是相互獨(dú)立事件，又知每局中甲乙兩人贏的概率相同，即甲贏的概率為，甲輸?shù)母怕蕿?則甲獲勝且比賽恰進(jìn)行了4局的比賽情況是：甲在前三局中贏了兩局，第四局贏了.其概率是故選：D6.“中國(guó)天眼”（如圖1）是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡，其形狀可近似地看成一個(gè)球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如圖2所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的線段叫做球冠的高．若球面的半徑是，球冠的高度是，則球冠的面積）．已知天眼的球冠的底的半徑約為250米，天眼的反射面總面積（球冠面積）約為25萬平方米，則天眼的球冠高度約為（）（參考數(shù)值）A.52米 B.104米 C.130米 D.156米【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合求解.【詳解】由題意得：，則，則，所以，所以，故選：C7.已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn).若線段的長(zhǎng)為16，的中點(diǎn)到軸距離為6，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，的坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，可得的表達(dá)式，再由的中點(diǎn)到軸的距離是6可得，的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而可得的值，求出拋物線的方程，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求出三角形的面積．【詳解】設(shè)，，，，由拋物線的定義可得，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到軸的距離是6，所以，所以，所以拋物線的方程為：，設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得，，所以，解得，所以的方程為：，.故選：B8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，令，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)為增函數(shù)，即得.【詳解】設(shè)，則，令，則，設(shè)，則所以在上為增函數(shù)，故，即，∴在上為增函數(shù)，∴，即.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．9.已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】若，則，，利用復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，可以判斷AB；利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算，可以判斷C；利用數(shù)形結(jié)合，可以判斷D.【詳解】對(duì)于A：若，則，故，所以A正確；對(duì)于B：若，則，所以B正確；對(duì)于C：設(shè)，則，故，所以C正確；對(duì)于D：如下圖所示，若，，則，，故，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知函數(shù)，若且對(duì)任意都有，則下列結(jié)論正確的是（）AB.C.的圖象向左平移個(gè)單位后，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.的圖象向右平移個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)條件求得b值，根據(jù)可知為函數(shù)最大值，據(jù)此列出關(guān)于a的方程，求出a值，得到函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合輔助角公式和誘導(dǎo)公式，可判斷A、B的正誤，再根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，可判斷B、D的正誤.【詳解】，，又對(duì)任意都有，則為的最大值，，整理得：，則，所以，因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B正確；的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：，該函數(shù)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，該圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故D正確，故選：BD11.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“當(dāng)且僅當(dāng)連續(xù)天每天日平均溫度不低于”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)天日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)均為正整數(shù)，單位）且滿足以下條件：甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，眾數(shù)是；乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，平均數(shù)是；丙地：個(gè)數(shù)據(jù)有個(gè)是，平均數(shù)是，方差是；根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確的是（）A.甲地進(jìn)入了夏季 B.乙地進(jìn)入了夏季C.不能確定丙地進(jìn)入了夏季 D.恰有2地確定進(jìn)入了夏季【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，對(duì)甲地，乙地，丙地逐個(gè)分析判斷，即可得解.【詳解】甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排，則22，22，24，，，其中，滿足進(jìn)入夏季的標(biāo)志；乙地：將5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排，則，，27，，，其中，則，而，故，其中必有一個(gè)小于22，故不滿足一定進(jìn)入夏季的標(biāo)志；丙地：設(shè)5個(gè)數(shù)據(jù)為，，，，30，且，由方差公式可知：，則，不妨設(shè)，，，則，，均大于22，但不確定是否大于22，故不能確定丙地進(jìn)入夏天.故選：AC．12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.關(guān)于的方程的所有根之和為 D.關(guān)于的方程的所有根之積小于【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)的表達(dá)式依次判斷.【詳解】，，A正確；當(dāng)時(shí)，，關(guān)于，當(dāng)時(shí)，，（，表示不超過的整數(shù)）所以B錯(cuò)，的根為，，的根為，，的根為，，所有根的和為：，C正確；由，累加可得所以所有根之積小于，D正確.故選:ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13.已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為_______.【答案】【解析】【分析】分別求出雙曲線的焦點(diǎn)和漸近線，再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可.【詳解】雙曲線：的焦點(diǎn)為雙曲線：的漸近線為由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取焦點(diǎn)，漸近線為則則點(diǎn)到漸近線的距離為故答案為：414.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用勾股定理求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的底面半徑，所以圓錐的側(cè)面積，依題意可得，解得，所以圓錐的高，所以該圓錐的體積.故答案為：.15.桌面上有一張邊長(zhǎng)為2的正三角形的卡紙，設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，將卡紙繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到、的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)分別為、，則_________.【答案】##【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)后得出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出向量的坐標(biāo)，從而得出數(shù)量積.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖,則則將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到，如圖.則,即可以看成是角的終邊.點(diǎn)在軸上則,所以所以所以故答案為：16.龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)）.例如第一代龍曲線（圖3）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊，所得的折線圖，圖4、圖5依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.，，為第一代龍曲線的頂點(diǎn)，設(shè)第代龍曲線的頂點(diǎn)數(shù)為，由圖可知，，，則_____；數(shù)列的前項(xiàng)和________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意并觀察圖形即可得到的值；對(duì)已知的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得，進(jìn)而可得，再采用裂項(xiàng)相消，即可求出結(jié)結(jié)果.【詳解】由題意可，觀察可知，；由……易知，所以，所以.故答案為：，.四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．17.的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值；（2）利用三角形的面積公式可求得，利用余弦定理可得出的值，可求得的值，即可得解.【小問1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，由，得，因?yàn)椋?【小問2詳解】解：由，，得，解得，由，即，即.由，得，故，所以的周長(zhǎng)為.18.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在任意相鄰兩項(xiàng)和之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項(xiàng)的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由求解；（2）方法一：由題意得到，的各項(xiàng)為，再確定數(shù)列的項(xiàng)求解；方法二：由在數(shù)列中，前面（包括）共有項(xiàng)，令，確定數(shù)列的項(xiàng)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得，即，整理得，解得.所以.【小問2詳解】方法一：由題意可知，的各項(xiàng)為即，因?yàn)?，且，所以，，，，，，?huì)出現(xiàn)在數(shù)列的前200項(xiàng)中，所以前面（包括）共有126+7=133項(xiàng)，所以后面（不包括）還有67個(gè)1，所以，方法二：在數(shù)列中，前面（包括）共有項(xiàng)，令，則，所以，，，，，，會(huì)出現(xiàn)在數(shù)列的前200項(xiàng)中，所以前面（包括）共有126+7=133項(xiàng)，所以后面（不包括）還有67個(gè)1，所以，19.如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）若四棱錐的所有棱長(zhǎng)為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.【小問1詳解】如圖，連接SO和OE，因?yàn)槭钦睦忮F，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以因?yàn)锳BCD是正方形，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)O，E分別是BD，BC中點(diǎn)，所以∥，所以又因?yàn)?，OE、平面SOE，所以平面SOE，因?yàn)槠矫鍿OE，所以.【小問2詳解】易知OB，OC，OS兩兩相互垂直，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，OC，OS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樗睦忮F的所有棱長(zhǎng)為，所以，，所以，，，，設(shè)，得，則，，設(shè)平面SDE的法向量為，則，解得，取，得，設(shè)直線OF與平面SDE所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值.20.已知某次比賽的乒乓球團(tuán)體賽采用五場(chǎng)三勝制，第一場(chǎng)為雙打，后面的四場(chǎng)為單打.團(tuán)體賽在比賽之前抽簽確定主客隊(duì).主隊(duì)三名選手的一單、二單、三單分別為選手、、，客隊(duì)三名選手的一單、二單、三單分別為選手、、.比賽規(guī)則如下：第一場(chǎng)為雙打（對(duì)陣）、第二場(chǎng)為單打（對(duì)陣）、第三場(chǎng)為單打（對(duì)陣）、第四場(chǎng)為單打（對(duì)陣）、第五場(chǎng)為單打（對(duì)陣）.已知雙打比賽中獲勝的概率是，單打比賽中、、分別對(duì)陣、、時(shí)，、、獲勝的概率如下表：選手選手（1）求主、客隊(duì)分出勝負(fù)時(shí)恰進(jìn)行了3場(chǎng)比賽的概率；（2）客隊(duì)輸?shù)綦p打比賽后，能否通過臨時(shí)調(diào)整選手為三單、選手為二單使得客隊(duì)團(tuán)體賽獲勝的概率增大？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）能通過臨時(shí)調(diào)整選手為三單、選手為二單使得客隊(duì)團(tuán)體賽獲勝的概率增大，理由見解析【解析】【分析】（1）由“主、客隊(duì)分出勝負(fù)時(shí)恰進(jìn)行了3場(chǎng)比賽”的事件包含“主隊(duì)3場(chǎng)全勝”和“客隊(duì)3場(chǎng)全勝”兩類事件求解；（2）剩余四場(chǎng)比賽未調(diào)整Y、Z出場(chǎng)順序的勝負(fù)情況分別為：勝勝勝、勝負(fù)勝勝、勝勝負(fù)勝、負(fù)勝勝勝，求得其概率；剩余四場(chǎng)比賽調(diào)整Y、Z出場(chǎng)順序的勝負(fù)情況分別為：勝勝勝、勝負(fù)勝勝、勝勝負(fù)勝、負(fù)勝勝勝，求得其概率，比較即可.【小問1詳解】解：設(shè)“主、客隊(duì)分出勝負(fù)時(shí)恰進(jìn)行了3場(chǎng)比賽”事件為事件A，則事件A包含“主隊(duì)3場(chǎng)全勝”和“客隊(duì)3場(chǎng)全勝”兩類事件，“主隊(duì)3場(chǎng)全勝”的概率為，“客隊(duì)3場(chǎng)全勝”的概率為，所以，所以主、客隊(duì)分出勝負(fù)時(shí)恰進(jìn)行了3場(chǎng)比賽的概率為.【小問2詳解】能，理由如下：設(shè)“剩余四場(chǎng)比賽未調(diào)整Y、Z出場(chǎng)順序，客隊(duì)獲勝”為事件M，第二場(chǎng)單打（X對(duì)陣A）、第三場(chǎng)單打（Z對(duì)陣C）、第四場(chǎng)單打（Y對(duì)陣A）、第五場(chǎng)單打（X對(duì)陣B）的勝負(fù)情況分別為：勝勝勝、勝負(fù)勝勝、勝勝負(fù)勝、負(fù)勝勝勝；則，設(shè)“剩余四場(chǎng)比賽調(diào)整Y、Z出場(chǎng)順序，客隊(duì)獲勝”為事件N，第二場(chǎng)單打（X對(duì)陣A）、第三場(chǎng)單打（Y對(duì)陣C）、第四場(chǎng)單打（Z對(duì)陣A）、第五場(chǎng)單打（X對(duì)陣B）的勝負(fù)情況分別為：勝勝勝、勝負(fù)勝勝、勝勝負(fù)勝、負(fù)勝勝勝；則，因?yàn)椋钥完?duì)調(diào)整選手Y為三單、選手Z為二單獲勝的概率更大.21.已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，且，點(diǎn)為橢