數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義下冊（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第34講空間向量在空間幾何中的運(yùn)用（解答題：含探索性問題）含答案及解析

第34講空間向量在空間幾何中的運(yùn)用二1．（全國高二課時(shí)練習(xí)）如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.2．（浙江高二單元測試）在正三棱柱中，若，求與所成角的大小.3．（惠來縣華僑中學(xué)高二月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）求直線與直線所成角的余弦值.（2）求證：平面；4．（全國高二單元測試）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.5．（浙江高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn).（I）求證：//平面；（II）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.6．（吉林白城一中）如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.7．（莆田錦江中學(xué)高二期末）在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（I）求異面直線，所成角的余弦值；（II）求直線與平面所成角的正弦值．8．（黔西南州同源中學(xué)（理））如圖所示，平面，四邊形為矩形，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．9．（浙江高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，平面，且，．（）求與平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．10．（江西九江一中高二月考（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．11．（西城·北京四中）如圖，在四棱柱，底面，，，且，點(diǎn)在棱上，平面與棱相交于點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（Ⅲ）求三棱錐的體積的最大值.12．（武漢市育才高級(jí)中學(xué)高二月考）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）在第（1）問條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置．13．（北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高二月考）在四棱錐中，底面ABCD為長方形，底面ABCD，，；的可能取值為：①；②；③；④；⑤．已知線段CD上存在點(diǎn)E，滿足．（1）求t的所有可能取值，并說明理由；（2）當(dāng)t為所有可能取值的最大值時(shí)，線段上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為，，求二面角的大?。?4．（東城·北京二中高二月考）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面.若.（1）求證：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值；（3）點(diǎn)是側(cè)棱上一點(diǎn)，且直線和平面所成角的大小為30°，求的值.15．（大埔縣虎山中學(xué)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長.16．（天津市第七中學(xué)高三月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：：（2）求直線與平面所成角的正弦值：（3）若為棱上一點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.

第34講空間向量在空間幾何中的運(yùn)用二1．（全國高二課時(shí)練習(xí)）如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以.設(shè)所求的角為,則,即異面直線與所成角的余弦值為.2．（浙江高二單元測試）在正三棱柱中，若，求與所成角的大小.【答案】【詳解】由題意可得，平面；設(shè)，則，又，，所以.故.即，即與所成角的大小為.3．（惠來縣華僑中學(xué)高二月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）求直線與直線所成角的余弦值.（2）求證：平面；【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】(1)以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，，所以，，∴，，即直線與所成角的余弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面?．（全國高二單元測試）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則.設(shè)平面的法向量為，令，則，.故與平面所成角的正弦值為.5．（浙江高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn).（I）求證：//平面；（II）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）.【詳解】（I）證明：連接BD角AC于點(diǎn)F，再連接EF.因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以EF是三角形DBS的中位線，所以DS平行EF，又因?yàn)镋F平面ACE，SD平面ACE所以//平面（II）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以又AB=AD，所以三角形ABD為正三角形.取AB的中點(diǎn)O，連接SO，則DOAB因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?AB所以DO平面ABS，又因?yàn)槿切蜛BS為正三角形則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系設(shè)AB=2a，則設(shè)平面ADS的一個(gè)法向量為則取x=1，則所以設(shè)直線AC與平面ADS所成角為則6．（吉林白城一中）如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析;(2).詳解：（1）連接，∵是正方形，是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)與平面所成角為，則.7．（莆田錦江中學(xué)高二期末）在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（I）求異面直線，所成角的余弦值；（II）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（I）（II）解：（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：8．（黔西南州同源中學(xué)（理））如圖所示，平面，四邊形為矩形，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個(gè)法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個(gè)法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.9．（浙江高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，平面，且，．（）求與平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．【答案】(1).(2).詳解：（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，∴，∴，故與平面所成角的正弦值為．（）由（）可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，∴，∴，故二面角的余弦值為．10．（江西九江一中高二月考（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】解：（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.可得，.所以，所以（2）由（1）得到，，因此可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得令，解得.同理，可求平面PDC的一個(gè)法向量.所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：.即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.11．（西城·北京四中）如圖，在四棱柱，底面，，，且，點(diǎn)在棱上，平面與棱相交于點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（Ⅲ）求三棱錐的體積的最大值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，；（Ⅲ）當(dāng)F與重合時(shí)，體積最大值為.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槠矫媾c棱相交于點(diǎn)，所以平面，在四棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；（Ⅱ）因?yàn)榈酌妫?，所以以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，取，則，所以，取面的一個(gè)法向量，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，解得或，因?yàn)椋?，即為棱的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為，所以.（Ⅲ）過作于點(diǎn)，因?yàn)槊婷妫婷?，面面，，所以面，所以，因?yàn)榕c重合時(shí)，取得最大值，所以與重合時(shí)，三棱錐的體積最大，最大為.12．（武漢市育才高級(jí)中學(xué)高二月考）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）在第（1）問條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置．【答案】（1）；（2）【詳解】由題設(shè)，面，又面，則，，又，又，則面，由面，面面，則面面，∴可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：由，，，且，∴，（1），若是面的一個(gè)法向量，則，令，即，又是面的一個(gè)法向量，∴，故面與平面所成的銳二面角的余弦值為.（2）若，則，故，由（1）知：令，則，∴，若，∴，則時(shí)取最大，此時(shí)，，可得，即，∴，則.13．（北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高二月考）在四棱錐中，底面ABCD為長方形，底面ABCD，，；的可能取值為：①；②；③；④；⑤．已知線段CD上存在點(diǎn)E，滿足．（1）求t的所有可能取值，并說明理由；（2）當(dāng)t為所有可能取值的最大值時(shí)，線段上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為，，求二面角的大小．【答案】（1）t可以?、佗冖郏焕碛梢娊馕?；（2）30°．【詳解】（1）如圖所示，以BC，BA，BP的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．設(shè)，所，，．∴，∴，∴在所給的數(shù)據(jù)中，t可以?、佗冖郏?）由（1）知，此時(shí)或．根據(jù)題意得，其坐標(biāo)為和，∵底面ABCD，∴，，∴是二面角的平面角，由，由題意得，二面角為銳角，所以二面角的大小為30°．14．（東城·北京二中高二月考）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面.若.（1）求證：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值；（3）點(diǎn)是側(cè)棱上一點(diǎn)，且直線和平面所成角的大小為30°，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】【詳解】(1)因，即，而平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，即有，在直角梯形中，且，又，令，則，，中，由余弦定理得，于是有，即，而，平面PAC，所以平面；(2)由(1)知，AB，AD，AP兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，向量的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而平面的法向量，于是得，顯然平面和平面夾角為銳角，所以平面和平面夾角的余弦值是；(3)由(2)知，，因點(diǎn)是側(cè)棱上一點(diǎn)，則，，因直線和平面所成角的大小為30°，則，解得，所以的值為.15．（大埔縣虎山中學(xué)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，1，，，2，0），，0，2），因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，，．，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得．故．又由圖示得平面PAB與平面PCD的夾角是銳角，所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值是；，，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值是，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，與所成的角最小，，所以線段BQ的長為.16．（天津市第七中學(xué)高三月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：：（2）求直線與平面所成角的正弦值