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文檔簡介

2025屆四川省彭州市彭州中學高考數(shù)學一模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,,則()A. B. C. D.2.設是虛數(shù)單位,若復數(shù),則()A. B. C. D.3.若復數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.4.設拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.35.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點P是C的右支上一點,連接與y軸交于點M,若(O為坐標原點),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.7.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風格獨特,神獸人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點,則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.8.的內(nèi)角的對邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.9.在復平面內(nèi),復數(shù)(,)對應向量(O為坐標原點),設,以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導出復數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.1610.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.11.如圖所示,矩形的對角線相交于點,為的中點,若,則等于().A. B. C. D.12.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中,含項的系數(shù)為______.14.已知函數(shù),在區(qū)間上隨機取一個數(shù),則使得≥0的概率為.15.在四面體中,分別是的中點.則下述結(jié)論:①四面體的體積為;②異面直線所成角的正弦值為;③四面體外接球的表面積為;④若用一個與直線垂直,且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為.其中正確的有_____.(填寫所有正確結(jié)論的編號)16.若復數(shù)(是虛數(shù)單位),則________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左右焦點分別是,點在橢圓上,滿足(1)求橢圓的標準方程;(2)直線過點,且與橢圓只有一個公共點,直線與的傾斜角互補,且與橢圓交于異于點的兩點,與直線交于點(介于兩點之間),是否存在直線,使得直線,,的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出的方程,若不能,請說理由.18.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.19.(12分)[選修45:不等式選講]已知都是正實數(shù),且,求證:.20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值22.(10分)[選修4-5:不等式選講]設函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎題.2、A【解析】

結(jié)合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù),∴,,則,故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算,屬于基礎題3、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算和模的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4、A【解析】

分析:題設的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準線或焦點的距離來求解.5、C【解析】

利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O,,由,與相似,所以,即,又因為,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力。6、A【解析】

化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解。【詳解】函數(shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。7、D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.8、C【解析】

由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.9、D【解析】

根據(jù)復數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點睛】本題考查了復數(shù)的新定義題目、同時考查了復數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎題.10、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當且僅當,即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.11、A【解析】

由平面向量基本定理,化簡得,所以,即可求解,得到答案.【詳解】由平面向量基本定理,化簡,所以,即,故選A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用,其中解答熟記平面向量的基本定理,化簡得到是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,數(shù)基礎題.12、B【解析】

解出,分別代入選項中的值進行驗證.【詳解】解:,.當時,,此時不成立.當時,,此時成立,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

變換得到,展開式的通項為,計算得到答案.【詳解】,的展開式的通項為:.含項的系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.14、【解析】試題分析:可以得出,所以在區(qū)間上使的范圍為,所以使得≥0的概率為考點:本小題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型的概率計算.點評:幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題,包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等,但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.15、①③④.【解析】

補圖成長方體,在長方體中利用割補法求四面體的體積,和外接球的表面積,以及異面直線的夾角,作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征,可以補圖成長方體設其邊長為,,解得補成長,寬,高分別為的長方體,在長方體中:①四面體的體積為,故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值,可得正弦值為,故錯;③四面體外接球就是長方體的外接球,半徑,其表面積為,故正確;④由于,故截面為平行四邊形,可得,設異面直線與所成的角為,則,算得,.故正確.故答案為:①③④.【點睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積,外接球的表面積,異面直線夾角和截面面積最值,關(guān)鍵在于熟練掌握點線面位置關(guān)系的處理方法,補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法,平常需要積累常見幾何體的補圖方法.16、【解析】

直接根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.【詳解】,.【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)不能,理由見解析【解析】

(1)設,則,由此即可求出橢圓方程;(2)設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得,則直線斜率為,設其方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理可得關(guān)于對稱,可求得,假設存在直線滿足題意,設,可得,由此可得答案.【詳解】解:(1)設,則,,所以橢圓方程為;(2)設直線的方程為,與聯(lián)立得,∴,因為兩直線的傾斜角互補,所以直線斜率為,設直線的方程為,聯(lián)立整理得,,所以關(guān)于對稱,由正弦定理得,因為,所以,由上得,假設存在直線滿足題意,設,按某種排列成等比數(shù)列,設公比為,則,所以,則此時直線與平行或重合,與題意不符,所以不存在滿足題意的直線.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查計算能力與推理能力,屬于難題.18、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當且僅當時等號成立.∴.∴面積的最大值為.點睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時要注意整體代換的應用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運用基本不等式求最值時,要注意等號成立的條件,在解題中必須要注明.19、見解析【解析】試題分析:把不等式的左邊寫成形式,利用柯西不等式即證.試題解析:證明:∵,又,∴考點:柯西不等式20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點,連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標系,再求得平面的法向量與平面的法向量進而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點,連接.又為的中點,則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因為,為的中點,所以.因為,所以.因為平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系:因為,所以點.則.設平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個法向量為;顯然平面的一個法向量為;設二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標系求解二面角的問題,需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以及法向量的求法等.屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】

(1)由得,兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當時,,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因為,

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