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2025屆河南省舞鋼市第二高級(jí)高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.42.將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象,給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論:①它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱;②它的最小正周期為;③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對(duì)稱;④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④3.函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.104.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.5.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.16.已知四棱錐中,平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.8.已知集合,,,則()A. B. C. D.9.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則10.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.12.設(shè)點(diǎn),,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.14.在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1,同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,,,則球的表面積為______.15.(5分)已知函數(shù),則不等式的解集為____________.16.若函數(shù),則的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.18.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時(shí),證明:.19.(12分)如圖,在四棱柱中,平面,底面ABCD滿足∥BC,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)如圖,在三棱柱中,已知四邊形為矩形,,,,的角平分線交于.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(diǎn)(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說(shuō)明理由.22.(10分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,即,又,即,運(yùn)算即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,又,所以,又,解?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由圖象的平移變換公式知,函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期為,故②正確;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是對(duì)稱軸,故①錯(cuò)誤;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對(duì)稱,故③正確;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④錯(cuò)誤;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和整體代換思想;熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型3、C【解析】
根據(jù)直線過定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后利用對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點(diǎn)在于正確畫出圖像,同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.4、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以,即當(dāng)時(shí),取最大值故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.6、B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.8、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.10、B【解析】
分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.11、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn),,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(-4,2)【解析】試題分析:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以考點(diǎn):基本不等式求最值14、【解析】
先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設(shè)球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題,考查球的表面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.15、【解析】
易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則是上的偶函數(shù).由于在上單調(diào)遞增,而在上也單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,故知在上單調(diào)遞增.令,知,則不等式可化為,即,可得,又,是偶函數(shù),可得,由在上單調(diào)遞增,可得,則,解得,故不等式的解集為.16、【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一:(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng),,當(dāng)時(shí),,所以解法二:(1)如圖當(dāng)時(shí),解法三:(1)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)解法一:(2)由題意可知,,因?yàn)?,,,所以要證明不等式,只需證明,因?yàn)槌闪?,所以原不等式成?解法二:(2)因?yàn)椋?,,所以,,又因?yàn)?,所以,所以,原不等式得證.補(bǔ)充:解法三:(2)由題意可知,,因?yàn)?,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對(duì)值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.18、(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值;(2)證明見解析【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無(wú)極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.19、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)證明,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅱ)如圖所示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量,,計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如圖所示:分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,取得到,,設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)過點(diǎn)作交于,連接,設(shè),連接,由角平分線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形的全等,證得,,由線面垂直的判斷定理證得平面,再由面面垂直的判斷得證.(2)平面幾何知識(shí)和線面的關(guān)系可證得平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求得兩個(gè)平面的法向量,根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.【詳解】(1)如圖,過點(diǎn)作交于,連接,設(shè),連接,,,又為的角平分線,四邊形為正方形,,又,,,,,又為的中點(diǎn),又平面,,平面,又平面,平面平面,(2)在中,,,,在中,,,又,,,,又,,平面,平面,故建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,,令,得,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,,令,得,由圖示可知二面角是銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明,二面角的計(jì)算,在證明垂直關(guān)系時(shí),注意運(yùn)用平面幾何中的等腰三角形的“三線合一”,勾股定理、菱形的對(duì)角線互相垂直,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)k1+k2為定值0,見解析【解析】
(1)利用已知條件直接求解,得到橢圓的方程;(2)設(shè)直線在軸上的截距為,推出直線方程,然后將直線與橢圓聯(lián)立,設(shè),利用韋達(dá)定理求出,然后化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】(1)由橢圓過點(diǎn)(0,),則,又a+b=3,所以,故橢圓的方程為;(2),證明如下:設(shè)直線在軸上的截距為,所以直線的方程為:,由得:,由得,設(shè),則,所以,又,所以,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查了方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.22、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,設(shè),可證得四邊形為平行四邊形,由此得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以為原點(diǎn)建立
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