2025版高考物理全程一輪復(fù)習(xí)第十一章磁場安培力與洛倫茲力專題強(qiáng)化九帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界極值及多解問題學(xué)案

專題強(qiáng)化九帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值及多解問題1.會分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的臨界問題和多解問題．2．會用“平移圓”“旋轉(zhuǎn)圓”“放縮圓”找出對應(yīng)臨界狀態(tài)或極值的軌跡．考點(diǎn)一帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問題帶電粒子在磁場中的臨界、極值問題的分析思路和方法兩種思路一是以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解二是直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值兩種方法物理方法(1)利用臨界條件求極值；(2)利用邊界條件求極值；(3)利用矢量圖求極值數(shù)學(xué)方法(1)用三角函數(shù)求極值；(2)用二次方程的判別式求極值；(3)用不等式的性質(zhì)求極值；(4)圖像法等從關(guān)鍵詞找突破口許多臨界問題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件例1如圖所示，垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場在∠DAC為30°、邊長為a的菱形內(nèi)部，對角線交點(diǎn)為O.某帶電粒子以速度v1從O點(diǎn)沿OA方向射出時(shí)，恰好沒有穿出磁場邊界；該帶電粒子以速度v2從O點(diǎn)沿OB方向射出時(shí)，仍恰好沒有射出磁場邊界．不計(jì)粒子重力，則v1A．1B．2C．3D．6－33例2[2024·四川省成都市石室中學(xué)高三三診]一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束24He粒子在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場，這些粒子具有各種速率．不計(jì)粒子之間的相互作用．已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為A．3qBL4mB．C．5qBL8mD．例3(多選)[2024·陜西西安市模擬]2023年1月7日，中科院聚變大科學(xué)團(tuán)隊(duì)利用有“人造太陽”之稱的全超導(dǎo)托卡馬克大科學(xué)裝置(EAST)，發(fā)現(xiàn)并證明了一種新的高能量約束模式，對國際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆和未來聚變堆運(yùn)行具有重要意義．其基本原理是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動(dòng)，使之束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)．如圖所示，環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，被束縛的帶電粒子的比荷為k，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度，速度大小為v.中空區(qū)域中的帶電粒子都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在半徑為R2的區(qū)域內(nèi)，不計(jì)粒子重力，則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是()A.vkRC．3vkR考點(diǎn)二帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題．帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題解題思路：(1)分析題目特點(diǎn)，確定題目多解的形成原因．(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況(全面考慮多種可能性)．(3)若為周期性重復(fù)的多解問題，尋找通項(xiàng)式，若是出現(xiàn)幾種解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件．例4(多選)[2022·湖北卷]在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直．離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角．已知離子比荷為k，不計(jì)重力．若離子從P點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應(yīng)θ角的可能組合為()A．13kBL，0°B．12C．kBL，60°D．2kBL，60°例5如圖所示的等腰梯形區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，等腰梯形中∠P＝45°，PQ＝2MN＝4L，一帶電粒子束由M點(diǎn)沿垂直PM方向射入勻強(qiáng)磁場，帶電粒子剛好不從PQ邊界射出磁場，已知粒子的比荷為k，粒子的重力忽略不計(jì)．則下列說法正確的是()A．粒子的軌道半徑可能為(2＋2)LB．粒子的速度為(2－2)BkLC．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為πD．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定為π核心素養(yǎng)提升“數(shù)學(xué)圓”法在磁場中的應(yīng)用1.“放縮圓”模型法的應(yīng)用“放縮圓”法粒子射入方向確定，但速率v或磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化時(shí)，以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，作出半徑不同的一系列軌跡，從而探索出臨界條件．典例1(多選)[2024·湖南聯(lián)考模擬]一有界勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，其中射線bc足夠長，∠abc＝135°，其他地方磁場的范圍足夠大．一束質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場，這些粒子具有各種速率，不計(jì)粒子重力和粒子之間的相互作用，以下說法正確的是()A．從ab邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相等B．從a點(diǎn)入射的粒子速度越大，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長C．粒子在磁場中的最長運(yùn)動(dòng)時(shí)間不大于πmD．粒子在磁場中的最長運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于3πm2．“旋轉(zhuǎn)圓”模型法的應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)圓”法粒子速率v一定，但射入的方向變化時(shí)，以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一系列軌跡，從而探索出臨界條件．典例2(多選)[2024·河南名校模擬]某個(gè)粒子分析裝置的簡化示意圖如圖所示，在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(未畫出)中，有一圓心為O、半徑為R的圓形無磁場區(qū)域，在圓形邊界的P點(diǎn)處有一α粒子發(fā)射源，可在圖示∠GPH＝90°范圍內(nèi)沿紙面隨機(jī)向磁場區(qū)域發(fā)射速度大小相同的α粒子，在圓經(jīng)過P點(diǎn)的直徑上，固定一長度為2R的熒光擋板，α粒子擊中熒光擋板后被吸收并發(fā)出熒光．已知PG與直徑QP延長線的夾角為30°，α粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q.不計(jì)α粒子的重力和粒子間的相互作用，當(dāng)α粒子的速度為v＝qBRmA．所有進(jìn)入圓形區(qū)域的α粒子均垂直擊中熒光擋板B．熒光擋板上α粒子打到的區(qū)域長度為R，且擊中熒光擋板的α粒子的位置均勻分布C．α粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為5πmD．α粒子在無磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為m3．“平移圓”模型法的應(yīng)用“平移圓”法粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但入射點(diǎn)在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝mv0典例3(多選)如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向分別垂直于紙面向外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐.質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點(diǎn)射入，入射速度垂直AD且垂直磁場，若入射速度大小為qBdmA．粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為dB．粒子在距A點(diǎn)0.5d處射入，不會進(jìn)入Ⅱ區(qū)域C．粒子在距A點(diǎn)1.5d處射入，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為πmD．能夠進(jìn)入Ⅱ區(qū)域的粒子，在Ⅱ區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為πm專題強(qiáng)化九帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值及多解問題考點(diǎn)一例1解析：當(dāng)帶電粒子沿OA方向射出時(shí)，軌跡如圖甲所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r1，由幾何知識有sin60°＝r1a2?r1，解得r1＝23?32a，當(dāng)帶電粒子沿OB方向射出時(shí)，軌道如圖乙所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r2，由幾何知識有tan30°＝r2a2答案：D例2解析：根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有qvB＝mv又有T＝2πrv＝設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所對的圓心角為α，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝α2π·T＝可知，α越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，即當(dāng)圓弧經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)α最大由幾何關(guān)系有L2＋(2L－R)2＝R2解得R＝54聯(lián)立可得v＝qBRm＝5qBL4m答案：B例3解析：由題意可知，粒子的比荷為k，要使所有的粒子都不能穿出磁場，與內(nèi)圓相切的方向進(jìn)入磁場的粒子在磁場運(yùn)動(dòng)的軌跡剛好與外圓相切，以帶正電粒子為例，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由幾何知識可知，粒子最大軌道半徑r＝R粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvB＝mv解得B＝2v要使粒子不離開磁場B≥2v由于2R2vkR2故選CD.答案：CD考點(diǎn)二例4解析：若粒子通過下部分磁場直接到達(dá)P點(diǎn)，如圖根據(jù)幾何關(guān)系則有R＝L，qvB＝mv可得v＝qBLm＝根據(jù)對稱性可知出射速度與SP成30°角向上，故出射方向與入射方向的夾角為θ＝60°.當(dāng)粒子上下均經(jīng)歷一次時(shí)，如圖因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B，則根據(jù)對稱性有R＝12根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝mv可得v＝qBL2m＝1此時(shí)出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為θ＝0°.通過以上分析可知當(dāng)粒子從下部分磁場射出時(shí)，需滿足v＝qBL2n?1m＝1此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ＝60°；當(dāng)粒子從上部分磁場射出時(shí)，需滿足v＝qBL2nm＝12nkBL(此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ＝0°.故可知B、C正確，A、D錯(cuò)誤．答案：BC例5解析：若粒子帶正電，粒子的軌跡如圖中1所示，設(shè)粒子的軌道半徑為R1，由幾何關(guān)系得O1P＋O1M＝2L，即2R1＋R1＝2L，解得R1＝(2－2)L，由qv1B＝mv12R1，解得v1＝(2－2)BkL，粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為T＝2πmqB＝2πkB，粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度為180°，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝T2＝πkB.若粒子帶負(fù)電，粒子的軌跡如圖中2所示，軌跡與上邊界PQ相切，設(shè)粒子的軌道半徑為R2，由幾何關(guān)系得R2＝2(R2－L)，解得R2＝(2＋2)L，由qv2B＝mv22R2，解得v2答案：A核心素養(yǎng)提升典例1解析：畫出帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)分析圖，如下圖所示當(dāng)粒子都從ab邊射出，則運(yùn)動(dòng)軌跡都是半圓周，運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相等，為πmqB，當(dāng)粒子都從bc邊射出，則速度越大，軌道半徑越大，對應(yīng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于πm當(dāng)粒子的速度足夠大，半徑足夠大時(shí)，l遠(yuǎn)小于r，這時(shí)圓心角大小趨近于270°，因此粒子在磁場中最長運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于3πm2qB答案：AD典例2解析：α粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r＝mvqB＝R，則從P點(diǎn)射出的α粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由幾何關(guān)系可知，四邊形O′MOP為菱形，可知O′M水平，則從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域的粒子速度豎直向下，垂直擊中熒光擋板，選項(xiàng)A正確；沿著PG方向射出的粒子打到擋板上的位置最遠(yuǎn)，由幾何關(guān)系可知，最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離為32R，并且從O到P，距P點(diǎn)越近，粒子數(shù)量越多，粒子分布不均勻，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；沿著PH方向射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度為330°，則最長時(shí)間t＝330°360°·2πRv＝11πm6qB，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；水平向左射出的α粒子在無磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，為t答案：AD典例3解析：