2023-2024學(xué)年上海七年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)教材同步預(yù)習(xí) 第14講 整式單元復(fù)習(xí)含詳解

第14講整式單元復(fù)習(xí)

同學(xué)為目標(biāo)

教學(xué)H標(biāo)

整式的核心知識(shí)是：整式四則運(yùn)算和因式分解.在這一章中讓學(xué)生了解了整式的概念，繼而學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的整式加減乘

除運(yùn)算以及常見(jiàn)的四種分解因式的方法.并能熟練的進(jìn)行整式相關(guān)的計(jì)算.

彥知識(shí)精講

mm

TO

知識(shí)要點(diǎn)回顧

一、整式的有關(guān)概念

1、單項(xiàng)式

（1）由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.

（2）一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

2、多項(xiàng)式

（1）由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)

叫做常數(shù)項(xiàng).次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

3、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式.

4、同類(lèi)項(xiàng)

（1）所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式叫做同類(lèi)項(xiàng).幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng).

（2）合并同類(lèi)項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式合并后含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式

就叫做幾項(xiàng)式.

（3）合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

5、代數(shù)式的值

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

注意：

（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的取值代入.

（2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入.

二、整式的運(yùn)算

整式的運(yùn)算規(guī)則：

1、整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類(lèi)項(xiàng).

2、整式的乘法：

（1）同底數(shù)累相乘：都是正整數(shù)）；

（2）號(hào)的乘方：（〃八〃都是正整數(shù)）；

（3）積的乘方：（⑦）（〃為正整數(shù)）;

（4）單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；

（5）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；

（6）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；

（7）平方差公式:（a+b）（a-b）=a2-b2；

（8）完全平方公式：3+4=/+2"+從,

（a-b）2=a2-2ab+b~.

3、因式分解：提公因式法；公式法；分組分解法；十字相乘法.

4、整式的除法：

（1）同底數(shù)暴相除：〃是正整數(shù)，且〃?>〃，。工0）；

（2）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；

（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.

lil!典例精析

考點(diǎn)一整式的相關(guān)概念

【例1-1】整式①;；②31-），2；③2"）,；④〃；⑤4x+⑥m；⑦X+1中單項(xiàng)式有__________,多項(xiàng)式

-25

有.

【例1-2】單項(xiàng)式-孚的系數(shù)是____________,次數(shù)是__________.

3

【例1-3】多項(xiàng)式丁+4,-3），_2是一次一項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)是.

6

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.下列各式中：a—3,-2-,,2.7/,單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為（）

in23

2.用代數(shù)式表示：工與），倒數(shù)的和的10倍：.

3.單項(xiàng)式—空的系數(shù)是,次數(shù)是________.

考點(diǎn)二整式的運(yùn)算

【例2-1］（1）計(jì)算：-X?）一X3）

(2)算：(--x3y3+—x3y2一~—.xy'),―城

4,5?103,

（3）簡(jiǎn)便計(jì)算：（-3產(chǎn).（卡叫

(4)(2av3)-4(/Jy.(詞3

(5)(12臼，6-18/)，3)+3/+2產(chǎn)

【例2-2】42005XO.252005=

【例2?3］已知5W=2,25"=7,求53,n+2fl=

考點(diǎn)三乘法公式

【例3-1】下列乘法中，能應(yīng)用平方差公式的是()

A.(A-y)(y-x)B.(2A-3y)(3x+2y)

C.(-x-y)(x+y)D.(-2x-3y)(3y-2A)

【例3?2】設(shè)4/-2(/〃+3)X+I21是一個(gè)完全平方式，則，"二.

【例3-3】己知：a+—=5>則/+［=;/+二=?

aaa

［例3-4］若〃7+〃=10,inn=24?則〃，+n2=.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

I.已知?一2(〃?+1)不，+16./是一個(gè)完全平方式，則(62一5，〃-14)+(帆+2)=

(2+。值+1)(2、1)的結(jié)果為.

3.已知X2—5x=1,那么W+1.

考點(diǎn)四因式分解

【例4-1】分解因式：

(1)-9*2)，-6孫2+3孫；(2)(2〃?-〃『-(3"?+2〃『；

(3)x2-18x4-32；(4)2ax+3by+3ay+2bx.

【例已知關(guān)于的二次2

4-2］x三項(xiàng)式2.V+mx+n因式分解的結(jié)果是(2x-1)'+5)，求相、〃的值.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.分解因式：

(1)2X2-9X-35：(2)/T-4/+1；

(3)9x2+9x-y2-3y(4)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2.

2.分解因式:

(1)A2-2A>-35/；(2)9A2-12A+4；

(3)(a-b)2-\6b2i(4)x5+3X3-4x；

(5)A4+3AJ+6x-4.

3已知x2+2x-3能整除+9f+/nt+〃,求機(jī)，〃的值.

考點(diǎn)五化簡(jiǎn)求值等無(wú)關(guān)、不含問(wèn)題

【例5-1］已知：2x-3=0,求代數(shù)式-同+丁（5-力-9的值.

【例5-2】先化簡(jiǎn)，再求值：［(歲+2)(孫一2)-2/./+4卜孫(其中ml(),y=---).

【例5-3】說(shuō)明代數(shù)式［。一?-(x+y)(x-y)卜(_25)+)，的值，與)，的值無(wú)關(guān).

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.先化簡(jiǎn)，再求值：(2tz-/7)2-(a+l-/7)(?+1+^)+(a+l)2,其中a=L,b=-2.

2.若任+心一8),一3x+〃)的展開(kāi)式中不含丁和丁項(xiàng)，求，〃和〃的值.

考點(diǎn)六整式相關(guān)的應(yīng)用

【例&1】有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為(2。+力)，寬為(“+〃)的矩形，則需要A

類(lèi)卡片張，B類(lèi)卡片張，。類(lèi)卡片張，請(qǐng)你在右下角的大矩形中畫(huà)出一種拼法.(標(biāo)

上卡片名稱(chēng))

a+h

b2a+b

【例6-2］解方程：2(x-3)2=-(x+I)2+3(x-I)(x+1).

【例6-3】在正常情況下，某出租車(chē)司機(jī)每天駕車(chē)行駛，小時(shí)，且平均速度為I，千米/小時(shí).已知他在4日比正常情

況少行駛2小時(shí)，平均速度比正常情況慢5千米/小時(shí)，他在4日比正常情況多行駛2小時(shí)，平均速度比正常情況

快5千米/小時(shí)，

（1）求A日出租車(chē)司機(jī)比正常情況少行駛多少千米？（用含八，的代數(shù)式表示）

（2）已知A日出租車(chē)司機(jī)比正常情況少行駛120千米，求8日出租車(chē)司機(jī)比正常情況多行駛多少千米？

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.解不等式：3A(3A+1)+(2x-l)(2x+3)>13(x+1)(x-l).

2.求證:無(wú)論x、y為何值，4x2-12x+9y2+30y+35的值恒為正.

3.“光明”中學(xué)為了改善校園建設(shè)，計(jì)劃在長(zhǎng)方形的校園中間修一個(gè)正方形的花壇，預(yù)計(jì)正方形花壇的邊長(zhǎng)比場(chǎng)地

的長(zhǎng)少8米，比它的寬少6米，并且場(chǎng)地的總面積比花壇的面積大104平方米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.

4.閱讀學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)中有很多等式可以用圖形的面積來(lái)表示.如圖I,它表示（〃+6）（，〃+2〃）=//+3""?+2〃2,

（1）觀察圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出（。+〃）2,5份2,而之間的關(guān)系.

（2）小明用8個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形，（長(zhǎng)為a寬為為，拼成了如圖甲乙兩種圖案，圖案甲是一個(gè)正方形，圖案甲中

間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形；圖形乙是一個(gè)長(zhǎng)方形.

@a2-4ab+4b2（填數(shù)值）

（2）ab=.（填數(shù)值）

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.代數(shù)式生也的意義是（）

c

A.。與力的平方和除。的商B.。與力的平方和除以c的商

C.。與〃的和的平方除c的商D.。與力的和的平方除以。的商

2.在代數(shù)式L2沖，0,f+）5,S+4,g中，單項(xiàng)式有（）

x3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.3m+2m=5rn2：B.(2〃/)=8〃/；

C.m842;D.(w-2)*=nf-4.

4.如果把二次三項(xiàng)式V+2x+c分解因式得f+2x+c=（x-l）（x+3）,那么常數(shù)c的值是（)

A.3B.-3C.2D.-2

5.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.噤是整式

5a

B.多項(xiàng)式2A2-產(chǎn)+冷，-4第V按字母x升累排列為-4/)/+#+不，-，

C.2x是一次單項(xiàng)式

D./b+2/b-3ab的二次項(xiàng)系數(shù)是3

6.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.犬一3工一1=%3-3)-1B.(x4-y)2=x2+2xy-I-y2

C.a~-ab-\-a=a(a—b)D.x2—9y2=(3y+x)(x—3y)

7.將多項(xiàng)式V+l加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式錯(cuò)誤的是().

A.-XB.-x2C.2xD.-I

8.用代數(shù)式表示)的2倍與y的差”為.

9.計(jì)算：(-2nifr)2=.

10.計(jì)算：(9a6-12^)+3/=.

11.多項(xiàng)式-3x，+4孫+X-2的次數(shù)與項(xiàng)數(shù)之比為.

12.二元二次方程f-2x.y-3/=0分解為兩個(gè)一次方程的結(jié)果為.

13.已知代數(shù)式/+心+4是一個(gè)完全平方式，則〃的值為.

乩計(jì)算:gp?=—

15.已知1已=2,10*=9,則］0()”京=

16.若規(guī)定“△”的含義：(內(nèi),)，1)4(0％)=內(nèi)電+兇)’2，則(?5。)△仲2,/+必)=.

17.解答下列各題.

(1)計(jì)算：［(〃3y1+⑹，(一412.⑵計(jì)算：(a-b+2c)(a-b-2c:).

(3)分解因式：x3-x2-2x.(4)分解因式：，〃2(〃?一1)一4(1一/〃)2.

(5)分解因式：/-4入了十”2-2K+”-3.(6)分解因式：一帆十〃/一,J.

4

18.(1)計(jì)算：(6r'+3f?2i)-(-2t)-(A-2)2.

(2)計(jì)算：一5工(一/+2工+1)-(2X-3)(5+丁)；

(3)計(jì)算：(x+3y-4z)(x-3y+4z)；

(4)因式分解：(f-4x『+8(4x-/)-48

⑸因式分解：25(4-6)2-49(力力2

(6)因式分解：8(〃?+/?)2-2(〃?+〃)(/”-〃)；(7)因式分解：(f+4x)2?(f+4x)-20.

19.解不等式：(x—5)(6x—7)v(2x+l)(3x—l)—2

20.已知A=3V—2x+l,4=3/+2%一1,求A-23,并按x的降幕排列.

21.已知〃+〃=7,ab=5,求下列各式的值：

⑴。6-加(2)a2+b2

22.已知化簡(jiǎn)（寸+內(nèi)+8），-3x+0的結(jié)果中不含/項(xiàng)和/項(xiàng).

⑴求P,?的值；

⑵若。―/）（彳+2）（彳-〃）（式+4）+〃是一個(gè)完全平方式，求”的值.

23.小明將?根長(zhǎng)為20厘米的鐵絲剪成兩段，然后分別圍成兩個(gè)正方形.設(shè)其中?段鐵絲長(zhǎng)為x厘米.

（1）設(shè)較長(zhǎng)的一段鐵絲長(zhǎng)為xcm,請(qǐng)計(jì)算出這兩個(gè)正方形的面積之差；

（2）是否存在合適的x的值，使兩個(gè)正方形的面積剛好相差5cm2?請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.如圖，已知正方形A3CO的邊K為m正方形的邊K為〃。＜a）,點(diǎn)G在邊8c上，點(diǎn)E在邊A6的延長(zhǎng)

線上，DE交邊BC于點(diǎn)、H.連接F〃、DF.

D

(1)用〃，人表示的面積，并化簡(jiǎn)；

(2)如果點(diǎn)M是線段A￡的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MC、"/、CF,

①用m力表示ZXMC廠的面積，并化簡(jiǎn)；

②比較△＞好＜?的面積和4DHF的面積的大小.

25.閱讀理解:

已知V—8有一個(gè)因式x—2,我們可以用如下方法對(duì)V—8進(jìn)行因式分解.

解：設(shè)/-8=(x-2)(f+at+。)

因?yàn)?X—2)(f+at+A)=3+(。-2)f+(。一2。)x~2b

所以〃一2=0,且〃-2a=0,且一2b=-8

所以。=2,且b=4

所以xf-8=(x-2)(f+2x+4)

這種分解因式的方法叫做待定系數(shù)法.

(1)已知V+27有一個(gè)因式工+3,用待定系數(shù)法分解：/+27.

(2)觀察上述因式分解，直接寫(xiě)出答案：

因式分解：/+〃=;a_g.

能力提升

26.歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)”力來(lái)表示.例如：/（.r）=x2+4.r-5,把.“某數(shù)時(shí),

多項(xiàng)式的值用/（某數(shù)）來(lái)表示，例如x=l時(shí)多項(xiàng)式f+4x-5的值記為/⑴=12+4x1-5=0.

（1）已矢口g（x）=2f-3x+l,分別求出g（l）和&（；）,再抨.2/—3丫+1分解因式.

（2）若2%-3和強(qiáng)+1都是〃％）=加+加+3陵+15的因式,求小。的值.

27.利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：

（1）（4+/＞）（a?一而+//）=；

一〃）（"+"+〃1=.

在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則成為因式

分解中的立方和與立方差公式.

已知=2,而=1,利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問(wèn)題：

（2）/+〃=；（直接寫(xiě)出答案）

（3）a3-b5=：（直接寫(xiě)出答案）

（4）a6+b6=；（寫(xiě)出解題過(guò)程）

28.如圖是一個(gè)長(zhǎng)為2〃?、寬為2〃的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)

正方形.

圖①圖②

(1)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積

方法1:;

方法2：.

(2)請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：(〃?+〃)2,(加-〃)2,〃"?之間的等量關(guān)系.；

(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：己知：方=5,ab=-6,則3b)2=

(4)請(qǐng)你在下方畫(huà)出一個(gè)幾何圖形來(lái)解釋(〃+2〃)(〃?/力=〃2+"-2浜左右相等.

第14講整式單元復(fù)習(xí)

K學(xué)為目標(biāo)

教學(xué)H標(biāo)

整式的核心知識(shí)是：整式四則運(yùn)算和因式分解.在這一章中讓學(xué)生了解了整式的概念，繼而學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的整式加減乘

除運(yùn)算以及常見(jiàn)的四種分解因式的方法.并能熟練的進(jìn)行整式相關(guān)的計(jì)算.

mm

TO

知識(shí)要點(diǎn)回顧

一、整式的有關(guān)概念

1、單項(xiàng)式

（1）由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.

（2）一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

2、多項(xiàng)式

（1）由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)

叫做常數(shù)項(xiàng).次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

3、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式.

4、同類(lèi)項(xiàng)

（1）所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式叫做同類(lèi)項(xiàng).幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng).

（2）合并同類(lèi)項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式合并后含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式

就叫做幾項(xiàng)式.

（3）合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

5、代數(shù)式的值

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

注意：

（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的取值代入.

（2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入.

二、整式的運(yùn)算

整式的運(yùn)算規(guī)則：

1、整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類(lèi)項(xiàng).

2、整式的乘法：

（1）同底數(shù)累相乘：都是正整數(shù)）；

（2）號(hào)的乘方：（〃八〃都是正整數(shù)）；

（3）積的乘方：（⑦）（〃為正整數(shù)）;

（4）單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；

（5）單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；

（6）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；

（7）平方差公式:（a+b）（a-b）=a2-b2；

（8）完全平方公式：3+4=/+2"+從,

（a-b）2=a2-2ab+b~.

3、因式分解：提公因式法；公式法；分組分解法；十字相乘法.

4、整式的除法：

（1）同底數(shù)暴相除：〃是正整數(shù)，且〃?>〃，。工0）；

（2）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；

（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.

lil!典例精析

考點(diǎn)一整式的相關(guān)概念

【例1-1】整式①;；②31-），2；③2"）,；④〃；⑤4x+⑥m；⑦X+1中單項(xiàng)式有__________,多項(xiàng)式

-25

有.

【答案】①③④⑥②⑤⑦

【解析】

根據(jù)單項(xiàng)式的定義：①;；③r/y；④。；⑥竿為單項(xiàng)式，

根據(jù)多項(xiàng)式的定義：②力-），2；⑤公+9；⑦x+1為多項(xiàng)式.

故第一個(gè)空填①@④⑥，第二個(gè)空填②?⑦.

【例1-2】單項(xiàng)式一三￡的系數(shù)是_____________,次數(shù)是__________.

3

【答案】—5

【解析】

解：-牛的系數(shù)是-g,次數(shù)是5,

故答案為：-：，5.

【例1-31多項(xiàng)式l+4xf_2是一次一項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)是_.

6

【答案】三四[

【解析】

解：多項(xiàng)式）+4廠-3.\，-2是三次四項(xiàng)式,常數(shù)項(xiàng)為一：；

63

故答案為：三、四、-

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

].下列各式中：2,〃_3,-2-,,2.7/,單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為（）

m23

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

【答案】B

【解析】是單項(xiàng)式的是-2：2.7）、

【總結(jié)】本題主要考查單項(xiàng)式的概念.

2.用代數(shù)式表示：x與y倒數(shù)的和的10倍：.

【答案】1。6+：

【解析】代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)，注意這題與下題的區(qū)別.

用代數(shù)式表示：文與），倒數(shù)的10倍的和：.（正確答案為x+W）

>'

【總結(jié)】在列代數(shù)式時(shí)注意“與“、‘‘和''這些關(guān)鍵字眼.

3.單項(xiàng)式一生2的系數(shù)是,次數(shù)是.

3

【答案】一』；3

3

【解析】考察單項(xiàng)式系數(shù)，次數(shù)等概念.注意次數(shù)是要各字母指數(shù)相加.

考點(diǎn)二整式的運(yùn)算

【例2-1】(1)計(jì)算：-(-2丫(_/『-尤卜/丫

【答案】2/

【解析】

解：-(-x2)3-(-x2y-x^-x3)3

=一(一。).丁一工.(一工9)

=”+”

=2x'°.

(2)i一算：(一；"+^。2-備爐＞|沖'

【答案】-1x4/+2/y7-|xV

【解析】

原式=_26+2"_產(chǎn)力

14

(3)簡(jiǎn)便計(jì)算:(-3§產(chǎn)?(-記產(chǎn).

【答案】*

【解析】

3

(4)(2av3-4(a2x47+(av)'

【答案】4?V

【解析】

原式=8撲9一4叱+小3=8心一4尸產(chǎn)=8/f一4/父=4小9

(5)(12"一is").；2y2

3

【答案】2X/-3AT

【解析】

I2//-18X4/…a

原式二-------------=2"y-3AJ

【例2-2】42005xO.252^=.

【答案】I

［解析］42005xO.252OO5=(4XO.25)2005=l2005=l.

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)積的乘方法則的逆用.

【例2-3］己知5'"=2,25"=7,求53w+2n=.

【答案】56

(解析］5M“=5%?5'"=(5'">25"=2*x7=56.

【總結(jié)】本題主要考查事的運(yùn)算.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.計(jì)算：

(2)(2/丁)，(-2孫)+(-2/y)+(2廠)；(2)(6//?2/z-6m2n2-3m2)(-3/rr).

3

【答案】(1)-6x>1(2)-2ni⑦2」?.

［解析］(I)原式二(2/”2.(—2冷，)+(—2/)，)'+(2/)=4/丁.(-2xy)+(-8xV)4-(2x2)

=-2.凸，3_=-6.凸，3.

(2)原式=6/塔〃+(-3")—6"〃~+(―3")—3〃廣+(―3〃廣)=—2〃+2/?2+1.

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)整式運(yùn)算中的相關(guān)法則的運(yùn)用.

2.計(jì)算：

(1)(x-4y)(2x+3y)-(x-y)；(2)6a5b6c4+(-3a*c)+(2tr/3c.

【答案】(1)2r—5邛-12y2_.r+y；(2)-1.

【解析】(I)原式=2f+3外一8Q一12/一x+y=2/-5不，一12)3一4+y；

(3)原式=一2〃%3c3+(2〃3〃3c3)=一］

【總結(jié)】本題是整式的混合運(yùn)算，計(jì)算時(shí)注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

3.計(jì)算：

(1)(a+2b-；(2)2x(3x2-4.Y+1)-3x2(2x-3)；

(3)(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)；(4)[(x+y)1-y(2x+y)-Sx+2x.

【答案】(1)a2+4ab+4b2-2a-4b+\；(2)x2+2x；

(3)\0h2+l2ab;(4)^x-4.

[解析](I)原式=(〃+2/>)2-2(〃+2b)+\=a2+4ab+4b2-2a-4h+\t

32323232

(2)原式=6x-8x+2x-(6x-9x)=6x-8x+2x-6x+9/=x+2x；

(3)原式=4『+9b2+I2ab-(4a2-b2)=\Oh2+\2ab；

(4)原式二卜2+)，+2不，一(2切，+)，2)-8%&21=(爐-8x)+2x=gx-4.

【總結(jié)】本題是整式的混合運(yùn)算，計(jì)算時(shí)注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

4.若5%-3》、-2=0,IO5；]。，-.

【答案】100

35

【解析】?.?5x-3y-2=0,??.5x-3y=2,???IO"+IO'=IO7V=[02=]0G.

【總結(jié)】本題主要考兗對(duì)同底數(shù)幕相除的法則的逆用.

5.若(3)+2丫-10)“無(wú)意義，且2x+y=5,求的值.

【答案】x=0,)=5.

【解析】由題意可知：3x+2y-10=0.

又?；2x+y=5,Ax=0,>'=5.

【總結(jié)】本題主要考杳有意義的條件.

6.對(duì)于積的乘方運(yùn)算，我們有：(必)“=〃》".逆用這個(gè)等式，我們可以很方便的完成一些特定計(jì)算.比如:

82mx。.⑵刈:(8x0.125產(chǎn)=產(chǎn)“=1.請(qǐng)仿照上述過(guò)程完成以下計(jì)算:

(1)(-4)4X0.254

⑵

3

【答案】(1)1；(2)-y

【解析】

解：(1)(-4)4X0.254=(-4X0.25)4=(-1)4=1

3

(2)X—

2

考點(diǎn)三乘法公式

【例3-1】下列乘法中，能應(yīng)用平方差公式的是()

A.(A-y)(y-x)B.(2A-3y)(3x+2y)

C.(-/-)，)(x+y)D.(-2x-3y)(3y-2x)

【答案】D

【解析】

(-y)(-v_x)=_(x--v)2,故4不符合題意;

(lv-3y)(3x+2y)不能用平方差公式，故8不符合題意;

(-x-},)(x+_v)=-(-V+.V)2?故c不符合題意；

(-2x-3.y)(3.y-2A)=4x2-9y2,故。符合題意；

故選D.

【例3-2】設(shè)4/-2(m+3)x+l2l是一個(gè)完全平方式，則〃[;

【答案】19或-25

【解析】V4.r-2(/n+3)x+121=(2A)2-2(/n+3)x+(ll)2,

2(〃?+3)=±44,:.m為19或-25.

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)完全平方公式的理解和運(yùn)用.

【例3-3]己知：rz+—=5>則/+4=；〃“+[=

aara

【答案】23；527

【解析】V1+?=5,/11

=25>:.—-+。~+2=25,—r+=23.

a-a-

?二+。2=23,???(』+/)=529,???二+4,+2=529,工二+/=527.

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)整體代入思想的理解.

【例3-4】若〃?+〃=10,mn=24,則ni2+n2=

【答案】52

【解析】〃/+J，=(ni+〃『-2〃?〃=10’-2x24=52.

【總結(jié)】本題主要考查完全平方公式的變形.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

I.已知二2一2(〃?+1).晝+16y2是一個(gè)完全平方式，則(4一5機(jī)一14)+(+2)=.

【答案】-4或-12

【解析】由題意可得：2(〃?+1)=±8,解得：相=3或〃z=—5.

(/w2-5〃2-14)+("?+2)=(/"-7)(〃?+2)+("2+2)=/〃-7,代入上述表達(dá)式可得Y或-12.

【總結(jié)】本題要注意對(duì)兩種情況的分類(lèi)討論.

(2+1乂2?+1)(2.+1)的結(jié)果為.

【答案】28-1

【解析】(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1乂22+1)(24+1)=28-1.

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)平方差公式的理解和運(yùn)用.

3.已知x2-5x=l?那么W+二=.

X'

【答案】27

.?./+已—2=25..?./+9=27.

【總結(jié)】當(dāng)兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，已知它們的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它們的平方和.

考點(diǎn)四因式分解

【例4-1】分解因式:

(1)-9x2y-6xy2+3xy；(2)(2w-/?)'-(3〃?+2n\；

(4)X2-I8X+32；(4)2ax+3by+5ay+2bx.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)一9/)，-6xy2+3xy=-3xy(3x+2y-l)；

(2)(2m-/z)2-(3tn+2/i)2=[(2〃?一〃)+(3〃7+2〃)][(2〃[一〃)-(3〃7+2〃)]=一(5〃2+〃)(/〃+3〃)；

(3)A2-18X+32=(X-2)(X-16)；

(4)lax+3by+3ay+2bx=2x(a+b)+3y(a+b)=(a+/?)(2x+3y).

【總結(jié)】本題主要考查因式分解的運(yùn)用.

【例4-2】已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式2.F+如+〃因式分解的結(jié)果是(21-巾+￡|,求加、〃的值.

【答案】〃?=」，〃=」.

24

(IA11II

【解析］V(2.r-l)^x+-I=2X2+-X-X--=2X2--X--,

...m=-1，n=—?.

24

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)因式分解的理解.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.分解因式：

(1)2X2-9X-35；(2)a”—；

(3)9x2+9x-y2-3y；(4)(x+y)2-2(x2-/)+(.r-y)1.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)2x2-9x-35=(x-7)(2x+5)：

(2)an-'-4an+,=an-'(l-4a2)=(1-2t/)(l+2r/)；

(3)9A2+9x-y2-3y=9x2-/+9x-3y=(3x-.y)(3x+y)+3(3A--y)=(3x-y)(3x+.y+3)(4)

(x+y『-2任-力+(工一?="+?-2"+必.#+(.?

一［(x+y)_(x_y)了-(2?-4y2.

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)因式分解的理解和運(yùn)用.

2.分解因式：

(2)?-2Ay-35y2；(2)9x2-12x+4；

(3)(a-Z?)2-16/r；(4)X5+3X3-4X；

(5)A4+3X3+6x-4.

【答案】見(jiàn)解析

［解析］(1)x2-2xy-35/=(x-7j)(x+5y)；

(2)9X2-12A+4=(3X-2)2；

(3)(a-b)2-16/72=(a-b-4h)(a-b+4b)=(a-5b)(a+3b)；

(4)父+3?-4x=x(x4+3。-4)=x(x2+4)(.r-l)=x(x2+4)(x+l)(x-l)；

(5)/+3X'+6X-4=X4-4+3X3+6JV=(X2+2)(X2-2)+3X(X2+2)=(X2+2)(X2+3X-2).

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)因式分解的理解和運(yùn)用.

3.已知F+2x-3能整除4丁+9f+"a+〃，求〃，，〃的值.

【答案】"?=—10,〃=—3.

【解析】*.*4父+9X2+/nr+;?=(x2+2r-3)-4=(x+3)(x-1)-A,

；?x=-3和x=1滿(mǎn)足4x3+9x2+mx+〃=0.

(4X(-3)3+9X(-3)2-3/H+/?=0.fw=-10

4x—+9xI?+〃?+〃=()n=-3

【總結(jié)】本題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，計(jì)算時(shí)要注意方法的選擇.

考點(diǎn)五化簡(jiǎn)求值等無(wú)關(guān)、不含問(wèn)題

【例5-1】己知：2工一3=0,求代數(shù)式工(7一工)+/(5-耳-9的值.

【答案】0

【解析】V2x-3=0.；?原式=丁-9+5/一/-9=4/-9=(213)(21-3)=0.

【總結(jié)】本題主要是對(duì)整體代入思想的運(yùn)用.

【例5-2】先化簡(jiǎn),再求值：［(不+2)(孫-2)-2?￥，2+4卜通,(其中x=10,y=---).

25

【答案】-

5

［解析】原式二卜2),2-4—2-),2+4卜肛=_工2y2+q=一肛.

1(M2

當(dāng)x=10,y=--原式二TOx--=-.

ZD\ND/，

【總結(jié)】本題是求代數(shù)式值的問(wèn)即，在計(jì)算時(shí)注意相關(guān)運(yùn)算法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

【例5-3】說(shuō)明代數(shù)式［*一)，)2-(工+＞，)(工7)卜(一2)，)+)，的值，與)，的值無(wú)關(guān).

【答案】見(jiàn)解析.

2212

［解析】原式=3+y-2xy-(x-y)］+(-2y)+y=(2y-2孫卜(-2y)+y=-y+x+y=xt

，此代數(shù)式的值與)，的值無(wú)關(guān).

【總結(jié)】本題主要考查多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算結(jié)果中不含有某一項(xiàng)的意義.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.先化簡(jiǎn)，再求值；(2ab)2(aII6)(〃II+(a+1):其中b=-2.

【答案】13

【解析】原式+b~-4ab-^a+\^-Z?2］+(fz+1)2=4a2+2b2-4ab,

當(dāng)a=；,b=-2H'j',原式=4x(；)+2x(-2)2-4xx(-2)=13.

【總結(jié)】本題是求代數(shù)式值的問(wèn)題，在計(jì)算時(shí)注意相關(guān)運(yùn)算法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

2.若(《￥2+〃氏-8)(/-3彳+〃)的展開(kāi)式中不含工2和『項(xiàng)，求加和〃的值.

【答案】〃?=3,”=17.

［解析】原式-A4-3*3十皿2十〃7一3ftiA2十〃心一8A2+24A-8〃

=x4+-3)/+(〃-3，〃-8)f+(〃7〃+24)x-8〃.

??,展開(kāi)式中不含/和X，項(xiàng)，二〃7-3=0,〃一3/〃-8=0,:?m=3,/?=17.

【總結(jié)】本題主要考杳多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算結(jié)果中不含有某一項(xiàng)的意義.

考點(diǎn)六整式相關(guān)的應(yīng)用

【例6/】有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為(2〃+?,寬為卜7+〃)的矩形，則需要A

類(lèi)卡片張，B類(lèi)卡片張，C類(lèi)卡片張，請(qǐng)你在右下角的大矩形中面出一種拼法.(標(biāo)

上卡片名稱(chēng))

/>!c

a2a+b

【答案】2；1；3

【解析】

CCB

AAC

2a+b

【總結(jié)】本題可以通過(guò)計(jì)算面枳來(lái)進(jìn)吁分割.

【例6-2］解方程：2(A-3)2=-(X+1)2+3(X-1)(X4-1).

【答案】x=2.2.

-10x=-22,解得：x=2.2.

【總結(jié)】利用整式的運(yùn)算:米解方程.

【例&3】在正常情況下，某出租車(chē)司機(jī)每天駕車(chē)行駛，小時(shí)，且平均速度為妙千米/小時(shí).已知他在A日比正常情

況少行駛2小時(shí)，平均速度比正常情況慢5千米/小時(shí)，他在8H比正常情況多行駛2小時(shí)，平均速度比正常情況

快5千米/小時(shí)，

(1)求A日出租車(chē)司機(jī)比正常情況少行駛多少千米？(用含八，的代數(shù)式表示)

(2)己知A日出租車(chē)司機(jī)比正常情況少行駛120千米，求8日出租車(chē)司機(jī)比正常情況多行駛多少千米？

【答案】(1)5/+2V-10；(2)140.

【解析】(1)vr-(r-2Xv-5)=vr-(vr-5r-2v+10)=5r+2v-10.

(2)V5/+2v-10=120,A5r+2v=130.

A(v+5Xr+2)-vr=vr+2v+5r+10-v/=2v+5r+l0=130+10=l40.

【總結(jié)】本題考查整式的運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

2.解不等式:3x(3x+l)+(2x-l)(2x+3)>13(x+l)(x-l).

【答案】x>-—

7

【解析】+3x+4.r+6X-2X-3>13X2-13,

7x>-10,解得：x>-—.

7

【總結(jié)】本題主要考杳整式的運(yùn)算在解不等式中的應(yīng)用.

2.求證：無(wú)論X、)，為何值，4/-12工+9)，2+30)，+35的值恒為正.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】???4--12.r+9y2+30y+35=(2.v-3)2+(3y+5『+1>0,

???無(wú)論］、)'為何值，4/-12m-9丁+30)，+35的值恒為正.

【總結(jié)】本題主要利用配方來(lái)說(shuō)明代數(shù)式的正負(fù)性.

3.“光明”中學(xué)為了改善校園建設(shè)，計(jì)劃在長(zhǎng)方形的校園中間修一個(gè)正方形的花壇，預(yù)計(jì)正方形花壇的邊長(zhǎng)比場(chǎng)地

的長(zhǎng)少8米，比它的寬少6米，并且場(chǎng)地的總面枳比花壇的面積大104平方米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.

【答案】場(chǎng)地的長(zhǎng)為12米，寬為10米.

【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則場(chǎng)地的長(zhǎng)為(x+8)米，寬為(x+6)米.

則(x+8)(X+6)—/=]04,解得：x=4

，場(chǎng)地的長(zhǎng)為12米,寬為10米.

【總結(jié)】本題主要考杳整式的運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用.

4.閱讀學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)中有很多等式可以月圖形的面積來(lái)表示.如圖1,它表示（〃+〃7）（〃7+2〃）=>+3〃〃?+2〃2,

（1）觀察圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出（〃+力）2,S6）2,"之間的關(guān)系.

（2）小明用8個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形，（長(zhǎng)為〃寬為力），拼成了如圖甲乙兩種圖案，圖案甲是一個(gè)正方形，圖案甲中

間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形；圖形乙是一個(gè)長(zhǎng)方形.

（T）a2-4ab+4b2（填數(shù)值）

?ab=.（填數(shù)值）

【答案】（1）（。+〃『=（。一/?『+4而；（2）04；@60

【解析】

解：（1）觀察圖形可得：大正方形的邊長(zhǎng)為。+人，小正方形的邊長(zhǎng)為。-力，

???大正方形面積為（。+匕）2,

又?.?大正方形的面枳等于四個(gè)長(zhǎng)方形的面枳加上小正方形的面積，

???大正方形的面積為）2+4岫，

:.（a+=（〃一+4ab；

（2）①觀察圖形可得：大正方形的邊長(zhǎng)為。+2〃，

???〃、正方形的面積為（a+2力）一一Sab=a2+4ab+4b2-Sab=a2-4ab+4/?2,

???中間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，

.--672-4fl/?+4/?2=22=4；

②a2-4ab+4b2=4,

.?.（a-2b）2=4,

觀察圖乙，可得：3a=5b,即。=],

????—2Z?=—2,

???——tz=-2,解得：=10,

???Z?=6,

???"=10x6=60.

育實(shí)基礎(chǔ)

1.代數(shù)式如正的意義是（）

C

A.。與力的平方和除c?的商B.4與人的平方和除以C?的商

C.。與力的和的平方除。的商D.4與h的和的平方除以C的商

【答案】D

【解析】

【分析】

（〃+》）2表示“與〃的和的平方，然后再表示除以C的商.

【詳解】

解：代數(shù)式S匚的意義是々與力能和的平方除以。的商，

C

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了代數(shù)式的意義，關(guān)鍵是根據(jù)計(jì)算順序描述.

2.在代數(shù)式L2沖，0,9+）/,m+”,g中，單項(xiàng)式有（）

x3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】

單項(xiàng)式：數(shù)字與字母的積，單個(gè)的數(shù)或單個(gè)的字母也是單項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式的定義逐一分析即可得到答案.

【詳解】

解：代數(shù)式L2?,0,f+）,2,（°十,，g中

x3

,不是整式，/+）』和（"4是多項(xiàng)式，

單項(xiàng)式有：2肛，0,?共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是單項(xiàng)式的定義，掌握“利用單項(xiàng)式的定義判斷代數(shù)式是否是單項(xiàng)式''是解題的關(guān)鍵.

3.下列運(yùn)算正確的是()

A.3〃?+2〃？=5〃/；B.(2/)'=8〃即；

C.M;D.(/M-2)*=nf-4.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)整式的運(yùn)算法則逐個(gè)選項(xiàng)計(jì)算即可求出答案.

【詳解】

A.3m+2/〃=5〃?，選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;

B.(2〃肛=8〃76,選項(xiàng)正確，符合題意；

C.m8W=/n4,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

D.("?-2)24〃?+4,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

4.如果把二次三項(xiàng)式f+2x+c分解因式得W+2x+c=(x-l)(x+3),那么常數(shù)c的值是()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

將因式分解的結(jié)果用多項(xiàng)式乘法的展開(kāi)，其結(jié)果與二次三項(xiàng)式比較即可求解.

【詳解】

解：Vx2+2A+C=(X-1)(X4-3)

,?+2x+c=x~+2x—3

故c二一3

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了因式分解，多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘法與因式分解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.下列說(shuō)法中正確的是()

A.乎是整式

B.多項(xiàng)式2r-盧盯-4/)》按字母/升累排列為-4/盧2-+外-y

C.2丫是一次單項(xiàng)式

D./b+2a2b-3ab的二次項(xiàng)系數(shù)是3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)整式的定義即可判斷選項(xiàng)A,先按x的指數(shù)從小到大的順序排列，再判斷選項(xiàng)B即可，根據(jù)單項(xiàng)式的定義和單

項(xiàng)式的次數(shù)定義即可判斷選項(xiàng)C,根據(jù)?單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的定義即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

解?：A.分母中含有字母，是分式，不是整式，故不符合題意；

B.多項(xiàng)式2A2-盧町，-4第V按字母式升幕排列為-盧xy+2f-4/憶故不符合題意；

C.2K是一次單項(xiàng)式，故符合題意；

D./。+2〃2》-3＜心的二次項(xiàng)系數(shù)是-3,故不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了整式，單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)，多項(xiàng)式的升耗排列等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握整式、單項(xiàng)式的定義，

多項(xiàng)式的升雷排列.

6.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.寸_31_]=%*-3)-1B.(x+y)2=x2+2xy-I-y2

C.a2-cib+a=a(a-b)D.x2-9y2=(3_y+x)(x-3y)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)因式分解的定義(把?個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解)、平

方差公式((a+b)(a-b)=a2-b2｝逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】

解：A、等式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，則此項(xiàng)不符題意；

B、是整式的乘法運(yùn)算，不是因式分解，則此項(xiàng)不符題意；

C、等式右邊。（。-勿等于/一必，與等式左邊不相等，不是因式分解，則此項(xiàng)不符題意；

D、等式右邊（3y+x）（x-3），）等于f一力已即等式的兩邊相等，且等式右邊是整式積的形式，是因式分解，則此項(xiàng)

符合題意：

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了因式分解的定義、整式的乘法運(yùn)算，熟記因式分解的定義是解題關(guān)鍵.

7.將多項(xiàng)式/+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式錯(cuò)誤的是（）.

A.fB.-x2C.2xD.-I

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)完全平方公式進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：分四種情況：

（1）添加中間項(xiàng)，故可添加2x或-2x,構(gòu)成完全平方式（工±1）2；

（2）添加左邊項(xiàng)（視x2為中間項(xiàng)），則可添加?父；

4

（3）添加右邊項(xiàng)（視1為中間項(xiàng)），則可添加工，但上