2023-2024學年廣東省深圳市龍華區(qū)高峰學校九年級上學期10月月考數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2023-2024學年廣東省深圳市龍華區(qū)高峰學校九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一.選擇題（每題3分）1．（3分）下列方程中，關于x的一元二次方程是（）A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝72．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根3．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，如果添加一個條件，可推出平行四邊形ABCD是菱形，那么這個條件可以是（）A．AB＝AC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥AC4．（3分）下列一元二次方程中兩根之和為﹣4的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2+4x+10＝05．（3分）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．6．（3分）要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是（）A．測量四邊形畫框的兩個角是否為90° B．測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分 C．測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等 D．測量四邊形畫框的四邊是否相等7．（3分）下列說法正確的是（）A．a，b，c，d是成比例線段，其中b＝3cm，c＝4cm，d＝6cm，則a＝1cm B．一元二次方程x2﹣x＝0的根是x＝1 C．用配方法解方程x2﹣2x＝5時，原方程應變形為（x﹣1）2＝5 D．順次連接矩形各邊中點得到菱形8．（3分）一花戶，有26m長的籬笆，要圍成一邊靠住房墻（墻長12m）的面積為80m2的長方形花園，且垂直于住房墻的一邊留一個1m的門（如圖），設垂直于住房墻的其中一邊長為xm，則可列方程為（）A．x＝80 B．x（26﹣2x）＝80 C．x＝80 D．x（27﹣2x）＝809．（3分）如圖，矩形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點E，交AC于點F，連接EF，以點F為圓心，EF長為半徑畫弧，與弧BE交于點G，射線AG交BC于點H，若AD＝8，BH＝3，則AH的長為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.510．（3分）如圖，在Rt△OAB中，OA＝8，C為線段AB上一點，且AC＝1，BC＝4，將△OAC沿OC翻折，點A落在點D處，延長CD至點E，連接OE，且∠COE＝45°，則DE的值是（）A． B． C． D．5二.填空題（每題3分）11．（3分）因式分解：a3﹣9a＝．12．（3分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，已知∠ACB＝25°，則∠AOB的大小是．13．（3分）關于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是．14．（3分）20世紀70年代，數(shù)學家羅杰?彭羅斯使用兩種不同的菱形，完成了非周期性密鋪，如圖，使用了A，B兩種菱形進行了密鋪，則菱形B的銳角的度數(shù)為．15．（3分）如圖，線段AB的長為10，點D在AB上，△ACD是邊長為3的等邊三角形，過點D作與CD垂直的射線DP，過DP上一動點G（不與D重合）作矩形CDGH，記矩形CDGH的對角線交點為O，連接OB，則線段BO的最小值為．三.解答題16．（6分）解方程：（1）（x+2）（x﹣4）＝0；（2）（x+3）2＝4．17．（6分）解方程：（1）4x2﹣4x+1＝0；（2）2x2﹣5x+1＝0．18．（6分）定義：在邊長為1的小正方形方格紙中，把頂點落在方格交點上的線段、三角形、四邊形分別稱為格點線段、格點三角形，格點四邊形，在5×5的正方形網格中，若每一個小正方形的邊長均為1，請僅用無刻度直尺按要求畫圖．（1）在圖①中畫一個以AB為邊畫一個格點正方形ABCD；（2）在圖②中畫一個格點平行四邊形AEBF，使平行四邊形面積為6；（3）在圖③中畫一個格點菱形AMBN．AMBN不是正方形．（溫馨提示：請畫在答題卷相對應的圖上）19．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．20．（9分）“玫瑰香”葡萄品種是農科院研制的優(yōu)質新品種，在被廣泛種植，某葡萄種植基地2019年種植64畝，到2021年的種植面積達到100畝．（1）求該基地這兩年“玫瑰香”種植面積的平均增長率．（2）某超市調查發(fā)現(xiàn)，當“玫瑰香”的售價為8元/千克時，每周能售出400千克，售價每上漲1元，每周銷售量減少20千克，已知該超市“玫瑰香”的進價為6元/千克，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該水果售價不能超過15元．若使銷售“玫瑰香”每周獲利2240元，則售價應上漲多少元？21．（10分）【問題發(fā)現(xiàn)】我國數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法．例如x2+2x﹣35＝0，可變形為x（x+2）＝35．如圖1，構造一個長為x+2、寬為x、面積為35的矩形；如圖2，將4個矩形構造成一個邊長為（x+x+2）的大正方形，中間恰好是一個邊長為2的小正方形．大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，也可表示為4×35+22，由此可得新方程：（x+x+2）2＝144，易得這個方程的正數(shù)解為x＝5．注意：這種構造圖形的方法只能求出方程的一個根!（1）嘗試：小穎根據(jù)趙爽的解法解方程2x2+3x﹣2＝0，請將其解答過程補充完整：第一步：將原方程變?yōu)?，即x（）＝1；第二步：利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形；（在畫圖區(qū)畫出示意圖，標明各邊長）第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程：；解得原方程的一個根為；（2）【思維拓展】參照以上方法求出關于x的一元二次方程x2+bx＝c（b＞0，c＞0）的正數(shù)解（用含b，的代數(shù)式表示）．22．（11分）四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊AD所在直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點D，點F在直線CE的同側），連接BF．（1）如圖1，當點E與點A重合時，請直接寫出BF的長；（2）如圖2，當點E在線段AD上時，AE＝1；①求點F到AD的距離；②求BF的長；（3）若BF＝3，請直接寫出此時AE的長．

2023-2024學年廣東省深圳市龍華區(qū)高峰學校九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）參考答案與試題解析一.選擇題（每題3分）1．【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：A、方程2x﹣3＝x為一元一次方程，不符合題意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合題意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合題意；D、方程x+＝7是分式方程，不符合題意，故選：C．【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵．2．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式即可得出Δ＝0，從而得出方程有兩個相等的兩個實數(shù)根．【解答】解：∵在方程x2+2x+1＝0中，Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程x2+2x+1＝0有兩個相等的兩個實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根”是解題的關鍵．3．【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進行判斷，即可得出結論．【解答】解：A、平行四邊形ABCD中，AB＝AC，不能推出平行四邊形ABCD是菱形，故選項A不符合題意；B、∵平行四邊形ABCD中，AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，不一定是菱形，故選項B不符合題意；C、∵平行四邊形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項C符合題意；D、平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，不能推出平行四邊形ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解題的關鍵．4．【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系x1+x2＝﹣對以下選項進行一一驗證并作出正確的選擇．【解答】解：A、∵x1+x2＝4；故本選項錯誤；B、∵x1+x2＝﹣2；故本選項錯誤；C、∵Δ＝16+20＝36＞0，x1+x2＝﹣4；故本選項正確；D、∵Δ＝16﹣40＝﹣24＜0，所以本方程無根；故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系．解答該題時，需注意，一元二次方程的根與系數(shù)的關系是在原方程有實數(shù)解的情況下成立的．5．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．6．【分析】由平行四邊形的判定與性質、菱形的判定，矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、測量四邊形畫框的兩個角是否為90°，不能判定為矩形，故選項A不符合題意；B、測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分，能判定為矩形，故選項B符合題意；C、測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等，能判定為平行四邊形，不能判定是否為矩形，故選項C不符合題意；D、測量四邊形畫框的四邊是否相等，能判定為菱形，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識；熟記“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”是解題的關鍵．7．【分析】選項A根據(jù)比例線段的定義判斷即可；選項B利用因式分解法求解即可；選項C利用配方法判斷即可；選項D根據(jù)菱形和矩形的性質判斷即可．【解答】解：A．a，b，c，d是成比例線段，其中b＝3cm，c＝4cm，d＝6cm，則a＝＝2（cm），故本選項不符合題意；B．一元二次方程x2﹣x＝0的根是x1＝0，x2＝1，故本選項不符合題意；C．用配方法解方程x2﹣2x＝5時，原方程應變形為（x﹣1）2＝6，故本選項不符合題意；D．順次連接矩形各邊中點得到菱形，說法正確，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣配方法，一元二次方程的解，菱形的性質，矩形的性質以及中點四邊形，掌握一元二次方程的解法和菱形與矩形的性質是解答本題的關鍵．8．【分析】設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（27﹣2x）m，根據(jù)長方形花園面積為80m2即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（27﹣2x）m，根據(jù)題意得：x（27﹣2x）＝80．故答案為：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)長方形花園的面積列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．9．【分析】連接FG，根據(jù)SSS證明△AGF≌△AEF，得出∠EAF＝∠GAF，再證明HA＝HC，求解即可．【解答】解：∵以點F為圓心，EF長為半徑畫弧，與BE交于點G，連接FG，則FG＝FE，又以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點E，交AC于點F，∴AB＝AF＝AE＝AG，在△AGF和△AEF中，∴△AGF≌△AEF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠ACB，∴∠GAF＝∠ACB，即∠HAC＝∠ACH，∴HA＝HC，∴HC＝BC﹣BH＝8﹣3＝5，∴AH＝5，故選：C．【點評】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定以及勾股定理等知識，證明HA＝HC是解答本題的關鍵．10．【分析】過點E作EQ⊥AB交AB的延長線于點Q，過點O作OT⊥QE交QE的延長線于點T，則四邊形四邊形AOTQ是矩形，由折疊可知∠AOC＝∠DOC，∠A＝∠ODC＝90°，OA＝OD，AC＝CD＝1，根據(jù)等角加等角相等可得∠EOD＝∠EOT，于是可通過AAS證明△OTE≌△ODE，得到OA＝OT，TE＝DE，進而可得OT＝OA，則四邊形AOTQ是正方形，AO＝TQ＝AQ＝8，設TE＝DE＝x，則EQ＝8﹣x，CE＝x+1，CQ＝7，在Rt△CEQ中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過點E作EQ⊥AB交AB的延長線于點Q，過點O作OT⊥QE交QE的延長線于點T，則∠T＝∠Q＝∠A＝90°，∴四邊形AOTQ是矩形，∴∠AOT＝90°，∵∠COE＝45°，∴∠AOC+∠EOT＝45°，∠DOC+∠EOD＝45°，由折疊可知，∠AOC＝∠DOC，∠A＝∠ODC＝90°，OA＝OD，AC＝CD＝1，∴∠EOD＝∠EOT，∠ODE＝90°＝∠OTE，在△OTE和△ODE中，，∴△OTE≌△ODE（AAS），∴OA＝OT，TE＝DE，∴OT＝OA，∴四邊形AOTQ是正方形，∴AO＝TQ＝AQ＝8，設TE＝DE＝x，∴EQ＝TQ﹣TE＝8﹣x，CE＝DE+CD＝x+1，CQ＝AQ﹣AC＝8﹣1＝7，在Rt△CEQ中，CQ2+EQ2＝CE2，∴72+（8﹣x）2＝（x+1）2，解得：x＝，∴DE＝．故選：B．【點評】本題主要考查矩形的判定性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、勾股定理，正確作出輔助線，構造全等三角形解決問題是解題關鍵．二.填空題（每題3分）11．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3），故答案為：a（a+3）（a﹣3）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．12．【分析】根據(jù)矩形的性質，可得∠ABC的度數(shù)，OA與OB的關系，根據(jù)等邊三角形的判定，可得答案．【解答】解：由矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB＝30°，得，∠ABC＝90°，∠BAO＝90°﹣∠ACB＝65°．由OA＝OB，得△ABO是等腰三角形，∠AOB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故答案為：50°．【點評】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，利用矩形的性質得出∠ABC的度數(shù)，OA與OB的關系是解題關鍵．13．【分析】利用判別式，根據(jù)不等式即可解決問題；【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥﹣，且k≠0，故答案為k≥﹣且k≠0．【點評】本題考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結論反過來也成立．14．【分析】由題意可知，菱形A的銳角為72°，則菱形A的鈍角為108°，再求出菱形B的鈍角為144°，即可解決問題．【解答】解：由題意可知，菱形A的銳角度數(shù)為：＝72°，∴菱形A的鈍角度數(shù)為：180°﹣72°＝108°，∴菱形B的鈍角度數(shù)為：360°﹣108°﹣108°＝144°，∴菱形B的銳角度數(shù)為：180°﹣144°＝36°，故答案為：36°．【點評】本題考查了菱形的性質，熟記菱形的鄰角互補是解題的關鍵．15．【分析】連接AO，根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC＝OD，再證明△ACO≌△ADO，則∠OAB＝30°；點O一定在∠CAB的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當OB⊥AO時，OB的長最小，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出結論．【解答】解：連接AO，∵四邊形CDGH是矩形，∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH，∴OC＝OD，∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，在△ACO和△ADO中，，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴點O一定在∠CAB的平分線上運動，∴當OB⊥AO時，OB的長度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝×10＝5，即OB的最小值為5．故答案為：5．【點評】本題考查了矩形的性質、全等三角形的性質和判定、含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，利用了矩形對角線相等且平分的性質得對角線的一半相等，為三角形全等用鋪墊；另外還利用了垂線段最短解決了求最值問題．三.解答題16．【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用直接開平方法計算即可．【解答】解：（1）（x+2）（x﹣4）＝0；，x+2＝0，x﹣4＝0；解得：x1＝﹣2，x2＝4；（2）（x+3）2＝4．x+3＝±2．x+3＝2．x+3＝﹣2．解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．【點評】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解（1）的關鍵，能熟記公式是解（2）的關鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．17．【分析】（1）得到（2x﹣1）2＝0，然后利用直接開平方法求解；（2）先計算判別式的值得到Δ＝17，然后代入一元二次方程的求根公式求解．【解答】解：（1）4x2﹣4x+1＝0，（2x﹣1）2＝0，2x﹣1＝0，所以x1＝x2＝；（2）2x2﹣5x+1＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17，x＝，所以x1＝，x2＝．【點評】本題考查了了解一元二次方程﹣公式法：把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解一元二次方程．18．【分析】（1）根據(jù)正方形的特點，利用數(shù)形結合的思想解決問題即可；（2）根據(jù)平行四邊形的特點，利用數(shù)形結合的思想解決問題即可；（3）根據(jù)菱形的特點，利用數(shù)形結合的思想解決問題即可．【解答】解：（1）如圖①中，正方形ABCD即為所求；（2）如圖②中，平行四邊形AEBF；（3）如圖③中，菱形AMBN即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，正方形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．19．【分析】（1）根據(jù)題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB＝AD可得平行四邊形ABCD是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質得出OB的長以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的長，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出OE＝AC，即可解答．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，∴OB＝＝3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∴OA＝，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O為AC中點，∴＝4．【點評】本題主要考查了菱形的判定和性質、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．20．【分析】（1）設該基地這兩年“玫瑰香”種植面積的平均增長率為x，根據(jù)該基地2019年及2021年“玫瑰香”的種植面積，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設售價應上漲y元，則每天可售出（400﹣20y）千克，根據(jù)總利潤＝每千克的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論．【解答】解：（1）設該基地這兩年“玫瑰香”種植面積的平均增長率為x，依題意，得64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合題意，舍去）．答：該基地這兩年“玫瑰香”種植面積的平均增長率為25%．（2）設售價應上漲y元，則每天可售出（400﹣20y）千克，依題意，得（8﹣6+y）（400﹣20y）＝2240，整理，得y2﹣18y+72＝0，解得y1＝12，y2＝6．∵該水果售價不能超過15元，∴y＝6符合題意．答：售價應上漲6元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21．【分析】（1）根據(jù)趙爽的解法變形一元二次方程，畫出大正方形，構造新方程，求出方程的一個正解即可；（2）仿照趙爽的解法變形一元二次方程，構造新的關于x的方程，解出正數(shù)解即可．【解答】解：（1）第一步，將原方程變?yōu)椋冃蔚茫簒（x+）＝1，第二步，利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形如圖：第三步，根據(jù)大正方形的面積可得新的方程：（x+x+）2＝，解得原方程的一個根為x＝．故答案為：x+；（x+x+）2＝，x＝；（2）方程變形為：x（x+b）＝c，根據(jù)趙爽的解法可造方程為：（x+x+b）2＝4c+b2，∵b＞0，c＞0，∴2x+b＝±（舍去負值），∴x＝（﹣b），∴原方程的一個正數(shù)解為：x＝﹣b）．【點評】本題考查了一元二次方程的應用、解一元二次方程﹣配方法，數(shù)形結合是關鍵．22．【分析】（1）作FH⊥AB于H，由AAS證明△EFH≌△CED，得出FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，求出BH＝AB+AH＝8，由勾股定理即可得出答案；（2）過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H，作FM⊥AB于M，則FM＝AH，AM＝FH，①同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH＝DE＝3，EH＝CD＝4即可；②求出BM＝AB+AM＝7，F(xiàn)M＝AE+EH＝5，由勾股定理即可得出答案；（3）分三種情況：①當點E在邊