《建筑力學與結(jié)構(gòu)》拉伸和壓縮變形時的承載力計算

《建筑力學與結(jié)構(gòu)》拉伸和壓縮變形時的承載力計算【學習目標】能夠進行構(gòu)件與結(jié)構(gòu)截面軸力計算及準確地畫軸力圖。能進行計算軸向拉（壓）桿的強度及工程實際應用。能夠?qū)Σ牧系臋z驗及性能的比較?！局R點】變形固體的概念及其基本假設(shè)；桿件變形的基本形式；內(nèi)力、截面法；應力、正應力、剪應力、軸向拉壓桿變形和應變；軸向拉壓桿強度計算；金屬材料性能與檢驗。【工作任務】任務軸向拉、壓桿的強度計算實驗1軸向拉伸實驗實驗2軸向壓縮實驗【教學設(shè)計】引入實際工程中軸向拉伸與壓縮實例，建立受力構(gòu)件有關(guān)基本知識、基本理論，明確軸向拉（壓）是力學與結(jié)構(gòu)研究的第一種基本變形；為此本單元設(shè)計一個工作任務和兩個實驗，通過對構(gòu)件的外力→內(nèi)力→應力→建立強度條件→材料檢驗；從而對軸向拉（壓）構(gòu)件有一個比較清晰的認識和知識體系，達到分析與解決實際問題的能力。※任務布置：如圖4-1a所示的三角形托架，其桿AB是由兩根等邊角鋼所組成。已知荷載P＝75kN，三號鋼的許用應力［］＝160MPa，試選擇等邊角鋼的型號。圖4-1※相關(guān)知識：1、軸向拉伸與壓縮構(gòu)件受力分析；2、軸向拉伸與壓縮構(gòu)件內(nèi)力—軸力計算；3、構(gòu)件軸力圖的繪制；4、構(gòu)件應力計算；5、材料軸向拉伸和壓縮時的力學性能；6、利用強度條件選擇構(gòu)件截面?！蝿战鉀Q：（六步法）１、咨迅學生收集相關(guān)設(shè)計資料及工程實際調(diào)研、提出問題，教師講授知識點。２、決策、計劃擬定設(shè)計方案，學生獨立作出決策任務--→學生動手準備--→學生提出問題--→教師講授知識點３、實施學生以小組為單位，完成設(shè)計任務。４、檢查、評估學生自查、小組互查、教師檢查，分析老師、學生二者評分偏差的原因，指出學生錯誤的地方及注意事項。4.1軸向拉伸與壓縮構(gòu)件工程實例在工程實際中，經(jīng)常有承受軸向拉伸荷載或軸向壓縮荷載的等直桿。例如圖4-2a所示桁架的豎桿、斜桿和上、下弦桿，圖4-2b所示起重機構(gòu)架的各桿及起吊重物的鋼索，圖4-2c所示的鋼筋混凝土電桿上支承架空電纜的橫擔結(jié)構(gòu)，BC、AB桿，此外，千斤頂?shù)穆輻U，連接氣缸的螺栓及活塞連桿等都是軸間拉壓桿。圖4-2工程實際中的軸向受拉（壓）桿拉伸和壓縮時的受力特點是：沿著桿件的軸線方向作用一對大小相等、方向相反的外力。當外力背離桿件時稱為軸向拉伸，外力指向桿件時稱為軸向壓縮。拉伸和壓縮時的變形特點是：拉伸時桿件沿軸向伸長，橫向尺寸縮??；壓縮時桿件沿軸向縮短，橫向尺寸增大?！竟W結(jié)合】教師帶學生現(xiàn)場觀察已安裝好的軸向拉伸與壓縮構(gòu)件，分析其受力特征，確定其構(gòu)件計算簡圖。4.2軸向拉伸和壓縮時的內(nèi)力4.2.1軸向拉伸與壓縮的基本知識4.2.1.1變形固體固體材料在外力作用下都會或多或少的產(chǎn)生變形，將這些固體材料稱為變形固體。變形固體在外力作用上會產(chǎn)生兩種不同性質(zhì)的變形：一種是當外力消除時，變形也隨著消失，這種變形稱為彈性變形；另一種是外力消除后，變形不能全部消失而留有殘余，這種不能消失的殘余變形稱為塑性變形。一般情況下，物體受力后，既有彈性變形，又有塑性變形。只有彈性變形的物體稱為理想彈性體。只產(chǎn)生彈性變形的外力范圍稱為彈性范圍。大多數(shù)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生變形后，其幾何尺寸的改變量與構(gòu)件原始尺寸相比，常是極其微小的，我們稱這類變形為小變形。由于變形很微小，我們在研究構(gòu)件的平衡問題時，就可采用構(gòu)件變形前的原始尺寸進行計算。4.2.1.2變形固體的基本假設(shè)1．均勻連續(xù)假設(shè)假設(shè)變形固體在其整個體積內(nèi)毫無空隙地充滿了物質(zhì)。而且各點處材料的力學性能完全相同。2．各向同性假設(shè)假設(shè)材料在各個方向具有相同的力學性能。常用的工程材料如鋼材、玻璃等都可認為是各向同性材料。如果材料沿各個方向具有不同的力學性能，則稱為各向異性材料。綜上所述，根據(jù)研究對象，是由均勻連續(xù)、各向同性的變形固體材料制成的構(gòu)件，且限于小變形范圍。4.2.1.3桿件變形的基本形式1．桿件所謂桿件，是指長度遠大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件。橫截面是與桿長方向垂直的截面，而軸線是各截面形心的連線。桿各截面相同、且軸線為直線的桿，稱為等截面直桿。如圖4-3。圖4-32．桿件變形的基本形式(1)軸向拉伸和壓縮在一對大小相等、方向相反：作用線與桿軸線相重合的外力作用下，桿件將發(fā)生長度的改變(伸長或縮短)。(圖4-4a；b)(2)剪切在一對相距很近、大小相等、方向相反的橫向外力作用下，桿件的橫截面將沿外力方向發(fā)生錯動。（圖4-4c）(3)扭轉(zhuǎn)在一對大小相等、方向相反、位于垂直于桿軸線的兩平面內(nèi)的力偶作用下，桿的任意兩橫截面將繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。（圖4-34）(4)彎曲在一對大小相等、方向相反、位于桿的縱向平面內(nèi)的力偶作用下，桿件的軸線由直線彎成曲線。（圖4-4e）由兩種或兩種以上基本變形組成的復雜變形稱為組合變形。圖4-44.2.1.4內(nèi)力、截面法、應力1．內(nèi)力的概念桿件在外力作用下產(chǎn)生變形，從而桿件內(nèi)部各部分之間就產(chǎn)生相互作用力，這種由外力引起的桿件內(nèi)部之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。2．截面法研究桿件內(nèi)力常用的方法是截面法。截面法是假想地用一平面將桿件在需求內(nèi)力的截面處截開，將桿件分為兩部分；取其中一部分作為研究對象，此時，截面上的內(nèi)力被顯示出來，變成研究對象上的外力；再由平衡條件求出內(nèi)力。截面法可歸納為如下三個步驟：(1)截開用一假想平面將桿件在所求內(nèi)力截面外截開，分為兩部分；(2)代替取出其中任一部分為研究對象，以內(nèi)力代替棄掉部分對所取部分的作用，畫出受力圖；(3)平衡列出研究對象上的靜力平衡方程，求解內(nèi)力。3．應力將內(nèi)力在一點處的分布集度，稱為應力。為了分析圖4-5a所示截面上任意一點E處的應力，圍繞E點取一微小面積△A，作用在微小面積△A上的合內(nèi)力記為△P，則比值(4-1)圖4-5稱為△A上的平均應力。平均應力不能精確地表示E點處的內(nèi)力分布集度。當△A無限趨近于零時，平均應力Pm的極限值p才能表示E點處的內(nèi)力集度，即(4-2)上式中p稱為E點處的應力。應力p的方向與截面既不垂直也不相切。通常將應力p分解為與截面垂直的法向分量σ和與截面相切的切向分量τ。垂直于截面的應力分量σ稱為正應力或法向應力；相切于截面的應力分量τ稱為切應力或切向應力(剪應力)。圖4-5（b）應力的單位為Pa，常用單位是MPa或GPa。常用“mm”作為長度單位，則4.2.1.5變形和應變概念桿件受外力作用后，其幾何形狀和尺寸一般都要發(fā)生改變，這種改變量稱為變形。變形的大小是用位移和應變這兩個量來度量。位移是指位置改變量的大小，分為線位移和角位移。應變是指變形程度的大小，分為線應變和切應變。圖4-6微小正六面體，棱邊邊長的改變量△u稱為線變形，△u與△x的比值稱為線應變。線應變是無量綱的。(4-3)上述微小正六面體的各邊縮小為無窮小時，通常稱為單元體。單元體中相互垂直棱邊夾角的改變量y，稱為切應變或角應變(剪應變)。角應變用弧度來度量，它也是無量綱的。圖4-64.2.2軸向拉伸和壓縮時的內(nèi)力（1）．軸向拉伸和壓縮時桿件的內(nèi)力——軸力圖4-7用截面法求桿的內(nèi)力為設(shè)計軸向拉壓桿，需首先研究桿件的內(nèi)力，為了顯示桿中存在的內(nèi)力和計算其大小，我們采用截面法。（如圖4-7a）所示等直桿，假想地用一截面m-m將桿分割為I和II兩部分。取其中的任一部分（例如I）為脫離體，并將另一部分（例如II）對脫離體部分的作用，用在截開面上的內(nèi)力的合力N來代替（圖4-7b），則可由靜力學平衡條件：求得內(nèi)力同樣，若以部分II為脫離體（圖4-7c），也可求得代表部分I對部分II作用的內(nèi)力為N＝P，它與代表部分II對部分I的作用的內(nèi)力等值而反向，因內(nèi)力N的作用線通過截面形心即沿桿軸線作用，故稱為軸力。軸力量綱為［力］，在國際單位制中常用的單位是N（牛）或kN（千牛）。（2）．軸力的正負號規(guī)定為區(qū)別拉伸和壓縮，并使同一截面內(nèi)力符號一致，我們規(guī)定：軸力的指向離開截面時為正號軸力；指向朝向截面時為負號軸力。即拉力符號為正，壓力符號為負。據(jù)此規(guī)定，圖4-6所示m-m截面的軸力無論取左脫離體還是右脫離體，其符號均為正。（3）．軸力圖將表明沿桿長各個橫截面上軸力變化規(guī)律的圖形，稱為軸力圖。畫軸力圖時，將正的軸力畫在軸線上方，負的軸力畫在軸線?！纠?-1】變截面桿受力情況如圖4-8所示，試求桿各段軸力并作軸力圖。解：（1）先求支反力固定端只有水平反力，設(shè)為XA，由整個桿平衡條件，－XA+5－3+2＝0，XA＝5+2－3＝4kN（2）求桿各段軸力力作用點為分段的交界點，該題應分成AB、BD和DE三段。在AB段內(nèi)用任一橫截面1-1將桿截開后，研究左段桿的平衡。在截面上假設(shè)軸力N1為拉力如圖4-8(b)。由平衡條件得N1－XA＝0，N1＝4kN。結(jié)果為正，說明原假設(shè)拉力是正確的。在BC及CD段，橫截面積雖有改變，但平衡方程式與截面大小無關(guān)，故只取一段。如在BD段用任一截面2-2將桿截開，研究左段桿的平衡。在截面上軸力N2仍設(shè)為拉力如圖4-8（c）。由平衡條件，N2+5－4＝0，N2＝－1kN。結(jié)果為負，說明實際方向與原假設(shè)的N2方向相反，即為壓力。同理在DE段，用任一截面3-3將桿截開，研究右段桿的平衡，因為該桿段的外力較少，計算簡例，假設(shè)軸力N3為拉力如圖4-8（d），由，得N3＝2kN。圖4.8結(jié)果為負，說明實際方向與原假設(shè)的N2方向相反，即為壓力。同理在DE段，用任一截面3-3將桿截開，研究右段桿的平衡，因為該桿段的外力較少，計算簡例，假設(shè)軸力N3為拉力如圖4-8（d），由，得N3＝2kN。（3）作軸力圖取一直角坐標系，以與桿軸平行的坐標軸x表示截面位置，對齊原題圖下方畫出坐標軸。然后，選定比例尺，縱坐標N表示各段軸力大小。根據(jù)各截面軸力的大小和正負號畫出桿軸力圖，如圖4-8（e）。由軸力圖可看出，最大軸力Nmax＝4kN，發(fā)生在AB段內(nèi)?！纠?-2】：圖4-9(a)表示一等直木柱，若此柱在橫截面A和B的中心受有軸向荷載P1＝P2＝100kN，如圖中所示，試求柱中的軸力并作出軸力圖。圖4-9解：（1）假設(shè)在AB段內(nèi)的任一橫截面1-1處將桿截開，取上段為脫離體，并用軸力N1代替下段對上段的作用。根據(jù)上段桿（圖4.9b）的平衡方程N1+P1＝0可得N1＝－P1＝－100kN同樣，假設(shè)在BC段內(nèi)用一橫截面2-2將桿截開，并用軸力N2代替下段的作用，根據(jù)上段桿（圖4.9c）的平衡方程，N2+P1+P2＝0可得N2＝－P1－P2＝－100－100＝－200kN算得結(jié)果為負，表示軸力N2實際上是壓力，同樣，在BC段內(nèi)所有各截面上的軸力都是N2＝－200kN（2）作軸力圖取直角坐標系，以與桿軸線平行的坐標為x軸，表示截面位置，與桿軸線垂直的坐標軸為N軸，表示橫截面上軸力的大小。根據(jù)各橫截面上軸力的大小和正負號（拉力為正，壓力為負）畫出桿的軸力圖，如圖4.8d所示。注意軸力圖上要標明正負號，以及數(shù)字大小和單位。由作出軸力圖可容易看到，在木柱中的最大軸力Nmax＝200kN（壓力），發(fā)生在BC段內(nèi)的各截面上。而且在B截面處發(fā)生了由－100kN到－200kN的突變。這是因為B截面上作用有集中力P2＝－100kN，故B截面上、下兩側(cè)軸力就不同了?！緦嵱柧毩暋堪捶治鋈蝿眨ㄙY訊）、確定解決方案（計劃、決策）、實施、檢查（自我檢查、教師檢查）、評價六步法完成以下實訓任務。1．舉出一些熟悉的軸向拉壓桿的實例。2．試判斷圖所示構(gòu)件中哪些屬于軸向拉伸或軸向壓縮？3．繪出圖示軸向拉(壓)桿的軸力圖。4．拔河時，繩子的受力情況如圖所示，已知各個運動員雙手的合力為：P1＝400N，P2＝300N，P3＝350N，P4＝350N，P5＝250N，P6＝450N，試作出繩子軸力圖。4.3軸向拉、壓桿橫截面上的正應力4.3.1橫截面的應力要找出內(nèi)力在截面上的分布規(guī)律，通常采用的方法是先做實驗。取一根等直桿如圖4-10，為了便于通過實驗觀察軸向受拉桿所發(fā)生的變形現(xiàn)象，受力前在桿件表面均勻地畫上若干與桿軸線平行的縱線及與軸線垂直的橫線，使桿表面形成許多大小相同的方格。然后在桿的兩端施加一對軸向拉力P，可以觀察到，所有的縱線仍保持為直線，各縱線都伸長了，但仍互相平行，小方格變成長方格。所有的橫線仍保持為直線，且仍垂直于桿軸，只是相對距離增大了。根據(jù)上述現(xiàn)象，可作如下假設(shè)：圖4-101、平面假設(shè)若將各條橫線看作是一個橫截面，則桿件橫截面在變形以后仍為平面且與桿軸線垂直，任意兩個橫截面只是作相對平移。2、軸向拉桿橫截面上的內(nèi)力是均勻分布的，也就是橫截面上各點的應力相等。由于拉壓桿的軸力是垂直于橫截面的，故與它相應的分布內(nèi)力也必然垂直于橫截面，由此可知，軸向拉桿橫截面上只有正應力，而沒有剪應力。由此可得結(jié)論：軸向拉伸時，桿件橫截面上各點處只產(chǎn)生正應力，且大小相等，即：(4-4)式中N一一桿件橫截面上的軸力；A——桿件的橫截面面積。當桿件受軸向壓縮時，正應力也隨軸力N而有正負之分，即拉應力為正，壓應力為負?！纠?-3】圖4-11示的等直桿，當截面為50mm50mm正方形時，試求桿中各段橫截面上的應力?！窘狻織U的橫截面面積A=50×50=25×102mm2繪出桿的軸力圖如圖4-11，由正應力計算公式可得：AB段內(nèi)任一橫截面上的應力：BC段內(nèi)任一橫截面上的應力：圖4-11【例4-4】圖4-12表示用兩根鋼絲繩起吊一扇平板閘門。若每根鋼絲繩上所受的力為20kN，鋼絲繩圓截面的直徑d＝20mm，試求鋼絲繩橫截面上的應力。圖4-12解：鋼絲繩的軸力N＝P＝20kN＝2×104N鋼絲繩的橫截面積，由公式可求得鋼絲繩橫截面上的應力為4.3.2斜截面上的應力為了全面了解軸向受拉（壓）桿中各處的應力情況，在研究了其橫截面上的應力以后，還有必要進一步研究其斜截面上的應力。如圖4-13表示一軸向受拉桿，假設(shè)用一與其橫截面mk成角的斜截面mn（簡稱為截面）將其分成為I、II兩部分，并取部分I為脫離體（圖4-13c），圖4-13軸向受拉桿斜截面上的應力圖由靜力學平衡方程，可求得截面上的內(nèi)力(4-5)在截面上的應力為，其指向與桿軸線平行。由上節(jié)已知，桿的所有縱向“纖維”具有相同的縱向伸長，故應力在整個截面上也是均勻分布的（圖4-13c）。內(nèi)力即截面上應力的合力。若以與A分別表示截面m－n與橫截面m－k的面積，則(4-6)由圖4-12可知(4-7)將式（4-5）、（4-7）代入式（4-6），即可求得截面上的應力為(4-8)式中的為橫截面mk上的正應力（圖4-13b）。為了研究方便，通常將分解為兩個分量，即沿截面法線方向（或垂直于截面）的分量與沿截面切線方向（或平行于截面）的分量。前者是正應力，在圖4-13d中，為拉應力，它趨向于使桿在它作用的截面處被拉斷；后者是剪應力，它趨向于使桿在它作用的截面處被剪斷。由圖4-13d可知(4-9)將上面公式代入，則(4-10)同樣由圖4-13d可知(4-11)上述公式表達出軸向受拉桿斜截面上一點處的和的數(shù)值隨斜截面位置（以角表示）而變化的規(guī)律。同樣它們也適用于軸向受壓桿。關(guān)于角度和應力、的正負號規(guī)定如下：角以自橫截面的外向法線量起，到所求斜截面的外向法線為止，是反時針轉(zhuǎn)時為正，是順時針轉(zhuǎn)時為負；正應仍以拉應力為正，壓應力為負；剪應力以它對所研究的脫離體內(nèi)任一點的力矩的轉(zhuǎn)向是順時針轉(zhuǎn)時為正，是反對時針轉(zhuǎn)時為負（如4-14圖）。圖4-14、、【例4-5】有一受軸向拉力P＝100kN的拉桿（圖4-15a），其橫截面面積A＝1000mm2。試分別計算＝0°、＝90°及＝45°各截面上的和的數(shù)值。解：（a）＝0°的截面即桿的橫截面（如圖4-15中的截面1-1）。由公式可分別算得：（b）＝90°的截面為與桿軸線平行的縱截面（如圖4-15a中的截面2-2），同樣可算得：圖4-15（c）＝45°時，同樣可算得：分析本例題的答案，可得出如下結(jié)論，即：在軸向受拉（壓）桿的橫截面上，只有正應力；在與桿軸線平行的縱截面上，既不存在正應力，也不存在剪應力；在所有的斜截面上，即有正應力，又有剪應力；當在0°～90°之間變動時，最大正應力產(chǎn)生在＝0°的橫截面上且等于，即，而最大剪應力產(chǎn)生在＝45°的斜截面上，其數(shù)值等于最大正應力的一半，即。由此可見，根據(jù)其材料抗拉能力和抗剪能力的強弱，軸向受拉（壓）桿在軸力較大時，可能沿橫截面發(fā)生拉斷破壞，也可能沿45°斜截面發(fā)生剪斷破壞。【實訓練習】按分析任務（資訊）、確定解決方案（計劃、決策）、實施、檢查（自我檢查、教師檢查）、評價六步法完成以下實訓任務。1．軸向拉（壓）桿中，發(fā)生最大正應力的橫截面上，其剪應力等于零。在發(fā)生最大剪應力的截面上，其正應力是否也為零。2．圖示－承受軸向拉力P＝10kN的等直桿，已知桿的橫截面面積A＝100mm2。試求出＝0°、30°、45°、60°、90°時各斜截面上的正應力和剪應力。3．圖示各桿均為圓截面，其直徑及荷載如圖，材料的抗拉、抗壓性能相同。求桿橫截面的最大工作應力。4．圖示屋架的下弦桿用兩根等邊角鋼組成，并在某截面處鉆有直徑的個孔，求桿的橫截面上的最大工作應力。4.4軸向拉、壓桿的變形4.4.1軸向受拉（壓）桿的變形軸向受拉桿的變形主要是軸向伸長。除此以外，桿的橫向尺寸也有所縮小。至于軸向受壓桿，其主要變形為軸向縮短，同時其橫向尺寸也有所增大。下面先以軸向受拉桿的變形情況為例，介紹一些有關(guān)的基本概念。設(shè)有一原長為的等直桿，受到一對軸向拉力P作用后，其長度增大為，如圖4-16所示，則桿的軸向伸長為(4-12)它給出桿的總伸長量為進一步了解桿的變形程度，在桿各部分都為均勻伸長的情況下，可求出每單位長度桿的軸向伸長，即軸向線應變?yōu)?4-13)從式（4-12）知為正值，故軸向受拉桿的亦為正值。圖4-16軸向受拉桿的變形圖下面再研究軸向受拉桿的橫向變形，設(shè)桿的原有橫向尺寸為d，受力變形后縮小為d1（圖4-16），故其橫向縮小為（4-14）而與其相應的橫向線應變?yōu)椋?-15）從式（4-14）可知，受拉桿的為負值，故亦為負值，它與軸向線應變有相反的正負號。上面介紹的這些基本概念同樣適用于軸向受壓桿，但受壓桿的縱向線應變?yōu)樨撝?，而橫向線應變則為正值。4.4.2胡克定律由工程中常用材料（例如低碳鋼、合金鋼等）所制成的軸向受拉（壓）桿，已經(jīng)過一系列的實踐證明：當桿所受的外力不超過某一限度時，桿的伸長（縮短）與桿所受的外力P、桿的原長以及桿的橫截面面積A之間有如下的比例關(guān)系∝(4-16)引進比例常數(shù)E，則有(4-17)由于P＝N，此式又可改寫為(4-18)上述公式(4-18)所表達的關(guān)系，是英國科學家胡克在一六七八年首先發(fā)現(xiàn)的，故稱為胡克定律。式中的比例常數(shù)E稱為彈性模量，它表示材料在拉伸（壓縮）時抵抗彈性變形的能力，其量綱為，在國際單位制中的常用單位是Pa。E的數(shù)值隨材料而異，是通過試驗測定的。將桿的外力P或軸力N代入上述公式，即可計算出桿的伸長（縮短）。EA稱為桿的抗拉（壓）剛度，顯然對于長度相等、軸力N相同的受拉（壓）桿，其抗拉（壓）剛度EA越大，則所發(fā)生的伸長（縮短）變形越小。若將公式(4-18)改寫為，并以軸向應力及軸向線應變代入，則可得出胡定律的另一表達式為(4-19)故胡克定律也可簡述為：當桿內(nèi)應力不超過材料的比例極限（即正應力與線應變成正比的最高限應力）時，應力與應變成正比?！纠?-6】有一橫截面為正方形的階梯形磚柱，由下下I、II兩段組成。其各段的長度、橫截面尺寸和受力情況如圖4-17所示。已知材料的彈性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。試求磚柱頂面的位移。解：假設(shè)磚柱的基礎(chǔ)沒有沉陷，則磚柱頂面A下降的位移等于全柱的縮短。由于柱上、下兩段的截面尺寸和軸力都不相等，故應用公式分段計算，即P圖4-17【實訓練習】按分析任務（資訊）、確定解決方案（計劃、決策）、實施、檢查（自我檢查、教師檢查）、評價六步法完成以下實訓任務。1．圖示一等直桿，其橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，受力情況如圖所示。試作桿的軸力圖，并求桿下端點D的位移。2．有一兩端固定的水平鋼絲如圖中虛線所示。已知鋼絲橫截面的直徑d＝1mm，當在鋼絲中點C懸掛一集中荷截P后，鋼絲產(chǎn)生的應變達到0.09％，鋼絲的彈性模量E＝0.2×106MPa（a）鋼絲內(nèi)的應力為多大？（b）鋼絲在點C處下降的距離為多少？（c）荷載P是多大？3．圖示軸向拉(壓)桿均為圓截面桿，各桿直徑、縱向尺寸及所受荷載如圖所示。求各桿的最大工作應力及縱向變形。圖(a)的桿，其材料的彈性模量圖(b)的桿，其材料的彈性模量，容重4.5材料軸向拉伸和壓縮時的力學性能4.5.1概述研究軸向拉（壓）桿中的內(nèi)力、應力、變形，知道桿截面上任一點的應力與截面上的內(nèi)力大小和截面尺寸大小都有關(guān)系，且桿中產(chǎn)生的最大工作應力必須有個限度，否則桿就會發(fā)生破壞。不同的材料有著不同的應力限度，這就需要研究各種材料本身固有的力學性質(zhì)（或機械性質(zhì)）。材料的力學性質(zhì)不但是為構(gòu)件進行強度計算、剛度計算或選擇恰當材料的重要依據(jù)，也是指導研制新材料和制定加工工藝技術(shù)指標的重要依據(jù)。在工程實際中，通常是采用試驗的方法來研究材料的力學性質(zhì)。4.5.2金屬（鋼材）材料的拉伸試驗根據(jù)國家頒布的測試規(guī)范，在做拉伸試驗時，應將金屬材料做成標準試件，使其幾何形狀和受力條件都能符合軸向拉伸的要求。如圖4-18表示一般金屬材料試件的形式。在試驗以前，要在試件中部的等截面直桿部分用與試件軸線垂直的二細線（或圓環(huán)線）標出一工作段，并稱其長度為標距。為便于比較不同精細試件的工作段在拉斷后的變形程度，通常將圓截面標準試件的標距與橫截面直徑d的比例規(guī)定為＝10d或＝5d(4-20)將矩形截面標準試件的標距與橫截面面積A的比例規(guī)定為或(4-21)試件圖4-18由于拉伸圖與試件尺寸有關(guān)，為消除尺寸對材料本身的力學性質(zhì)的影響，需對拉伸圖進行整理，通常是將試件拉伸圖中的拉力P除以試件的原有截面面積A求得試件中的正應力，將伸長除以標距l(xiāng)求得試件的軸向線應變；然后根據(jù)求得的值和值畫出材料的應力－應變曲線（曲線）。如圖4-19所示為低碳鋼的應力－應變曲線。從低碳鋼的應力－應變曲線可以看到，在整個拉伸試驗過程中，與拉伸圖中所示的I、II、III、IV四個階段相對應，應力與應變之間的關(guān)系也大致可分為如下的四個階段：（1）彈性階段即OB直線段。當應力未超過點B所示的數(shù)值以前，若將所加的荷載去掉，試件的變形可全部消失，使試件完全恢復到原有的形狀和大小，將能隨著外力去掉而消失的變形叫做彈性變形，故這一階段稱為彈性階段。由圖中還可看到OA段為一直線，這表示應力與應變成正比關(guān)系（即線性關(guān)系）。超過點A以后，這種正比關(guān)系即不存在了，故我們將相應于點A的應力叫做材料的比例極限，并用符號表示，而將相應于彈性階段最高點B的應力叫做材料的彈性極限，并用符號表示。（2）屈服階段當荷載繼續(xù)增加，使應力接近點C所示的應力值時，應變的增長將比應力的增長要快一些，且在過點C以后一直到點D時，幾乎應力保持不變而應變卻繼續(xù)不斷地迅速增加，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服（或流動）。我們把與點C相對應的應力叫做材料的屈服極限（或流動極限），并用符號表示，故這一階段稱為屈服階段（或流動階段）。試驗證明，低碳鋼在屈服階段內(nèi)所產(chǎn)生的應變可達到比例極限所有應變的10～15倍?？紤]到低強度鋼材在屈服時會發(fā)生較大的塑性變形，使構(gòu)件不能正常地工作，故在進行構(gòu)件設(shè)計時，一般應將構(gòu)件的最大工作應力限制在屈服極限以內(nèi)。是衡量鋼材強度的一個重要指標。（3）強化階段經(jīng)過屈服階段以后，鋼材因塑性變形使其內(nèi)部的晶體結(jié)構(gòu)得到了調(diào)整，抵抗能力有所增強，故如圖中DE段曲線所示，應力又逐漸升高，這個階段稱為強化階段。與曲線最高點E相對應的應力是材料在被拉斷前所能承受的最大應力，叫做材料的強度極限（或極限強度），用符號表示，它也是衡量材料強度的一個重要指標。4-19低碳鋼應力與應變曲線圖（4）頸縮階段當應力超過強度極限以后，試件的變形開始集中在某一小段內(nèi)，使此小段的橫截面面積顯著地縮小，這一現(xiàn)象稱為頸縮現(xiàn)象。顯然，根據(jù)低碳鋼的應力－應變曲線可確定低碳鋼的一些主要力學性質(zhì)，例如：屈服極限、強度極限是衡量其強度的兩個重要指標，而塑性應變是恒量其塑性的一個重要指標。作為衡量材料塑性的重要指標，其值常用百分數(shù)表示，稱為伸長率（或延伸率），并用符號表示，即(4-22)式中的是試件斷裂后標矩段的總長度（試驗完后需測出的），是試件斷裂后標矩段的總伸長。在工程實際中，通常將發(fā)生顯著塑性變形（）以后才斷裂的材料稱為塑性材料，而將在沒有發(fā)生顯著變形以前（<5％）即斷裂的材料稱為脆性材料。衡量材料塑性的另一指標，稱為面積收縮率，即(4-23)式中的A1是試件斷裂后在斷口處的橫截面面積。4.5.3金屬（鋼材）材料在壓縮時的力學性質(zhì)（1）鋼材的壓縮試驗鋼材的壓縮試件通常做成圓柱體，其高度為直徑的1.5～2倍（如圖4-20所示）。試驗時將試件放在試驗機的二壓座間，施加軸向壓力。圖4-20壓縮試件由試驗繪出的壓力P與縮短之間的關(guān)系曲線稱為試件的壓縮圖。象拉伸試驗那樣，若使，也可將壓縮圖整理為鋼材在壓縮時的應力－應變曲線。如圖4-21中的實線即為低碳鋼在壓縮時的應力－應變曲線。為了比較低碳鋼在拉伸時和壓縮時的力學性質(zhì)，在4-21圖中還用虛線繪出了低碳鋼在拉伸時的應力－應變曲線。從這兩條曲線可以看出：在屈服階段以前，它們基本上是重合的，這說明低碳鋼在壓縮時的比例極限、屈服極限和彈性模量都與拉伸時相同。但在超過屈服極限以后，因低碳鋼試件被壓成鼓形（如圖4-20），受壓面積越來越大，不可能產(chǎn)生斷裂，也無法測定材料的壓縮強度極限。故一般說來，鋼材的力學性質(zhì)主要是用拉伸試驗來確定。圖4-21低碳鋼壓縮曲線圖圖4-22鑄鐵壓縮試驗（2）鑄鐵的壓縮試驗作為脆性材料典型代表的鑄鐵在受壓時的應力－應變曲線如圖4-22所示。試驗證明，鑄鐵試件在壓縮變形很小時即會突然破裂，故只能求得其強度極限。鑄鐵的抗壓性能較好，它在受壓時的強度極限比受拉時的要高4～5倍。由于破壞面間磨擦力的影響，鑄鐵試件破壞時，是沿與試件軸線大約成39°～35°的斜面上發(fā)生剪斷破壞（圖4-22b），這表明鑄鐵的抗剪能力比其抗壓能力差，故只適合于用作受壓的構(gòu)件。【工學結(jié)合】教師帶學生到實驗室進行試驗，通過現(xiàn)場觀察拉力、壓力與變形之間的變化，確定應力與應變之間的關(guān)系曲線；比較低碳鋼和鑄鐵拉伸時的力學性能與試樣破壞特征；認識液壓式萬能試驗機及使用方法。4.6受拉（壓）桿的強度條件在工程實際中，由作用在軸向受拉（壓）桿上的軸向荷載可求得桿內(nèi)的最大軸力Nmax并為桿選擇了橫截面的形狀和尺寸后，即可計算出等直桿內(nèi)的最大正應力通常把最大軸力Nmax所在的截面稱為危險截面，其上的正應力稱為桿的最大工作應力。為了保證桿能正常地工作，不致破壞且有一定的安全儲備，必須使其最大工作應力不超過材料在拉伸（壓縮）時的許用應力［］，即(4-24)這就是等截面受拉（壓）桿的強度條件。式中的許用應力［］可由有關(guān)的設(shè)計規(guī)范和手冊中查得。解決工程上三種不同類型的強度計算問題:（1）校核桿的強度在已知桿的材料、尺寸（即已知［］和A）和所承受荷載（即已知內(nèi)力Nmax）的情況下，可檢查和校核桿的強度是否能滿足要求，即如有(4-25)則表示桿的強度是足夠的。否則即要加大桿的橫截面面積A或減小其外荷載P。根據(jù)既要保證安全又要節(jié)約材料的設(shè)計原則，在對桿進行強度校核時，還應注意一方面不使桿內(nèi)的計算應力max小于許用應力［］太多，另一方面，在必要時也可容許計算應力max稍大于［］，但一般設(shè)計規(guī)范規(guī)定以不超過許用應力［］的5％為限。（2）選擇桿的截面在根據(jù)荷載算出了桿的內(nèi)力和確定了所用的材料（即已知Nmax和［］）以后，根據(jù)強