四川省遂寧市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次診斷性考試文試題含解析

Page26四川省遂寧市2024屆高三數(shù)學(xué)其次次診斷性考試（文）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則=（）A. B.C. D.【1題答案】【答案】B【解析】【分析】依據(jù)一元一次不等式的解法求出集合A，結(jié)合交集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由，解得，即，因?yàn)椋?故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和共軛復(fù)數(shù)的概念，得到，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以.故選：D.3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【3題答案】【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特別值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義推斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)，由不等式的性質(zhì)可得，充分性成立；必要性：取，，則成立，但“，”不成立，即必要性不成立.因此，“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的推斷，同時(shí)也考查了不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則（）A. B.C. D.【4題答案】【答案】C【解析】【分析】利用協(xié)助角公式和誘導(dǎo)公式干脆求解即可.【詳解】，，.故選：C.5.如圖，長方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動(dòng)的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必定異面；③設(shè)直線AE，AF分別與平面相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)可能在直線PQ上.其中全部正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【5題答案】【答案】B【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時(shí)，可證明四邊形是平行四邊形，故可推斷①②；建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)，且長方體為正方體時(shí)，利用空間向量證明三點(diǎn)共線【詳解】長方體中，，連接，，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四邊形是平行四邊形，所以在F運(yùn)動(dòng)的過程中，直線能與AE平行，與EF相交，①正確，②錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)且長方體為正方體時(shí)，設(shè)棱長為2，則，，，則，，則，又兩向量有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故則點(diǎn)可能在直線PQ上，③正確.故選：B6.《算法統(tǒng)宗》是由明代數(shù)學(xué)家程大位所著的一部應(yīng)用數(shù)學(xué)著作，其完善了珠算口訣，確立了算盤用法，并完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該書清初又傳入朝鮮、東南亞和歐洲，成為東方古代數(shù)學(xué)的名著.書中卷八有這樣一個(gè)問題：“今有物靠壁，一面尖堆，底腳闊一十八個(gè)，問共若干？”如圖所示的程序框圖給出了解決該題的一個(gè)算法，執(zhí)行該程序框圖，輸出的S即為該物的總數(shù)S，則總數(shù)S=（）A.136 B.153 C.171 D.190【6題答案】【答案】C【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，計(jì)算S【詳解】由圖可知，輸出故選：C7.已知直線過點(diǎn)，與圓相交于B，C使得，則滿意條件的直線的條數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【7題答案】【答案】B【解析】【分析】由圓的方程確定圓心、半徑，再推斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求直線與圓相交的最短弦長，依據(jù)直徑、最短弦長及的大小關(guān)系，推斷直線的條數(shù).【詳解】由題設(shè)，，故圓心，半徑，則，又，故在圓內(nèi)部，且，所以過的直線與圓相交的最短弦長為，此時(shí)，直線，則直線有且僅有一條.故選：B8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【8題答案】【答案】B【解析】【分析】通過奇偶性可解除A，通過可解除D，通過上的單調(diào)性可解除C，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故解除A；由于冪函數(shù)增長速度最快，所以時(shí)，，故解除D；由于，當(dāng)時(shí)，明顯，即在單調(diào)遞增，故解除C；故選：B.9.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則A=（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式和正弦定理化簡計(jì)算可得，進(jìn)而即可求出A.【詳解】由題意知，，，，，由正弦定理，得，又，所以，即，由，得.故選：D10.2024年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2024年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的勝利舉辦，呈現(xiàn)了中國作為一個(gè)大國的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向?qū)怼备w現(xiàn)了中國推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.在北京冬季奧運(yùn)會(huì)的某個(gè)競賽日，某人欲在冰壺（●）、冰球（●）、花樣滑冰（）、跳臺滑雪（）、自由式滑雪（）這5個(gè)項(xiàng)目隨機(jī)選擇2個(gè)競賽項(xiàng)目現(xiàn)場觀賽（注：競賽項(xiàng)目后括號內(nèi)為“●”表示當(dāng)天不決出獎(jiǎng)牌的競賽，“”表示當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的競賽），則所選擇的2個(gè)觀賽項(xiàng)目中最多只有1項(xiàng)當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的概率為（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】D【解析】【分析】利用列舉法求解，先列出這5個(gè)項(xiàng)目隨機(jī)選擇2個(gè)競賽項(xiàng)目的全部狀況，再找出所選擇的2個(gè)觀賽項(xiàng)目中最多只有1項(xiàng)當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的狀況，然后依據(jù)古典型的概率公式求解即可【詳解】分別為表示冰壺（●）、冰球（●）、花樣滑冰（）、跳臺滑雪（）、自由式滑雪（）這5個(gè)項(xiàng)目，則這5個(gè)項(xiàng)目隨機(jī)選擇2個(gè)競賽項(xiàng)目的全部狀況有：，共10種，其中所選擇的2個(gè)觀賽項(xiàng)目中最多只有1項(xiàng)當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的有：，共7種，所以所選擇的2個(gè)觀賽項(xiàng)目中最多只有1項(xiàng)當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的概率為，故選：D11.已知雙曲線C的一條漸近線為直線，C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)為F.若點(diǎn)M是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值為（）A. B. C. D.【11題答案】【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線漸近線和頂點(diǎn)的定義求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再確定點(diǎn)A在雙曲線的外部，結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，所以，雙曲線方程為，由，得，，因此在雙曲線外部（不含焦點(diǎn)的部分），又，所以，在中，由三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)是線段與雙曲線的交點(diǎn)，即三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為，故選：B.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【12題答案】【答案】D【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用其單調(diào)性推斷.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，所以，即，設(shè)，則，遞增，則，即，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，則遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，遞減，則，即，因?yàn)?，則，所以，即，故，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)t值為_______________.【13題答案】【答案】1【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解出的值【詳解】，又，故即，解得故答案為：114.函數(shù)（）的圖象向右平移后所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則______．【14題答案】【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的平移變換及函數(shù)的奇偶性即可求解.【詳解】由的圖象向右平移后，可得的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對稱，所以,解得因?yàn)?，解得，?dāng)時(shí)，.故答案為：.15.已知拋物線C以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)A，B，直線上的點(diǎn)滿意，則拋物線C的方程為______________.【15題答案】【答案】【解析】【分析】由題意可知，直線恒過定點(diǎn)，寫出和，因?yàn)?，所以，解出的值，進(jìn)而得出拋物線的方程.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，即直線恒過定點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，即，解得，所以拋物線C的方程為：，故答案為：.16.已知，，，，都在同一個(gè)球面上，平面平面，是邊長為2的正方形，，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，該球的半徑為______．【16題答案】【答案】【解析】【分析】先求出四棱錐體積最大時(shí)，為等邊三角形，再找出外接球的球心，通過勾股定理即可求得半徑.【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，平面平面，平面平面，平面，，故四棱錐的體積最大，即最大，，最大，即面積最大，由,，得，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)面積最大，為等邊三角形.取的外心為，正方形的外心為，過分別作所在平面的垂線，交點(diǎn)為，即為四棱錐外接球的球心，四邊形為矩形，，，設(shè)外接球半徑為，則.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某縣為了解鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，對全縣鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行調(diào)研，現(xiàn)對2012年以來的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入（單位：億元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，制成如圖所示的散點(diǎn)圖，其中年份代碼的值1—10分別對應(yīng)2012年至2024年．（1）若用模型①，②擬合與的關(guān)系，其相關(guān)系數(shù)分別為，，試推斷哪個(gè)模型的擬合效果更好？（2）依據(jù)（1）中擬合效果更好的模型，求關(guān)于的回來方程（系數(shù)精確到0.01），并估計(jì)該縣2025年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入（精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：，，，，72.652.25126.254.52235.4849.16參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，回來方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【17題答案】【答案】（1）的擬合效果更好（2），億元【解析】【分析】（1）依據(jù)相關(guān)系數(shù)即可得出答案；（2）依據(jù)最小二乘法結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出，即可求出回來方程，再依據(jù)回來方程即可求出該縣2025年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入的估計(jì)值.【小問1詳解】解：因?yàn)楦咏?，所以的擬合效果更好.【小問2詳解】解：依據(jù)題中所給數(shù)據(jù)得，則，所以回來方程為，2025年的年份代碼為14，當(dāng)時(shí)，，所以估計(jì)該縣2025年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)收入為億元.18.已知數(shù)列中，，，設(shè).（1）求，，；（2）推斷數(shù)列是不是等比數(shù)列，并說明理由；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【19題答案】【答案】（1），，；（2）是等比數(shù)列，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系寫出、，進(jìn)而可得，，（2）由題設(shè)可得，結(jié)合題設(shè)等量關(guān)系即可推斷是否為等比數(shù)列.（3）應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問1詳解】由題設(shè)，，，所以，，.【小問2詳解】由題設(shè)，，而，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.小問3詳解】由（2）知：，則.19.如圖所示，已知是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)M、N分別在，上，，O是線段的中點(diǎn)，將沿直線進(jìn)行翻折，A翻折到點(diǎn)P，使得平面平面，如圖所示.（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)M到平面的距離.【21題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，證得，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而證得；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，求得的值，結(jié)合平面，利用點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槭沁呴L為6的等邊三角形，且，在中，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】解：由是邊長為6的等邊三角形，可得的高為，因?yàn)?，可得，,則的面積為，又由平面，且，所以三棱錐的體積為，在直角中，，可得，所以的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)是橢圓C上第一象限的點(diǎn)，直線過P且與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).①求直線的方程（用，表示）；②設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.【23題答案】【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】(1)依據(jù)橢圓離心率的概念和點(diǎn)在橢圓上列出關(guān)于a、b、c的方程組，結(jié)合解方程組即可；(2)依據(jù)題意可得，設(shè)直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根的判別式等于0得出關(guān)于k的一元二次方程，依據(jù)公式法解出k，代入直線l方程即可；求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，依據(jù)和基本不等式可得，結(jié)合三角形面積公式化簡計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意知，橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】①因?yàn)槭菣E圓在第一象限的點(diǎn)，所以，即()，設(shè)直線l方程為，則，消去y，整理得，則，整理，得，即，則，解得，所以直線l方程為，即；②令，得，令，得，即，由()，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以，得，所以，此時(shí)，故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的面積最小，最小值為.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若a為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求a的最小值．【25題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率及切點(diǎn)即可求解答案；（2）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)分子部分的最小值與零比較分類探討，分別分、、探討即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)椋渲?，則在點(diǎn)處的切線斜率，所以切線方程為【小問2詳解】由題知，其中，設(shè)，則，可知為上的增函數(shù)，則，所以為上的增函數(shù)，則.①當(dāng)，即時(shí)，，即，所以為上的增函數(shù)，則，由于為整數(shù)，可知時(shí)，恒成立，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，，則的最小值為，又，由于為上的增函數(shù)，則存在使得（即），當(dāng)時(shí)，，即，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，為增函數(shù)，則，其中，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則，即.所以也符合題意.③當(dāng)時(shí)，，由于為上增函數(shù)，則存在實(shí)數(shù)，且，使得，即，故為上的減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，故不符合題意，舍去.綜上所述，的最小值為.【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】求切線的關(guān)鍵是求斜率與切點(diǎn)坐標(biāo)，解決導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題，一