2025年中考數(shù)學(xué)大題專練：三角形的證明與計(jì)算問題（5大題型）（解析版）

大題04三角形的證明與計(jì)算問題

考情分析?直擊中考

在中考中，涉及三角形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，且三角形結(jié)合其它幾何圖

形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，其中一線三等角與手拉手模型較為常見，屬于

是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).

琢題突破?保分必拿

三角形角度計(jì)算的常考模型

全等三角形的常考模型

相似三角形的?？寄Ｐ?/p>

利用勾股定理解決三角形折疊問題

全等三角形與相似三角形綜合（幾何模型）

題型一：三角形角度計(jì)算的?？寄Ｐ?/p>

1.（2021?吉林?中考真題）如圖①，在RtaABC中，AACB=90°,N4=60。，CD是斜邊4B上的中線，點(diǎn)

E為射線上一點(diǎn)，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)用

圖①圖②

（1）若4B=a.直接寫出CD的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）;

（2）若DF1BC,垂足為G,點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)，連接CF,如圖②，判斷四邊形4DFC的形狀，并

說明理由；

（3）^DFLAB,直接寫出N8DE的度數(shù).

【答案】（1）|a；（2）菱形，見解析；（3）NBDE=45?；騈BDE=135。

【分析】（1）根據(jù)"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半"得CO=/B=》；

（2）由題意可得DF〃4C,DF=^AB,由"直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半"，得

AB,得DF=2C,則四邊形4DFC是平行四邊形，再由折疊得DF=BD=4。，于是判斷四邊形4DFC是菱

形；

（3）題中條件是"點(diǎn)E是射線BC上一點(diǎn)"，因此DF14B又分兩種情況，即點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)或同

側(cè)，正確地畫出圖形即可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）如圖①，在RtA/lBC中，AACB=90°,

???CD是斜邊4B上的中線，AB^a,

■■.CD=^AB=1cz.

(2)四邊形4DFC是菱形.

理由如下：

如圖②???￡>/LBC于點(diǎn)G,

.?.NDGB=NaCB=90°,

.-.DF//AC-,

由折疊得，DF=DB,

：.DF=^AB；

-L.ACB=90°,ZX=6O°,

...ZB=90°-60°=30°,

.'.AC=1T4B,

：,DF=AC,

???四邊形/DFC是平行四邊形;

-AD=^AB,

.'-AD=DF,

.??四邊形ADFC是菱形.

(3)如圖③，點(diǎn)尸與點(diǎn)D在直線CE異側(cè)，

,：DF1AB,

??ZBDF=9O。；

由折疊得，ZBDE=ZFDE,

.-.ZBDE=ZFDE=jzBDF=|x90°=45°；

如圖④，點(diǎn)F與點(diǎn)。在直線CE同側(cè),

?：DF1AB,

?"DF=90。，

"BDE+乙FDE=360°-90°=270°,

由折疊得，乙BDE=^FDE,

.-.Z.BDE+ZBDE=270°,

?"OE=135。.

綜上所述，^BDE=45°^ZFDE=135°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形及特殊平行四邊形的判定等知識(shí)

蘢皿一變其訓(xùn)綣

1.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))貝貝在學(xué)習(xí)三角形章節(jié)內(nèi)容時(shí)，對(duì)于三角形中的角度計(jì)算問題進(jìn)行了如下

探究：

在△2BC中，已知NA8C=18。，ZOZB.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若D為BC上一點(diǎn).連接力D,將△4BD沿著4D進(jìn)行翻折后得到△力BiD,若4DC=47。，求

N8DB1的大?。?/p>

(2)如圖2,將△BEF沿EF翻折得到△BiEF,探究N1,42之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

(3)如圖3,若D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD,將△4BD沿4D進(jìn)行翻折后得到△ABiD,連接若

△BO當(dāng)中存在50。的內(nèi)角，貝”BAD的度數(shù)為.

【答案】(l)NBDBi=94°

(2)41—42=36。，理由見解析

⑶22?；?37°或7°或122。

【分析】(1)4WC=47。，求出=180。-47。=133。，根據(jù)折疊得出N/WB=180。-47。=133。，

求出NCD/=86。，最后由平角的定義即可求解；

⑵根據(jù)折疊得出血=乙48(7=18。，乙BEF=LB]EF,KBFE=KB^FE,求出Z_BEF=NBI

1-1

EF=180°-18°-90°-jz2=7°-jz2,根據(jù)=180°-2/BEF得出Z.1-z2=36°即可；

(3)分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)點(diǎn)。在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。在線段延長(zhǎng)線上，分別畫出

圖形求出結(jié)果即可；

本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注

意分類討論.

【詳解】(1)???將△力BD沿著2D進(jìn)行翻折后得到，AABiD,乙4DC=47。，

.-.Z.ADB=180°-47°=133°,

.-.^ADB1=^ADB=133°,

:zCDBi=zXDBi-/.ADC=133°-47°=86°,

:.乙BDB[=180°-4CDBi=94°；

(2)

Z1-Z2=36°,理由如下：

,將△BEF沿EF翻折得至!]△BiEF,

."1=N4BC=18。，4BEF=LB、EF,ABFE=AB1FE,

;/BFE+4B1FE=180°+Z2,

“BFE=乙BJE=90°+|z2,

11

乙BEF=ZB1EF=180°-18°-90°-1z2=72°-%,

.-.zl=180°-24BEF=180°-2(72°-|z2)=360+42,

即41—42=36。；

(3)將△ABD沿4。進(jìn)行翻折后得到△ABi。連接BBi，根據(jù)折疊可知BD=B”，AB^ABr,/.BAD=z

BiAD,

；/DBB\=乙DB、B,乙ABB1=Z,AB1B,

若△BO當(dāng)中存在50。的內(nèi)角時(shí)，分以下幾種情況討論:

當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上，4DBBi=50。時(shí)，如圖所示：

B1

乙

=Z.ABBr=/.ABC+DBB[=18°4-50°=68°,

?"岫=180°—68°-68°=44°,

,.ZBAD=Z-B^AD,

1

,^BAD=Z.B1AD=-^BAB1=22°；

當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上，43081=50。時(shí)，如圖所示，

與

"DBBi=乙DB$=1(180°-50°)=65°,

乙、乙

：,Z.ABrB=ABB=/.ABC+DBB[=18°+65°=83°,

?"岫=180°-83°-83°=14°,

.,./-BAD=Z-B1AD==7°,

當(dāng)點(diǎn)。在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：

???乙408<18°,

根據(jù)折疊可矢口，乙408=乙4。31，

.“叫=2乙4。8<36。，

"DBB]=乙DB、B>72°,

此時(shí)△OB當(dāng)中的角不存在50。的角；

當(dāng)點(diǎn)。在線段BC延長(zhǎng)線上，48。當(dāng)=50。時(shí)，如圖所示:

Bi

根據(jù)折疊可知，/-ADB^ADBr，

1

：.^BDA=-ABDB1=25°

"BAD=180°-Z.BDA-4ABD=180°-25°-18°=137°,

當(dāng)點(diǎn)。在線段延長(zhǎng)線上，48%。=50。時(shí)，如圖所示，

B,

二.乙DBB1=Z-DB1B=50°,

"BDB、=180°—50°-50°=80°,

根據(jù)折疊可知，/-ADB=/-ADBr,

1

.-.^ABD=^BDB1=40°,

：.Z-BAD=180°-/.BDA-乙ABD=180°-40°-18°=122°；

綜上分析可知，NB4D的值為22?；?37?；??；?22°.

故答案為：22?；?37?；??；?22°.

2.（2023內(nèi)江六中二模）如圖①，在△力BC中，乙4BC與乙4cB的平分線相交于點(diǎn)P.

E

圖②圖③

(1)如果乙4=80。，求N8PC的度數(shù)；

(2)如圖②，作△2BC外角NM8C,NNCB的角平分線交于點(diǎn)。，試探索NQ、乙4之間的數(shù)量關(guān)系.

⑶如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E,4EQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求乙4的度數(shù).

【答案】(1)NBPC=130。

(2)zQ=90°-|zX

⑶N4的度數(shù)是90?；?0?；?20。

【分析】(1)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出/PBC+4PC8,進(jìn)而求出4BPC即可

解決問題；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出NMBC與NBCN,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得NCBQ+N8CQ,最

后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)在aEQE中，由于NQ=90。一!乙4,求出=Z.EBQ=90°,所以如果A/QE中，存在一個(gè)內(nèi)

角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①NEBQ=24E=90。；②NEBQ=2NQ=90°；

③NQ=2NE；④NE=2NQ；分別列出方程，求解即可.

【詳解】(1)解：月=80。.

???4ABC+/.ACB=100°,

,點(diǎn)尸是乙4BC和"CB的平分線的交點(diǎn)，

11

工乙BPC=180°--^ABC+Z.ACB)=180°--X100°=130°；

(2)???外角NM8C,4NCB的角平分線交于點(diǎn)0,

1

:.乙QBC+乙QCB=式4MBe+乙NCB),

=|(360°-AABC-N4CB),

1

=式180。+乙4),

=90°+N4

“=180°-(90°+泊)=90°-

(3)延長(zhǎng)BC至R

Q

圖③?；CQ為△ABC的外角NNCB的角平分線,

CE是△ABC的夕卜角NACF的平分線，

?-?Z.ACF=24ECF,

???BE平分N4BC,

???Z-ABC=2/-EBC,

Z.ECF=乙EBC+Z.E,

???2/.ECF=2/-EBC+2zE,

^/.ACF=AABC+2Z.E,

Z-ACF=Z.ABC+/-A,

1

LA=2zE,即乙月二萬4/；

Z-EBQ=Z.EBC+乙CBQ,

1i

=-/-ABC+-Z-MBC,

=+N4+zXCS)=90°.

如果ABQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況:

①NEBQ=2/E=90。，則NE=45。，乙4=2Z_E=90。；

②NEBQ=2NQ=90°,則NQ=45°,NE=45°,N4=2NE=90°；

③NQ=2N￡則90。一=解得=60。；

④NE=2“，則1月=2(90。一解得〃=120。.

綜上所述，N2的度數(shù)是90?；?0?；?20。.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用

三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?山西太原?二模）如圖，在凹四邊形力BCD中，乙4=55。，NB=30。，4。=20。，求/BCD的度

數(shù).

下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時(shí)得到的解決問題的三種方法：

方法一：作射線NC；

方法二：延長(zhǎng)2C交4D于點(diǎn)￡；

方法三：連接30.

請(qǐng)選擇上述一種方法，求NBCD的度數(shù).

【答案】NBCD=105。，方法見解析

【分析】選擇方法一：作射線AC并在線段AC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E,根據(jù)外角的性質(zhì)求出

△BCE=NB+NB4E即可解得；

選擇方法二：延長(zhǎng)交/D于點(diǎn)E,根據(jù)外角的性質(zhì)求出ABED=NB+乙4即可解得；

選擇方法三：連接8D,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出N4+N4BD+N力DB=180。，在△BCD中，

乙BCD=180°-乙CBD-ACDB,再根據(jù)角之間的和差即可求出.

【詳解】解：選擇方法一：

如答圖1,作射線/C并在線段NC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)瓦

?.2BCE是△4BC的外角，

"BCE=Z.B+Z.BAE,

同理可得NDCE=4。+Z.DAE.

??/BCD=乙B+Z-BAE+Z.D+Z-DAE,

"BCD=ZB+乙BAD+乙D.

?.28/0=55。，48=30。，40=20。，

"BCD=105°

A

選擇方法二：

如答圖2,延長(zhǎng)BC交4。于點(diǎn)E.

?.2BED是△4BE的外角，

:.乙BED=乙B+Z-A.

同理可得NBCO=乙BED+乙D.

"BCD=+N。.

vzX=55°,Z.B=30°,4。=20。，

"BCD=105°

（答圖2）

選擇方法三：

如答圖3,連接3D

在△4BD中，Z/l+AABD+/LADB=180°.

.?2+4ABe+乙CBD+^ADC+乙CDB=180°

.?.乙4+乙ABC+N力DC=180°-4CBD-乙CDB.

在△BCD中，乙BCD=18。°一七CBD一乙CDB.

:/BCD=/.A+/.ABC+/.ADC.

?"=55°,A4BC=30°,A4DC=20°,

"BCD=105°

A

（答圖3）

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，會(huì)用三角形的外角性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和解題.

題型二：全等三角形的?？寄Ｐ?/p>

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1.（2023?貴州,中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在

等腰直角三角形ABC中，以=CB/C=90。，過點(diǎn)B作射線BD1AB,垂足為B,點(diǎn)P在CB上.

如圖②，若點(diǎn)P在線段CB上，畫出射線P4并將射線P4繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點(diǎn)E,根據(jù)題意在

圖中畫出圖形，圖中NP8E的度數(shù)為度；

（2）【問題探究】

根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶【拓展延伸】

如圖③，若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線P力繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點(diǎn)E,探究線段之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）作圖見解析；135

（2）PA=PE；理由見解析

（3）84—8后=魚8「或8后=84+遮8「；理由見解析

-1

【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；先求出乙4BC=NB4C=5X90。=45。，根據(jù)乙4BD=90。，求出

乙CBE=^ABC+乙ABE=45°+90°=135°；

(2)根據(jù)乙4PE=90。，N4BE=90。，證明4、P、B、￡?四點(diǎn)共圓，得出乙4EP=N4BP=45。，求出

^AEP=NEAP,根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，求出B4BP,BE之

間的數(shù)量關(guān)系即可.

【詳解】(1)解：如圖所示：

???CA=CB/C=90。，

1

：.Z.ABC=^LBAC=-X90°=45°,

?：BDLAB,

.?.乙48。=90°,

：.Z.CBE=乙ABC+(ABE=45°+90°=135°；

故答案為：135.

(2)解：PA=PE；理由如下：

連接ZE,如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，/APE=90。,

???乙4BE=90。，

???/、尸、B、石四點(diǎn)共圓,

??.乙4EP=/.ABP=45°,

??."”二90。-45。=45。，

：.Z-AEP=Z.EAP,

.-.PA=PE.

(3)解：當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時(shí)，連接4E,延長(zhǎng)CB,作EF1CB于點(diǎn)尸，如圖所示:

根據(jù)解析(2)可知，PA=PE,

?:乙EFP=Z.APE=90°,

.-.Z.EPF+ZPEF=4EPF+LAPC=90°,

.\Z-PEF=Z.APC,

-Z.EFP=AACP=90°,

???△PEFzAAPC,

??.EF=PC,

-A.EBF=180°-Z.CBE=45°,Z.EFB=90°,

.?.△EBF為等腰直角三角形，

.'.BE—y[2EF,

???△28C為等腰直角三角形，

：.BA=V2BC=五(BP+PC)=V2BP+五PC=5P+近EF=近BP+BE,

即Ba—BE=V^8P；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接力E,作于點(diǎn)R如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，NAPE=90。,

■,■Z.ABE=90°,

■■A,B、尸、E四點(diǎn)共圓，

.?ZE4P=4EBP=45°,

.?2"=90°—45°=45°,

：.Z-AEP=Z.EAP,

??.P4=PE,

?:乙EFP=4APE=90°,

：.￡.EPF+乙PEF=乙EPF+^APC=90°,

：.Z-PEF=Z-APC,

"EFP=AACP=90°,

:.△PEFNAAPC,

：,PF=AC,

-BC=AC,

：.PF=BC,

vzEBF=45°,ZEFB=9O°,

.?.△EBF為等腰直角三角形,

■■BE=V2BF=丘(PF+BP)=V2(FC+BP),

即BE=B4+?P；

綜上分析可知，BA-BE=aBP或BE=BA+aBP.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，

等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)的輔助線，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論.

2.(2023?黑龍江?中考真題)如圖①，△ABC和△4DE是等邊三角形，連接DC,點(diǎn)、F,G,H分別是

DE,DC和BC的中點(diǎn)，連接FG,FH.易證：FH=^FG.

若△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，且Nb4C=4ME=90。，如圖②：若△4BC和△4DE都是等腰

三角形，且4B4C=ND4E=120°,如圖③：其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜

想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明.

【答案】圖②中=圖③中FH=FG,證明見解析

【分析】圖②：如圖②所示，連接BD,HG,CE,先由三角形中位線定理得到FGIICE,FG=獷E,

GH||BD,GH=-BD,再證明△48。三△4CE得到CE=BD,^ACE=^ABD,則FG=HG,進(jìn)一步證明

Z.FGH=90°,即可證明△HGF是等腰直角三角形，貝IjFH=?FG；

圖③：仿照?qǐng)D②證明△HGF是等邊三角形，則FH=FG.

【詳解】解：圖②中=圖③中FH=FG,

圖②證明如下：

如圖②所示，連接BD,HG,CE,

,:點(diǎn)F,G分別是DE,DC的中點(diǎn)，

??,”是△CDE的中位線，

.-.FG||CE,FG=^CE,

同理可得GHIIBD,GH=^BD,

???△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，S.ABAC=4DAE=90°,

：.AB—AC,Z-BAD—Z-CAE,AD—AE,

：.△ABD=△ZCE(SAS),

??.CE=BD,Z,ACE=Z-ABD,

.-.FG=HG,

-BD||GHfFG||CE,

"FGH=乙FGD+乙HGD

=乙DCE+乙GHC+乙GCH

=Z.DBC+Z.DCB+Z-ACD+Z-ACE

=Z-DBC+Z-ABD+Z-ACB

=Z-ACB+Z-ABC

=90°,

??.△HGF是等腰直角三角形，

.-.FW=V2FG；

圖③證明如下：

如圖③所示，連接BD,HG,CE,

???點(diǎn)尸,G分別是OE,DC的中點(diǎn),

.?.FG是△(?￡?￡1的中位線，

：.FG||CE,FG=3E,

同理可得GHIIBD,GH=^BD,

△ABC和△ADE都是等腰三角形，且乙B4C=Z.DAE=120°,

：.AB=AC,Z-BAD=Z-CAE,AD=AE,

-.AABD=AACE(SAS),

：.CE=BD,Z-ACE=Z-ABD,

?，F(xiàn)G=HG,

-BD||GH,FG||CE,

"FGH=Z.FGD+Z.HGD

=(DCE+乙GHC+乙GCH

=Z.DBC+Z.DCB+Z-ACD+Z-ACE

=Z-DBC+乙ABD+Z-ACB

=Z-ACB+Z-ABC

=180°-^.BAC

=60°,

...△HGF是等邊三角形，

:.FH=FG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股

定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2024沈陽大東區(qū)一模）【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師提出了如下問題：如圖1,在△4BC

中，AB=6,AC=4,求BC邊上的中線ZD的取值范圍.

【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

①延長(zhǎng)2D到E,使得DE=4D；

②連接BE,通過三角形全等把AB、AC,24。轉(zhuǎn)化在△ABE中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍為AB-BE<AE<AB+BE,從而得到2D的取值范圍是

方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)"中點(diǎn)"、"中線"字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問題解決】

（2）如圖2,4。是△4BC的中線，4E是△4DC的中線，且4C=DC,NC4D=NCD4,下列四個(gè)選項(xiàng)中：

直接寫出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是.

①NC4E=ND4E@AB=2AE（3）^DAE=Z.DAB@AE=AD

【問題拓展】

（3）如圖3,OA=OB,OC=OD,22。8與NC。?；パa(bǔ)，連接2C、BD,￡是AC的中點(diǎn)，求證：0E=?

BD.

（4）如圖4,在（3）的條件下，若乙4。8=90。，延長(zhǎng)E0交BD于點(diǎn)/，OF=2,0E=4,則△40C的面

積是

【答案】(1)1<AD<5；(2)②③；(3)見解析；(4)8

【分析】(1)由“SAS"可證△ADCmaEDB,可得47=BE=4,由三角形的三邊關(guān)系可求解；

(2)由"SAS”可證△4EC三△//￡■￡),可得AC=DH,Z.ACD=Z.HDC,由"SAS"可證△ADB三△4DH,可得

AB^AH,/LBAD=ADAE,即可求解；

(3)由"SAS”可證△4E0三△CEH,可得4。=CH,4A=4HC0,由"SAS"可證△B。。三△HC。，可得

BD=OH,可得結(jié)論；

(4)由全等三角形的性質(zhì)可得SOEOUSMEH，SABOD=S&HCO,乙D=KCOE,由三角形的面積公式可求

解.

【詳解】解：(1)如圖1中，延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使ED=4D.

在△4DC和△EDB中，

(DA^DE

\z.ADCZ.EDB,

IDC=DB

???△ADC三△EDB(SAS),

.-.AC=BE=4,

vAB=6,

6-4<i4E<6+4,

???2<2AD?10,

???1<AD<5f

故答案為：1<4。<5；

(2)如圖2,延長(zhǎng)力E至H,使EH=AE,連接DH,

DE=EC,

又=AE=EH,

???△/EC三△HEO(SAS),

:?AC=DH,乙ACD=^HDC,

vZ.ADB=Z.ADC+乙/CO,^ADH=^ADC+乙CDH,

??.Z.ADB=Z-ADH,

???AD為中線，

BD=CD,

-AC=CD,

：?BD=DC=AC=DH,

又?.?AD=AD,

???△2WBW2\4DH(SAS),

：.AB=AH,Z.BAD=Z.DAE,

AB=2AE,

故答案為：②③；

(3)證明：如圖3,延長(zhǎng)0E至H,使EH=OE,連接CH,

???E是4c的中點(diǎn)，

???AE=CE,

又OE=EH,乙AEO=^CEH,

???△/EOwaCE”(SAS),

???AO=CH,AA=AHCO,

.MOIIC”，

???乙4OC+N"CO=180。，

與NCOO互補(bǔ)，

???乙4。。+"。。=180。，

???乙BOD=LOCH,

又?：CH=OA=OB,OC=OD,

.-.△^OD=AHCO(SAS),

：.BD=OH,

OE=^BD；

(4)如圖3,???△/E。三△CEH,ABOD經(jīng)△HCO,

???S/VIE。=$△”“，S^BOD=S^HCO,乙D=LCOE,

???S^AOC=SMOD=S^HCO,

V^AOB=(COD=90°,

??."OE+"OF=90。，

??/OOF+"=90。，

???zOFZ)=90°,

???OF—2,OE—4,

.?.BD=2OE=8,

?1?S^A0C=S&BOD=1BD,。尸=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，添

加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖，直線AB的同一側(cè)作△1)AABM絲AACN2)BM=CN

M

ABC和AAMN都為等邊三角形3)ZMEN=Z2=60°(拉手線的夾角等于頂

（A、B、N三點(diǎn)共線），連接角)

BM、CN,兩者相交于點(diǎn)E

4)AANF^AAMD5)AAFC^AADB

6)連接DF,DFIIBN7)連接AE,AE平

BAN

分NBEN8)存在3組四點(diǎn)共圓

9)EN=EM-EA,EB=EC-EA,EA=ED+EF

如圖，AABC和AAMN都為等邊1)AABMaAACN2)BM=CN

三角形（A、B、N三點(diǎn)不共3)ZM0N=60°(拉手線的夾角等于頂角)

線），連接BM、CN,兩者相交

于點(diǎn)04)連接AO,A0平分NBON

15)存在2組四點(diǎn)共圓

N6)ON=OM+OA,OB=OC+OA

如圖，四邊形ABCD和四邊

BC1)AAGD^AAEB2)GD=EB

形AEFG為正方形，連接EB

和GD,兩者交于點(diǎn)OI3)GD1EB4)AO平分ZEOD

N

尸?

E

1倍長(zhǎng)中線模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)〉

已知點(diǎn)D為AABC中BC邊中

一1)連接EC,貝必ABD2ECD,ABIICE

點(diǎn)，延長(zhǎng)線段AD到點(diǎn)E使

AD=DE

2)連接BE,貝“AADCaEDB,AC//BE

\，/

已知點(diǎn)D為AABC中BC邊中點(diǎn)，A△BDF^ACDE

延長(zhǎng)線段DF到點(diǎn)E使DF=DE,

連接EC

D*

蔻能＞港式訓(xùn)綣

1.(2024?廣東汕頭?一模)綜合運(yùn)用

(1)如圖L乙4CE=90。，頂點(diǎn)C在直線BD上，過點(diǎn)4作4B18D于點(diǎn)B,過點(diǎn)E作ED1BD于點(diǎn)。，當(dāng)

BC=DE時(shí)，判斷線段4C與CE的數(shù)量關(guān)系；(直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程)

⑵如圖2,直線。：y=，+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4B,將直線k繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至直線%,求直線L的函

數(shù)解析式；

⑶如圖3,四邊形2BC0為長(zhǎng)方形，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,—6),點(diǎn)力在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C

在%軸的正半軸上，P是線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，。是直線y=—2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限.若△2PD是以。為

直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】⑴4C=CE；

(2)y="x+4；

⑶(4,-2)或停,—9.

【分析】(1)由N2CE=90°可得NC4B=NECD,根據(jù)AAS即可證明△三△CBE；

(2)證明△力CD三△BAO(AAS),得到C(—7,3),最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線辦的函數(shù)表達(dá)式即可；

(3)根據(jù)△APD是以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)。是直線y=—2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象

限時(shí)，分兩種情況：點(diǎn)。在矩形40C2的內(nèi)部時(shí)和點(diǎn)。在矩形40C2的外部時(shí)，設(shè)。(居一2乂+6),根據(jù)

△ADE3ADPF,得出4E=DF,據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,

圖1

■：Z.ACE=90°,

：.Z.ACB+Z.ECD=90°,

,：AB1BD,ED1BD,

???乙ABC=^CDE=90°,

.?.乙4cB+乙CAB=90°,

：.Z-CAB=乙ECD,

在△ABC與△COE中，

(乙CAB=Z.ECD

］乙ABC=乙CDE=90°,

(BC=DE

??.△ABC^△COE(AAS),

?.AC=CE；

(2)解：??,直線/1：、=乏+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4B,

.-.71(-3,0),8(0,4),

.,.AO=3,BO=4,

如圖2,過點(diǎn)4作交直線%于點(diǎn)c,過點(diǎn)c作CDlx軸于點(diǎn)D,

???將直線人繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至直線%,

???乙48。=45。，

'.'AC1AB,

.""=90。，

：,/-ACB=90°一45°=45°,L.BAO+Z.CAD=90°,

：.Z-ABC=Z-ACB,

.,.AB=AC,

?:CD1%軸，

??.“。/=乙4。8=90。，

：.Z.ACD+匕CAD=90°,

：.Z-ACD=Z.BAO,

.??△/COw2\B4O(AAS),

...CD=/。=3,AD=BO=4,

.??。0=40+40=4+3=7,

???C(—7,3),

設(shè)%的解析式為y=kx+b,將8,c點(diǎn)坐標(biāo)代入得,

,3=—7k.+b

I4=b'

解得(b尸=4I

也的函數(shù)表達(dá)式為y+4；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)。是直線y=—2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況:

當(dāng)點(diǎn)。在矩形40CB的內(nèi)部時(shí)，

如圖3,過D作x軸的平行線EF,交直線。4于E,交直線BC于F,

圖3

設(shè)D(x,—2x+6),貝!|0E=2x—6,AE=6—(2x-6)=12—2%,DF=EF—DE=8—x,

同(1)可得，△4DE三△DPF,

:.DF^AE,

即12—2x=8—x,

解得x=4,

：.2x+6——2,

??.D(4,—2),

此時(shí)，PF=ED=4,CP=6=CB,符合題意；

當(dāng)點(diǎn)O在矩形40CB的外部時(shí)，

如圖4,過。作x軸的平行線EF,交直線。力于E,交直線于F,

設(shè)。(%,-2x+6),貝lJOE=2x—6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x,

同理可得△ADE^△DPF,

:.AE=DF,

即2x—12=8—x,

解久=g,

■?■2x—6=—y,

.?噌，一給,

此時(shí)，ED=PF=^-,AE=BF=l，

:.BP=PF—BF*<6,符合題意；

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,—2)或停,一等).

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)

知識(shí)，正確作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在BC,AC上，AB=BD,點(diǎn)F在BE

上，AF=EF,^.ABD=/.AFE.

⑴在圖1中找出與ADBF相等的角并證明；

(2)求證：4BFD=ZAFB；

AC

如圖連接點(diǎn)在上，AF=kDF,求赤.(用含的代數(shù)式表示)

(3)2,FD,MEFzFOF+zMOF=180°,Mrk

【答案】⑴=見解析

(2)見解析

(3)^-1

【分析】本題考查四邊形，三角形全等，三角形相似等綜合問題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

(1)根據(jù)三角形外角性質(zhì)及角的和差求解即可；

(2)在BE上截取BG=4F,連接。G,先證△BGD三△AFB(SAS),得出N8GD=DG=BF,再根

據(jù)等量代換，乙FEA=^GED,即N8E4=NBED；

(3)在EA上截取EN=ED,連接NF,先證△NEF三△DEF(SAS),根據(jù)等量代換，^FEA=AFAE,

^FAE=^FED,得出△AFNsaEMD,對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而求解.

【詳解】(1)解：/-BAF=/.DBF,

證明：???”FE是aABF的外角，

：.A.AFE=乙ABF+Z-BAF,

又?:(ABD=乙ABF+乙EBC,^AFE=乙ABD,

：.Z-BAF=乙DBF；

(2)證明：如圖1,在BE上截取BG=/F,連接DG,

圖1

在△BGO和中，

(BD=AB

{Z.GBD=乙BAF,

(BG=AF

△BGD=△ZFB(SAS),

BGD=CAFB,DG=BF,

-BG=AF,FA=FE,

.-.BG=FE,

???BG-GF=FE-GF,

；.BF=GE,

??.DG=GE,

：.Z.GDE=/-GED,

"BGD=Z-GDE+乙GED=2Z.GED,

'.tFA=FE,

.,.Z.FAE=Z.FEA,

：,Z-AFB=Z.FAE+Z.FEA=2/-FEA,

X-Z.AFB=Z.BGD,

：.Z-FEA=Z.GED,

=乙BED；

(3)解：如圖2,在瓦4上截取EN=ED,連接NF,

圖2

在△NEF和△DEF中,

EN=ED

乙NEF=乙DEF,

EF=EF

△NEF=△DEF(SAS),

"ENF=乙EDF,

-Z.EDM+乙EDF=180°,"NF+乙ENF=180°,

"ANF=乙EDM,

,-'FA=FE,

.\Z-FEA=Z.FAE,

：.Z-FAE=乙FED,

MAFN?AEMD,

AF_AN

,?麗—訪'

AN=AE-EN=AE-DE=kDE—DE=(k-1)DE,

AFAN(k-l)ED.4

而，=~^=kT

嚏為"L

3.（2023?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【操作發(fā)現(xiàn)】

甲、乙兩位同學(xué)對(duì)"三角形中的中點(diǎn)問題”進(jìn)行了討論，過程如下:

如圖1,在aABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊4B上一點(diǎn),連接

ED.

甲同學(xué)；延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F,使DF=DE,連接CF,如圖2所示.

???D是BC的中點(diǎn)，:.BD=CD.

X???DE=DF,乙BDE=LCDF,：./\BDE=ACDF.(依據(jù)1：_)

乙同學(xué)；過點(diǎn)C作48的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖3所示.

VCFWAB,乙B=^DCF.

又?：BD=CD,乙BDE=2CDF,△CDF.(依據(jù)2：_)

(2)如圖4,在四邊形48CD中，ADWBC,E是DC的中點(diǎn)，連接ZE,BE,4E平分ZBAD,請(qǐng)根據(jù)(1)中

的方法，判斷線段4。，AB,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖4

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖5,在中，乙4cB=90。，4B=5,BC=3,以A為頂點(diǎn)作Rt△4DE,使乙4DE=90。，

^EAD=^CAB,AD=2,連接BE,F為線段BE的中點(diǎn).將△4DE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DEIIBC時(shí)，請(qǐng)

直接寫出線段CF的長(zhǎng).

圖5

【答案】(1)SAS,ASA；(2)AB=BC+AD,見解析；(3)線段CF的長(zhǎng)為1.25或3.75

【分析】(1)解讀證明過程，即可知道依據(jù)1是SAS；依據(jù)2是ASA,進(jìn)行作答即可.

(2)方法一：延長(zhǎng)4E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,通過AAS證明△力DE三aFCE,結(jié)合角平分線的性質(zhì)以及

線段的等量代換，即可作答；方法二：延長(zhǎng)4E至點(diǎn)F,使EF=4E,連接CF,通過SAS證明△40E三

△FCE,結(jié)合角平分線的性質(zhì)以及線段的等量代換，即可作答；

(3)當(dāng)DEIIBC時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)。在線段4c上時(shí)，延長(zhǎng)ED交2B于點(diǎn)G,連接FG,可得此時(shí)

點(diǎn)G在2B的中點(diǎn)處，②當(dāng)點(diǎn)。在C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF和DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,運(yùn)用相似三角形的判定

與性質(zhì)，得出線段之間的關(guān)系，結(jié)合勾股定理代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：⑴SAS,ASA.

(2)AB=BC+AD.

理由如下：

方法一：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如解圖1所示.

圖1

???E是DC的中點(diǎn)，

??.DE=CE.

??,AD\\BCf

???/-DAE=ZF.

又vAAED=乙FEC,

ADE=△FCE(AAS).

???AD=FC.

???ZE平分乙8他

???Z-DAE=Z-BAE.

又vZ-DAE=乙F,

???Z.BAE=zF.

:.AB=BF.

?.AB=BC+CF=BC+AD.

方法二：延長(zhǎng)/E至點(diǎn)F,使EF=/E,連接CF,如解圖2所示.

AD

圖2

???E是DC的中點(diǎn),

??.DE=CE.

XvAE=FE,乙AED=^FEC,

.-.△i4DE=AFCE(SAS).

AD=FC,Z.D=Z.ECF,Z-DAE=zF.

???ADWBC,

/.AD+ABCD=180°.

ZECF+ZBC/)=18O°,即8,C,F三點(diǎn)共線.

???AE平分/BAD,

Z-DAE=Z-BAE.

又Z-DAE=乙F,

Z-BAE=Z-F.

??.AB=BF.

??.AB=BC+CF=BC+AD.

(3)當(dāng)DEIIBC時(shí)，分兩種情況討論:

①當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,連接FG

?.?在RS4CB中，AACB=90°,AB=5,BC=3

??AC=V25—9=4

-DEWBC

：.DG\\BC

AD_AG2_AG

''~AC~~AB94-"T

即4G=|=SB

此時(shí)點(diǎn)G在48的中點(diǎn)處，

如圖3所示.

則DG=y/AG2-AD2=1.5

?：Z-EAD=Z-CAB

.-.tanzETlD=tanZ,CAB,整=會(huì)

.-.ED=1.5

.-.EG=ED+DG=3=CB

-DGWBC

??.△GEF=乙CBF

圖3

?；EF=BF,

??.△CFB=△GFE,

：,/LEFG=乙BFC

MBFC+乙EFC=180°

??."FG+(EFC=180°

???點(diǎn)C、F、G在同一直線上,

；.CB=GE=3,CF=GF.

v^LACB=90°,48=5,BC=3,

??.AC=4.

XvAEAD=ACAB,AADE=Z.ACB=90°

.??△/EO?△ABC.

???ED:BC=AD-.AC.

又「AD=2,

ED=1.5.

在RtZkCOG中，CD=AC-AD=4-2=2fDG=EG-ED=3-1.5=1.5,

...CG=V22+1.52=2.5.

CF=GF=|CG=1.25.

②當(dāng)點(diǎn)D在C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF和DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,

如圖4所示.同理，在RtZXCDG中，。。=4。+4。=4+2=6,DG=EG+ED=3+1.5=4.5,

CG=V624-4.52=7.5.

...CF=G?=#G=3.75.

綜上所述，當(dāng)DEIIBC時(shí)，線段CF的長(zhǎng)為1.25或3.75.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難

度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

題型三：相似三角形的?？寄Ｐ?/p>

加AX鶻典例.

1.(2023?吉林長(zhǎng)春?中考真題)如圖①.在矩形2BCD.AB=3,AD=5,點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EB—B4—AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作NPEQ=90。，EQ交邊40或邊OC

于點(diǎn)Q，連續(xù)PQ.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(t>0)

圖①圖②

(1)當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)為；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)。重合時(shí)，求tan/PQE；

⑶當(dāng)點(diǎn)P在邊4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形.如圖②.請(qǐng)說明理由；

⑷作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F,連接PF、QF,當(dāng)四邊形EPFQ和矩形48CD重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形

時(shí)，直接寫出t的取值范圍.

【答案】(1)任

(2)1

⑶見解析

(4)0<t<上磬或t=*或t=7

【分析】(1)證明四邊形ABEQ是矩形，進(jìn)而在QBE中，勾股定理即可求解.

PFRF9

(2)證明得出tan"QE=0=今=g

UcCU5

(3)過點(diǎn)P作PH1BC于點(diǎn)H,證明△PHE三ZXECQ得出PE=QE,即可得出結(jié)論

(4)分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在BE上時(shí)，②當(dāng)P點(diǎn)在2B上時(shí)，當(dāng)F,4重合時(shí)符合題意，此時(shí)

如圖，③當(dāng)點(diǎn)P在力。上，當(dāng)月。重合時(shí)，此時(shí)Q與點(diǎn)C重合，貝UPFQE是正方形，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接8Q,

AQD

L_______□_____________

B(P)EC

圖①

?.?四邊形4BCD是矩形

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