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文檔簡介
等積模型-三角形中的重要模型2025中考
數(shù)學專項復習含答案
三角形中的重要模型一等積模型
三角形的面積問題在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位,等積變形是中學幾何里面一個非常重要的思
想,下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的,也是學生必須掌握的一塊內容。本專題就三角形
中的等積模型(蝴蝶(風箏)模型,燕尾模型,鳥頭模型,沙漏模型,金字塔模型)進行梳理及對應試題分析,方便
掌握。
模型1.等積變換基礎模型
1)等底等高的兩個三角形面積相等;
如圖1,當AB〃則S.D=S的D;反之,如果Ss=Sbb,則可知直線AB〃CD。
2)兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比。
如圖2,當點。是BC邊上的動點時,則5刖:S^DC=BD:DC。
如圖3,當點。是BC邊上的動點,BEVAD,CF±AD時,則S△迎:S△皿=BE:CF。
網(wǎng)]1(山東省臨沂市2023—2024學年八年級月考)如圖,是△ABC邊AC的中線,點E在BC上,BE=
的面積是3,則△BED的面積是()
四2(河北省石家莊市2023-2024學年八年級月考)如圖,是AABC的邊AC上的中線,AE是4ABD
的邊上的中線,是△ABE的邊AE上的中線,若△ABC的面積是32,則陰影部分的面積是
()
廁3(湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學年八年級月考)如圖,點G為△ABC的重心,D,E,F分別為BC,
CA,AB的中點,具有性質:AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2:1.已知A4FG的面積為2,則^ABC的面
積為.
94(浙江省杭州市2023-2024學年八年級上學期10月月考數(shù)學試題)如圖,CD是△ABC的一條中線,E
為邊上一點且BE=2CE,AE、CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6,則/XABC的面積是.
題5(2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中)基本性質:三角形中線等分三角形的面積.
如圖1,AD是ZVIB。邊3。上的中線,則S△施=SMCD=yS^c.
理由:因為AD是ZVIBC邊BC上的中線,所以BO=CD
又因為~^~BDxAH,S&ACD=/CDXAH,所以S^ABD=S^ACD=^^^ABC-
所以三角形中線等分三角形的面積.
基本應用:
在如圖2至圖4中,△ABC的面積為a.
A
(圖1)
?M
E.
(圖4)(圖5)
⑴如圖2,延長4ABC的邊BC到點。,使CD=BC,連接DA.若AACD的面積為S,則S1=
(用含a的代數(shù)式表示);
⑵如圖3,延長&ABC的邊BC到點。,延長邊C4到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若
△DEC的面積為52,則SF(用含a的代數(shù)式表示);
⑶在圖3的基礎上延長AB到點F,使,連接FD,FE,得到△QEF(如圖4).若陰影部分的面
積為S3,則$3=(用含a的代數(shù)式表示);
拓展應用:
⑷如圖5,點。是△ABC的邊BC上任意一點,點E,F分別是線段40,。£的中點,且4ABC的面積為
8a,則△BEF的面積為一(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由.
網(wǎng)]6(2023春?上海?九年級期中)解答下列各題
(1)如圖1,已知直線館〃n,點在直線外上,點C、P在直線M上,當點P在直線館上移動時,總有
與△ABC的面積相等.
圖1
E
(2)解答下題.①如圖2,在4ABC中,已知BC=6,且BC邊上的高為5,若過。作CE//AB,連接AE,
BE,則的面積為.
②如圖3,三點在同一直線上,力。,垂足為X.若AC=4,BH=,夏,乙
=60°,/3=/05干=60°,求4人質的面積.
(3)如圖4,在四邊形ABCD中,AB與CD不平行,48#CD,且S^BC<過點A畫一條直線平分
四邊形ABCD的面積(簡單說明理由).
?M
模型2.蝴蝶(風箏)模型
蝴蝶模型(定理)提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊
形的面積關系與四邊形內的三角形相聯(lián)系;另一方面,也可以得到與面積對應的對角線的比例關系。
蝴蝶定理:任意四邊形中的比例關系
如圖1,結論:①&:&=或SxS3=S2X&;②AO-.OC=(&+S?):(S4+S3)。
梯形蝴蝶定理:梯形中比例關系
22
如圖2,結論:①8:8=a:&;②S1:S3:S2:S4=^-.ab-.ab;③梯形S的對應份數(shù)為(a+b):
回工在四邊形ABCD中,4。和互相垂直并相交于O點,四個小三角形的面積如圖所示.則陰影部分三
角形BOO的面積為.
網(wǎng)]8如圖,SMCB=24平方厘米,S&ACD=16平方厘米,S^ABD=25平方厘米,則SACOB為平方厘米。
題9如下圖,梯形ABCD的AB平行于CD,對角線AC,BD交于。,已知A4OB與ABOC的面積分別為25
平方厘米與35平方厘米,那么梯形ABCD的面積是平方厘米.
網(wǎng)]10如圖,梯形ABCD中,AAOB、XCOD的面積分別為1.2和2.7,則梯形ABCD的面積為
B
血]11梯形ABCD中,對角線交于點O,垂直AC,并且已知40=6厘米,BO=10厘米,則三
角形。OC的面積是平方厘米。
網(wǎng)]12圖中大平行四邊形被分成若干小塊,其中四塊的面積已經(jīng)標出,則中間的四邊形GQHS的面積為
模型3.藕尾(定理)模型
條件:如圖,在△ABC中,E分別是8。上的點,G在AE上一點,結論:S〕S尸S3:S4=Sy+S^+S^BE-
EC。
血]13如圖,A4B。中,M、N分別是BC、AC邊上的三等分點,411、BN相交于點。,已知△BOM的面積
為2,則四邊形MCNO的面積為o
刷14(2023.山東?八年級專題練習)如圖,在AABC中,己知點P、Q分別在邊AC.BC上,BP與AQ相交于
點。,若△3。?、4480、人4。0的面積分別為1、2、3,則饃Q。的面積為()
A.22B.22.5C.23D.23.5
廁15如下圖,三角形ABC中,AF-.FB=BD:DC=CE-.AE=3:2,且三角形GHI的面積是1,則三角形ABC
的面積為______.
BDC
血]16(2023江蘇淮安九年級月考)已知△ABC的面積是60,請完成下列問題
⑴如圖1,若AD是4ABC的邊上的中線,則4ABD的面積△ACD的面積.(填
“二”)
⑵如圖2,若CD、跳;分別是△ABC的48、AC邊上的中線,求四邊形ADOE的面積可以用如下方法,
連接40,由AD—DB得:SMDO=S^BDO,問理:^/\CEO~S^EO,設^^ADO~X,^^CEO~V,則^^BDO~X,
S^AEO=V由題意得:SAABE=30,S,AADC~9AABC=30,可列方程組為:,解得
22{x-r2y=3U
,則可得四邊形ADOE的面積為.(3)如圖3,AD-.DB=1:3,CE:AE=1:2,則四邊形
ADOE的面積為.(4)如圖4,。,F(xiàn)是AB的三等分點,夙G是CA的三等分點,CD與BE交于
。,且S0BC=60,則四邊形ADOE的面積為.
模型4.鳥頭定理(A共角定理)模型D
A,以
圖1圖2
共角三角形:兩個三角形中有一個角相等或互補,這兩個三角形叫做共角三角形。
共角定理:共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比。
如圖,在△48。中,分別是上的點(如圖1)或。在A4的延長線上,E在47上(如圖2),則隈BO:
S^E=(ABxACy.(ADxAE)
血]17如圖,在三角形ABC中,D、E是45,4。上得點,且40:45=2:5,4£;:47=4:7,三角形4DE的面
積是16平方厘米,則ABC的面積為。
血]18(2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考階段練習)閱讀理解
如果兩個三角形中有一組對應角相等或互補,那么這兩個三角形叫做共角三角形,共角三角形的面積比
等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比,?M
^AADE_AD?AE
例:在圖1中,點O,E分別在48和上,/\ADE和4ABe是共角三角形,則
SAAB。AB,AC
證明:分別過點E,。作EG,AB于點G,CF,AB于點F,得到圖2,
AAGE=AAFC,又/A=/A,4GAE?AFAC,祟=倏
CFAC
▽..S4AB固彳入。,EGS^ADEAD■EG_ADAE即S△他石_ADAE
AB-CF~~AB'~ACS-AB,AC
S^ABCyAB-CFS拄BCAABC
任務:(1)如圖3,已知ABAC+/DAE=180°,請你參照材料的證明方法,求證:等些=絲>,空
,△ABCAU?AC
⑵在(1)的條件下,若年跡=白需=;,AB=9,則AE=
^△ABC。AC4
曲19(2023?重慶?九年級專題練習)問題提出:如圖1,。、E分別在△ABO的邊AB、AC上,連接DE,已知線
段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d,則S^ADE,S^ABC和a,b,c,d之間會有怎樣的數(shù)量關系呢?
圖1
問題解決:探究一:(1)看到這個問題后,我們可以考慮先從特例入手,找出其中的規(guī)律.如圖2,若。石〃
???
BC,則AADE=,且/A=/A,所以4ADE?/\ABC,可得比例式:-^―=上;而根據(jù)相似三角
a+bc+d
形面積之比等于相似比的平方.可得各出=/02、2-根據(jù)上述這兩個式子,可以推出:魯跑=
b^ABC(a+b)b2ABe
a2_a_____a_a_____c_______ac_____
(a+6)2a+ba+ba+bc+d(a+b)(c+d)
(2)如圖3,若/AO石=NC,上述結論還成立嗎?若成立,請寫出證明過程;著不成立,請說明理由.
探究二:回到最初的問題,若圖1中沒有相似的條件,是否仍存在結論:各里=-_等--?方法回
S^ABC(a+b)(c+d)
顧:兩個三角形面積之比,不僅可以在相似的條件下求得,當兩個三角形的底成高具有一定的關系時,也可
-
Q春BD,AHD7)
以解決.如圖4,。在△45。的邊上,做于H,可得:當跡=^--------=黑.借用這個
5盤。。如C?AHDC
結論,請你解決最初的問題.
延伸探究:⑴如圖5,。、E分別在△ABC的邊AB,AC反向延長線上,連接DE,已知線段AD^a,AB
=b,AE=c,AC=d,則差迪=.(2)如圖6,E在△48。的邊AC上,。在4B反向延長線上,
、叢ABC
連接_DE,已知線段40=a,AB—b,AE—c,AC—d,^ADE=.
b4ABe
結論應用:如圖7,在平行四邊形ABCD中,6是右。邊上的中點,延長GA到E,連接OE交歷1的延長線
于F,若AB=5,4G=4,AE=2,UABCD的面積為30,則4AEF的面積是.
模型5.金字塔與沙漏模型
金字塔模型沙漏模型
條件.①4Q=Ag=DE22
殺件?①ABACBC;②SLADE:S/\ABC=AF:AGO
回致(2023秋?遼寧沈陽?九年級??茧A段練習)如圖,已知點ZXE分別是46、AC邊上的點,且△4。石?
△48。,面積比為1:9,交。后于點尸.則AF\4G=()
A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1
網(wǎng)]21(2023?福建龍巖.九年級??茧A段練習)如圖,A4BC中,BE與CD相交于點F.如果OF:
血]22(2023?江蘇?模擬預測)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,A,B,C,D是網(wǎng)格線交點,AC與相交于點
。,則△48。的面積與△8。的面積的比為()
C.1:4D.72:4
血]23(2023春?北京海淀?九年級??奸_學考試)如圖,△ABC是等邊三角形,被一矩形所截,AB被截成三等
分,EH7/BC,若圖中陰影部分的面積是6,則四邊形BCGF的面積為()
A.8B.9C.10D.11
題24(2023?遼寧?九年級??计谥校┤鐖D,EB為駕駛員的盲區(qū),駕駛員的眼睛點P處與地面BE的距離為L6
米,車頭FACD可近似看成一個矩形,且滿3ED=2FA,盲區(qū)EB的長度是6米,車寬艮4的長度為
__米.
10
的25(2023?四川成都?九年級成都實外??计谥校┤鐖D,△ABC中,點PQ分別在AB,上,且PQ〃BC,
PAILBC于點M,QN_LBC于點、N,4D,BC于點。,交PQ于點E,且4D:BC=2:3,連接,若
△ABC的面積等于75,則MQ的最小值為.
翻126(2022秋?河南鄭州?九年級??计谥校┤鐖D,矩形EFGH內接于△ABC(矩形各頂點在三角形邊上),E,
F在G分別在AB,AC上,且于點。,交HG于點N.
(1)求證:LAHG?△480(2)若AD=3,BO=9,設r,則當必取何值時,矩形EFGH的面積最大?
最大面積是多少?
課后專項訓練
頷目工(2023山西八年級期末)如圖在△AB。中,D、E分別是邊BC、AD的中點.CF=[EF,S,C=
12cm2,則圖中陰影部分的面積為()
A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2
題目②(2023?江蘇揚州?八年級校聯(lián)考期末)如圖,一個矩形分成4個不同的三角形,綠色三角形面積占矩形
面積的15%,黃色三角形面積是21平方厘米,則矩形面積為平方厘米.
?M
題目包(2023安徽蕪湖八年級期中)如圖,在△ABC中,D,E,F分別是BC,AD,CE的中點,且5百0=
8cm2,貝ljS陰影=-
題目@(浙江省杭州2023-2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題)如圖,CD是△ABC的一條中線,
E為BO邊上一點且BE=2CE,AE.CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6,則/\ABC的面積是
題目回(廣東省寶安區(qū)文匯學校2023-2023學年九年級上學期月考數(shù)學試題)如圖,AABC的面積為
40cm2,DE=2AE,CD=3BD,則四邊形BDEF的面積等于cm2.
題目工如圖,在&ABC中,已知M、N分別在邊AC.上,BM與AN相交于O,若AABO和
△RON的面積分別是3、2、1,則的面積是.
題目區(qū)四邊形ABCD的對角線AC與交于點0(如圖所示)。如果三角形ABD的面積等于三角形
BCD的面積的2,且40=2,。。=3,那么8的長度是。。的長度的倍。
O
D
3
BCB
題目10如圖,△ABC三邊的中線AD,BE,。歹的公共點為G,且AG:GO=2:1,若反43c=12,則圖中陰
影部分的面積是.
題目兀如圖,三角形ABC的面積是LE是4。的中點,點。在BC上,且80:00=1:2,AD與BE交于
點F.則四邊形DFEC的面積等于.
【題目兀(2023春?北京西城?七年級??计谥校╅喿x與理解:
三角形的中線的性質:三角形的中線等分三角形的面積,即如圖1,AD是AABC中BC邊上的中線,則
SAABO=SA48=~^S^ABC.
理由:;BD=CD,:.SRABD=^BDxAH=^CDxAH=S^ACD=京.,
即:等底同高的三角形面積相等.
操作與探索:在如圖2至圖4中,AAB。的面積為a.
⑴如圖2,延長AABC的邊到點。,使CD=B。,連接DA.若XACD的面積為Si,則S產(chǎn)(用
含a的代數(shù)式表示);
⑵如圖3,延長XABC的邊BC到點D,延長邊CA到點H,使CD=,AE=CA,連接DE.若LDEC
的面積為S2,則$2=(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由;
⑶在圖3的基礎上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,FE,得到ADEF(如圖4).若陰影部分的面積
為S3,則$3=;(用含a的代數(shù)式表示)
13
拓展與應用:⑷如圖5,已知四邊形ABCD的面積是a,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D4的中點,連
接EG交于點求圖中陰影部分的面積?
題目電(2022秋?陜西西安?七年級西安益新中學??计谥校┨剿?在圖1至圖3中,已知△ABC的面積為a,
yng
(1)如圖1,延長△ABC的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA.若AACD的面積為S、,則S產(chǎn).(用
含a的代數(shù)式表示)
(2)如圖2,延長AABC的邊到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE,若4DEC
的面積為S2,則$2=.(用含a的代數(shù)式表示)
⑶在圖2的基礎上延長AB到點F,使=AB,連接FD,FE,得到ADEF(如圖)若陰影部分的面積為
S3,則S3=.(用含a的代數(shù)式表示)
(4)發(fā)現(xiàn):像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連接所得端點,得到ADEF(如圖3),此時,我們稱
△4BC向外擴展了一次.可以發(fā)現(xiàn),擴展一次后得到的的面積是原來△ABC面積的倍.
(5)應用:要在一塊足夠大的空地上栽種花卉,工程人員進行了如下的圖案設計:首先在的空地上種
紅花,然后將△ABC向外擴展三次(圖4已給出了前兩次擴展的圖案).在第一次擴展區(qū)域內種黃花,第二
次擴展區(qū)域內種紫花,第三次擴展區(qū)域內種藍花.如果種紅花的區(qū)域(即△ABC的面積是10平方米,請你
運用上述結論求出:①種紫花的區(qū)域的面積;②種藍花的區(qū)域的面積.
I題目叵(2022?河南鄭州???级#┬∶靼l(fā)現(xiàn),若一個三角形中,中線的存在會和三角形的面積有一定的關
系.
如圖1,△ABC中,CD為AB邊的中線,可得AD=,過點。作CM,AB于M■,則S^=yAD-CM
^-BD-CM^SABDC
圖1
在持續(xù)研究中,小明發(fā)現(xiàn),這個研究可以運用到很多問題解決中,請你幫助小明完成下列任務:
⑴如圖2,矩形ABCD中,點分別為CD,4B上的動點,且=⑷W■與。N交于點E.連接
CE.①判斷△。力E與△。兒石的面積關系;②若AD=3,AB=4,當點河為CD的中點時,求四邊形
BCEN的面積;⑵△4BC中,乙4=30°,AB=6,點。為4B的中點,連接CD,將△ACD沿CD折疊,點
A的對應點為點E,若岫CD與ZVIB。重合部分的面積為ZVIB。面積的[,直接寫出△ABC的面積.
題目口&〕(2022秋?浙江?九年級專題練習)如圖1,點。將線段AB分成兩部分,如果需=整,那么稱點C
TTLO
為線段AB的黃金分割點.
某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直
線I將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S,S2,如果粵=年,那么稱直線I為該圖
形的黃金分割線.
.一/,//~「7c
-D\ii'?///
4CADBADKBAgB
圖1圖2圖§圖4
(1)研究小組猜想:在△ABC中,若點。為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分
割線.你認為對嗎?為什么?
(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?
(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn):過點。任作一條直線交AB于點E,再過點。作直線。F〃CE,交AC
于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是4ABC的黃金分割線.請你說明理由.
(4)如圖4,點E是DABCD的邊AB的黃金分割點,過點E作EF〃AD,交OC于點F,顯然直線EF是
DABCD的黃金分割線.請你畫一條口ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過LJABCD各邊黃金分割點.
短目匡〕(2023春?江蘇南京?七年級??茧A段練習)【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線,角平分線,高是三角形的重要
線段,同時,我們知道,三角形的3條高所在直線交于同一點.
(1)①如圖1,/\ABC中,/A=90°,則A4BC的三條高所在直線交于點;
②如圖2,A4BC中,力。>90°,已知兩條高BE、AO,請你僅用一把無刻度的直尺(僅用于過任意兩點
作直線、連接任意兩點、延長任意線段)畫出AABC的第三條高.(不寫畫法,保留作圖痕跡)
【綜合應用】(2)如圖3,在4ABC中,AABOZC,AD平分/A4C,過點B作BE_LAD于點E.
①若/ABC=80°,/。=30°,則NEBD=:②請寫出NEBD與/ABC,/C之間的數(shù)量關系
,并說明理由.
【拓展延伸】(3)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,如果兩個三角形的高相同,則它們的面積
比等于對應底邊的比.如圖4,△48。中,河是上一點,則有空空嗎理13=碧.如圖5,△48。
△ACM的面積CM
中,河是BC上一點,且是AC的中點,若△ABC的面積是m,請直接寫出四邊形CMDN
O
的面積.(用含小的代數(shù)式表示)
161(2023春?江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期末)【問題情境】
蘇科版數(shù)學課本七年級下冊上有這樣一道題:如圖1,AD是AABC的中線,△ABC與△ABD的面積有怎
樣的數(shù)量關系?
小旭同學在圖1中作8。邊上的高4E,根據(jù)中線的定義可知BD=CD.又因為高AE相同,所以S△迎=
SMOD,于是△也.據(jù)此可得結論:三角形的一條中線平分該三角形的面積.
【深入探究】(1)如圖2,點。在△ABC的邊BC上,點P在AD上.
①若AD是4ABC的中線,求證:SAAPB=S^APC;②若BD=3DC,則.
【拓展延伸】⑵如圖3,分別延長四邊形ABCD的各邊,使得點A、B、C、D分別為DH、AE,BF、CG的
中點,依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH.
①求證:S^HDG+SAFBE~2s四邊形ABC。;②右S四邊形488=3,貝!JS四邊形石尸GH=,
「題目亙(2023秋,廣西柳州?八年級校考開學考試)閱讀下面資料:
16
小明遇到這樣一個問題:如圖1,對面積為a的△ABC逐次進行以下操作:分別延長AB,BC、CA至4、
5、CL使得A.B=2AB,BC=2BC,CIA=2cA,順次連接4、5,得到△4B1G,記其面積為S、,
求Si的值.
小明是這樣思考和解決這個問題的:如圖2,連接AQ、,因為AXB=2AB,BQ=2BC,C.A=
2CA,根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比,所以SAA、BC=S&B、CA=SAA、BC=S&GAB=2s△48。=2a,由此
繼續(xù)推理,從而解決了這個問題.(1)直接寫出S尸(用含字母a的式子表示).
請參考小明同學思考問題的方法,解決下列問題:
⑵如圖3,P為4ABC內一點,連接AP.BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點。、E、尸,則把
△ABC分成六個小三角形,其中四個小三角形面積已在圖上標明,求&ABC的面積.
⑶如圖4,若點P為LABC的邊AB上的中線CF的中點,求S“PE與S^BPF的比值.
[題目逗(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模)⑴如圖1,△ABC中,。是BC邊上一點,則△48。與ZVID。有一個相
同的高,它們的面積之比等于相應的底之比,記為年迺=袈(4480、△4。。的面積分別用$送5。、
^AADCDU
SAADC表示).現(xiàn)有BD=:BC,則S&ABD:S^ADC=_;
O
(2)如圖2,△ABC中,E、F分別是BC、AC邊上一點,且有BE:EC=1:2,AF:FC=1:1,AE與BF相
交于點G、現(xiàn)作EH〃BF交AC于點H、依次求FH:HC、AG:GE、BG:GF的值;
(3)如圖3,△ABC中,點P在邊AB上,點M、N在邊力。上,且有AP=PB,AM=MN=NC,BM.BN
與CP分別相交于點R、Q,現(xiàn)已知△48。的面積為1,求ABRQ的面積.
圖1圖2圖3
、題目包(2023?四川成都?八年級統(tǒng)考期末)如圖,已知正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊上,頂點D
G分別在邊上,于H.BC=15,AH=10.求正方形OEFG的邊長和面積.
17
A
題目R(2023?廣東九年級校考課時練習)已知:如圖,■是AB邊的三等分點,EF〃的V〃BC.求:
△AEF的面積:四邊形EMNF的面積:四邊形MBCN的面積.
題目衛(wèi)(2023?河南信陽?九年級統(tǒng)考期末)將一副直角三角板按右圖疊放.
(1)證明:A4OB?/\COD;(2)求△AOB與4DOC的面積之比.
BC
三角形中的重要模型-等積模型
三角形的面積問題在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位,等積變形是中學幾何里面一個非常重要的思
想,下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的,也是學生必須掌握的一塊內容。本專題就三角形
中的等積模型(蝴蝶(風箏)模型,燕尾模型,鳥頭模型,沙漏模型,金字塔模型)進行梳理及對應試題分析,方便
掌握。
模型1.等積變換基礎模型
1)等底等高的兩個三角形面積相等;
如圖1,當AB〃,則S9=S的D;反之,如果S^ACD=S^CD,則可知直線ABHCD.
2)兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比。
如圖2,當點。是BC邊上的動點時,則5刖:S^DC=BD:DC。
如圖3,當點。是BC邊上的動點,BEVAD,CF±AD時,則S△迎:S△皿=BE:CF。
(山東省臨沂市2023—2024學年八年級月考)如圖,是△ABC邊AC的中線,點E在BC上,BE=
1■EC,△ABD的面積是3,則△BED的面積是()
【答案】。
【分析】利用三角形面積公式,等高的三角形的面積比等于底邊的比,由此利用已知條件可以分別求出
S^BDC、S/^BED.
【詳解】解:???瓦?是△ABC邊AC的中線,△46。的面積是3,3,
,?*BE—-^-EC,S^BED—1,故選:D.
/o
【點睛】本題考查了三角形面積:三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半;三角形的中線將三角形分
成面積相等的兩部分.
四2(河北省石家莊市2023-2024學年八年級月考)如圖,6。是的邊AC上的中線,AE是4ABD
的邊上的中線,是△ABE的邊AE上的中線,若△ABC的面積是32,則陰影部分的面積是
()?M
A
C.18D.20
【答案】B
【分析】利用中線等分三角形的面積進行求解即可.
【詳解】解::BD是AABC的邊4。上的中線,??.S.BD=S^CD=1X32=16,
,?*是叢ABD的邊BD上的中線,S^^BE—SAM)E=~^^/\ABD=X16=8,
又???BF是△ABE的邊上的中線,則CF是△ACE的邊AE上的中線,
=
??S岫EF=^^ABF~qS/^ABE1X8=4,S^CEF=S.CF=S^DE—S^CED=5S.CE=8,
則S陰影=S^EF+SACEF=4+8=12,故選:B.
【點睛】本題考查了中線的性質,清晰明確三角形之間的等量關系,進行等量代換是解題的關鍵.
四3(湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學年八年級月考)如圖,點G為△ABC的重心,。,E,F分別為BC,
CA,AB的中點,具有性質:AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:L已知△AFG的面積為2,則AAB。的面
積為.
【分析】根據(jù)高相等的兩個三角形的面積之比等于底之比可得答案.
【詳解】解:???CG:GF=2:1,A4FG的面積為2,
.?.△ACG的面積為4,.?.△4。斤的面積為2+4=6,
?.?點F為AB的中點,,/XACF的面積=△BCF的面積,
.?.△ABC的面積為6+6=12,故答案為:12.
【點睛】本題主要考查了三角形的重心,三角形的面積等知識,熟練掌握高相等的兩個三角形的面積之比
等于底之比是解題的關鍵.
廁4(浙江省杭州市2023-2024學年八年級上學期10月月考數(shù)學試題)如圖,CD是△ABC的一條中線,E
為BC邊上一點且BE=2CE,AE、CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6,則AABC的面積是.
?M
【答案】14.4
【分析】連接BF,設S^DF=a,則SXBEF=6-a,根據(jù)CD為AB邊上中線,可得S^DF=S^DF=a,SgDc
iiio
=W'S最BC;根據(jù)BE=2CE,可得S^c=~Z'S^B——(6—a),5a4郎=.進而,$小a7的面積可表
ZiEFZiEFZio
示為2sAsDC和yS^BE,由此建立方程18-a=+9,解出a的值即可得到△ABC的面積.
【詳解】解:連接BF,如圖所示:設S^DF=a,則SABEF=6—a,
CD為AB邊上中線,SAADF^5刖=a,SgDC=gs4ABe?
119
BE=2CE,SACEF=}SgEF=1(6—a),SAABE=mS4ABe?
??S》BC=2sAsoc=21a+(6—a)a+-^~(6—Q)]=18—Q,
=
S^ABCy<5AASB=y(2a+6—a)=-|-a+9,
即18—a=+9.解得:a—3.6.二$4^0=18—a=18—3.6=14.4,故答案為:14.4.
【點睛】本題考查了三角形面積的計算,關鍵是利用同底等高的三角形面積相等、等高不同底的三角形面
積比為底之比來表示出三角形面積,進而使用方程思想解決問題.
血]5(2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中)基本性質:三角形中線等分三角形的面積.
如圖1,AD是△ABC邊上的中線,則S△謝=53=0外的.
理由:因為4D是△48。邊上的中線,所以BD=CD
又因為SMBD=}BDxAH,S^ACD——CDXAH,所以S^BD—S0°D=~^^^ABC-
所以三角形中線等分三角形的面積.
基本應用:
在如圖2至圖4中,△48。的面積為a.
?M
E,
A
(圖4)(圖5)
⑴如圖2,延長4ABC的邊BC到點。,使CD=BC,連接DA.若AACD的面積為S,則S1=
(用含a的代數(shù)式表示);
⑵如圖3,延長△48。的邊BC到點。,延長邊C4到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若
△DEC的面積為$2,則$2=(用含a的代數(shù)式表示);
⑶在圖3的基礎上延長AB到點F,使BF=,連接FD,FE,得到ADEF(如圖4).若陰影部分的面
積為S3,則$3=(用含a的代數(shù)式表示);
拓展應用:
(4)如圖5,點。是△ABC的邊BC上任意一點,點E,F分別是線段40,?!甑闹悬c,且4ABC的面積為
8a,則△BEF的面積為一(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由.
【答案】(l)a(2)2a(3)6a(4)2a,見解析
【分析】(1)直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案;
⑵連接AD,運用”等底同高的三角形面積相等”得出S莊CD=2SQABC,即可得解;
⑶由⑵結論即可得出SSMSAEOD+SAEFA+SAB即,從而得解;
(4)點石是線段4D的中點,可得S/RDE,S/X£)CE.S八"^"S八ARC?點F是線段CE的中
點,可得S^BEF=SgcF=;S^BCE?從而可得答案.
【詳解】(1)解:如圖2,???延長的邊石。到點、D,使CD=BC,
AC為△ABD的中線,,SAACD=SMBC即S、=a;
(2)如圖3,連接AD,
???延長△ABC的邊BC到點。,延長邊C4到點E,使CD=BC,AE=CA,
7
S^ACD—SA^£;D=}S^ECD,SAZ(7D=^LABC,S^ECD^2sA^5。=2a,艮IS2—2a;
⑶由⑵得SXECD=2S\,c=2Q,
==
同理:S.FL2SbABC=2a,S^ECD—S^FD2a,S^S.CD+S的?A+6a;
⑷SABEF=2a,理由如下:理由:?.?點E是線段AD的中點,
S&ABE=SABDE,S^ACE=Sy)cE,?'?Sg°E=
"點是線段CE的中點,,SABEF
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