2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓的重難點(diǎn)模型匯編（二）（四大題型）含答案

2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)圓的重難點(diǎn)模型匯編（二）（四

大題型）含答案

圓的重難點(diǎn)模型匯編（二）

【題型01：點(diǎn)圓最值問題】

【題型02:定弦定角】

【題型03：四點(diǎn)共圓】

【題型04：瓜豆原理】

（考點(diǎn)精講）

【題型01：點(diǎn)圓最值問題】

1.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，入點(diǎn)坐標(biāo)為（—4,—3）,04的半徑為1,P為/軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切04

于點(diǎn)Q,則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-4,0）B.（-5,0）C.（一4,0）或（一5,0）D.（-3,0）

2.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一動(dòng)點(diǎn),連接將△ABF沿BF

翻折得到△GBF,連接GE.當(dāng)GE的長最小時(shí)，DF的長為（）

A.2V5-2B.2V5-4C.4V5-6D.6-2V5

3.如圖，正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊口。上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將△ABE

沿AE翻折得到ZVME,連接GF.當(dāng)GF最小時(shí)，BE的長是______

DGC

廣

AB

4.如圖，在。。中，直徑AB=4,延長至。，使BC=OB,點(diǎn)。在。O上運(yùn)動(dòng)，連接CD,將CD繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接OE,則線段OE的最大為

5.一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最

小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，AABC=90°,點(diǎn)M,

N分別在射線BA,BC±.,AW長度始終保持不變,MN=5.2,E為AW的中點(diǎn)，點(diǎn)。到BA,的距

離分別為4和3.在此滑動(dòng)過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為.

【題型02:定弦定角】

6.【問題提出】

我們知道：同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等,且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，那么，在一個(gè)圓內(nèi)同

一條弦所對(duì)的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？

【初步思考】

(1)如圖1,是。O的弦，ZAOB=100°,點(diǎn)E、B分別是優(yōu)弧和劣弧上的點(diǎn)，則ZAP.B=

°,ZAP2B=°,

圖1

⑵如圖2,是。。的弦，圓心角乙4OB=m(7n(180°),點(diǎn)P是。O上不與重合的一點(diǎn)，求

弦AB所對(duì)的圓周角AAPB的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）.

圖2

【問題解決】

（3）如圖3,已知線段48,點(diǎn)。在4B所在直線的上方,且AACB=135°，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足

條件的點(diǎn)。所組成的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）.

AB

圖3

【實(shí)際應(yīng)用】

（4）如圖4,在邊長為12的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E、尸分別是邊AC、8C上的動(dòng)點(diǎn),連接AF.BE,交

于點(diǎn)P,若始終保持AE=CF,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E、尸分別從點(diǎn)A、點(diǎn)。以相同速度同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)4向點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng),點(diǎn)干從點(diǎn)。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，E、尸停止運(yùn)動(dòng).連接BE、/斤相交于點(diǎn)G,連接

CG.當(dāng)線段0G最小時(shí)，ABCG的面積5為（）

A.4+崢

D.7+

55

8.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且滿足4D=CE,連接

當(dāng)線段CF的長度最小時(shí)，黑型的值為

b^ABC

9.如圖在中，AB，BC、48=6,BC=4,點(diǎn)P是4ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PC,且滿足

/.PAB=/.PBC，過點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)。當(dāng)線段CP最短時(shí),4BCP的面積為.

10.如圖，點(diǎn)。在半圓O上，半徑OB=5,4D=4,點(diǎn)。在弧上移動(dòng)，連接AC,作。HLAC,垂足為

H,連接BH,點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中，8H的最小值是

11.如圖，拋物線y=ax2+bx-3^x軸于點(diǎn)A（-l,0）,口（3,0）,D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（OWni&3）,交直線Z：y=+2于點(diǎn)及AP交于點(diǎn)尸，交0軸

于點(diǎn)Q.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)APDF的面積為$,4AEF的面積為S2,當(dāng)Si=S2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接BQ,點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且Z.BMQ=45°,在點(diǎn)尸從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

。的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)又的縱坐標(biāo)t的取值范圍.

—V

DDD

備用圖1備用圖2

【題型03：四點(diǎn)共圓】

12.如圖，在四邊形4BCD中，4B=BC,對(duì)角線平分/4DC,AC，CD,且ABAC=/ADB.

4

;

B

C

(1)證明：ABAD+/.BCD=180°；

(2)若AADB=30°,AD+CD=4,3,求8。的長.

13.如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)ABC,E在格點(diǎn)上,連接AE,BC,點(diǎn)、D在上且滿足AD±

8C,則tan/4ED的值是()

E

一

A.奚^B.2C.造D.春

0/

14.如圖,已知AB=AC=AD,ACAD=20°,則NCBD的度數(shù)是（）

*a

A

A.10°B.15°D.25°

15.如圖，等邊△ABC中，。在BC上，E在AC上，BD=CE,連EE、4D交于尸，T在E尸上，且L>T=

CE,人尸=50,TE=16,則FT=

【題型04：瓜豆原理】

16.如圖所示,在等腰Rt/\ABC中，AC=BC=22，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中

點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，求點(diǎn)河運(yùn)動(dòng)的路徑長.

17.如圖，A是。8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。在。8外，已知AB=2,BC=4,A4CD是等邊三角形，則△BCD

的面積的最大值為（）

A.4V3+4B.4D.6

18.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為上一點(diǎn)，且BE=1,F為48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接即，以

即為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

19.如圖，等邊三角形ABC中，4B=4,高線4H=2四，。是線段上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊

三角形BDE,當(dāng)點(diǎn)、D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為線段CM,則線段CM的長為

,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H,此時(shí)線段跳;的長為.

20.如圖所示，點(diǎn)P(3,4),OP的半徑為2,4(2.8,0),8(5.6,0),點(diǎn)M是。P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是MB的中

點(diǎn)，求AC的最小值.

圓的重難點(diǎn)模型匯編（二）

【題型皿：點(diǎn)圓最值問題】

【題型02:定弦定角】

【題型03：四點(diǎn)共圓】

【題型04：強(qiáng)原理】

（考點(diǎn)精講）

【題型01:點(diǎn)圓最值問題】

1.如圖所示,在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,-3）,0A的半徑為l,P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切③4

于點(diǎn)Q,則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-4,0）B.（-5,0）C.（一4,0）或（一5,0）D.（-3,0）

【答案】A

【分析】此題根據(jù)切線的性質(zhì)以及勾股定理，把要求PQ的最小值轉(zhuǎn)化為求AP的最小值，再根據(jù)垂線段最

短的性質(zhì)進(jìn)行分析求解.

【詳解】解:如圖所示，連接AQ,AP.

根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得AQ，PQ;

根據(jù)勾股定理可得PQ=VB42-12

/.要使PQ最小，只需4P最小，

則根據(jù)垂線段最短，則作AP_L/軸于P,即為所求作的點(diǎn)P；

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（一4,0）.

故選4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線

段最短的性質(zhì)進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一動(dòng)點(diǎn),連接BF,將AABF沿BF

翻折得到△GBF,連接GE.當(dāng)GE的長最小時(shí)，。尸的長為（）

DE

A.2V5-2B.2V5-4C.4V5-6D.6-2V5

【答案】。

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得BG的長，再由翻折知BG=A4=4,得點(diǎn)G在以B為圓心，4為

半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)G、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，GE最小.

【詳解】解：；正方形ABCD的邊長為4,

/.ZC=ZA=90°,BC=CD=4,

?.?點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，

/.CE=DE=2,

BE=VBC2+CE2=2V5,

?.?將&ABF沿5F翻折得到△GBF,

.?.點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)G、E、B三點(diǎn)共線時(shí),GE最小，

連接EF,設(shè)

S棉衫ABED=SAEDF+SAABF+SWBF,

y（2+4）x4=yx2Xa?+yx4x（4-a?）+y（4-a:）x275

解得x—6—2V5,

故選：。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及輔助圓，確定當(dāng)點(diǎn)G、H、B三點(diǎn)共線時(shí)，

GE最小是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意運(yùn)用面積法求垂線段的長度.

【變式1一2】如圖,在矩形紙片ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到A/TEF,則4C的長的最小值是（）

4亞

B.3C.V13—1D.V10-1

2

【答案】。

【分析】以點(diǎn)石為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)4在線段CE上時(shí)，4c的長取最小值,根據(jù)折

疊的性質(zhì)可知4E=1,在放"方中利用勾股定理可求出GE的長度，用CE—4E即可求出結(jié)論.

【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AE長度為半徑作圓,連接CE,當(dāng)點(diǎn)A'在線段CE上時(shí)，A'C的長取最小值，如圖所

示，

根據(jù)折疊可知：4E=AE=￡4B=L

在RtABCE中，BE=；AB=1,3C=3,ZB=90°,

CE=^BE2+BC2=VlO,

4。的最小值=儂-4￡=何一1.

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出4。取最小值時(shí)點(diǎn)4的位置是解

題的關(guān)鍵.

3.如圖，正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊8。上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將△4BE

沿AE翻折得到△網(wǎng)E,連接GF.當(dāng)GF最小時(shí)，8E的長是

【答案】44/-4+4西

【分析】本題主要考查了圓的性質(zhì)，正方形和折疊的性質(zhì)，勾股定理，確定當(dāng)點(diǎn)G、F、人三點(diǎn)共線時(shí)，GF最

小是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意運(yùn)用面積法求垂線段的長度.

由翻折知4斤=A4=8,得點(diǎn)尸在以B為圓心，8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),可知當(dāng)點(diǎn)G、尸、A三點(diǎn)共線時(shí)，GF

最小，連接GE,再勾股定理求出AG的長，然后利用等面積法即可求出BE.

【詳解】解：?.?正方形4BCD的邊長為8,

/.ZC=90°,AB=CD=BC=8,

?：將AABE沿AE翻折得到AE,

：.AF=BA=8,

.?.點(diǎn)F在以B為圓心，8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)G、F、人三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小，如圖，連接GE

?.?點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，

/.DG=CG=^CD=4,

由勾股定理得，AG=y/AD2+DG2=V82+42=4-75,

?*S正方形ABCO=SA4GD+SA4BE++^^GCE

：.AB-AD=^-AD-DG+^AB-BE+^-AG-BE-i^-GC-CE

3

8x8=~x8x4H"x8BEHx4-^5BEH~~x4x(8-BE)

解得BE=4，^一4.

故答案為：4，^—4.

4.如圖，在。。中，直徑48=4,延長4B至C,使BC=OB,點(diǎn)。在。O上運(yùn)動(dòng)，連接CD,將CD繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接OE,則線段OE的最大為.

【答案】42+2

【分析】過點(diǎn)。作AC的垂線，在垂線上截取CF=CO,連接DF,從而可證△OCE空AFCD，進(jìn)而得到OE

=FD,將求線段OE的最大值轉(zhuǎn)化為求FD的最大值，然后結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求出最大值即可.

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)。作AC的垂線，在垂線上截取CF=8,連接DF,

/./DCE=/OCF=90°,

4OCE=4FCD,

?：CD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,

:.CD=CE,

在△OCE和△FGD中，

(CD=CE

hoCE=ZFCD,

[CF^CO

：.&DCEW△FCD(SAS),

：.OE=FD,

連接FO,并延長FO交圓于點(diǎn)H,FH即為FD最大值,

?:AB=4,BC=OB,

:.CF=CO=4,

.?.OF=4⑹

FH=OH+OF=4方+2,

；?最大值—DF最大值—FH—4V2+2,

故答案為：42+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，將

OE轉(zhuǎn)化為其他線段進(jìn)而求最大值.

5.一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最

小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，乙4BC=90°,點(diǎn)

N分別在射線BA,BC±.,MN長度始終保持不變，MN=5.2,E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)。到R4,的距

離分別為4和3.在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離的最小值為

【答案】2.4

【分析】連接BE,DB,根據(jù)勾股定理求出BD,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出BE,郴i據(jù)點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系得至I點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，計(jì)算即可.

【詳解】：連接BE,,如圖所示：

?.?點(diǎn)D到A4,BC的距離分別為4和3,由勾股定理得：BD=V32+42=5,

在RtLMBN中，點(diǎn)、E是MN的中點(diǎn)、,

：.BE=^-MN=2.6,

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，2.6為半徑的弧上，

根據(jù)點(diǎn)圓模型的最值情況可知，當(dāng)點(diǎn)E落在線段5。上時(shí)，DE的值最小，

.?.DE的最小值為：BD—BE=5-2.6=2.4,

故答案為：2.4.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，涉及到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確

定DE最小時(shí)，點(diǎn)E的位置.

【題型02:定弦定角】

6.【問題提出】

我們知道：同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等,且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，那么，在一個(gè)圓內(nèi)同

一條弦所對(duì)的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？

【初步思考】

(1)如圖1,4B是。O的弦，ZAOB=100°，點(diǎn)R、R分別是優(yōu)弧AB和劣弧上的點(diǎn)，則AAP.B=

°,AAP2B=°.

5

Px

（2）如圖2,48是。。的弦，圓心角/496=巾（m<180°）,點(diǎn)P是。O上不與重合的一點(diǎn)，求

弦所對(duì)的圓周角AAPB的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）.

圖2

【問題解決】

（3）如圖3,已知線段4B,點(diǎn)。在4B所在直線的上方，且ZACB=135°，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足

條件的點(diǎn)C所組成的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）.

AB

圖3

【實(shí)際應(yīng)用】

（4）如圖4,在邊長為12的等邊三角形中，點(diǎn)E、尸分別是邊AC、8c上的動(dòng)點(diǎn)，連接A尸、BE,交

于點(diǎn)P,若始終保持4E=CR，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

【答案】⑴50,130

⑵號(hào)或180。-詈

（3）見詳解

⑷手兀

O

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案;

（2）根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案；

（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得對(duì)角為45°,根據(jù)圓心角等于圓周角兩倍即可得到圓心角為90°畫出圓

心角即可得到圓心與半徑再畫圓弧即可得到答案；

（4）根據(jù)題意易得&ABE空XCAF，即可得到AAPB=120°,即可得到答案.

【詳解】（1）解：：ZAOB=100°,

AAPXB=-1-AAOB=50°,

-/四邊形ABBg是圓內(nèi)接四邊形，

ZAP2B=180°—ZAPiB=130°,

故答案為：50,130;

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上點(diǎn)為鳥,在劣弧AB上的點(diǎn)為8，

Z.AOB=m°（m<180°）,

ZAP.B=yAAOB=-y-,

???四邊形是圓內(nèi)接四邊形,

：.ZAP2B=180°-/APiB=180°—受，

綜上所述：弦AB所對(duì)的圓周角AAPB的度數(shù)為號(hào)或180°-號(hào);

⑶解：?.?乙4cB=135°,

AB所在直線的下方點(diǎn)“，存在180°—135°=45°,

即A、B、P、Af四點(diǎn)共圓，

作AB垂直平分線交AB于點(diǎn)N,

以點(diǎn)N為圓心AN為半徑畫下圓弧交垂直平分線于一點(diǎn)即為圓心。點(diǎn),

以O(shè)為圓心04為半徑畫圓??；

如圖所示，滿足條件的點(diǎn)。所組成的圖形為以。為圓心、。A為半徑的AB.

⑷解：由題意可,

?.?三角形ABC是等邊三角形，

ABAC=AACB=60°,AB=AC=BC,

?：AE=CF,

：.RABE篤△CAF(&4S),

AEBA=AFAC,

NAPB=180°-60°=120°,

.?.點(diǎn)P的路徑是以AB為弦的圓弧,

A弦AB所對(duì)圓周角為60°,圓心角為120°,半徑為一J=4通,

sin60

120°X7TX4V38V3

?,?點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是:----------------------------7T

180°3

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到了輔助圓的知識(shí)、一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半、

一條弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、尺規(guī)作圖一一作垂線等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)題意找到定角，確定動(dòng)點(diǎn)軌跡.

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E、尸分別從點(diǎn)4、點(diǎn)。以相同速度同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)4向點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸從點(diǎn)。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，E、F停止運(yùn)動(dòng).連接BE、A尸相交于點(diǎn)G,連接

CG.當(dāng)線段DG最小時(shí)，ABCG的面積S為（）

ED

A.4+?B.8+§D.7+^-V5

555

【答案】A

［分析】首先證明RtLADF^RtABAE(SAS)，推出跳;_LAF,得到G點(diǎn)軌跡為以AB中點(diǎn)。為圓心、AB

為直徑的半圓弧，因此當(dāng)G、O、。在一條直線上時(shí)線段。G最小，過G點(diǎn)作MN_LAD交AD于M■點(diǎn)，交

于N點(diǎn)，根據(jù)RtAOAD?及AGM?求出長度，進(jìn)而求出NG的長度，利用三角形面積公式可解出

答案.

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是正方形，

/LADF=NBAE=90°,AB=AD.

又?.?點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)力、點(diǎn)D以相同速度同時(shí)出發(fā)，

:.AE=DF,

：.RtAADFwRtABAE(SAS),

：./AFD=/AEB.

,/ZAFD+AFAD^90°,

：./AEG+/GAE=90°,

/./AGE=90°,

即BE_LAF,

/.ZAGB=90°,

G點(diǎn)軌跡為以AB中點(diǎn)。為圓心，AB為直徑的半圓弧，當(dāng)G、O、。在一條直線上時(shí)，線段DG最小.

如圖所示：過G點(diǎn)作MN±AD支AD于M點(diǎn)、，交BC于N點(diǎn),

_RtAOAD中，AD=4,40=]AB=2,

/.OD=^AD2+AO2=2V5,

,/OG=OA=2,

ADG=OD—OG=2萌一2,

?：AOAD=4GMD=90°,AADO=/.MDG,

：.RtAOAD?RtAGMD,

,MG_DG

"^O~~OD，

即M亍G_2V5-2

解得：MG=2-里顯，

5

:.GN=MN-MG=4_(2_^~、=10+2函,

\5，5

???S^CG=^BC-GN=-1X4X也甘返=4+下.

z/oo

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、求動(dòng)點(diǎn)軌跡、相似三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，正確判斷動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是解題關(guān)鍵.

8.如圖,在等邊△4BC中，點(diǎn)。為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、E為BC上一點(diǎn)、,且滿足AD=CE,連接AE,BD,

當(dāng)線段CF的長度最小時(shí)，黑型的值為.

【答案】白

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的特征，定弦定

角問題，解答即可.

【詳解】解：???AABC為等邊三角形，

AB=CA.ABAD=AACE=60°,

(AB=CA

bBAD=AACE=60°,

[AD=CE

△BADnAACE(SAS)

："ABD=/CAE,；/、、\\

???ABFE=/ABD+ABAF,|、、、\

-8kC

ZBFE=/BAE+4CAE=ABAC=60,h

：.AAFB=120°,

作AB的垂直平分線，作AABO=30°,與垂直平分線交于點(diǎn)O,

則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，以BO為半徑的圓的三角形內(nèi)部的一段弧，

連接。。與弧交于點(diǎn)H,

當(dāng)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF最小，

-：OA=OB,CA=CB,

：.直線OC是線段AB的垂直平分線，設(shè)二線的交點(diǎn)為Q,

則ZHQB=90°,AHBQ=30°,

設(shè)QH=c,則BH—2x,BQ--JBH2—QH2=V3x,

AB—2BQ=2心岔,

：.CQ—3x,

...SG_看ABQH_QH;1

"S^ABC^AB-CQCQ3;

故答案為：1■.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的特征,

定弦定角問題，熟練掌握三角形的全等的證明是解題的關(guān)鍵.

9.如圖在電△48。中，4B，BC、AB=6,及7=4,點(diǎn)P是4ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC,且滿足

APAB=/PBC,過點(diǎn)P作PD±BC交BC于點(diǎn)、D當(dāng)線段CP最短時(shí)，ABCP的面積為.

【答案】孕

5

【分析】由題意得，AAPB=180°—(乙4BP+ZB4B)=90°，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，記

AB的中點(diǎn)為O,連接OC,交0O于P,此時(shí)線段CP最短，由題意知，OP==AB=3,由勾股定理

得,OC=VOB2+BC2=5,則PC=2,證明APCD?△OCD,可求PD=§,根據(jù)S-二BCxPD,計(jì)

52

算求解即可.

【詳解】解：由題意知，2ABP+4PBC=/48。=90°,

?/NPAB=2PBC,

：.^ABP+APAB=90°,

：.^APB=180°-(ZABF+/.PAS}=90°,

.?.點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

如圖，記AB的中點(diǎn)為O,連接。。，交。。于P,此時(shí)線段CP最短,

由題意知，OP=OB=^-AB=3,

由勾股定理得，OC=y/OB2+BC2=5,

：.PC=2,

?：/PCD=ZOCD,ZPDC=90°=ZOBC,

.?.△PCD?△OCB,

.PD=PC_即包=2

"OBOC'35'

解得,=g

5

?e?S^BCP~卷EC義PD=《■x4x[=,

2255

故答案為：孕.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理的推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.確定點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，點(diǎn)。在半圓O上，半徑OB=5,AD=4,點(diǎn)。在弧BD上移動(dòng)，連接AC,作AC,垂足為

H,連接,點(diǎn)。在移動(dòng)的過程中，的最小值是

10

D

【答案】2伍一2

【分析】先確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置，然后利用圓

周角定理、線段的和差即可得.

【詳解】如圖，設(shè)4D的中點(diǎn)為點(diǎn)E,則無1=ED=十40=1■x4=2

由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)E為圓心，及1為半徑的圓上

由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得:連接BE,與圓E交于點(diǎn)笈,則此時(shí)取得最小值,EH=2

連接BD

???AB為半圓O的直徑

ZADB=90°

：.BD=y/AB2-AD2=V（5+5）2-42=2721

BE=^/BD2+ED2=V（2A/21）2+22=2722

BH=BE-EH=2722-2

故答案為：2,22—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，確定點(diǎn)X的運(yùn)動(dòng)軌跡,

從而得出取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵.

11.如圖，拋物線y=ax2+bx-3^x軸于點(diǎn)A(-1,O),3(3,0),D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m(OWm<3),AE〃尸。交直線Z：沙=。必+2于點(diǎn)E,AP交DE于點(diǎn)尸，交沙軸

于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)△PDF的面積為&,/XAEF的面積為S2，當(dāng)Si=S2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接BQ,點(diǎn)雙在拋物線的對(duì)稱軸上(位于第一象限內(nèi))，且=45°,在點(diǎn)P從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

?M

【分析】⑴運(yùn)用待定系數(shù)法將A(-1,O),B(3,0)代入y^ax2+bx-3,即可求得答案；

⑵利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)。(1,一4),由AE〃PD得4AEF?△PDF，再根據(jù)ZYPDF與

△AEF的面積相等，可得4AEF空APDF，故點(diǎn)F分別是4P、ED的中點(diǎn)，設(shè)E(e3e+2),P(m,m?-2m

—3),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；

⑶根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值:①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，

如圖2,以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△005,以O(shè)為圓心，00為半徑作。O，，交拋物線對(duì)稱

軸于點(diǎn)，過點(diǎn)O作07/，9軸于點(diǎn)H,運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)Q

與點(diǎn)。重合，此時(shí)t的值最小，如圖3,連接BC,以。為圓心，為半徑作。O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M,

連接,設(shè)拋物線對(duì)稱軸交加軸于點(diǎn)E,運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：(1),??拋物線沙=刈〃+近—3交比軸于點(diǎn)4(—1,0),B(3,0),

.?.將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：[二?,

9a+3b—3=0

{a=l

解得:

b=—2'

拋物線的表達(dá)式為：y—x2—2x—3;

⑵如圖，

D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：g=i—2%一3=(劣一I)?—4,

???。(1,—4),

AE〃PD交直線l：y=[x+2于點(diǎn)、E,P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(O<m<3),

ZXAEF?APDF,設(shè)E(e,~^-e+2),P(m,m2—2m—3),

又,/APDF的面積為Si,△AE尸的面積為S2,S=S2,

：.AAEF^APDF,

：.AF=PF,EF=DF,即點(diǎn)、F分別是AP、ED的中點(diǎn)，

又：_A(—1,0),P(jn,Tn?—2m—3),E1e,+2),D(l,—4),

fm—1_e+1

\9———2~

???由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：I24，

一2—2m—3+0_個(gè)+2-4

2-2

解得：^^。^“^^〃「?！辈环?應(yīng)舍去)，m2=-|-,

(3)①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)石重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，此時(shí)力的值最大，如圖2,

以08為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O,O8,

,,OO，=B

則O(41T)°'=竽，

以O(shè)為圓心，OO,為半徑作。O,交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn),

過點(diǎn)O作OH_LV軸于點(diǎn)則ZO,BM=90°,O'H^y,O'M^OO'=

MH=y/O'M2-O'H2=，

.A.H_3+VI7

"~2+22，

12

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合,此時(shí)t的值最小，如圖3,

連接5。，以。為圓心，為半徑作。O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)河，

?.?OB=OC=3,

經(jīng)過點(diǎn)C,

連接37,設(shè)拋物線對(duì)稱軸交c軸于點(diǎn)E,

則OM=OB=i,OE=1,

■：/MEO=90°,

ME=y/OM2-OE2=V32-l2=2V2,

/.t=2A/2,

綜上所述，2V2<t<3+g.

【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查代數(shù)計(jì)算問題，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二

次方程的解及圓的相關(guān)知識(shí)，屬于壓軸題類型.

【題型03：四點(diǎn)共圓】

12.如圖，在四邊形ABCD中，=對(duì)角線8。平分NADC,AC,CD,且

（1）證明：ABAD+ABCD=180°；

（2）若NADB=30°,AD+CD=4A后，求BD的長.

【答案】（1）見解析

⑵BD=4

【分析】（1）由題意推出/3C4=/4DB,從而得到A、B、。、O四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出結(jié)論即可;

（2）首先根據(jù)已知信息求出AD,再結(jié)合四點(diǎn)共圓的結(jié)論，在Rt^ABD中求解即可.

【詳解】（1）證：=

/.ABAC=ABCA,

?：ABAC=AADB,

：.ABCA=AADB,

"、_B、C、。四點(diǎn)共圓，

/.ABAD+/BCD=180°;

⑵解：一。，皿

/.AACD=90°,

■：2ADB=30°,BD平分Z.ADC,

：.AADC=60°,ACAD=30°

/.在Rt/XACD中，AD=2CD,

?.?AD+CD=4'

AD=,CD=,

?：A.B.C、D四點(diǎn)共圓，

^ACD=Z.ABD=90°,

：.在Rt/\ABD中，=AD-cosAADB=Xcos30°=x/=4,

OOZi

；.BD=4.

【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的證明、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形等，掌握?qǐng)A當(dāng)中的重要結(jié)論,

準(zhǔn)確求解直角三角形是解題關(guān)鍵.

13.如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)在格點(diǎn)上，連接點(diǎn)。在上且滿足

BC，則tan/AED的值是（）

"

A，5

【答案】。

【分析】證明在以O(shè)為圓心，1為半徑的同圓上，把求tan/AEO轉(zhuǎn)化為求tan乙4BD

【詳解】以。為圓心，1為半徑作。O,連接OD

E在格點(diǎn)上.

??.AC=OA=OE=OB=1

.??ABE在。O上

???AD_LBC

：.ZADB=90°

又丁。。的直徑是AB

/.AB=2

??,OA=OB

：.OD=^-AB=1

.?.點(diǎn)。在＜3。上

AAED=AABD

：.tan/AED=tan/ABD=《

AB2

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周南定理、解直角三角形、四點(diǎn)共圓及三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于連接OD,證

明點(diǎn)在以O(shè)為圓心，1為半徑的同圓上.

14.如圖，已知AB=AC=AD,NCAD=20°,則的度數(shù)是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】A

【詳解】

如圖，AB=AC=AD

1/ACAD=20°

/.2CBD=-yACAD=}x20。=10°,

故選4

15.如圖，等邊4ABC中，。在上，E在AC上，BD=CE,連BE、AD交于尸，T在E尸上，且DT=

CE,AF=50,TE=16,則斤T=

【答案】17

【分析】用“S4S”可判定4ABD空ABCE,得到AAFE=60°,延長FE至點(diǎn)G,使得FG=E4,連AG,AT,

得到△AFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點(diǎn)共圓，設(shè)法證明△JR4TgZ\GAB（ASA）,即可求得答案.

【詳解「.?△ABC為等邊三角形，

/.AB=AC=BC,NABD=ABCE=60°,

在△ABD和△BCE中，

(AB=BC

/ZABn=ZBCE=60°,

[BD=CE

：./\ABD空ABCE(SAS),

???/BAD=/CBE,

???/ADC=Z.CBE+ZBFD=ABAD+ZB,

??.ABFD=/B=AAFE=60°;

延長也至點(diǎn)G,使得FG=E4,連AG,AT,

???ZAFE=60°,

：.ZVLFG是等邊三角形，

??.AG=AF=FG=5Q9AAGF=AFAG=60°,

???Z.BAF+AEAF=ACAGA-4EAF=60°,

??.ABAF=ACAG9

???DT=CE,

??.NDBT=ABTD,

???/BAD=/CBE,

：./BAD=/BTD,

??._A、B、。、T四點(diǎn)共圓，

???/BAD=/DAT,

：./FAT=/GAE,

在△EAT和aGAE中，

(AFAT=AGAE

(AF=AG,

[ZAFG=ZAGF=60°

???AR4T空/\GAE(ASA),

AFT=GE,

-,-FG=50,TE=16,

FT=y(FG-TE)=17.

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，作出輔助線,

判斷出4T豈△GAE是解本題的關(guān)鍵.

【題型04,瓜豆原理】

16.如圖所示，在等腰改△ABC中，4。=8。=2?，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，河為PC的中

點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)河運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【答案】點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)的路徑長為兀.

16

【分析】取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、的中點(diǎn)F,連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF,班,如圖，利用等腰

直角三角形的性質(zhì)得到AB=V2BC=4，則OC=^AB=2,OP=^AB=2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得OM±PC,則4cMO=90°,于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)”在以O(shè)C為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)

時(shí)，點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=2,所以M點(diǎn)

的路徑為以即為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計(jì)算點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【詳解】解:如圖所示，取AB的中點(diǎn)O,4。的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)F,連接OC、OP、OM、