2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【分類討論】圓中的分類討論思想（解析版）

圓中的分類討論思想

知識(shí)方法精講

1.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角

轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條

件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.

（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周

角定理結(jié)合起來.在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ).

3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)O。的半徑為心點(diǎn)尸到圓心的距離8=力則有：

①點(diǎn)尸在圓外

②點(diǎn)尸在圓上Qd=r

①點(diǎn)尸在圓內(nèi)QdO

（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的

關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

（3）符號(hào)“Q”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端，從右端也可

以得到左端.

4.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接

圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè).

5.直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，

唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為心圓心。到直線/的距離為乩

①直線I和。。相交

②直線I和。。相切=d=r

③直線I和。。相離八

6.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是:

①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作：

見切點(diǎn)，連半徑，見垂直.

7.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

8.分類討論思想

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

選擇題（共9小題）

1.（2021秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）N3是。。的弦，ZAOB=60°,則弦所對(duì)的圓周角是（

）

A.30°B.60°C.150°或30°D.60°或140。

【考點(diǎn)】圓周角定理

【分析】由。。的弦所對(duì)的圓心角44。8=60。，根據(jù)圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)，即可求得弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)

【解答】解解：???QO的弦AB所對(duì)的圓心角NAOB=60°,

.?.弦4s所對(duì)的圓周角的度數(shù)為：-ZAOB=30°180°-30°=150°.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理.此題難度不大，注意弦所對(duì)的圓周角有一對(duì)且互補(bǔ).

2.（2020秋?灤陽市期末）已知A48C是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若BC=2百，則//的

度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120。

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由圓周角定理與含30。角的直角三角形的性質(zhì)，求得

答案.

【解答】解：如圖，作直徑助，連接CD,則ZBCr>=90。，

?.?A48C是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，BC=273,

BD=4,

:.CD=』BD。-BC2=2,

:.CD=-BD,

2

NCBD=30°,

NA=/D=60°,

ZAr=180°-ZA=120°,

的度數(shù)為：60?；?20。.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理與含30。角的直角三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.是。。的弦，ZAOB=80°,則弦所對(duì)的圓周角是（）

A.40°B.140°或40°C.20°D.20°或160°

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【分析】此題要分兩種情況：當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)；當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上時(shí)；通

過分析，從而得到答案.

【解答】解：當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，根據(jù)圓周角定理，得圓周角：

ZACB=-ZAOB=-x80°=40°；

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當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上時(shí)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得此圓周角:

ZADB=180°-ZACB=180°-40°=140°；

所以弦A8所對(duì)的圓周角是40。或140。.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】注意：弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，且兩種情況的角是互補(bǔ)的關(guān)系.

4.已知在半徑為2的。。中，圓內(nèi)接的邊48=2。，則NC的度數(shù)為（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形

【分析】過圓心作N3的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，易求得圓心角N/O8的度數(shù)，由此

可求出/C的度數(shù).（注意/C所對(duì)的弧可能是優(yōu)弧，也可能是劣弧）

【解答】解：如圖，連接。/、OB,過。作于D.

在RtAOAD中，AD=y/5,OA=2,

..…八ADG

..sin/AOD==—9

AO2

/.ZAOD=60°,ZAOB=120°.

點(diǎn)c的位置有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)C在如圖位置時(shí)，ZC=-ZAOB=60°；

2

②當(dāng)點(diǎn)C在￡點(diǎn)位置時(shí)，ZC==180°--ZAOB=120°.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理以及解直角三角形的應(yīng)用.注意點(diǎn)C的位置有兩種情況,

不要漏解.

5.如圖，。。的半徑為1,是。。的一條弦，且/2=退，則弦48所對(duì)圓周角的度數(shù)

B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理

【分析】連接O/、OB,過。作的垂線，通過解直角三角形，易得出N/O8的度數(shù);

由于弦N3所對(duì)的弧有兩段：一段是優(yōu)弧，一段是劣弧；所以弦所對(duì)的圓周角也有兩個(gè),

因此要分類求解.

【解答】解：如圖，連接。/、OB,過。作的垂線;

巧

在RtAOAC中，。/=1,AC=—；

2

ZAOC=60°,ZAOB=nO°；

:.ZD=-ZAOB=60°；

2

?.?四邊形4DBE是O。的內(nèi)接四邊形，

ZAEBU180°-ZZ)=120°；

因此弦A8所對(duì)的圓周角有兩個(gè)：60?；?20。；

故選：D.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；注意：弦所對(duì)

圓周角有兩個(gè)，不要漏解.

6.（2021秋?孝南區(qū)月考）點(diǎn)尸到。。的最近點(diǎn)的距離為2c〃?，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為7cm,則O。

的半徑是（）

A.或B.2.5cmC.4.5cmD.2.5cvw或4.5c〃？

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點(diǎn)的位置不確定所以要分類討

論.

【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，

???圓外一點(diǎn)和圓周的最短距離為2,最長距離為7,

圓的直徑為7-2=5,

該圓的半徑是2.5；

②當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，

???點(diǎn)到圓周的最短距離為2,最長距離為7,

.?.圓的直徑=7+2=9,

二.圓的半徑為4.5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)

鍵.

7.一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm,最大距離為9c加，則該圓的半徑是（）

A.2.5c〃z或6.5c〃？B.2.5cmC.65cmD.5c機(jī)或13c〃？

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為O。，最大距離為尸8,最小距離為尸/,有兩種情況：①當(dāng)

此點(diǎn)在圓內(nèi)；②當(dāng)此點(diǎn)在圓外；分別求出半徑值即可.

【解答】解：設(shè)此點(diǎn)為尸點(diǎn)，圓為OO,最大距離為PB,最小距離為加，則：

?.■此點(diǎn)與圓心的連線所在的直線與圓的交點(diǎn)即為此點(diǎn)到圓心的最大、最小距離

有兩種情況：

當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖所示，

半徑OB=（PA+PB）+2=6.5cm；

當(dāng)此點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖所示，

半徑OB=（PB-尸/）+2=2.5cm；

故圓的半徑為2.5cm或6.5cm

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵.

8.一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為6cm,最大距離為9c〃z,則該圓的半徑是（）

A.1.5cmB.7.5cmC.1.5cm或7.5c%D.3cm15cm

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】點(diǎn)P應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部于外部兩種情況討論.當(dāng)點(diǎn)尸在圓內(nèi)時(shí)，直徑=最小距

離+最大距離；當(dāng)點(diǎn)尸在圓外時(shí)，直徑=最大距離-最小距離.

【解答】解：分為兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)尸在圓內(nèi)時(shí)，最近點(diǎn)的距離為6cro,最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為9<?加，則直徑是15c%，因而半

徑是7.5cm；

②當(dāng)點(diǎn)尸在圓外時(shí)，最近點(diǎn)的距離為6c加，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為，則直徑是3c加，因而半

徑是.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2020秋?麗水期末）已知A4BC外接圓的半徑為2,5C=273,則乙4的度數(shù)是（）

A.120°B.30°或120°C.30°或60°D.60°或120。

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心

【分析】作直徑CD,點(diǎn)N在BDC上，點(diǎn)4在數(shù)上，如圖，根據(jù)圓周角定理得到ACBD=90°,

再利用正弦的定義求出乙0=60。，則利用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到N/和N4

的度數(shù).

【解答】解：作直徑C。，點(diǎn)/在訪d上，點(diǎn)4在數(shù)上，如圖,

CD為直徑,

ZCBD=90°,

在RtABCD中，?1-sinD=—,

CD42

ZD=60°,

ZA=ZD=60°,//'=180°-/。=120°,

即NN的度數(shù)是60。或120。.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.也考查了圓周角定理.

二.填空題（共7小題）

10.（2020秋?佳木斯期末）。。的半徑為5cm,AB,CD是O。的兩條弦，AB//CD,

AB=8cm,CD=6cm.則AB和CD之間的距離為_lc加或7c

【考點(diǎn)】垂徑定理；平行線之間的距離；勾股定理

【分析】分兩種情形討論：①如圖1中，48和CD在圓心。的同側(cè)，連接。8,?！辏?作直

線。于M交CD于點(diǎn)N,由NB//CD,即可推出ON_LCD,則MN為48,CD之

間的距離，通過垂徑定理和勾股定理求出OM和ON的長度即可.

②如圖2中，48和CO在圓心。兩側(cè)，連接08,O。，作直線于M交8于點(diǎn)

N,由/8//CD,即可推出MN_LCD,則MN為。之間的距離，通過垂徑定理和

勾股定理求出OM和ON的長度即可.

【解答】解：①如圖1,當(dāng)和CD在圓心。的同側(cè)，連接。8,OD,作直線于

M交CD于點(diǎn)、N,

■：AB11CD,

ONLCD,

'：AB=8cm,CD=6cm,

BM=4（cm）,DN=3（。加）,

OO的半徑為5cm,

,OB=OD=5（cm）,

OM=3（。機(jī)）,ON=4（cm）,

-：MN=ON-OM,

MN=l（cm）.

②如圖2,當(dāng)和CD在圓心O兩側(cè)，連接05,OD,作直線于M交CZ）于點(diǎn)N,

vABI/CD,

ONVCD,

,：AB=8cm,CD=6cm，

BM=4（cm）,DN=3（c冽），

OO的半徑為5cm,

/.OB=OD—5（c冽）,

,OM=3（。機(jī)）,ON=4（。冽）,

MN=OM+ON,

MN-7（cm）.

二.平行弦45,CD之間的距離為1c加或7c冽.

故答案為：1cm或7cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，平行線間的距離的定義，平行線的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

11.（2020?棗陽市校級(jí)模擬）在半徑為2的OO中，弦A8的長為2,則弦48所對(duì)的圓周

角的度數(shù)為_30?；?50。_.

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【分析】根據(jù)弦長等于半徑，得這條弦和兩條半徑組成了等邊三角形，則弦所對(duì)的圓心角是

60°,要計(jì)算它所對(duì)的圓周角，

應(yīng)考慮兩種情況：當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，則根據(jù)圓周角定理，得此圓周角是30。；

當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上時(shí)，則根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，得此圓周角是150。.

【解答】解：根據(jù)題意，弦與兩半徑組成等邊三角形，

.?.先48所對(duì)的圓心角=60。，

①圓周角在優(yōu)弧上時(shí)，圓周角=30。，

②圓周角在劣弧上時(shí)，圓周角=180。-30。=150。.

，圓周角的度數(shù)為30?；?50。.

【點(diǎn)評(píng)】注意：弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，且兩種情況的角是互補(bǔ)的.

12.（2021秋?臺(tái)安縣期中）一個(gè)已知點(diǎn)P到圓周上的最長距離是9,最短距離是3,則此圓

的半徑是6或3.

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點(diǎn)的位置不確定所以要分類討

論.

【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，

???圓外一點(diǎn)和圓周的最短距離為3,最長距離為9,

圓的直徑為9-3=6,

該圓的半徑是3；

②當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，

???點(diǎn)到圓周的最短距離為3,最長距離為9,

圓的直徑=9+3=12，

二圓的半徑為6,

故答案為6或3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)

鍵.

13.平面上一點(diǎn)P到上一點(diǎn)的距離最長為7cm,最短為3cm,則CO的半徑為5或2

cm.

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】解答此題應(yīng)進(jìn)行分類討論，點(diǎn)尸可能位于圓的內(nèi)部，也可能位于圓的外部.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，則直徑=7+3=10”；,因而半徑是5c〃z；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，

直徑=7-3=4c加，因而半徑是2c加.

故答案為5或2.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是首先要進(jìn)行分類討論，其次是理解最長距離和最短距離和或差的

意義.

14.在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C點(diǎn)為圓心，r為半徑所作的圓與

斜邊AB只有一?個(gè)公共點(diǎn)，貝什的取值范圍是_3<44或廠=2.4_.

【考點(diǎn)】垂線段最短；勾股定理；直線與圓的位置關(guān)系

【分析】此題注意兩種情況：

(1)圓與相切時(shí)；

(2)點(diǎn)/在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí).

根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積計(jì)算出其斜邊上的高，再根據(jù)位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)

系進(jìn)行求解.

【解答】解：如圖，?;BC>AC,

.?.以C為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊N3只有一個(gè)公共點(diǎn).

根據(jù)勾股定理求得48=5.

分兩種情況：

(1)圓與相切時(shí)，即，=(?。=3><4+5=2.4；

(2)點(diǎn)/在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，此時(shí)/C<7《8C,即3<p.

3<，7或r=2.4.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用的知識(shí)點(diǎn)：勾股定理和垂線段最短的定理；直角三角形的面積公式求解;

直線與圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系.

15.（2022秋?武漢期末）如圖，PM,PN分別與OO相切于4,3兩點(diǎn)，C為OO上異

于4,B的一點(diǎn)，連接/C,BC.若/尸=58。，則N/C3的大小是_61?；?/p>

【考點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【分析】連接CM、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到CU_LR4,OB1PB,進(jìn)而求出N/O8,分

點(diǎn)C在優(yōu)弧上、點(diǎn)C在劣弧上兩種情況，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.

【解答】解：連接CM、OB,

???PM,PN分別與。。相切于4,B兩點(diǎn)，，

OA1PA,OB1PB,

ZAOB=360°-90°-90°-58°=122°,

當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，NACB=-ZAOB=-x122°=61°,

22

當(dāng)點(diǎn)。在劣弧上時(shí)，44。3=180。-61。=119。，

故答案為：61?；?19。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解

題的關(guān)鍵.

16.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,點(diǎn)。在邊8c上，CD=1,BD=3.點(diǎn)尸是

線段/。上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為1的OP與A43c的一邊相切時(shí)，/P的長為或巫或

3

5A/10

9

CD

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)

【分析】分三種情況討論解答：①0P與NC邊相切，②。尸與8C邊相切，③。尸與4g邊

相切，依據(jù)題意畫出圖形，利用切線的性質(zhì)，過點(diǎn)尸分別作各邊的垂線段，利用比例式即

可求得結(jié)論.

【解答】解：①當(dāng)OP與/C邊相切時(shí)，如圖，

CD

過點(diǎn)P作尸￡_L/C,則E為切點(diǎn)，PE=\.

■：BCLAC,

PE//CD.

APPE

"而一五?

VAD=y/AC2+CD2=VFTF=V10,

AP_1

??>=r

AP=y/lQ；

此時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合.

②當(dāng)。尸與8C邊相切時(shí)，如圖,

CFD

過點(diǎn)尸作尸尸，BC,則尸為切點(diǎn)，PF=1,

???BCLAC,

PF//CA.

PF_PD

\4C~AD?

由①得：AD=A/10,

...PD=AD-AP=y/W-AP.

1回—AP

——■，

3VW

解得：Ap=巫;

3

③當(dāng)。尸與45邊相切時(shí)，如圖，

CD

過點(diǎn)尸作尸G,胡于點(diǎn)G,則G為切點(diǎn)，PG=1.

過點(diǎn)。作。H_LAB于點(diǎn)H,

?/CD=\,BD=3,

BC=4.

/.AB=ylAC2+BC2=5.

???NBHD=NBCA=90°,ZB=ZB,

NBDHs曲AC.

BD_PH

~AB~^C

3_DH

?rDHLAB,PGIBA,

PG/1DH.

PG_AP

,而一茄?

1_AP

5

AP=-4io.

綜上，當(dāng)半徑為1的。尸與A43c的一邊相切時(shí)，/尸的長為9或亞或亞.

故答案為：而或巫或題.

39

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)得到圓心到直線的距離等于圓

的半徑和利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共2小題)

17.(2021秋?新榮區(qū)月考)綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)直角三角板和量角器，把量角器的中心。點(diǎn)放

置在NC的中點(diǎn)上，0E與直角邊NC重合，如圖1所示，NC=90。，3C=6,NC=8,00=3,

量角器交于點(diǎn)G,F,現(xiàn)將量角器。E繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖2所示.

(1)點(diǎn)C到邊的距離為—巨

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，求點(diǎn)。到距離的最小值.

(3)若半圓。與RtAABC的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為K,求3K的長.

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】(1)如圖1，過點(diǎn)C作于點(diǎn)X,利用勾股定理求得NB,再利用

ABCH=AC-BC,即可求得答案.

(2)當(dāng)C0_L/B時(shí)，點(diǎn)。到48的距離最小，再由。8=8-。C,即可求得答案.

(3)分兩種情況：①當(dāng)半圓。與8C相切時(shí)，如圖2,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,運(yùn)用勾股定

理即可求得答案；

②當(dāng)半圓。與/C相切時(shí)，如圖3,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,運(yùn)用勾股定理求得CK,再利

用勾股定理即可求得BK.

【解答】解：(1)如圖1,過點(diǎn)C作C77J.N3于點(diǎn)

???AACB=90°,BC=6,AC=8,

AB=ylAC2+BC2=V62+82=10,

CHVAB,

ABCH=ACBC,

6x8_24

~w~y

即點(diǎn)。到邊45的距離為上,

5

故答案為：—.

5

(2)?.?。為NC的中點(diǎn)，

OC=-AC=-x8=4,

22

當(dāng)。時(shí)，點(diǎn)。到AB的距離最小,

244

:.OH=CH-OC=——4=一，

55

4

.?.點(diǎn)O到AB距離的最小值為--

5

(3)①當(dāng)半圓。與相切時(shí)，如圖2,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,

ZOKC=90°,

在RtAOCK中，OK=3,0c=4,

:.CK=^l0C2-OK2=742-32=V7,

:.BK=BC-CK=6-5、

②當(dāng)半圓。與4C相切時(shí)，如圖3,設(shè)切點(diǎn)為K,連接OK,

ZOKC=9G°,

在RtAOCK中，OK=3,0C=4,

:.CK=JOC2-OK2=V42-32=V7，

在RtABCK中，BK=^BC1+CK2=762+(V7)2=屆；

綜上所述，8K的長為近或回.

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理,

三角形面積,解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想解決問題.

18.如圖1,平行四邊形/BCD中，AB=8,BC=4,N/BC=60。.點(diǎn)尸為射線8c上一

點(diǎn)，以為直徑作。。交48、DC于E、尸兩點(diǎn).設(shè)OO的半徑為x.

(1)如圖2,當(dāng)O。與小相切時(shí)，x=4.

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，

①求線段CE長度；

②求陰影部分的面積；

(3)當(dāng)。。與平行四邊形/BCD邊所在直線相切時(shí)，求x的值；

（4）OO能否同時(shí)過/、。兩點(diǎn)，若能，求出x值；若不能，請(qǐng)說明理

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得：AB//CD,/B=CD=8,得出/DCP=N/BC=60。，

再由切線的性質(zhì)可得。尸，8P,得出NCDP=30。，利用30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，

可得CP=1CD=4,推出。。的直徑3P=8,即可得出答案；

2

（2）①運(yùn)用勾股定理即可求得答案；

②如圖2,連接OE,利用圓周角定理可得出ZBOE=2ZBCE=60°,過點(diǎn)E作EHLOB于H,

則NOE〃=30。，利用勾股定理可求得EX=6,再運(yùn)用扇形面積公式和三角形面積公式即

可求得答案；

（3）分兩種情況：①當(dāng)。。與直線CD相切時(shí)，由切線性質(zhì)可得NOFC=90。，進(jìn)而可得

OB=OF=x,OC=4-x,CF=1（4-x）,再由勾股定理建立方程求解即可；

②當(dāng)OO與直線相切時(shí)，如圖4,過點(diǎn)。作O7_L/。于T,連接/C,則OT=O8=x,

證明四邊形/COT是矩形，即可得出答案；

（4）。。不能同時(shí)過/、。兩點(diǎn).如圖5,作/。的垂直平分線交/。于"，交3c于N,

作的垂直平分線交于。，交.BC于P,連接/C,證明點(diǎn)N與點(diǎn)尸不重合，即AW與

PQ的交點(diǎn)不可能在直線3c上.

【解答】解：（1）如圖1,,四邊形48。是平行四邊形，AB=8,BC=4,ZABC=60°.

AB//CD,AB=CD=8,

ZDCP=NABC=60°,

???O。與。P相切，

DPVBP,

ZCPD=90°,

ZCDP