吉林省公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第一中學(xué)2025屆高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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吉林省公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第一中學(xué)2025屆高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.112.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.3.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),設(shè)其前n項(xiàng)和,若(),則()A.30 B. C. D.624.已知雙曲線:(,)的右焦點(diǎn)與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.35.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值6.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.7.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)在線段上,、分別是、的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A., B.存在點(diǎn),使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值8.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i9.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立10.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位11.函數(shù)()的圖像可以是()A. B.C. D.12.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)任意正整數(shù),都有,則___14.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________.15.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是上底面三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階,寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí),可以一步走一個(gè)臺(tái)階,也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階,若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為,每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為.為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題,我們約定,甲從級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走,一步走一個(gè)臺(tái)階記分,一步走兩個(gè)臺(tái)階記分,記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過(guò)程中,恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率.18.(12分)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過(guò)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長(zhǎng);(2)求面積的最大值.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1},求實(shí)數(shù)a的值;(2)證明:f(x).21.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為的左焦點(diǎn),點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn),(ⅰ)證明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));(ⅱ)當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).22.(10分)已知,如圖,曲線由曲線:和曲線:組成,其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).(Ⅰ)若,求曲線的方程;(Ⅱ)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點(diǎn),求證:弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上;(Ⅲ)對(duì)于(Ⅰ)中的曲線,若直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn),求面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長(zhǎng)度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長(zhǎng)度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長(zhǎng)度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長(zhǎng)度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.2、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.3、B【解析】

根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,解方程組求出首項(xiàng)和公式,最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,因此.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解析】

由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問(wèn)題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.5、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn).正確.對(duì)于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對(duì)于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對(duì)于,因?yàn)?,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.6、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.7、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故B錯(cuò)誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.8、B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點(diǎn):全稱命題.10、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù),可排除,然后采用導(dǎo)數(shù),判斷原函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,所以當(dāng)時(shí),,又,令,則令,則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像,可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察:(1)定義域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)單調(diào)性;(5)值域,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用行列式定義,得到與的關(guān)系,賦值,即可求出結(jié)果?!驹斀狻坑桑?,得,解得?!军c(diǎn)睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。14、【解析】

由題意可得,,解不等式可求.【詳解】解:由題意可得,,解可得,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)?,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于容易題.16、π.【解析】

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉',分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點(diǎn)的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點(diǎn)P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點(diǎn)P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問(wèn)題,根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析【解析】

(1)由題可得的所有可能取值為,,,,且,,,,所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望.(2)由題可得,所以,又,,所以,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)可得.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點(diǎn),并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點(diǎn),所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取的中點(diǎn),并分別連接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,取,則,,所以.又,所以.分析知,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題19、(1)12(2)【解析】

(1)根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過(guò)點(diǎn),由橢圓定義知:,故,因此,的周長(zhǎng);(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等,故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達(dá)定理的使用,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大.20、(1)a=1;(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)由題意可得|x﹣a|≥4x,分類討論去掉絕對(duì)值,分別求得x的范圍即可求出a的值.(2)由條件利用絕對(duì)值三角不等式,基本不等式證得f(x)≥2..【詳解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),當(dāng)x≥a時(shí),x﹣a≥4x,解得x,這與x≥a>0矛盾,故不成立,當(dāng)x<a時(shí),a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)證明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào),故f(x).【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式,基本不等式,絕對(duì)值不等式的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)(ⅰ)見(jiàn)解析(ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】

(1)由題意得,再由的關(guān)系求出,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)(i)設(shè),的中點(diǎn)為,,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證;(ii)利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來(lái),由換元法的對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系,從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解:(1)由題意得,,所以,所以橢圓方程為(2)設(shè),的中點(diǎn)為,(?。┳C明:由,可設(shè)直線的方程

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