人教版七年級數(shù)學(xué)上冊《實際問題與一元一次方程（第1課時）》示范課教學(xué)設(shè)計

5.3實際問題與一元一次方程（第1課時）教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)目標(biāo)1．會運(yùn)用方程解決實際問題中的配套問題與工程問題，掌握利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟．2．在實際問題的分析與解決的過程中，經(jīng)歷利用字母表示未知量和借助圖表尋找量與量之間關(guān)系的過程，體會“方程”是解決實際問題的常用工具．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)通過分析題意，尋找相等關(guān)系，建立方程模型．教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)厘清數(shù)量關(guān)系，多角度找相等關(guān)系．教學(xué)過程教學(xué)過程新課導(dǎo)入根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學(xué)工具．本節(jié)課我們來研究如何用一元一次方程解決實際問題中的配套問題與工程問題．在學(xué)習(xí)新課之前，先讓我們一起來解決下面這個問題：【問題】一種配套產(chǎn)品由一個螺栓和兩個螺母組成，現(xiàn)已生產(chǎn)x個螺栓，需生產(chǎn)多少個螺母剛好配套？如果生產(chǎn)了x個螺母，那么需要生產(chǎn)多少個螺栓剛好配套呢？【答案】2xx【設(shè)計意圖】使用教材中的例題情境，讓學(xué)生對配套問題有一個初步的認(rèn)識，為后面的新課學(xué)習(xí)做好鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺栓或2000個螺母，1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名?【師生活動】學(xué)生讀題，逐句進(jìn)行分析，初步找出題目中的有用信息．【思考】已知量是什么？未知量是什么？【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生對找出的有用信息進(jìn)行歸納，分別對已知量和未知量進(jìn)行分類．【答案】已知量：工人22名，每人每天生產(chǎn)1200個螺栓或2000個螺母，1個螺栓和2個螺母配套．未知量：分別安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人人數(shù)．【設(shè)計意圖】通過對題目中給出的信息進(jìn)行歸納分類，為后續(xù)設(shè)未知數(shù)做好鋪墊．【思考】“為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套”，什么叫剛好配套？【師生活動】學(xué)生分組討論，得出對“剛好配套”的理解，教師進(jìn)行點(diǎn)評．【答案】因為1個螺栓需要配2個螺母，每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套應(yīng)滿足：，即螺母數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍．【設(shè)計意圖】通過理解“剛好配套”的意思，找到配套問題中物品之間的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)列方程提供依據(jù)．【思考】在此配套基礎(chǔ)上，可以將哪個量設(shè)為未知數(shù)呢？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出未知數(shù)，同時用未知數(shù)表示出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系．【答案】可將生產(chǎn)螺栓的人數(shù)設(shè)為x，那么生產(chǎn)螺母的人數(shù)應(yīng)為22－x．則每天共生產(chǎn)螺栓1200x個，生產(chǎn)螺母2000（22－x）個．【設(shè)計意圖】用含有未知數(shù)的式子表示相關(guān)量，逐步找出列方程所需要的各元素．【問題】根據(jù)前面的分析，完成表格：項目每人每天生產(chǎn)量/個安排人數(shù)共生產(chǎn)數(shù)量/個螺栓螺母【師生活動】師生合作，完成表格．【答案】項目每人每天生產(chǎn)量/個安排人數(shù)共生產(chǎn)數(shù)量/個螺栓1200x1200x螺母200022－x2000(22－x)【設(shè)計意圖】采用表格便于學(xué)生從紛繁的實際情境中分析問題，有條理地獲取數(shù)量關(guān)系，能起到化繁為簡的功效．【問題】列出方程，對本題進(jìn)行解答．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立列出方程，并解方程，教師根據(jù)答題結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評．【答案】解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺栓，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母．根據(jù)螺母數(shù)量應(yīng)是螺栓數(shù)量的2倍，列得方程2000(22－x)＝2×1200x．解方程，得x＝10，進(jìn)而22－x＝12．答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母．【問題】如果設(shè)x名工人生產(chǎn)螺母，又該怎樣列方程呢？嘗試列出方程并解答．【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生列出方程，并解方程．【答案】解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺母，(22－x)名工人生產(chǎn)螺栓．根據(jù)螺母數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍，列得方程2000x＝2×1200(22－x)．解方程，得x＝12，22－x＝10．答：應(yīng)安排12名工人生產(chǎn)螺母，10名工人生產(chǎn)螺栓．【設(shè)計意圖】通過本問題讓學(xué)生意識到，一道應(yīng)用題中往往含有多個未知量，可以選擇設(shè)不同的未知量為未知數(shù)，一般設(shè)未知數(shù)的原則是“問什么設(shè)什么”．【師生活動】組內(nèi)交流，提煉解題思路．【設(shè)計意圖】通過對解題思路的回顧和分析，讓學(xué)生初步了解列一元一次方程解決實際問題的一般步驟．【歸納】解答配套問題的關(guān)鍵在配套問題中，一套物品的各個零部件之間會有一定的倍數(shù)關(guān)系，這個倍數(shù)關(guān)系就是列方程的關(guān)鍵．其中最常見的配套問題的相等關(guān)系是如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么．由等式的性質(zhì)可得，甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的a倍．二、典例分析【例1】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50個或做桌腿300條．現(xiàn)有5m3木料，為使做出的桌面和桌腿恰好配成方桌，應(yīng)分別用多少木料做桌面和桌腿？能配成多少張方桌？【分析】本題的配套關(guān)系是：桌面桌腿＝14，即1個桌面需要4條桌腿．相等關(guān)系是：桌面的數(shù)量×4＝桌腿的數(shù)量．【設(shè)計意圖】通過分析，找到本題中桌面和桌腿之間的數(shù)量關(guān)系．【問題】列出方程，對本題進(jìn)行解答．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立列出方程，并解方程，教師根據(jù)解題結(jié)果是否正確進(jìn)行指導(dǎo)．【答案】解：設(shè)用xm3木料做桌面，(5－x)m3木料做桌腿，則可做桌面50x個，做桌腿300(5－x)條．根據(jù)題意，列得方程：4×50x＝300(5－x)．解方程，得x＝3，5－x＝2．配成方桌的數(shù)量為：3×50＝150（張）．答：用3m3木料做桌面，2m3木料做桌腿，恰能配成150張方桌．【設(shè)計意圖】通過解答本題，鞏固解題方法，加深學(xué)生對配套問題解題思路的理解．【例2】服裝廠要生產(chǎn)一批某種型號的學(xué)生運(yùn)動服，已知每3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．計劃用600m長的這種布料生產(chǎn)運(yùn)動服，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子，才能配套？共能生產(chǎn)多少套運(yùn)動服？【師生活動】學(xué)生嘗試獨(dú)立解答，派出學(xué)生代表回答．【答案】解：設(shè)用xm布料生產(chǎn)上衣，則用(600－x)m布料生產(chǎn)褲子，根據(jù)題意列方程：x＝600－x，解方程，得x＝360．則生產(chǎn)褲子的布料：600－360＝240（m），生產(chǎn)上衣：360×＝240（件），即240套運(yùn)動服．答：分別用360m和240m布料生產(chǎn)上衣和褲子，才能配套，共能生產(chǎn)240套運(yùn)動服．【設(shè)計意圖】該題繼續(xù)鞏固解決配套問題的一般方法，同時要注意數(shù)量關(guān)系的細(xì)微變化，增強(qiáng)運(yùn)算能力．【例3】某車間有85名工人加工齒輪，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個．2個大齒輪和3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的齒輪剛好配套？【師生活動】學(xué)生獨(dú)立解決，并派學(xué)生代表板書寫出答案，教師進(jìn)行點(diǎn)評．【答案】解：設(shè)x名工人加工大齒輪，則(85－x)名工人加工小齒輪．根據(jù)題意，列得方程：3×16x＝10(85－x)×2．解方程，得x＝25，85－x＝60．【設(shè)計意圖】加深學(xué)生對利用一元一次方程解決實際問題的理解，知道列方程最關(guān)鍵的是找出問題中的相等關(guān)系．新課導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了如何運(yùn)用一元一次方程來解決實際問題中的配套問題，接下來，我們來探究一元一次方程與實際問題——工程問題．在學(xué)習(xí)新知識之前，先完成下面的填空：工作量＝工作效率×工作時間；工作效率＝工作量÷工作時間；工作時間＝工作量÷工作效率．【設(shè)計意圖】對前面學(xué)過的工程問題中存在的一些等量關(guān)系進(jìn)行復(fù)習(xí)，為接下來的學(xué)習(xí)做好鋪墊，有助于準(zhǔn)確地找到相等關(guān)系并列出方程．新知探究三、探究學(xué)習(xí)【問題】整理一批圖書，由1人整理需要40h完成．現(xiàn)計劃由一部分人先整理4h，然后增加2人與他們一起整理8h，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，應(yīng)先安排多少人進(jìn)行整理？【師生活動】學(xué)生讀題，逐句進(jìn)行分析，初步找出題目中的有用信息．【思考】（1）工作總量通?？醋鱛_____．（2）人均工作效率為______．（3）工作量＝_______________________________________．【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的知識填空．【答案】（1）1（2）（3）人均工作效率×人數(shù)×工作時間【設(shè)計意圖】明確解答本題需要用到的一些數(shù)量關(guān)系，為后面設(shè)未知數(shù)做好鋪墊．【思考】整項工作由幾部分組成？存在怎樣的等量關(guān)系？【師生活動】學(xué)生分組討論，找出問題中的等量關(guān)系．【答案】整項工作由兩個階段的工作量組成，存在的等量關(guān)系：一部分人先整理4h完成的工作量＋增加了2人之后再整理8h完成的工作量＝總工作量．【設(shè)計意圖】找到等量關(guān)系，為設(shè)出未知數(shù)后列方程做好準(zhǔn)備．【思考】你能根據(jù)已知條件，分別表示出兩個階段的工作量嗎？【師生活動】師生配合，表示出兩個階段的工作量．【答案】第一階段工作量：×4×第一階段人數(shù)；第二階段工作量：×8×第二階段人數(shù)．【問題】我們可以怎樣設(shè)未知數(shù)？設(shè)出未知數(shù)后，相關(guān)的量可以如何表示呢？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面所學(xué)內(nèi)容，設(shè)出未知數(shù)，表示出列方程所需要的相關(guān)量．【答案】根據(jù)前面講過的“求什么設(shè)什么”的原則，可以設(shè)先安排x人工作．第一階段的工作人數(shù)是x，則第二階段的工作人數(shù)是x＋2；第一階段的工作量可以表示為，第二階段的工作量可以表示為．【設(shè)計意圖】用含有未知數(shù)的式子表示相關(guān)量，逐步找出列方程所需要的各元素．【問題】根據(jù)前面的分析，完成表格：項目人均效率人數(shù)時間/h工作量第一階段工作第二階段工作【師生活動】師生合作，完成表格．【答案】項目人均效率人數(shù)時間/h工作量第一階段工作x4第二階段工作x＋28【設(shè)計意圖】采用表格便于從紛繁的實際情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，有條理地獲取數(shù)量關(guān)系，有助于提升學(xué)生思考問題的條理性．【問題】列出方程，對本題進(jìn)行解答．【師生活動】根據(jù)前面的分析和所完成的表格，列出方程，并解方程．【答案】解：設(shè)先安排x人整理4h．根據(jù)先后兩個時段的工作量之和等于總工作量，列得方程．解方程，得x＝2．答：應(yīng)先安排2人進(jìn)行整理．【師生活動】組內(nèi)交流，提煉解題思路．【設(shè)計意圖】通過對解題過程的分析回顧，讓學(xué)生能清晰地掌握利用一元一次方程解決工程問題的一般步驟．【問題】整理一批圖書，由1人整理需要40h完成，現(xiàn)計劃由2人先整理4h，然后增加若干人與他們一起又整理4h完成這項工作，應(yīng)增加多少人？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生列出方程，并解方程．【答案】解：設(shè)增加x人．根據(jù)先后兩個時段的工作量之和等于總工作量，列得方程．解方程，得x＝6．答：應(yīng)增加6人一起完成工作．【設(shè)計意圖】通過變式問題，鞏固學(xué)生對列一元一次方程解決工程問題的應(yīng)用．【歸納】工程問題中的等量關(guān)系．（1）在工作總量不明確、不具體的情況下，通常把工作總量看成單位1．（2）工作總量＝工作效率×工作時間．（3）甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．（4）所有人工作量的和等于總工作量．四、典例分析【例4】甲每天生產(chǎn)某種零件80個，甲生產(chǎn)3天后，乙也加入生產(chǎn)同一種零件，再經(jīng)過5天，兩人共生產(chǎn)這種零件940個，問乙每天生產(chǎn)這種零件多少個？【分析】畫出示意圖如下：等量關(guān)系是：前3天甲生產(chǎn)零件的個數(shù)＋后5天甲生產(chǎn)零件的個數(shù)＋后5天乙生產(chǎn)零件的個數(shù)＝940．【設(shè)計意圖】數(shù)和形是數(shù)學(xué)中兩種重要的表示形式，在列方程解應(yīng)用題時，我們可以利用圖形分析問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行求解．本題通過使用示意圖，得出等量關(guān)系式，給學(xué)生展示使用圖形分析題目的方法．【問題】列出方程，解答本題．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立列出方程，并解方程，教師根據(jù)解題結(jié)果是否正確進(jìn)行指導(dǎo)．【答案】解：設(shè)乙每天生產(chǎn)零件的個數(shù)為x．由題意，得3×80＋5×80＋5??＝940．解方程，得x＝60．答：乙每天生產(chǎn)這種零件60個．【設(shè)計意圖】讓學(xué)生掌握另一種形式的工程問題的解題思路．【例5】某項工作，甲單獨(dú)做需要4小時，乙單獨(dú)做需要6小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙合作．甲、乙合作還需要多少小時才能完成全部工作？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，列出方程．【答案】解法1：設(shè)甲、乙合作還需要x小時才能完成全部工作．根據(jù)題意，得．解方程，得x＝2.1．答：甲、乙合作還需要2.1小時才能完成全部工作．解法2：設(shè)甲、乙合作還需要x小時才能完成全部工作．根據(jù)題意，得．解方程，得x＝2.1．答：甲、乙合作還需要2.1小時才能完成全部工作．【設(shè)計意圖】該題繼續(xù)鞏固工程問題的解題方法，同時幫助學(xué)生尋找不同的列方程切入點(diǎn)，知道列式的不同并不會影響最終結(jié)果．【例6】某工人安裝一批機(jī)器，若每天安裝4臺，預(yù)計若干天完成，安裝后，改用新方法安裝，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計時間提前一天完工．這批機(jī)器有多少臺？預(yù)計幾天完成？【師生活動】學(xué)生獨(dú)立解決，并派學(xué)生代表板書寫出答案，教師進(jìn)行點(diǎn)評．【答案】解：設(shè)這批機(jī)器有x臺，則預(yù)計天完成．根據(jù)題意，得．解方程，得x＝36．進(jìn)而．答：這批機(jī)器有36臺，預(yù)計9天完成．【設(shè)計意圖】此題有一定難度，可以更好地鞏固學(xué)生對工程問題解法的掌握．【歸納】工程問題中的三個基本量：工作量、工作效率、工作時間．列方程解應(yīng)用題時要牢記：如果甲量已知，從乙量設(shè)元，那么需從丙量找相等關(guān)系