江蘇省泰州市靖江市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)11月期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含解析】

2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期調(diào)研測(cè)試

局二數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.請(qǐng)將選擇題、填空題的答案和解答題的解題過(guò)程涂寫(xiě)在答題卷上，在本試卷上答題無(wú)

效.

2.答題前，務(wù)必將自己的考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)涂寫(xiě)在答題卷上.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.設(shè)集合4={刈1°82%〉1},則?幺=（）

A.（0,2）B,（0,2]C.（-oo,2）D.（—oo,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合4根據(jù)集合的補(bǔ)集定義，即可求得答案.

【詳解】由log?》〉]，可得x〉2,即幺=（2,+co）,

故第N=（-￥,2],

故選：D

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足2（3+4i）=5+12i,則目=（）

5131213

A.—B.—C.—D.—

13554

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)z,再計(jì)算模，即得答案.

5+12i_（5+12i）（3-旬_63+16i

【詳解】由2（3+的）=5+1為得2=

3+4i（3+4i）（3-4i）25

故選：B

2

3.設(shè)a=2°，3,6=0.32,c=logffl(m+0.3)(m>l),則a,b,。的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行大小比較，從而得出相應(yīng)答案.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：2°<203<21.即l<a<2,0<0,32<0.3°=1，即0<方<|，

由于機(jī)〉1,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：log?,(加2+0.3)〉log〃,機(jī)2=2,即?！?,

所以6<a<c>

故答案選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)于對(duì)手函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用這一知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性，取決于底數(shù)。與1的大小.

X(71)

4.函數(shù)y=5-2cos卜一萬(wàn))的圖象大致是()

斗斗

A''B.IAJ2N

IT。D.

【答案】c

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)-2cos卜一萬(wàn)的表達(dá)式判斷其奇偶性可判斷A；舉特殊值計(jì)算函數(shù)值可判斷BD；

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C.

^=|-2sinx,定義域?yàn)镽,

【詳解】由題意設(shè)y=/(x)=5—2cos卜一二

滿(mǎn)足/(—x)=$+2sinx=-/(x),即/(x)為奇函數(shù)，

則/(0)=0,故可判斷A錯(cuò)誤；

當(dāng)x>271時(shí)，］■>兀，2sinx<2,f(x)=——2siiu>0,可判斷D錯(cuò)誤；

「”3兀、371c.3兀3TC、

又/(y)=—-2sm—=—+2,f(2n)=T\-2sin2兀=71,

而彳+2>兀，即/(晝)〉/(2兀)，則可判斷B錯(cuò)誤，

由于/'(%)~~~2cosx,令/'(%)=；-2cosx=0,則cosx=；,

結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可知COSX=-有無(wú)數(shù)多個(gè)解，

4

從而/'(X)〉0或/'(X)<0的解集均為無(wú)數(shù)個(gè)區(qū)間的并集，

即/(x)將有無(wú)數(shù)個(gè)單調(diào)增區(qū)間以及單調(diào)減區(qū)間，故只有C中圖象符合題意，

故選：C

5.若函數(shù)/(x)=3x-V在區(qū)間僅2_12,°)上有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(-1,VT1)B.(—1,4)C.(—1,2]D.(-1,2)

【答案】C

【解析】

【詳解】由題/'(x)=3-3x2,

令/(x)>0解得—令/(X)<0解得x<—1或x>l

由此得函數(shù)在(-8，-1),(1,+oo)上是減函數(shù)，在(-1,1)上是增函數(shù)，

故函數(shù)在x=-1處取到極小值-2,判斷知此極小值必是區(qū)間(a2-12,a)上的最小值.?./—12V-IVa,

解得—

又當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=-2,故有aW2

綜上知ae(-1,2]

故選C

6.設(shè)數(shù)列5｝的前〃項(xiàng)之積為北，滿(mǎn)足%+21=1(〃eN*),則%)24=()

1011101140474048

A.----B.----C.----D.----

1012101340494049

【答案】C

【解析】

【分析】由已知遞推式可得數(shù)列｛—｝是等差數(shù)列，從而可得Tn,進(jìn)而可得出024的值?

【詳解】因?yàn)?+27；=1(〃eN*),

所以q+27]=1,即41+2。1=1,所以％二；,

所以白+21=1(〃22,〃￡N*),顯然(。0,

4T

11*

所以^—=2(?>2,?eN),

nn—1

所以數(shù)歹！J{<}是首項(xiàng)為^=-=3,公差為2的等差數(shù)列，

T

nT[ax

所以3=3+2(〃-1)=2〃+1,

1

1T2x2024+14047

即北=^―7，所以出期二步二

]—4049'

2〃+1，2023

2x2023+1

故選：C.

7.某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改

良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量

為2.21g/m3,第〃次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量/滿(mǎn)足函數(shù)模型/=%+(〃-4)

(feR,〃eN*)，其中為為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，4為首次改良工藝后排放的廢

水中含有的污染物數(shù)量，"為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)0.65g/m3時(shí)符合廢水

排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為()(參考數(shù)據(jù)：

lg2?0.30,lg3?0.48)

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)指數(shù)幕和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可得5=2.25-0.04x3°2"i),由/V0.65,解不等式即可

求解.

【詳解】由題意知％=2.25g/m3,=2.21g/m3,

當(dāng)及=1時(shí),4=%+&_.)x3°如,故3°的=1,解得”—0.25,

所以々=2.25-0.04x3°25("f.

1g40

由乙V0.65,得3°25（"T）N40,即025（〃一1）2門(mén),

1g3

得/廣（1；2產(chǎn)）+1。14.33,又〃eN*，

1g3

所以〃215,

故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次.

故選：D

8.已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為。、b及c,其中a<b.若a,b是函數(shù)y=ax?-bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則a

的取值范圍是（）

fl石-1）

B.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】由。，6為函數(shù)/（》）=。》2一—+。的兩個(gè)零點(diǎn)可得ax2—a（a+6）x+q26=ax2-6x+c,即可

,旦入a2a4卡布、+,對(duì)+工結(jié)一、出任人面上旦1V5-1

得6=----、C=----,由兩邊之和大于第二邊，結(jié)合題思可得一<Q<------.

1—ci1—Q22

【詳解】由為函數(shù)/（%）=。%2一及+。的兩個(gè)零點(diǎn)，故有。（％—Q）（X—b）=a%2—云+。，

即ax?一。（。+b）x+。2b=ax^—bx+c恒成立，

224

故。（a+b）=6,a2b=c，貝—，c-a2b=a2x—――—―，

1—Cl1—CL1—CL

由q,b,c為某三角形的三邊長(zhǎng)，且a<6,

故1—a>0,且a<￡,則j<。<1,因?yàn)閎+c〉a必然成立,

1-a2

42

aa

a-\---->----

a+c>b1—Q1—a

所以《7,即V解得

1

a+b>caQ4

a-\---->----0<a<1

1—a1—a

fl45-1}

故。的取值范圍是：[22J.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知向量i=（G,掰）,B=（o,1）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若同=2,則小不=1

B.不存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得3//b

C.若向量G_L-4石），則機(jī)=1或加=3

27r

D.若向量1在行向量上的投影向量為—B，則①B的夾角為？-

【答案】BCD

【解析】

【分析】運(yùn)用平面向量的性質(zhì)定理，即可求解.

【詳解】A選項(xiàng)：同=J（G『+/=,3+>=2,所以機(jī)=±1,所以莉=±1，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：若得/〃貝11x6=0，顯然不成立，故B正確；

C選項(xiàng)：因?yàn)閍—4b—4）,若向量a_L（a—44,

貝|]]（1一4很）=3+機(jī)（機(jī)-4）=0=>m=1或切=3,故C正確；

D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)B的夾角為，（。€[0,可），

a'bb--

則向量5在B向量上的投影向量為=6,所以加二—1,

又因?yàn)橄蛄?在行向量上的投影向量為=同《.COSe=V3+m2-coso-b=2cos0-b=-b,

\b\\b\\b\

所以COS8=—L

2

則用B的夾角為半，故D正確.

故選：BCD.

10.對(duì)于函數(shù)/(x)=J^sinxcosx+sirx—g,給出下列結(jié)論，其中正確的有()

A.函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

函數(shù)歹=/(x)在區(qū)間芋上的值域?yàn)?/p>

B.

632

C.將函數(shù)y=/(X)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=-cos2x的圖象

D.曲線_^=/(%)在》=:處的切線的斜率為1

【答案】BD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)V=/(x)的表達(dá)式，采用驗(yàn)證法即可判斷A；結(jié)合正弦函數(shù)的值域可

判斷B；根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】由題意知/(x)=V3sinxcosx+sin2=^-sin2x-^-cos2x=sinfzx-^,

對(duì)于A,

故函數(shù)V

，一—，兀2兀一一，八兀兀7兀

對(duì)于B,因?yàn)楣ぁ辍?x———

6366?6

x

則sinf^~~je-

-?1,B正確；

對(duì)于C,將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)

(兀)兀(兀)

J=sin2x+———=sin|2x+—|=cos2x的圖象,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/,(x)=2cosf2x-^-'則后)=2cosH=2s哈1,

故曲線y=/(x)在X=；處的切線的斜率為I,D正確,

故選：BD

11.已知函數(shù)/(X),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)((久)，g'(x)的定義域均為R,若y(2x-1)的圖象關(guān)于直線X=1

對(duì)稱(chēng)，/(x)+g(x+l)=x+l,/(x+1)=g(-x)+x,且g(2)=l,則()

A./(x)為偶函數(shù)B.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,3)對(duì)稱(chēng)

99

C.g，(202)=lD,2g(z)=4949

1=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，判斷函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)性，以及周期，并結(jié)合條件轉(zhuǎn)化，判斷函數(shù)g(x)

的對(duì)稱(chēng)性，利用抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及周期性，求g'(202),最后利用函數(shù)/(x)與g(x)的關(guān)系求和.

【詳解】由/(2x—l)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，則=

即〃2x-l)=/(3-2x),所以/(x―1)=/(3—x),

即/(x)=/(2-x),則/(2+x)=/(-x),即/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng),

由/(x)+g(x+l)=x+l,可得/(-x-l)+g(-x)=-x,X/(x+l)=g(-x)+x,

所以/(—x—l)+/(x+l)=O,所以/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，即/(X)為奇函數(shù)，

所以/(2+x)=f(—x)=—/(x),即/(4+x)=/(x),即函數(shù)/(x)的周期為4,

由/(x)+g(x+D=x+l,可得/(x+5)+g(x+6)=x+6,因?yàn)?(x)的周期為4,

所以/(x+5)=/(x+l),

貝1Jg(-x)+x+g(x+6)=x+6,即g(-x)+g(x+6)=6,

所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,3)對(duì)稱(chēng)，故B正確；

因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，則/(2—x)=/(x),所以一/'(2—x)=/'(x),

所以/'(1)=0,

因?yàn)?(x)的周期為4,所以f\x)的周期也為4.由/(x)+g(x+l)=x+l,

可得/'(x)+g'(x+l)=l，所以g(202)=l—/'(201)=1—/'(1)=1,故C正確；

由/(x)+g(x+l)=x+l,可得g(x)=x-/(x—l),

所以g(2)=2-7(I),即/(I)=1,八2)=/(0)=0,〃3)=-1,

99

￡g⑴=(1+2+3+…+99)-[/(0)+/(1)+-+/(98)]

Z=1

=4950-/(0)-/(I)-/(2)=4949,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要是研究抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是以條件等式為

橋梁，發(fā)現(xiàn)函數(shù)/(x)與g(x)的性質(zhì)關(guān)系，以及解析式的關(guān)系.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/(x)=ln(x2_8x+12)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】(6,+“)

【解析】

【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減來(lái)求得單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】由爐―8x+12=(x—2)(x—6)〉0,解得x<2或x>6,

所以/(x)的定義域?yàn)?T?,2)U(6,+OO).

函數(shù)y=lnx在(0,+。)上單調(diào)遞增，歹=爐—8x+12的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=4,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(6,+s).

故答案為:(6,+8)

13.已知S“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，S.,是3%和—2的等差中項(xiàng)，則S“=.

【答案】3"—1

【解析】

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)列方程，然后利用為=二cc求得為，進(jìn)而求得S".

【詳解】由于S.是3%和—2的等差中項(xiàng)，

所以2s“=3%—2,

當(dāng)〃=1時(shí)，2%=3%-2嗎=2

當(dāng)〃22時(shí)，25n=3c1n-2,2s〃_]=-2,

兩式相減并化簡(jiǎn)得2%=3%=3a,i,

所以｛即｝是首項(xiàng)為4=2,公比為3的等比數(shù)列，

所以%=2-3"T,%也符合，所以%=2-3"-1

所以2s〃=3%—2=23—2,S“=3"-1.

故答案為：3"-1

14.V45C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c?=3/一3〃，則tan(幺—8)的最大值為

【答案】旦

4

【解析】

【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到tanN=2tan8,再利用基本不等式即可得解.

2122

【詳解】由余弦定理得"=62+c-2bccosA,b=a+c-laccosB,

兩式相減得2(a?—Z?2)—2c(acosB—bcos/),

因?yàn)?2=3/_3〃,所以。=3(acos8-〃cos/),

由正弦定理得sinC=3(sinAcos5-sin5cosA),

即sin(/+B)=3(sinAcosB-sinBcosA),

所以sin/cos5+sinBcosA=3(sinAcos5-sin5cosA),

則sinAcosB=2cosAsinB,

因?yàn)樵赩45C中，cos4cos3不同時(shí)為0,sin/>O,sinB>0,故cosZw0,cos5w0,

所以tanA=2tanB,

TT

又/=3/—3〃>0,所以。>6,則故0<5<一,貝han8>0,

2

//八、tanA-tanBtan51

?,tan(A—B)=-----------------=-----------——=——；--------------

所以1+tanAtanB1+2tan2B1,

------+2tanJ?D

tan5

,1V2

<--.=---

-ri4，

2J------x2tanB

Vtan5

15

當(dāng)且僅當(dāng)嬴萬(wàn)=2tan5'即tan八號(hào)時(shí)'等號(hào)成立'

則tan(N—5)的最大值為子.

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正一各項(xiàng)均

為正；二定一積或和為定值；三相等一等號(hào)能否取得“，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知集合M=[x,?-7x+10<0,xeR},N={xk-2|<機(jī),xeR}

(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求McN；

(2)在“充分條件”、“必要條件”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.是否存在正實(shí)數(shù)機(jī)，

使得“xeAf”是“xeN”的?若機(jī)存在，求出機(jī)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴AfcN={x[2<x<3}；

(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式、絕對(duì)值不等式求集合，再由交運(yùn)算求集合；

(2)根據(jù)所選條件得到對(duì)應(yīng)集合的包含關(guān)系，進(jìn)而得到不等關(guān)系求參數(shù)范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由Af=卜,-7x+10<0,xeR)=<x<5},

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，N={x|-l<x-2<1}={x[l<x<3},

所以AfcN={x[2<x<3}.

【小問(wèn)2詳解】

由題設(shè)N={目—加+2<%(m+2,機(jī))0},

m>0

選充分條件時(shí)MjN,貝1卜—機(jī)+2<2,即機(jī)23,

m+2>5

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3,+8).

m>0m〉0

選必要條件時(shí)貝叫

N=—m+2>2,即《m<0f故加￡0,

m+2<5m<3

所以實(shí)數(shù)機(jī)不存在.

16.在V4SC中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為q,b,c,設(shè)向量加=(2sin(x-Z),sin/),n=(cosx,l),

5兀

f(x)=m?n,且對(duì)任意XER,都有/(%)4/n

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

/7

(2)若Q=2百，sin5+sinC=-----，求V45c的面積.

2

JI5兀

【答案】(1)k7l—--,k7l+——(左eZ)；

1212

(2)V3.

【解析】

【分析】(1)應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換化簡(jiǎn)求得/(x)=sin(2x-N),結(jié)合已知得

57rTV7T

?-/=2Mr+=(XeZ),進(jìn)而求得2=—,利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求遞增區(qū)間;

623

(2)由正弦定理及Z=m、已知條件可得b+c=2而，結(jié)合余弦定理有b2+c2-bc=n，聯(lián)立求得be=4,

最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得f(x)=m-n=2sin(x-4)?cosx+sinA=2(sinx-cosA-cosx-sin4)?cosx+sinA=

2sinx-cosx-cosA-2cos2x-sin24+sinA=2sinx-cosx-cosA-(2cos2x-1)?sinZ=

5兀

sin2x?cosA-cos2x?sinZ=sin(2x-A),且/nsin

57rJr57r兀571

所以不T=2破+產(chǎn)eZ),因?yàn)榘?0,兀)，所以丁小

69~6~

所以學(xué)_/=],即2=K，所以/(x)=sin[71,

623k3J3

令2kn-^<2x-y<2標(biāo)+?左eZ),解得kTi-^<x<左兀+^?(左€Z)

JT5兀

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為kit--.kTi+—(左eZ).

【小問(wèn)2詳解】

在V48c中，由正弦定理‘一=上=三；，得6+c=」-；(sinB+sinC)=2通，

sinAsinBsinCsinA

所以62+c2+26c=24①，

由余弦定理得〃+c2-a2-2bccosA，得〃+c?一秘=12②，

由①②解得bc=4,

所以V45c的面積為,bcsinZ=—x4x^-=^3.

222

2

17.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax,g(x)=一，o0.

ax

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0且/(x)〈g(x)恒成立，求。的最小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵4-

e

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a>0與。<0分類(lèi)討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

=——a=-——(aw0),

xx

當(dāng)時(shí)，由于x>0,所以((%)>0恒成立，從而/(%)在(0,+8)上遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，0<x<一，f(%)>0；x>一,/(%)<0，

aa

從而/(x)在］上遞增,在遞減；

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)a〉0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［(),：］,單調(diào)遞減區(qū)間為

【小問(wèn)2詳解】

2

令力(x)=/(x)-g(x)=lnx-ax----,要使/(x)<g(x)恒成立,

只要使〃(x)?0恒成立,也只要使“"max<0.

1

h'(x\0+2_-(ax+l)(ax-2)

xaxax

由于。>0,x>0,所以。％+1>0恒成立，

22

當(dāng)0<x<一時(shí)，〃(%)>0,當(dāng)一<%<+8時(shí)，"(%)<0,

aa

29

S=ln13W0,解得：

所以。的最小值為w.

e

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且S“=2%—

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵令6,=nan,求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和Tn.

(3)記°,,=3"—2-(—1)"%Z"(4H0),是否存在實(shí)數(shù)X使得對(duì)任意的“eN*，恒有g(shù)+i〉g?若存

在，求出幾的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴a?=2"-'；(2)北=(〃-1)2'+1；⑶存在，且—：<幾<1.

【解析】

【分析】

(1)令〃=1可求得見(jiàn)的值，令〃22,由S“=2%-1可得出S,T=2%_]—1兩式作差可得出數(shù)列｛%｝

為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此可得出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求得“=人2"一1,利用錯(cuò)位相減法可求得7；；

(3)假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)2使得c.+i〉g,利用作差法結(jié)合參變量分離法得出

3H+1-(-2)n+12-3,,+(-2)"X>0,然后分〃為正奇數(shù)和正偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合參變量分離法可求得

實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【詳解】(1)對(duì)任意的〃eN*，Sn=2an-\.

當(dāng)”=1時(shí)，(71=2(7,-1,即％=1;

當(dāng)〃22時(shí)，由S"=24—1可得S“T=2%T—1,

2

兩式作差得an=Sn-S,T=2%-2%,即―-=2,

an-\

所以，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，故%=1X2"T=2"T；

(2)由(1)得〃

可得7；=l-20+2-2i+3?22+…+〃.2小1,

123

2Tn=1-2+2-2+3-2+---+?-2\

1

兩式相減得—7；=2°+21+22+---+2,1-1-?-2,!=丁亍—〃?2"=(1—〃>2"—1,

因此，7；,=(?-1)-2"+1;

(3)存在.由(1)得%=3"—2.(—1)"4%=3"—(—2)"X.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)2使得對(duì)任意的〃eN*，恒有4+1＞c”,

即C"+i—q,〉0，則3"+1_(_2)"+1彳_3"+(_2)”力＞0,

BP2-3"-(-2f-(-2)2+(-2)"2>0,即(-2)"2>-3n-1-2.

n-l

3

當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí)，2"X＞—3"二2，則2〉—I，〃eN*，

n-1

33

由于數(shù)列＜-＞單調(diào)遞減，所以，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),-2nA>-3n-l-2,〃eN*，

由于數(shù)列＜單調(diào)遞增，則X＜1.

3

綜上所述，—？＜生＜1.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法:

(1)對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和;

(2)對(duì)于｛%4｝型數(shù)列，其中｛%｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和;

(3)對(duì)于｛4+4｝型數(shù)列，利用分組求和法;

(4)對(duì)于型數(shù)列，其中｛4｝是公差為d(dwO)的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.

〔%%+iJ

19.懸鏈線在建筑領(lǐng)域有很多應(yīng)用.當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí)，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之其倒置時(shí)也是一種穩(wěn)

定狀態(tài).鏈函數(shù)是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，正鏈函數(shù)表達(dá)式為。(x)=七=,相應(yīng)的反鏈函數(shù)表達(dá)式

1-P

為

2

,R(X)［。2(力—爐⑺］是軸對(duì)稱(chēng)圖形

(1)證明：曲線,=-7■/、

。-(X)

(2)若直線y=/與函數(shù)＞=。(x)和歹=R(x)的圖象共有三個(gè)交點(diǎn),設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為多,

X3,證明：X]+》2+退〉ln(l+C);

(3)已知函數(shù)/(x)=p(2x)-aR(x)-N，其中/+勖<40，a,Z)eR.若/(x)44對(duì)任意的

xeIn(、歷—+川恒成立，求同+網(wǎng)的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析(3)7

【解析】

「e-e-，Y

【分析】(1)將函數(shù)化簡(jiǎn)得y=-——-1,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);