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第28講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積

（7類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第9題,5分柱體體積的計算

2023年天津卷，第8題,5分錐體體積的有關(guān)計算證明線面垂直

2022年天津卷，第8題,5分柱體體積的有關(guān)計算求組合體的體積

2021年天津卷，第6題,5分錐體體積的有關(guān)計算球的體積的有關(guān)計算

2020年天津卷，第5題,5分球的表面積的有關(guān)計算

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握幾何體的有關(guān)特征，掌握不同幾何體的表面積與體積的計算公式。

2.能掌握不同幾何體的展開圖的特征。

3.具備數(shù)形空間思維，會計算空間幾何體中的最短路徑問題。

4.會解外接球，內(nèi)切球與棱切球問題。

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出幾何體，求解幾何體的表面積。體積與球的相

關(guān)問題。

GA?考點梳理，

1

r知識點一.構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點、線、面考點一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

考點五、幾何體的展開圖

知識點二.簡單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺

考點六、最短路徑問題

知識點三.簡單旋轉(zhuǎn)體一圓柱、圓錐、圓臺、球

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積；

知識點四.組合體

考點二、空間幾何體的表面積

知識點五.表面積與體積計算公式考點二、空間幾何體的表面積

考點七、球相關(guān)問題

知識點六.空間幾何體的直觀圖考點四、幾何體的直觀圖

知識講解

知識點一.構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點、線、面

1.空間中，點動成線，線動成面，面動成體.

2.空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四點確定一個空間圖形或幾

何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）.

知識點二.簡單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺

1.棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所

圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱;

(2)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱;

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱;

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱;

(5)直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體;

(6)長方體：底面是矩形的直平行六面體;

(7)正方體：棱長都相等的長方體.

2.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3.棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫

做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

2

知識點三.簡單旋轉(zhuǎn)體一圓柱、圓錐、圓臺、球

1.圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2.圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐.

3.圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4.球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離:

經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.

知識點四.組合體

由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

知識點五.表面積與體積計算公式

1.表面積公式

S直棱柱="+2s底

S斜棱柱=c7+2s底(c‘為直截面周長

柱體

)

S圓錐=2TTP2+271rl=2^r(r+/)二2--

表S正棱錐=；加"+8底

面錐體

積S圓錐-兀戶+7irl=7ir(r+/)

a

S正棱臺=~n(a++S上+S下

臺體

S圓臺=成產(chǎn)+r2+r'l+r/)

3

球S=4"21

體積公式

柱體%=SkK

錐體囁=興

體

積

臺體K=^(s+4ss'+S')h

43

球V=-7rR3

3?

知識點六.空間幾何體的直觀圖

1.斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標(biāo)系.

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀

圖中畫成平行于O'x',Oy,使/x'O'y'=45。（或135。），它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于V軸的線段，且長度保持不變;

在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變，

縱減半

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去x'軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為4.

2.平行投影與中心投影

4

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點.

考點一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

中典例引領(lǐng)

1.（?北京?高考真題）如圖，在正方體力BCD-&B1C1D1中，P為對角線BDi的三等分點，P到各頂點的距離

的不同取值有（）

A.3個B.4個

C.5個D.6個

【答案】B

【詳解】如圖,取底面ABCD的中心0,連接PA,PC,PO.

：AC_L平面DD1B,

又POu平面DD1B,

AACIPO.

又O是AC的中點，

；.PA=PC.

同理，取B1C與BC1的交點H,易證B1C_L平面D1C1B,

.?.B1C±PH.

又H是B1C的中點，

.,.PB1=PC,

；.PA=PB1=PC.

5

同理可證PA1=PC1=PD.

又P是BD1的三等分點，

/.PB#PD1/PB1#PD,

故點P到正方體的頂點的不同距離有4個.

2.（2007?安徽?高考真題）在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些

幾何形體是（寫出所有正確結(jié)論的編號）.

①矩形；

②不是矩形的平行四邊形；

③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；

④每個面都是等邊三角形的四面體；

⑤每個面都是直角三角形的四面體.

【答案】①③④⑤

【詳解】試題分析：本題中①③④⑤只要能舉一例說明正確即可，如圖長方體力中，四邊

形是矩形，四面體有三個面是直角三角形，第四個面/AC是等腰三角形，四面體每

個面都是等腰三角形，四面體Z8DC每個面都是直角三角形，故①③④⑤正確，而任取四點構(gòu)成的平行四

邊形的兩組對邊中至少有一組是長方體的平行的一對棱，故這個平行四邊形一定是矩形，從而②錯誤.

考點：線線垂直與線面垂直.

即時檢測

■一

1.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）碳60（Co）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱

為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面,

且滿足：頂點數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,則其六元環(huán)的個數(shù)為（）.

6

A.12B.14C.18D.20

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個，正六邊形為y個，分析可得其棱數(shù)，即可得關(guān)于久、y的方程組，解

得y的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個，正六邊形為y個，

碳60（40）的頂點數(shù)為60，有32個面，

由頂點數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,則棱數(shù)為90,

則有解可得y=20,即有20個六元環(huán)，

故選：D

2.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）如圖、以矩形48CD的邊AB所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的幾何體是（）

【分析】根據(jù)圓柱的形成即可得到答案.

【詳解】以矩形48CD的邊所在直線為軸，

其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓柱.

故選：C.

3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）要使正方體力BCD-4道1的。1以直線C4為軸，旋轉(zhuǎn)n。后與其自身重合，貝g

的最小正值為.

【答案】120

【分析】由正方體的性質(zhì)可證得C41平面BO。，且為正三角形，所以只需要△BDCi旋轉(zhuǎn)后能和自

身重合即可，從而可求得答案.

【詳解】因為四邊形4BCD為正方形，所以力C1BD,

因為441_L平面4BCD,8Du平面力BCD,所以4411BD,

因為力41。4。=力，441，4Cu平面所以BD_L平面

因為41Cu平面44停，所以8D_L&C,同理可證得BQ_L&C,

因為BCiCiBD=B,BC[,BDu平面8。的，所以C4i_L平面8。的，

7

同理可證得1平面48拉1，

因為△BO。為等邊三角形，BC=CCt=DC,

所以&C過△BOQ的中心，設(shè)△BDQ的中心為點G,連接CiG,BG,DG,

貝此8GD=乙BGC]=乙DGC[=120°,

同理&C也過等邊的中心，

若正方體繞C&旋轉(zhuǎn)滸后與其自身重合，只需要△BO。和△力Bi%旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可,

因此至少旋轉(zhuǎn)120°.

故答案為：120.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本小題主要考查正方體特征及垂直等知識；解題的關(guān)鍵是證明C41平面BDCi，考

查運算求解能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展發(fā)展直觀想象、邏輯推理、

數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

4.（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）連結(jié)正三棱柱的6個頂點，可以組成個四面體.

【答案】12

【分析】求出4個點共面的情況有3種情況，利用正難則反進行求解.

【詳解】正三棱柱共有6個頂點，從中任取4個，有墨種，

其中4個點共面的情況有3種情況，分別為三個側(cè)面,

故可以組成-3=12個四面體.

故答案為：12

考點二、空間幾何體的表面積

8

典例引領(lǐng)

1.（24-25高三上?安徽?開學(xué)考試）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和

一個圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺的圓柱的底面直徑為6,圓柱和圓錐的高均為4,則該陀螺的表面

積為（）

A.44TlB.46KC.48KD.50n

【答案】c

【分析】分析該陀螺的表面結(jié)構(gòu)，結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運算求解.

【詳解】由題意可知：該陀螺的表面有：底面圓面、圓柱的側(cè)面和圓錐的側(cè)面,

且圓錐的母線長為V32+42=5,

所以該陀螺的表面積為兀x3?+2irx3x4+nx3x5=481T.

故選：C.

2.（24-25高三上?貴州黔東南?開學(xué)考試）如圖，在直角梯形4BCD中，4B||CD,AB1BC,且力B=l,BC=y/3,

DC=2.將直角梯形4BCD繞BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）

A.2逐兀+5兀B.百兀+5無C.UTTD.6V3TT+5K

【答案】C

【分析】由圓臺的表面積公式求解即可.

【詳解】由題可知，該旋轉(zhuǎn)體為上底面半徑勺=1,下底面半徑*=2,母線長/=2的圓臺,

則該圓臺的表面積S=rt（ri+r1+rrl+r2Z）=lln.

故選：C.

1.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測）已知圓錐P。的頂點為P,其三條母線P4PB,PC兩兩垂直，且母線長為

9

則圓錐P。的側(cè)面積為（）

A.V2TTB.2y/6itC.手兀D.V6TC

【答案】D

【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，然后由圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】因為三條母線PA,PB,PC兩兩垂直，且母線長為舊，

所以△4BC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長4B=BC=CA=V3T3=V6,

由正弦定理可得底面圓的半徑R=3x咯=&，

2sin60°

圓錐的側(cè)面積為］xV2x211xV3-迎兀；

故選：D

2.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）已知圓錐S。的底面半徑為1,過高線的中點且垂直于高線的平面將圓錐S。

截成上、下兩部分，若截得小圓錐的體積為翁乃，則圓錐S。的側(cè)面積為（）

A.4TTB.2TTC.a兀D.n

【答案】B

【分析】根據(jù)體積公式可得圓錐的高，進而求解母線，即可由側(cè)面積公式求解.

【詳解】圓錐的底面半徑為1,設(shè)高為伍過高線的中點且垂直于高線的平面將圓錐截成上下兩部分，則小

圓錐的底面半徑為右高為沙

則小圓錐的體積為：|TTX（|）2X|/I==V3.

故圓錐母線長為=2,

故圓錐S。的側(cè)面積為nx1x2=2兀

故選：B

3.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）已知圓錐的高與底面半徑之和為3,則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時，圓

錐的側(cè)面積為（）

A.2逐兀B.（2V5+4）7tC.4V5rtD.4（1+V5）TI

【答案】A

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為3-r,得到％）=?—濘，得到U'（r）=nr（2—r）,利用導(dǎo)數(shù)求得

10

函數(shù)的單調(diào)性和極值(最值)，即可求解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高為3-r(0<r<3),

則圓錐的體積為V(r)=!?tr2(3—r)=nr2—^r3,

所以U'(r)=2nr—irr2=nr(2—r),

當(dāng)0<r<2時,/(r)>0,U(r)在(0,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)2<r<3時，7'(r)<0,U(r)在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)r=2時，U(r)取得最大值，此時圓錐的高為1,母線2=后”=痛，

故圓錐的側(cè)面積S=TtrZ=ITx2xV5=2V5TT.

故選：A.

4.(2024?四川宜賓?三模)在直三棱柱力BC-4B1C1中，AB=BC=BBX,4B1BC,點P在四邊形人&⑶道

內(nèi)(含邊界)運動，當(dāng)C1P=/CC1時，點P的軌跡長度為兀，則該三棱柱的表面積為()

A.4B.10+4V2C.12+4V2D.16+4近

【答案】C

【分析】由題意得8記=V2a2-a2=a,其中AB=BC=BB1=a,從而根據(jù)題意列方程可求得a,根據(jù)棱

柱表面積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)力B=BC=BBi=a,因為4B，BC,所以由棱柱的性質(zhì)可得1位的，

因為BB]_J_平面B]_Ciu平面4B1C1，所以B/J-BiCi，

又因為4iBi±B]Ci，41夕1CBBI=B],A^BI,BB^u平面力

所以C\Bi，平面4BBi公,

點P在四邊形441/B內(nèi)(含邊界)運動，當(dāng)gP=&Cg=奩￡1時，

B]P=V2a2-a2=a,這意味著點P是在以當(dāng)為圓心a為半徑的圓弧上運動，

該圓弧弧長是:圓周周長，由題意：x2ira=n,解得a=2,

所以該三棱柱的表面積為2X2+2X2+2/x2+Tx2x2+Ix2x2=12+4V2.

故選：C.

11

考點三、空間幾何體的體積

典例引領(lǐng)

1.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—4BC中，點M,N分別在棱PC,PB上，且PM=*C,PN=^PB,則

三棱錐P-HMN和三棱錐P-A8C的體積之比為（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【分析】分別過作“用'124"'’1「力,垂足分別為“，過8作88’1平面/5",垂足為B',連接PB',過N

作NN'1PB’,垂足為N'.先證NN'_L平面PAC,則可得到BB7/NN,，再證MM'//。。'.由三角形相似得到箸=

普=9,再由詈皿=經(jīng)%即可求出體積比.

3Vp-ABCVB-PAC

【詳解】如圖，分別過MC作MM'1PA,CC,1P4垂足分別為過B作，平面P4C,垂足為B',連接PB；

過N作NN'1PB：垂足為N：

因為8B‘1平面PAC,BB'u平面PBB',所以平面PBB'_L平面P4C.

又因為平面PB8'n平面PAC=PB',NN'1PB',NN'u平面PBB',所以NN’1平面P力C,且BB'〃NN'.

在△PC。'中，因為MM'1P4CC'，P4所以MM力CC',所以翳=箸=(,

在△PBB'中，因為BB7/NN',所以黑=黑=：

CDDD3

所以PPTMN_PN-P4M_￥APAM.NM_ggPAMMjNN'_2

Vp-ABCVB-PAC^S^PAC-BB'^PACCyBB'9*

故選：B

2.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是痛、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次

為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

【答案】2357.5/孚

【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.

【詳解】設(shè)升量器的高為刈，斗量器的高為電（單位都是mm）,則球陛=單守=10,

若”1督）加

12

故電=23mm,自=—mm.

故答案為：23mm，手mm.

即時校L

1.(2024?全國?高考真題)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為q,下底面半徑均為上，圓臺的母線長分別為

2(「2-口),3(丁2—勺)，則圓臺甲與乙的體積之比為.

【答案】斗

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可

得解.

*22

【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為八甲=V[2(ri-r2)]-(ri-r2)=百(勺一萬)，

r22

h乙=V[3(n-2)]-(n-^2)=2魚01-r2),

福l、J甲翔2+$1+4瓦)詐八甲V3(ri-r2)V6

P/T以=T-----------===---------=

，乙§(S2+Si+JS2Si)h乙"乙2V2(ri—r2)4

故答案為：手.

2.(2023?全國?高考真題)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△力BC是邊長為3的等邊三角形，SH1

平面力BC,則S4=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-4BC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-4BC,

設(shè)的外接圓圓心為?？诎霃綖閞,

則2T=.*憶=%=2?可得百，

smz.ACB蟲.7-=

2

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接。4。。1，貝"04=2,。。1=gsa,

因為。A2=。。彳+0^2,即4=3+[s42,解得S4=2.

故答案為：2.

13

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一

般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

3.（2023?全國?高考真題）在正四棱臺力BCD-力i/CiDi中，=2,=1,44］=戊，則該棱臺的體積

為.

［答案］』灰

OO

【分析】結(jié)合圖像，依次求得乙。1，4。,公知，從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過&作41MJ.4C,垂足為M,易知為四棱臺48。。一4/1的。1的高，

因為4B=2,4當(dāng)=l,AAr=V2,

Ac

貝I］力=^ii=ixV2A1B1W，A0=^AC=^x42AB=V2,

故力M=|(^C-&CJ=y,則=yjA^-AM2=(2-1=y,

14

所以所求體積為。=Jx(4+1+W3H)義當(dāng)=嬰

DZO

故答案為：平.

6

4.(2023?全國?高考真題)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為一.

【答案】28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體

的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于：=；，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為3x(4x4)x6=32,

截去的正四棱錐的體積為3x(2x2)x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x(16+4+116x4)=28.

故答案為：28.

考點四、幾何體的直觀圖

典例引領(lǐng)

1.(2024?湖北?模擬預(yù)測)用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中。'是B'C'的中點,

且力'D'//y'軸，軸，A'。'=B'C'=2,那么SMBC=()

A.V2B.2C.2V2D.4

15

【答案】D

【分析】根據(jù)斜二測畫法確定原圖形，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示,

其中力DJ.BC,力。=24'。'=4,BC=B'C'=2,

原平面圖形的面積為S&4BC=?4D=（x2x4=4.

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，△?！?'8'是水平放置的△。48用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線

分別與V軸和y'軸平行），OB'=20'D=6,OC=8,則a。力B的面積為（）

A.8&B.12V2C.24D.48

【答案】D

【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長，最后由面積公式計算可得.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：

其中。8=02=6,0D=0D=3,OC=2OC=16,力?！▂軸，且AD=OC=16,

所以SAO4B=；x6x16=48.

16

即時檢測

1.（2022高三?全國?專題練習(xí)）下圖中小正方形的邊長為1,四邊形4BCD為某圖形的直觀圖，則該圖形的

面積為（）

【答案】D

【分析】先利用分割法求出直觀圖的面積，然后利用直觀圖和原圖面積關(guān)系求解.

【詳解】如圖，把四邊形4BCD分割成兩個三角形和一個梯形來求面積

其面積S'=gx5x5+1x2x7+gx（5+7）x3=g

設(shè)原圖形面積為s,則s'=￥s,

4

所以S=2V2S'=2V2xy=75a.

故選：D.

2.（2022?全國?模擬預(yù)測）如圖，在水平放置的平面a上畫一個邊長為2的等邊三角形，在斜二測畫法中線

段2C的長為.

【答案】程

【分析】根據(jù)斜二測畫法的幾何關(guān)系，再結(jié)合余弦定理從而可求解.

【詳解】在斜二測畫法中，取的中點D,則力。=f，CD=1,^ADC=45°,

AC2=CD2+AD2-2CD-AD-coszXDC=1+--2x1x—x—=

4224

故答案為：號.

17

A

A

3.（23-24高三上?貴州黔西?階段練習(xí)）如圖，矩形。/B'C'是水平放置的平面圖形。48C的直觀圖，其中。N=

6,。'。'=3,則原圖形。48C的面積為

【答案】36企

【分析】結(jié)合圖形求出矩形ON'B'c'的面積，再由/j=2a,即可求解.

SOABC

【詳解】由題意可得SoZRd=3X6=18,又^^=2V2,所以S./BC=2&X18=36Vl

SoABC

故答案為：36Vl

4.（2023?遼寧錦州?模擬預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖。力'B'C'如圖所示，6A=3CB,

C'E1O'A,S04BC=8,C力'〃y'軸，CE=y,。'為。'4'的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成

的空間幾何體的體積為一.

【答案】48Tt

【分析】先由直觀圖還原梯形OABC,再利用斜二測畫法的性質(zhì)求得其邊與高，從而判斷得該梯形為等腰梯

形，進而利用圓臺與圓錐的體積公式求解即可.

【詳解】在直觀圖中，CD=<2C'E=1,所以在還原圖中，CD=2,如圖，

在直觀圖中，O'A=3CB',。'為。'4的三等分點，

所以在還原圖中，O4=3CB,D為OA的三等分點,

又在直觀圖中，C'》〃爐軸，

所以在還原圖中，CD〃y軸，則CDLO4

18

所以S04BC=[CDX（%+CB）=[X2x4CB=4CB=8，貝iJCB=2,

故。A=6,。。=（。4=2,所以四邊形OABC是等腰梯形，

所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積,

222

即V=1KX（4+4X6+6）X2-1TTX2x2=苧—岑=48n.

故答案為：487T.

考點五、幾何體的展開圖

典例引領(lǐng)

1.（?廣東?高考真題）己知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（）

A.—B.—C.—D.—

4TTn2K2TI

【答案】c

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為八，則由題意可得h=2irr,然后分別表示出圓柱的表面積與側(cè)面積進

行求解即可.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為八，

因為圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，所以九=2irr,

所以圓柱的表面積為2irr2+2-rrr-h=2-nr2+4n2r2,

圓柱的側(cè)面積為4n2r2,

所以這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是空真竺=竽，

4九”產(chǎn)271

故選：C

2.（?北京?高考真題）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）

是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】設(shè)圓錐的母線長為I,底面半徑為r,依題意得到Z=2r,即可得到圓錐的軸截面為等邊三角形，即

可得解.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為Z,底面半徑為r,依題意可得位=2c,即Z=2r,

所以圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的頂角為60。.

故選：C.

即時檢測

1.（2022?全國?高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別為S甲

19

sv

和s乙，體積分別為唳和V乙.若￡=2,則直（）

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

【答案】c

【分析】設(shè)母線長為Z,甲圓錐底面半徑為「1，乙圓錐底面圓半徑為「2,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得=2丁2,

再結(jié)合圓心角之和可將勺,「2分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即

可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為1,甲圓錐底面半徑為勺，乙圓錐底面圓半徑為全，

C

則二=辿=11=2,

r

s乙"沖2

所以=2r2，

又孚+”=2兀，

則中=1,

所以=|，"2=?

所以甲圓錐的高陽=

乙圓錐的高七=

所以￡=注

故選：C.

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（）

A.AB||HGB.CG1BHC.CG1DHD.AC||DG

【答案】A

【分析】將正方體的展開圖重新組合成正方體，對選項逐個分析，判斷易得只有A選項正確.

【詳解】如圖所示，將展開圖重新組合成正方體.顯然4BIIHG.因此A選項正確.

20

由圖易得CGIIDH,顯然?！迸cBH所成角非直角，因此異面直線CG與所成角也非直角，所以CG1不成

立.因此B、C選項不正確.

由圖易得AC||EG,顯然EG與DG相交，因此4C||DG不成立.因此D選項不正確.

故選：A

3.（2022?江蘇連云港?二模）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺的

,242412,12

【答案】B

【分析】先計算出上、下底面的半徑和面積，再求出圓臺的高，按照圓臺體積公式計算即可.

如圖，設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為h,母線長為Z,

則2TO-=TTX1,2TTR=TTX2,解得r=1,R=L

又I=2-1=1,h=J/2一（R_「）2=J]_2_0_=今

設(shè)上底面面積為S'=ITx（￡）2=j下底面面積為S=TTX/=m

所以圓臺的體積V=[（S+S'+Vsy）/l=11+；+J兀X：）Xy=

故選：B.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知某圓錐的軸截面是頂角為a的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為￡的扇形,

21

則當(dāng)0—a的值最大時，夕=()

A.1B.2

C.VTT12-1D.2,兀2—1

【答案】D

【分析】設(shè)圓錐的母線長為1,則可得底面半徑丁=Isin會再由側(cè)面展開圖的扇形的弧長等于圓錐底面周長

可得/?=2ns嗚，則￡一a=2ns嗚一a,構(gòu)造函數(shù)/(a)=2ns嗚一a,利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值，從而可

求出/?.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為1,則圓錐的底面半徑r=Zsin泉

側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長C=邛,

因此牛=2n/sirip/?=2nsinpp-a=2nsin|-a.

記/(a)=2nsin^—a,a6(0,IT),則f(a)=ncos^—1,

因為f(a)在(0,冗)上遞減，且f(0)=ncosO—1=K—l>0,/(兀)=ncos^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭G(0,71)滿足f'Oo)=0,即cos?=工，

L71

且當(dāng)ae(0,劭)時，/'(a)>0,則/(a)在(0,劭)單調(diào)遞增，

當(dāng)a￡(他加)時，/(a)<0,則/"(a)在(劭,冗)單調(diào)遞減，

故劭是/①)的極大值點，也是最大值點.

此時/?=Zirsiny=2njl一(：)=2VTI2-1.

故選：D

考點六、最短路徑問題

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)圓錐頂點4底面半徑為1,母線4B=4,4B的中點為M,一只螞蟻從底

面圓周上的點B繞圓錐側(cè)面一周到達M的最短路線中，其中下坡路的長是()

A.0B.等C.卓D.逐

【答案】B

【分析】將圓錐側(cè)面沿母線2B剪開并展開成扇形，最短路線即為扇形中的線段3M,過A作8M的垂線，垂足

為N,求出NM的長即可.

【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線ZB剪開并展開成扇形，

22

心-----------

則該扇形半徑2B=4,弧長為2TTX1=2TT,圓心角==泉

最短路線即為扇形中的線段BM,BM=7AB2+加=2限

過2作BM的垂線，垂足為N,當(dāng)螞蟻從B點爬行到點N過程中，它與點4的距離越來越小，

于是BN為上坡路段，當(dāng)螞蟻從點N爬行到點M的過程中，它與點4的距離越來越大，

于是NM為下坡路段，下坡路段長NM=AM-cos^AMB=2x親=等.

故選：B

2.(24?25高三上?廣東?階段練習(xí))已知某圓錐的軸截面是頂角為a的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為￡

的扇形，則當(dāng)。一夕最小時，)

A.1B.2C.VTI2-1D.2VK2-1

【答案】D

【分析】設(shè)圓錐的母線長為1,則可得底面半徑r=/sin會再由側(cè)面展開圖的扇形的弧長等于圓錐底面周長

可得/?=2nsi吟則S-a=2ns嗚-a,構(gòu)造函數(shù)f(a)=2ns嗚一a,利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值，從而可

求出仇

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為1,則圓錐的底面半徑廠=/sin全

側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長

因此10=2irZsinp0=2nsinpp-a=2nsin1-a.

記f(a)=2nsin1—a,aE(0,n),則f(a)=71cos￡—1,

因為/(a)在(0,n)上遞減，且/(0)=ncosO—l=n—1>0,/'(兀)=TTCOS^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭6(0,TI)滿足/'(劭)=0,即cos詈=

且當(dāng)a6(0,他)時，/'(a)>0,則/(a)在(0,%))上單調(diào)遞增，

當(dāng)aG(劭,71)時，/'(a)<0,則/(a)在(劭,IT)上單調(diào)遞減，

于是劭是/(a)的極大值點，也是最大值點，此時0=2irsin^=2nJl-(i)2=2荷工

而a-/?最小，當(dāng)且僅當(dāng)/?一a最大，所以-=2A/兀2一1

故選：D

即日螂(

23

1.（2019高三?全國?專題練習(xí)）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4,一只小蟲從圓錐的底面

圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為4b，則這個圓錐的體積為

【答案】C

【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為PPi，由余弦定理求出NPiOP=g.求出底面

圓的半徑r,從而求出這個圓錐的高，由此能求出這個圓錐的體積.

【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示:

該小蟲爬行的最短路程為PP1，

由余弦定理可得COSNPIOP==一[...NP]OP=3.設(shè)底面圓的半徑為r,

L'Ur'UriLJ

則有2m-=gx4,解得r=:....這個圓錐的高為h=116-,=竽,

這個圓錐的體積為V=1xnr2xh=|TIXX『=年產(chǎn).

故選：C.

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）在正四棱柱486-4/1的01中,=3,P為線段的小的中點，

一質(zhì)點從4點出發(fā)，沿長方體表面運動到達P點處，若沿質(zhì)點力的最短運動路線截該正四棱柱，則所得截面的

面積為（）

24

A.V3B.—C.—D.3V6

24

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進而可得截面與截面面積.

【詳解】如圖，把正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離,

所以質(zhì)點從4到P的最短距離為3企,

此時質(zhì)點從4點出發(fā)，經(jīng)過上靠近久的三等分點S,再到達P點,

面力SP截正四棱柱所得截面為五邊形4SPQR,如圖，

由力S=AR=RS=2V2,SP=PQ=QR=V2,

所以沿質(zhì)點力的最短運動路線截正四棱柱,

則所得截面的面積為:

S^ARS+S梯形PQRS=2聒+當(dāng)=當(dāng)

故選：B

3.（23-24高三上?山西大同?期末）已知圓臺的上、下底面的圓心分別為％,。2，母線力B=1（點力位于上

25

底面），且8。2=2401，圓。2的周長為不一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓臺側(cè)面爬行一周到點B,則其爬行的

最短路程為（）

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】將圓臺側(cè)面展開成平面圖形，在平面扇環(huán)中分析計算即得.

【詳解】將圓臺的側(cè)面沿著母線AB剪開，展成平面圖形，延長B4B1公交于點0,連接481,8%,如圖,

顯然弧的長為年，弧441的長為條設(shè)乙B0Bi=a,則ax04=]ax0B=芋

則。B=2。力，即。4+1=2。力，得。4=1,于是4是。B的中點，a=泉

因此△OBJ是等邊三角形，有網(wǎng)10B,且力當(dāng)