利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題（含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練

第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題（分層精練）

B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

B能力提升

1.（22-23高三上?山東?階段練習(xí)）已知函數(shù)/■（x）=e2，,g（x）=x-l,對(duì)任意玉eR,存在

X2G（0,+co）,使/（為）=8（%）,則工2-再的最小值為（）.

A.1B.V2

31,一

C.2+ln2D.-+-ln2

22

【答案】D

【分析】令/（%）=g（W）=m>。，將4%都用機(jī)表示，從而可將尤2-再構(gòu)造出關(guān)于加的函

數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.

【詳解】解：由題意，令/（石）=g（N）=m>0,則e2'=加，x2-l=m,

所以X]=-ln根，x2=m+\,x2-xi=m+l——Inm,

所以〃⑻=14,

令7z(m)=m+1—>0)

令”(m)=0,得根=；,

所以當(dāng)相《0,；卜寸，/z^m）<0,力（機(jī)）單調(diào)遞減;

當(dāng)me[；,+oo）時(shí)，掰⑺>0,單調(diào)遞增,

1Q1

所以當(dāng)加三時(shí)，"㈣有最小值尹如2,

31

即％一%的最小值為5+5^2.

故選：D.

2.（22-23高三上?山東煙臺(tái)?期中）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有尤-1”）-、V0,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（0,1]B.（0,e]

C.（-<o,0）u[l,+oo）D.（-oo,0）u[e,+oo）

【答案】A

【分析】

將不等式變式為2-二In24，，設(shè)土=/后轉(zhuǎn)化為加）=（2In”，恒成立，只需

<y^）\y）mym

求函數(shù)/⑺的最大值即可.

【詳解】因?yàn)椋?y-土]（Inx-lny）-240,

VeJm

所以￡---||In—|<一,設(shè)一=，，t>0,f（t）=（2]ln/

Vy^AyJmyve7

1

r（e）=--+---=0,

則以T+>eeee

人/、In/21

令g?）=----+——

ete

17

g"）=-■*■-彳<0恒成立，故y=f'（t）單調(diào)遞減,

當(dāng)t?0,e）時(shí)，尸⑺>0,函數(shù)/⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)fw（e,+8）時(shí)，尸⑺<0,函數(shù)/⑺單調(diào)遞減；

故/⑺mL/（e）=l

所以,21,得到加e（0,l].

m

故選:A.

3.（22-23高三上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=祀*+6*，8（尤）=1!1了+無(wú)，若

〃為）=8（%2）>。，則（■可?。ǎ?/p>

A.-IB.--C.1D.冊(cè)

e

【答案】A

【分析】探討函數(shù)g（x）在（5,+s）上單調(diào)性，由已知可得X2=ew（%>-1）,再構(gòu)造函數(shù)并求

出其最小值即可判斷作答.

【詳解】依題意，由g（x,）=X2（lnx,+l）>0得元2>工，

e

令g'（x）=2+lnx>0,函數(shù)g（無(wú)）在（，,+<?）上單調(diào)遞增，

由〃為）=4（西+1）>0得%>-1,

則/'（xXellneX+lkge）,

由〃M）=g（x，）>0得：g（e*'）=g（X2），又戶>』,馬>:，

ee

YAX,

于是得x,=e”(X|>-l),包=一,

國(guó)x1

^h(x)=-(x>-l)，求導(dǎo)得7/(x)=e"°,

xx

當(dāng)一1<%<0,0<%<1時(shí)，hf(x)<0,當(dāng)九〉1時(shí),hr(x)>0,

即函數(shù)力(%)在(-L。)，(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，

當(dāng)兀>0時(shí)，=h(l)=e,且%f+oo,/?(%)-KO,

h(-I)=~-,且Xf0-，/z(x)-F,^/I(X)G(-00,--)|[e,+8)

ee

即三e(-co,-3Ue,+s),顯然選項(xiàng)A符合要求，選項(xiàng)B,C,D都不符合要求.

X[e

故選：A

4.(22-23高三下?安徽安慶?階段練習(xí))已知加，”都是正整數(shù)，且d"+ln〃<〃z+”，則()

mmmn

A.n>eB.m>eC.n<QD.m>e

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得曖-/<*1-In<構(gòu)造函數(shù)/(x)=e'-x,(尤20)求解即可.

【詳解】因?yàn)閑"'+ln〃<"z+〃，所以e'"-根<"-1!1〃=6瓜"-Inw,令/(x)=e*-x,(x20),

所以尸(x)=e-120,故以x)在[0,E)上單調(diào)遞增,由己知得/(附</(ln”)，

故〃7<In”，因?yàn)榧?，〃都是正整?shù)，即e"'<〃.

故選：A.

5.(22-23高三上?黑龍江哈爾濱?期末)若實(shí)數(shù)%,V滿足41nx+21n(2y)12+8y—4,則()

A.xy=B.x+y=A/2

4

C.%+2y=l+0D.x2y=1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意將原不等式化簡(jiǎn)為InQ%2^(4y)>1%2+4y-2,令

a=—x2,b=4y(^a>0,b>0^,可知原不等式等價(jià)于(Ina—a+l)+(ln6—b+1)20,再令

g(x)=lnx-x+l,則原不等式等價(jià)于g(a)+g())NO；再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)單調(diào)性，

進(jìn)而可得g(x)WO,由此可知只有當(dāng)a=b=l時(shí)，即g(a)=g(b)=O時(shí)才滿足g(a)+gS)20,

據(jù)此即可求出羽，的值，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】41nx+21n(2y)>x2+8y-4(x>0,y>0)

2[ln(x2)+ln(2y)]2尤2+8y-4,

In]g/}(4y)>^x2+4y-2,

設(shè)。=3尤2,6=4>(。>0,。>0),則有In"上a+6—2,§Plna+ln&>?+Z?—2,

/.(ln6Z-6z+l)+(ln/?-/?+l)>0,

ii_r

令g(x)=lnx-x+l,貝i]g，(x)=-l=----,

.?.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g^x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，<0,g(x)單調(diào)遞減；

；?g(x)3=g(l)=。，即g(x)?0，

要使伽。-。+1)+(1116-人+1)20成立等價(jià)于8(。)+80)2。成立，

只有當(dāng)°=人=1時(shí)，即g(a)=g(6)=0時(shí)才滿足，

1,

a=—x=l,b=4y=l

?x=y=二,.xy-.

44

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是對(duì)原不等式的變形，將其變形成

InQ%^-(4y)>^x2+4y-2,再進(jìn)行換元、構(gòu)造輔助函數(shù)，借助函數(shù)的最值和唯一性求

解.

1+Inx,尤>1

6.(22-23高三?全國(guó),專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=,11,，若x尸尤2，且/(xJ+AXzX2,

—XH------,X<1

[22

則尤1+x2的最小值為

A.2B.e-1

C.3-21n2D.3-21n3

【答案】C

【分析】由題意得到占<1<尤2，由/(&)+/(%)=2,得到％=1-21nx2,所以

%+x2=l-21nx2+%,構(gòu)造函數(shù)g(無(wú))=l-21n尤+尤(尤>1),利用導(dǎo)數(shù)求出g(無(wú))的最小值即可.

【詳解】由題可知當(dāng)X21時(shí)，函數(shù)/⑺單調(diào)遞增，/(x)1nto=/(1)=1,

當(dāng)X<1時(shí)，/W<1,設(shè)西<々，則必有％<1<尤2，

2)=

所以/(%)+/(尤5%+3+1+1咤=-^+1IW-2+-=2,所以%=l-21nr2,

2=1-

所以西+%21IU2+x2,

2r-2

設(shè)g(x)=l_21n尤+x(x>l),貝l]g'(x)=__+1=----,

XX

則l<x<2時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)尤>2時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(無(wú))單調(diào)遞增，

所以g(無(wú))5=g(2)—1—21n2+2=3—21n2,

所以占+%的最小值為3-21n2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問(wèn)題，將一個(gè)變量由另一個(gè)變量表示，構(gòu)造新的

函數(shù)即可求解，注意變量的范圍，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

7.（22-23湖南長(zhǎng)沙?二模）己知函數(shù)“刈=仙0+人^工^滿足對(duì)于任意入[；？],存在

x,e[1,2],使得/（才+2%+”）《/（電迤）成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

2%

」n2c、/n2c5……

A.[-----8,+co）B.[-----8,----2In2]

224

C.（-oo,^^-8]D.（-oo,--1-21n2]

【答案】C

【解析】由函數(shù)〃x）=ln（x+V7W）在定義域單調(diào)遞增，原不等式成立可轉(zhuǎn)化為

（x；+2X+a）力，呼,通過(guò)研究函數(shù)的最值建立不等式求解即可得。的取值范圍.

V2zmax

【詳解】由函數(shù)/（x）=ln（x+肝石）在定義域單調(diào)遞增，

對(duì)于任意&eg2],存在”已⑵，使得+2%+。）成立,

即任意玉存在毛eg,2],使得片+2%+。V"成立，

即滿足（X；+2玉+4max4[史衛(wèi)],

maX

V%27max

令g（%i）=%；+2%+。,

對(duì)稱軸方程為玉=-1,

在玉e[g,2]可得gCxJ詼=g（2）=8+a

令;1(彳2)二^^,

x2

求導(dǎo)可得〃(%)=1,

"(％2)=。，可得％2=6,

在九2?。，6)，勿(%2)>0，。(々)單調(diào)遞增,

所以在％e耳,2],h(x2)max=hQ)=浮

即8+a4殍,

解得aW，一8,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題

的關(guān)鍵是將含有量詞的不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，再借助導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)求解最值建

立不等式即可，屬于中等題.

8.(22-23高三上?河北衡水?階段練習(xí))定義在尸上的函數(shù)，I滿足.門v.=XI,

當(dāng)x€[0,2)時(shí)，/(幻=，2,函數(shù)=P+3/+隔，若

Vie[-4.2|.Er=[^.2i,不等式河可i-，,出心帥咸立，則實(shí)數(shù)\的取值范圍

A.I-X.-12]B.I-X,-4]

C.I-X.s]D.-X.—

【答案】C

【詳解】試題分析：由題意，當(dāng)OWx<l時(shí)，-2vxsL，當(dāng)14xv2時(shí)，Ts超市匕-有，

■，

所以當(dāng)時(shí)，又2'=-/(x),因此當(dāng)w[T.O)時(shí)，

研加『娘]|,當(dāng)xe[72)時(shí)，蕤x注【啼.芍，即當(dāng)xe[T2)時(shí)，貨漁目"冏,/(幻

最小值為-8,g%，二暑尸中&v，令￡口=。，得工一-？或工二0，由易得工二0是極小

值點(diǎn)，x=-2是極大值點(diǎn)，g(0)=w，式-4)=-16+帆〈小二g(O)，由題意-16,萬(wàn)4-8,

w<S-故選c.

考點(diǎn)：不等式恒成立，函數(shù)的值域.

【名題點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是命題中量詞的理解與命題的轉(zhuǎn)化,

若I三不等式式扇卜城，做過(guò)頤成立，即在［T2)上，函數(shù)/(x)的

最小值大于或等于g(x)的最大值.函數(shù)g(x)是三次函數(shù)，可由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得最大值，

而函數(shù)/(X)是分段函數(shù)，由分段函數(shù)的定義可在每一個(gè)區(qū)間(分為［7二),一工0),［0,2)有

三個(gè)區(qū)間)上的值域，然后求出并集，得/(x)值域.

二、多選題

9.(23-24高三上?河南商丘?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'ln(x+l),g(x)=/'(x),則()

A.8(何在(。,+8)上單調(diào)遞增B.8(“在(。,+8)上單調(diào)遞減

C.X/m,ne(0,+co),f(m+ii)>f(m)+f(n)D.X/m,??e(0,+oo),

f(m+n)<f(m)+f(n)

【答案】AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)尸(x)="x+")-小，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷歹(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性可判斷CD.

【詳解】/,(x)=exln(x+l)+-^—j-,HPg(x)=eYIn(x+1)+,

2Y+1

當(dāng)尤>0時(shí)，g'(x)=e'In(元+1)+丁=>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故A正確，B

_(尤+1)二

錯(cuò)誤；

令/(X)=/(X+〃)-/(X)-/(〃)，貝U尸(X)=/'(尤+")一「(無(wú))，

因?yàn)閺V(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又〃>0,所以r(x+〃)>_f(x)

所以k(x)>0,所以尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以V%w(0,+oo),F(m)>F(0)=0,

所以〃加+小>/(9)+/(〃)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.(22-23高二下?廣東汕頭?期中)已知函數(shù)7'(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若

y(^)=l+21nr,g(%2)=*，則(石%2-九2)1n，的取值可能是()

2111

A.—B.---rC.---D.

e2e22ee

【答案】BC

【分析】由已知條件可推得f2=(x「l)*T=*Fnx2，即有1眸=%-1,結(jié)合目標(biāo)式化簡(jiǎn)

可得（為馬-赴）山f=令〃⑺=六1型，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性并確定區(qū)間最小值,

即為仿多-工2）足/的最小值，根據(jù)最小值進(jìn)行選擇即可.

【詳解】由題意，/（占）=再+111（占-1）=1+2111/,得士-l+ln（無(wú)1-1）=In產(chǎn)，

X|12

ln[（x1-l）e]=In/,即〃=（占一1）/一>0,

2n

Xg（x2）=x2Inx2=t,得—=e'"/nx2>0

1,1〉=尤?，在[0,”）上單調(diào)遞增，

，綜上知：lnx2=%1-1,

2

二.（J^X,—x2）\nt=x2-}nx2-\nt=t-}nt,

令〃（f）=/Jnt,（?>0）,則/?'?）=2/lnf+f

W）>0,得/>/；〃'"）<0，得o<f<e<；

11

故h（t）在（o,/5）上單調(diào)遞減，在（）2,+8）上單調(diào)遞增.

-11

〃⑺min=/702）=-->

2e

A：因?yàn)?-2-（-丁1）=3-9<。，所以本選項(xiàng)不符合題意；

e2e2e

B：因?yàn)椤?1―（-1?。?--1+^e>0,所以本選項(xiàng)符合題意；

2e~2e2e

C：顯然符合題意；

D：因?yàn)?」-（-占）=-1<0,所以本選項(xiàng)不符合題意，

e2e2e

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:根據(jù)條件的函數(shù)關(guān)系確定參數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合目標(biāo)式化簡(jiǎn)并構(gòu)造函數(shù)，

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定區(qū)間最小值.

三、填空題

11.（23-24高三上?山東德州?階段練習(xí)）若對(duì)任意的玉總存在唯一的/4-1』，

使得占+2后-3x；-a=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】[T，T）

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的取值集合，再借助集合的

包含關(guān)系列式求解作答.

【詳解】由尤1+—3"—a=。，得2x；—3%;=a—再，

令/（尤）=2x3-3x2,xe[—1,1],f'（x）=6x2-6x=6x（尤-1）,

當(dāng)xe[T,0）時(shí)，f'（x）>0,函數(shù)f（x）在[-1,0）上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x=0時(shí)，/(盼取最大值，最大值為0；

又了(一1)=一5,/(1)=-1,如下圖，

令g(x)=o-x,xe[0,l],顯然函數(shù)g(x)=a-x在[0,1]上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)的值域?yàn)?/p>

[a-1,a],

由對(duì)任意的占e[0』，總存在唯一的馬?[-Ll]，使得玉+24一3x；-a=0成立，得

[a—1,tz]c[—5,—1),

—12—5

因此<1,解得Y<av—1.

[a<-l

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[T，-1).

故答案為：[T，T).

12.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))己知函數(shù)〃x)=a(x+lnx),g(尤)=x?.當(dāng)a>0時(shí)，若對(duì)于

區(qū)間[L2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)為,9,都有|〃可)-/伍)|<k(占)—(々)|成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍_______.

【答案】(0』

【分析】求出“X)的單調(diào)性，將絕對(duì)值去掉后得"%)-g(%)<"xJ-gG),構(gòu)造新函

數(shù)/(X),這樣就知道了函數(shù)的單調(diào)性，分離參量求導(dǎo)，得實(shí)數(shù)。的取值范圍

【詳解】不妨設(shè)iw占<%W2.

因?yàn)閍>0,所以尸(x)=a[l+J>0,所以在[1,2]上單調(diào)遞增，即

又因?yàn)間(x)=%2在[1,2]上也單調(diào)遞增，所以g(xj<g(々).

即/(%)-g(3<)。)-8(石)，

設(shè)尸(元)=/(%)-g(x),即F(x)=ax+cAwc-x1,

則尸(W)<尸(可)，因此尸(x)在［1,2］上單調(diào)遞減.

于是尸(無(wú))=。+4-2x<0在［1,2］上恒成立，即aVaL在［1,2］上恒成立.

%X+1

令"(力含，/、2x2+4x

，貝ij"(x)=7>0,

尤+1)一

即“(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，因此“(X)在［1,2］上的最小值為"1)=1,所以aWl,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是0<aVL

故答案為：(0,1］

四、解答題

13.(22-23高三上?山東泰安?期末)已知函數(shù)/⑺=2“l(fā)nx,g(x)=f(x)+x--.

X

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃元)的曲線上點(diǎn)(e"(e))處的切線方程；

⑵當(dāng)aVl時(shí),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若g(無(wú))有兩個(gè)極值點(diǎn)占,電其中司e(0,J,求g(%)-g(%)的最小值.

2

【答案】(1)，="

e

⑵見(jiàn)解析

,201n3-16

⑶-；-

7

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到:(e)=J/(e)=2,得到結(jié)果；(2)對(duì)函數(shù)求

導(dǎo)分情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到單調(diào)區(qū)間；(3)構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到

函數(shù)的變化趨勢(shì)，進(jìn)而得到函數(shù)最值.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，〃力=2加所以/")=葭尤>0),

.■?/，(e)=-,又〃e)=2,

???過(guò)切點(diǎn)(e"(e))的切線方程為y=%(%-e)+2,

gp：y=-x.

e

(2)由題意得：g(x^=2cAwc+x--,x>0,

，/\2Q1I+2ax+1

???g(x)」+7

4A=4a2-4,

①當(dāng)一IWaWl,即AWO,貝ij尤2+2OX+1N0恒成立，

即g〈x”0恒成立，g(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)。<一1時(shí)，BPA>0,令g'(無(wú))>0,即x?+2依+1>0，

解得：G<x<-a-d/-1或xA-a+Ja2-1

令g'(x)<0,解得：-a-J/一]<x<—a+J/_]

綜上，當(dāng)-時(shí)，g⑺的單調(diào)增區(qū)間為(。,+功,

當(dāng)av—1時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為(0.-〃-Jo?—1卜卜〃+-l,+°o

單調(diào)減區(qū)間為卜二I,—Q+7a2-1).

(3)由(2)知，g，(x)=*+2,x+l,x>。，

由題意知，看,三是方程x+2?x+l=0的兩根，

1

%?%2=1,玉+%2=-2〃,-'?%2=一

11I

2a——Xy---,，g(X)-g(%2)=g(%)-g=2---XyH----llLVj

r+x

令77(x)=2x---fx+—\nx/.H^x^=2(-^--l}]nx=^(^)(^1nx

JV\XJ\JX

當(dāng)時(shí)，2(l+x)(l-x)>0,lnx<0,

所以"(x)<0,

”(x)在]，；上單調(diào)遞減，=鳴=2。16

即g&)-g仇)的最小值為2。*16.

14.(22-23?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知aeR,函數(shù)〃尤)+：(a-2)x2+6,g(x)=2alnx.

62

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(Lc)處的切線互相垂直，求a,b的值;

(2)設(shè)尸(x)=/'(x)-g(x),若對(duì)任意的%,%2?0,依),且A1fxz，都有

F(X；)-F(X2)>O(^-X,),求。的取值范圍.

1171

【答案】(1)a=l,b=-,^a=—,b=--(2)a-~-

【詳解】試題分析：（1）由/'（1）送（1）=一1得24。一||=-1可得。的值，由（l,c）在y=g（x）

上得c=0,則（1,0）在y=/（x）上可得等式，求得〃的值；（2）本題可轉(zhuǎn)化為

G（x）=P（x）-也在（0,+?）上是增函數(shù)，求G[x）＞0轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，可

得。的取值范圍.

試題解析：（1）/（x）=gV+（"2）x,，/⑴=。一9==⑴=2。,依題意有

3,

尸（1）=-1,且/⑴二8⑴，可得｛，解得a=l,6，或a

212

2

(2)F(x)=1x+（〃一2））—2〃如）.不妨設(shè)石（%2,方（%）一尸（%2）”（王一元2），

等價(jià)于F（*2）—cuc2-叼.設(shè)G（x）=b（x）-ax,則對(duì)任意的西?0,內(nèi)）,且占片々,

都有"㈤-等價(jià)于6（力=萬(wàn)。）一改在（0收）上是增函數(shù).

馬一再

@（同」/_24]11尤_2彳,可得6'（6-3_2=廠2..2一依題意有,對(duì)任意了＞0,

2xx

有x?-2x-2aN0恒成立.由2。4爐-2尤=（彳一1,-1,可得awg.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；構(gòu)造函數(shù).

V+1

15.（22-23?遼寧,一模）已知函數(shù)〃x）=—二（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

e

（1）求函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)9（X）=J/（X）+?/XX）+，，存在實(shí)數(shù)4，%以0,1],使得2。（不）＜。（々）成立，求

實(shí)數(shù)r的取值范圍.

e

【答案】(1)0；(2)/<3—2e或/〉3—.

2

【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)得/（幻=-三，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求出/（X）的單調(diào)區(qū)間

e

（2）如果存在占,％C[0,1],使得20（不）＜果9）成立,那么2mX）]mM＜[。（初回由題設(shè)得

以無(wú)）/+（ix+i,求導(dǎo)得夕，“）=一攵二半二12由于含有參數(shù)，，故分情況討論，分別

ee

求出。（元）的最大值和最小值如何分類呢？由-3二羋二2=0得X=t,x=l,又由于

e

xe[0,l]故以0、1為界分類當(dāng)91時(shí)，9（%）在。1]上單調(diào)遞減；當(dāng)仁0時(shí)，9（%）在[。刀

上單調(diào)遞增以上兩種情況都很容易求得/的范圍當(dāng)o<r〈i時(shí)，夕(x)在［。力上單調(diào)遞減,

在￡1］上單調(diào)遞增，所以最大值為9(。),夕⑴中的較大者，最小值為0⑺，

一般情況下再分類是比較這兩者的大小，但2e⑺=2―

由(1)可

知壯42二1■WZ,而顯然=<2牛，所以2s(初111M<S(xXhx無(wú)解

eeeeeee

試題解析：(l)..,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

二當(dāng)x<0時(shí)，f'(.x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0

,AM在(-00)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減

(2)假設(shè)存在公尤2e［。，1］，使得2夕(無(wú)1)<。(々)成立，則2皿尤)1mm<S(x)1mM.

;e(x)=#(x)++e~x='+(1"Z

e

.、-+(1++1(x—Z)(x—1)

??9f(％)=------------=------------

ee

當(dāng)，21時(shí)，o'(尤)40,o(x)在［0刀上單調(diào)遞減，，2夕(1)<°(0),即t>3-

②當(dāng)時(shí),9(無(wú))>0,。⑺在［0,1］上單調(diào)遞增，2°(0)<夕⑴，即f<3—2e<0

③當(dāng)0<r<l時(shí)，

在xw［o,「，”(x)<0,e(元)在［0,H上單調(diào)遞減，

在):rj］,夕'(x)>o,°(x)在上,1］上單調(diào)遞增，

所以2。⑺<max{0(O)，火1)},即2^<max{l,-}--------------(*)

ee

由(1)知，g⑺=2牛在［0.1］上單調(diào)遞減，

e

4t+l23-t3

故而所以不等式(*)無(wú)解

eeeee

綜上所述，存在于e(-8,3-2e)(3-■|,+co),使得命題成立

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等關(guān)系

16.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)="^+aln無(wú)，其中參數(shù)a<0.

x

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2xV'(x)-#(x)-3a(a<0),存在實(shí)數(shù)尤”尤2c［id］,使得不等式

2g(不)〈8伍)成立，求。的取值范圍.

【答案】①答案見(jiàn)解析

⑵

【分析】(1)求導(dǎo)，對(duì)分類討論求解單調(diào)區(qū)間;

(2)不等式2g?)<g(W)成立，轉(zhuǎn)化為2g(xUnVgaLx，然后求解函數(shù)的最大與最小值

列出不等式求解.

【詳解】(1)/。)=3+alnx,(尤>0),廣(x)=k?+D

%X

(1)當(dāng)一l<a<0時(shí)，<0,/'(x)<0,二/(X)的減區(qū)間是(0,+8).

a

(2)當(dāng)a=-l時(shí)，r(x)=--<0,的減區(qū)間是(0,+8).

(3)當(dāng)。<一1時(shí)，xe(0,"3，.?./'(x)>0,.?./(X)的增區(qū)間是(0,3)，

aa

x6(3,+8),廣(尤)<0,二/(尤)的減區(qū)間是(四,+◎.

aa

綜上，當(dāng)—l<a<0時(shí)，減區(qū)間是(0,+到)；當(dāng)a<T時(shí)，增區(qū)間是(0,3)，減區(qū)間是(四,+s).

aa

(2)g(x)=2ax-ax\nx-(6a+3),(a<0),因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x”斗?[Le?],使得不等式

2ga)<g(/)成立,

2g(X)而n<g(x)max,

g'(x)=a(l-lnx),a<0,xe口，e),g'(x)<0,g(x)單減,xe(e,e2],g'(x)>0,g(x)

單增.

2

g(x)aia=g(e)=ae-6a-3,g(x)maK=max{g(l),g(e)}=-6a-3.

33

2ae—12a—6<-6a—3,「?。>,a<0,:,ae(,0).

2e-62e-6

c綜合素養(yǎng)

1.(23-24高三上?廣東佛山?階段練習(xí))對(duì)于函數(shù)力⑴、力(X)、。(無(wú)),如果存在實(shí)數(shù)?！笔?/p>

得〃(x)=a"(x)+b?/(x),那么稱?；脼?。(X)、人(x)的生成函數(shù).

(1)下面給出兩組函數(shù)，〃(x)是否分別為工(X)、人(X)的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由;

第一組：￡(x)=sinx,力(x)=cosx,h(x)=sinlx+yI；

221

第二組：fi(,x)=x-x,f2(x)=x+x+l,h{x}=x-x+\；

(2)設(shè)工(x)=x(x>0),力(無(wú))=^(x>0),取。>0,6>0,生成函數(shù)〃(無(wú))圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)

X

為(2,8).若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)占,三,且入+超=1,試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)根，使

加恒成立？如果存在，求出這個(gè)機(jī)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）第一組：是，理由見(jiàn)解析；第二組：不是，理由見(jiàn)解析；