解三角形（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第19講解三角形

（11類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角

2024年天津卷，第16題,14分

形余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角

2023年天津卷，第16題,14分

形

用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角

2022年天津卷，第16題,14分

形鄉(xiāng)余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值正弦定理邊角互化的應(yīng)用余弦定理

2021年天津卷，第16題,14分

解三角形

2020年天津卷，第16題,14分正弦定理解三角形余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分

【備考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能夠運(yùn)用正余弦定理解三角形

2.能掌握正余弦定理與三角形的面積周長(zhǎng)問(wèn)題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用三角形的知識(shí)點(diǎn)解決中線，高線，角平分線問(wèn)題

4.會(huì)解三角形的最值與取值范圍問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出三角形，解決三角形中的周長(zhǎng)與面積，同時(shí)解

三角形會(huì)與兩角和差二倍角進(jìn)行結(jié)合，求解湊求值問(wèn)題。

「立?考點(diǎn)梳理，

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.正弦定理、余弦定理

1.定理內(nèi)容：

在△板中，若角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,7?為外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a=t)+/—26ccos4

abc

內(nèi)容-----=-----=-----=9Rlj=c+#一2cacos6；

sinAsinBsinC

。2=才+4—2a6cos。

a=27feinZ,b=2Rsix\B,c=27?sinC；

b-vc-a

abcC0SA

sin4=礪sin夕=礪sin。=而-2bc；

2I22

c+a—b7

變形a\b\c=sinA:sinB\sinC；cosB—八；

Zac

asinB=bsinA,

2Ij22

a-vb-c

cosC—門(mén)7

6sinC=csinB,Zab

asinC=csix\A

1.兩角一邊求角1.三邊求角

使用條件

2.兩邊對(duì)應(yīng)角2.兩邊一角求邊

2.在△/比中，已知a,6和/時(shí)，解的情況

力為銳角4為鈍角或直角

Ccc

*

圖形晨

AzLB八A

關(guān)系式a=bsinAbsinA〈水ba^ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

知識(shí)點(diǎn)二.三角形常用面積公式

⑴?力aSa表示邊a上的高)；

..111

(2)S=-a,bsir\C=-acsix\B=-bcsixiA；

(3)S=/r(a+6+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).

知識(shí)點(diǎn)三.測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)

術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水

仰角與俯角平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方

I信、髓目標(biāo)

的叫做俯角

視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線

北t

如。東

方位角之間的夾角叫做方位角.方位角0的范圍是十；

0°W叱360°

例：(1)北偏東a：

北匕t棗

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常

方向角

表達(dá)為北(南)偏東(西)a(2)南偏西a：

北I東

坡面與水平面所成二面角的度數(shù)叫坡度；坡面的垂

坡角與坡比

直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比

/

知識(shí)點(diǎn)四.常用結(jié)論

1.三角形內(nèi)角和定理：在中，/+8+。="；變形：

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

/、/,/、4+3C/、A+BC

(1)sinU+T?)=sinC.(2)cos{A+B)=~cosC.(3)sin---=cos⑷cos~-—=sin

3.三角形中的射影定理

在5c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosJ+acosB.

4.三角形中的大角對(duì)大邊

在中，y4>^=^a>Z?<=>sin4>sinB.

考點(diǎn)一、正弦定理解三角形

典例啊

1.（2024?北京東城?二模）在^A8C中，A=―,C=—,b=V2,則a=（）

412

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在△ZBC中，已知=30°,c=2,則“b=&”是"乙。=45?！背闪?/p>

的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?河北滄州?一模）在^ABC中，AC=1,tanfi=tanC=/，貝!|（）

A.X=1-B.cos25=yC.BC=yD.△ABC的面積為亨

2.（2024?江西贛州?一模）在△ABC中，AB=41,AC=2,C=120°,貝!IsirM=（）

V7V215^73V21

AA.—D.Ur.Yn）.----

14141414

3.（2024?廣東江門(mén)?一模）在AABC中，B=30°,b=2,c=2V2,則角A的大小為（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

4.（2024?浙江金華?三模）在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=V7,b=2,A=60°,則

c為（）

A.1B.2C.3D.1或3

5.（2024?云南昆明?三模）已知△ABC中，AB=3,BC=4,AC=V5,貝!]△ABC的面積等于（）

A.3B.VT1C.5D.2V5

考點(diǎn)二、正余弦定理的邊角互化

典例引領(lǐng)

1.（2024?江西九江?三模）在△A8C中，角所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知2c-a=2bcos4則8=

（）

A.-B.-C.—D.—

6336

2.（2024-陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且acos（B+5）=

bsinA,若。=遮，c=2,則力=（）

A.1B.2C.2V3D.4

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）在△力8c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,“acosB=bcosA"是"A=

B"（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知AABC的三個(gè)角力，B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=24

則cosB=（）

7711

A.--B.—C.--D.-

161688

3.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=曰,c=3,AB-AC=3,

則"c=（）

sinB+sinC

A出B2舊c迫D彳舊

.2333

4.（2024?遼寧?二模）在△28C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且經(jīng)理勁蟲(chóng)里=4csin8+a,貝！ItanA

sin/

的值為（）

A.-2B.—3C.3D.2

5.（23-24高三下?浙江?階段練習(xí)）在△ABC中，a,4c分別為內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，滿(mǎn)足ab+sinAsinB=

2bsinAsinC,則6^+/的值為.

考點(diǎn)三、三角形的形狀

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三上?河南?階段練習(xí)）某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長(zhǎng)度分別是三々A，則該

14105

三角形（）

A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在

2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在A48C中，若acosA=bcosB,則AABC的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

即時(shí)檢測(cè)

1一

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)歹U，

以AC為直徑的圓的面積為2兀，若SAABC=2W,則AaBC的形狀為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.非等腰三角形D.等邊三角形

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)列，

以邊力C為直徑的圓的面積為4n,若△ABC的面積不小于4百，則AABC的形狀為（）

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

3.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在AABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=7,b=3,c=5,

貝U（）

A.△ABC為銳角三角形B.△ABC為直角三角形

C.△ABC為鈍角三角形D.△ABC的形狀無(wú)法確定

4.（2022高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,sin。=1,asinB=csinA,

則該三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

5.（20-21高三上?河北?階段練習(xí)）在△ABC中，角4B,C對(duì)邊為a,b,c,且2c?cos2?=6+c,則△48c的

形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

考點(diǎn)四、三角形的周長(zhǎng)

典例引領(lǐng)

1.（2024?北京?三模）在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為正方形，AB=4,PC=PD=3,/.PCA=45°,

則APBC的周長(zhǎng)為（）

A.10B.11C.7+V17D.12

2.（2024?四川綿陽(yáng)?一模）AaBC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若sinCsinQl—B）=

sinBsin（C—X）,a—5,COST!=則AABC的周長(zhǎng)為.

即時(shí)檢測(cè)

1.（23-24高三下?四川巴中?階段練習(xí)）△ABC中，4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且bcosC=2acosB—ccosB,

a=l,b=V3,則^ABC的周長(zhǎng)為

2-（2024?天津北辰?三模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足acosC+ccosA=熹.

（1）求角B的大??；

（2）若cos2=y,求sin（24+B）的值；

（3）若△ABC的面積為督，b=3,求AABC的周長(zhǎng).

3.(2024,陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))在①2sinB=V3sinX；②bcosC+ccosB=4cosB這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并解答.

設(shè)A/IBC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA-sinC=sin(2-B),b=?

⑴求B；

(2)若,求AZBC的周長(zhǎng).

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

4.(2024?江蘇南通?三模)在△ABC中，角力,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(26—c)cos4=acosC.

⑴求力；

(2)若A/IBC的面積為W,BC邊上的高為1,求△ABC的周長(zhǎng).

考點(diǎn)五、三角形的面積

典例引領(lǐng)

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))在△2BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=返，限osB=

(3c-b)cos力，則△ABC面積的最大值為.

2.(2024?山西?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，C=三，且刀?荏=4W，則△ABC的面積是

6

即時(shí)便測(cè)

1.(2024?安徽?三模)在ATIBC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足a=遮,(a+c)(sin2+

sinC)=bsinB+3csin71,——=1cosC,則△4BC的面積是.

2.(2024?山東?二模)在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,4c,V2(a2+fa2-c2)=absinC,且c=1,

則△ABC面積的最大值為.

3.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在△ABC中，Zyl=60°,c=|a.

⑴求sinC的值;

(2)若a=7,求△ABC的面積.

4.(2024?北京豐臺(tái)?二模)已知AABC滿(mǎn)足遍sind+cosA=2.

⑴求4

(2)若△4BC滿(mǎn)足條件①、條件②、條件③中的兩個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的兩個(gè)條件，并求△ABC的面積.

條件①：a—b=2；條件②：cosB=—；條件③：c=8.

14

5.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知3a=cos4=|.

(1)求sinC的值；

(2)若b=3,求△ABC的面積.

考點(diǎn)六、三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，已知2B=x,BC=2vLe=工若存在兩個(gè)這樣的三角形ABC,

4

則無(wú)的取值范圍是（）

A.[2V2,+oo）B.（0,2V2）C.（2,2&）D.（V2,2）

2.（2024?寧夏銀川?三模）AZBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=4,sinC=-,若△ABC有

4

兩解，則C的取值可能為（）

A.3B.4C.5D.6

1.（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）已知A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,hc,則能使同時(shí)滿(mǎn)足條件Z=

^,b=6的三角形不唯一的a的取值范圍是（）

6

A.（3,6）B.（3,+00）C.（0,6）D.（0,3）

2.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）若AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,4c,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若爐+c2-a2>o,則△ABC為銳角三角形

B.若acosA=bcosB,則此三角形為等腰三角形

C.若a=13=2,2=30°,則解此三角形必有兩解

D.若△48C是銳角三角形，貝UsinA+sinB>COST!+cosB

3.（23-24高三上?北京順義?期中）在△ABC中，乙4=60。，a=5,b=6,滿(mǎn)足條件的）

A.有無(wú)數(shù)多個(gè)B.有兩個(gè)C.有一個(gè)D.不存在

4.（23-24高三上?北京大興?期中）在AABC中，=,AB=4,BC=a,且滿(mǎn)足該條件的△ABC有兩

個(gè)，則a的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,273）

C.（2,4）D.（2V3,4）

5.（2020高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在AABC中，角力、B、C所對(duì)的邊分別為a、氏c,若力=巴，a=5,c=4,

4

則滿(mǎn)足條件的ANBC的個(gè)數(shù)為—.

考點(diǎn)七、中線問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知ATIBC的內(nèi)角45C的對(duì)邊分別為a,6,c,且a=百,8C邊上中線長(zhǎng)

為1,則兒最大值為（）

A.-B.-C.V3D.2V3

42

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在小ABC^,A=pBC邊上的中線4。=百，則△2BC面積的最大值為（）

A.2V3B.V3C.—D.—

24

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）三角形三內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知遜=&

asinZ

（1）求角8的大小；

⑵若AABC的面積等于四，D為BC邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線力D的長(zhǎng)最短時(shí)，求4C邊的長(zhǎng).

2.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）如圖，在△力BC中，已知4B=3,AC=6,4為銳角，BC,AC邊上的兩條中線AM,BN

相交于點(diǎn)「,△4BC的面積為第.

⑵求乙4PB的余弦值.

3.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）已知△力BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,MacosC-|c=b.

（1）求A的大??；

（2）若sinC=3sin8,BC邊上的中線AD長(zhǎng)為近，求A4BC的面積.

4.（2024?陜西西安?三模）在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊是a,瓦c,已知6（1+COST!）=c（l-cos2B）.

（1）證明：b=c;

（2）若BC邊上的高40為2,AC邊上的中線BE為2夕,求44BC的面積.

5.（2023?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=2sin%?sin（%+烹）—

⑴求/（久）在［o,引上的值域；

（2）已知銳角△A8C中，BC=V7,BA-AC=-3,且/⑷=?,求BC邊上的中線27的長(zhǎng).

考點(diǎn)八、角平分線問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足百c+bsinA=

y/3acosB.

(1)求角A的大??；

⑵若D是邊BC上一點(diǎn)，且AD是角A的角平分線，求當(dāng)?shù)淖钚≈?

AD

2.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))在AaBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知a2=c(c+6).

(1)求證：B+3C=n；

⑵若N2BC的角平分線交AC于點(diǎn)D,且a=12,b=7,求BD的長(zhǎng).

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)在AABC中，43,。分別為邊。出￡：所對(duì)的角，且滿(mǎn)足2a+c=26cosC.

(1)求N8的大??；

⑵立力的角平分線力。交8C邊于點(diǎn)。，當(dāng)c=2,|4。|=夕時(shí)，求|CD|.

2.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))從①胃=MY),②sM+sin,=工③zasijg=V^sirM這三個(gè)條件中

bcosBsinB+sinCa2

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.

已知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且_____.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若力的角平分線交邊BC于點(diǎn)D,且力。=旄，c=2,求邊b.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,4c,其外接圓的半徑為2次，且

bcosC=a+—csin5.

3

(1)求角B；

⑵若NB的角平分線交4C于點(diǎn)=百，點(diǎn)E在線段AC上，EC=2EA,求ABDE的面積.

4.(23-24高三上?河北邢臺(tái)?期末)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且舊ccos力+asinC=8兒

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若N4CB的角平分線交4B于點(diǎn)D,CD=4,AD=2DB,求a.

5.(23-24高三上?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí))記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b+c=

2asin(C+1).

⑴求A；

⑵若a=2?BA-CA=l，ABAC的角平分線交BC于點(diǎn)D,求力D的長(zhǎng).

考點(diǎn)九、高線與多三角形問(wèn)題

I______典___例___引___領(lǐng)____

1.（2024?四川自貢?三模）如圖,D為A4BC的邊AC上一點(diǎn)，|40=2\DC\,^ABC=60°,\AB\+2\BC\=4,

則|BD|的最小值為.

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AC=BD=10,當(dāng)四邊形ABCD的

面積最大時(shí)，BC2+CD2+的最小值為.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC,^ADC=90°,

則四邊形ABCD面積的最大值為—.

2.（2024?青海海西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形4BCD中，AB14D,cosB=半,cos乙4cB=詈,BC=逐.

⑴求力C；

（2）若△4CD的面積為|,求CD.

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在AaBC中，記角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知百a=V3ccosB+

csinB.

（I）求角c；

（2）已知點(diǎn)。在AC邊上，J.XD=2DC,BC=6,BD=2^7,求△ABC的面積.

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)，四邊形力BCD滿(mǎn)足B,D點(diǎn)在2C的兩側(cè)，AB=1,BC=2,

△ACD為正三角形，設(shè)乙4BC=a.

（1）當(dāng)a=：時(shí)，求力C；

⑵當(dāng)a變化時(shí)，求四邊形2BCD面積的最大值.

5.（23-24高三上?廣西南寧?階段練習(xí)）已知四邊形2BCD內(nèi)接于。。，若AB=1,BC=3,CD=ZM=2

（1）求O。的半徑長(zhǎng).

⑵若NBPD=60°,求ABDP面積的取值范圍.

考點(diǎn)十、基本不等式求最值與取值范圍問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?天津北辰?三模）在AABC中，|^4B|=2V2,。為△ABC外心，且而=1,貝!］乙4BC的最大

值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024?河南?三模）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若3+上=&，則tanA+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（）

A.-B.-C.2V3D.4

33

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?重慶九龍坡?三模）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其面積為S,已知asin詈=csinA,

c-2.則C=；S的最大值為.

2.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在鈍角△力8C中，a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊，點(diǎn)G是

△力8c的重心，若4G1BG,則cosC的取值范圍是.

3.（2024?江蘇鹽城?一模）在△4BC中，已知4B=2,BC=3,點(diǎn)P在△4BC內(nèi)，且滿(mǎn)足CP=2,乙4PC+

乙48c=n,則四邊形48CP面積的最大值為.

4.（2024?江西?二模）己知的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且Easing=b（2+cosA）,

若A4BC的面積等于4次，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為.

5.（2024?江西吉安?模擬預(yù)測(cè)）已知A4BC的三個(gè)內(nèi)角4昆C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且6?+2c?=3a?,

則cosA的最小值為.

考點(diǎn)十一、三角函數(shù)求最值與取值范圍問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）在A4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=l,bcosA=1+cosS,

則邊b的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角△力BC的三個(gè)內(nèi)角4的對(duì)邊分別為a,瓦c,且c=2,8=2C,則

a+6的取值范圍為（）

A.（2,10）B.（24-2V2,10）C.（2+2隹4+2百）D.（4+2V3,10）

??眼舉w

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在AaBC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b=2,^-=^-+^-,

cosCcosBcosC

則2a+c的最大值為.

2.（23-24高三下?吉林通化?期中）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,

且滿(mǎn)足5=更32+抉一?2）.

4

（1）求角C的大??；

⑵求sinZsinB的最大值.

3.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）在A/IBC中，已知角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,asin2+bsin2=

3ab

2（a+b+c）?

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若△ABC為銳角三角形，求也2的取值范圍.

4.(2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè))已知AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足叵一sinB=tanX-

a

cosB.

(i)求角a的大??；

⑵若△4BC為銳角三角形且a=2V6,求△ABC面積的取值范圍.

5.(2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))在ATlBC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且*出誓=i.

coszF-coszi4

(1)求角A的大??；

(2)若△48C為銳角三角形，點(diǎn)F為△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范圍.

12.好題沖關(guān).

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在AABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若B=g,b2=\ac,則

sinA+sinC=()

A.-B.V2C.—D.—

222

2.(22-23高三上?河南濮陽(yáng)?階段練習(xí))在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且a(cosB-1)-

b(cosA-1)=0.若a=4,則力=()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在銳角三角形ABC中，角45C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若cos2B+cos2C+

2sin^sinC=1+cos24則角/二.

4.(23-24高一下-廣東清遠(yuǎn)-期末)△ABC中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若bcosC+V3hsinC-a-c=

0.

⑴求&

(2)若C=三且△ABC的面積為3+V3,求邊長(zhǎng)c.

4

5.(2024?江西新余?二模)在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且△ABC的面積S=

1(a2+c2—b2)sinB.

⑴求角B；

(2)若乙4BC的平分線交AC于點(diǎn)D,a=3,c=4,求的長(zhǎng).

6.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))已知△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin^cos；=sinB,

a2—c2=3b2.

(1)求sin(8+g)；

(2)若b=1,求△ZBC的面積.

7.(2024?天津?一模)在^ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=V2,sinA=V2sinC,cosB=——.

8

⑴求a的值；

(2)求cosC的值；

⑶求sin(2C+B)的值.

能力提升

22

1.(2024?天津南開(kāi)?二模)已知雙曲線京—a=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,過(guò)F2且

斜率為m的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若I6F2I=|4&1，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為(