北京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page15北京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題1.直線（為實常數(shù)）的傾斜角的大小是A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出直線的斜率，再結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得該直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線的斜率為，所以，，則.故選：D.【點睛】本題考查直線傾斜角的計算，一般要求出直線的斜率，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知點A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形態(tài)是A.等腰三角形 B.等邊三角形C直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】求出三點間隨意兩點的距離，最終運用勾股定理或者余弦定理推斷出三角形的形態(tài).【詳解】由兩點間的距離公式得，，，滿意，故選C.【點睛】本題考查了空間兩點間的距離公式，以及推斷空間三點組成三角形的形態(tài)問題，考查了數(shù)學(xué)運算實力.3.圓心為，且經(jīng)過原點的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】待定系數(shù)法干脆求解可得.【詳解】因為圓心為，所以設(shè)圓的方程為，因為圓經(jīng)過原點，所以，解得所以所求圓的方程為.故選：A4.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交但直線不過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過圓心【答案】A【解析】【分析】要推斷圓與直線的位置關(guān)系，方法是利用點到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關(guān)系．【詳解】由圓的方程得到圓心坐標為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關(guān)系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5.已知圓與圓相外切，那么等于A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由兩圓外切，兩圓心距等于兩圓半徑之和即可求出結(jié)果.【詳解】因為圓心坐標為，半徑為1；圓圓心坐標，半徑為r，由兩圓外切可得,所以.【點睛】本題主要考查圓與圓位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.6.函數(shù)的最小正周期是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用二倍角公式和協(xié)助角公式對三角函數(shù)進行化簡，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式即可求解．【詳解】函數(shù)，∴其最小正周期為．故選：C．7.“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.8.已知平面平面，下列命題①平面內(nèi)的直線肯定垂直于平面內(nèi)的直線②平面內(nèi)的直線肯定垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線③平面內(nèi)的任一條直線必垂直于平面④過隨意一點作平面和平面交線的垂線，則此垂線必垂直于平面其中正確的命題序號是（）A.①② B.①③ C.② D.④【答案】C【解析】【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一推斷即可.【詳解】平面內(nèi)的直線存在直線與交線平行，而交線在平面內(nèi)，故①錯誤；由面面垂直的性質(zhì)可知，平面內(nèi)與交線垂直的直線（有多數(shù)條）都垂直平面，由線面垂直的定義可知，平面內(nèi)的直線肯定垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，故②正確；交線在平面內(nèi)，但是交線在平面內(nèi)，故③錯誤；過平面內(nèi)一點作交線的垂線，此垂線在平面內(nèi)，故④錯誤；故正確的命題序號為：②故選：C9.已知三棱錐，點G是△ABC的重心（三角形三條中線的交點叫三角形的重心）.設(shè)，，，那么向量用基底可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加減法計算法則和數(shù)乘計算法則，結(jié)合幾何關(guān)系用表示即可．【詳解】∵∴.故選：B．10.在棱長為1的正方體的表面上任取4個點構(gòu)成一個三棱錐，則這個三棱錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在棱長為1的正方體的表面上任取4個點構(gòu)成一個三棱錐，其體積必大于0，要使三棱錐的體積最大，則這四個點肯定在正方體的頂點處，分別探討上下兩個底面各取兩個點和一個底面取三個點，另一個底面取一個點的情形，即可得到棱錐的最大值，進而得到答案．【詳解】在正方體中，設(shè)三棱錐的底面為．在正方體的表面上，離三棱錐底面最遠的點，肯定可以在正方體的頂點處取得，此時三棱錐的體積最大．固定住這個點，以這個點為三棱錐底面的一個點，則三棱錐的頂點肯定可以在正方體的頂點處取得，同理，三棱錐體積最大時，其他三個頂點必在正方體的頂點處取得．故由正方體八個頂點中四個頂點形成的三棱錐的體積最大值即為所求三棱錐體積的最大值．由于三棱錐四個頂點不共面，故在面和面中，分別可能有三棱錐的個頂點，其中和是對稱的，故只需探討和的情形．（1）若為，在底面不妨取，另一個頂點可取之一，如圖，此時三棱錐體積都為．（2）若為，則在底面不妨取或．①若取，在面不妨取或，如圖，三棱錐體積都為．②若取，在面不妨取或，如圖，；，此時三棱錐的體積最大．綜上，三棱錐體積的取值范圍是．故選：B．11.若a，b是異面直線，直線ca，則c與b的位置關(guān)系是___________【答案】相交或異面【解析】【分析】依據(jù)空間兩直線的位置關(guān)系推斷.【詳解】如圖所示：設(shè)，當時，c與b相交；當時，c與b異面；所以若a，b是異面直線，直線ca，則c與b的位置關(guān)系是相交或異面.故答案為：相交或異面12.已知經(jīng)過點的直線在軸和軸上的截距相等，則此的直線方程是__________．【答案】或，【解析】【分析】由截距的概念得斜率后求解，【詳解】由題意得直線過原點或直線斜率為，故直線方程為或，即或，故答案為：或，13.圓截直線所得的弦長為8，則的值是________【答案】【解析】【詳解】∵弦長為8，圓的半徑為5，∴弦心距為3，∵圓心坐標為，∴，解得為點睛：涉及圓中弦長問題，一般利用垂徑定理進行解決，詳細就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長一半平方的和；直線與圓位置關(guān)系，一般利用圓心到直線距離與半徑大小關(guān)系進行推斷14.已知點若點是圓上的動點,則面積的最小值為__________．【答案】【解析】【詳解】將圓化簡成標準方程，得,其圓心坐標為,半徑為,如圖，因為,所以,要求的面積最小,即要使圓上的動點到直線的距離最小,而圓心到直線的距離為,所以，故的最小值為,故答案為.15.已知四棱錐的高為1，和均是邊長為的等邊三角形，給出下列四個結(jié)論：①四棱錐可能為正四棱錐；②空間中肯定存在到，，，，距離都相等的點；③可能有平面平面；④四棱錐的體積的取值范圍是.其中全部正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【解析】【分析】對①，分析當四棱錐為正四棱錐時是否滿意條件即可；對②，設(shè)四棱錐的高為，分析可得點滿意；對③，假設(shè)平面平面，再推導(dǎo)得出沖突即可推斷；對④，設(shè)，得出四棱錐的體積表達式再求解即可【詳解】依據(jù)題意，設(shè)，則，又因為和均是邊長為的等邊三角形，易得，且對①，當時，底面為正方形，且為底面中心，此時四棱錐可能為正四棱錐，故①正確；對②，，故肯定存在到，，，，距離都相等點，故②正確；對③，當平面平面時，因為，故平面，此時，又因為，此時重合，不滿意題意，③錯誤；對④，設(shè)，則，因為，故，所以，故④正確故答案為：①②④16.如圖，在△ABC中，D是BC上的點，，，，.（1）求角的大?。唬?）求邊AB的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在三角形中，利用余弦定理，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果；（2）在三角形中，利用正弦定理，結(jié)合（1）中所求，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】在△中，因為，，，由余弦定理可得：，又，故.【小問2詳解】在△中，由（1）可得：，又，由正弦定理可得：，即，解得.17.已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且垂直于直線．（Ⅰ）求直線方程．（Ⅱ）求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【答案】（1）（2）1【解析】【詳解】（），解得，則點的坐標為．由于點的坐標是，且所求直線與直線垂直，可設(shè)所求直線的方程為．將點坐標代入得，解得．故所求直線的方程為．（）由直線的方程知它在軸，軸上的截距分別是，，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面，，，，為側(cè)棱的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）（i）求點到平面的距離；（ii）設(shè)為側(cè)棱上一點，寫出四邊形周長的最小值.（干脆寫出結(jié)果即可）【答案】（1）證明見解析（2）（3）；【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理求解，（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解，（3）由空間向量求解，由綻開圖計算，【小問1詳解】由側(cè)面底面，面面，而，面，故面，面，，在直角梯形中，可得，而，故，而，平面，平面，平面【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，得，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令得，而平面的一個法向量為，故二面角的余弦值，【小問3詳解】，則點到平面的距離，由題可知，，故將綻開可得矩形，當三點共線時，取最小值，而，故四邊形周長的最小值為．19.已知圓上三點，，.（1）求圓的方程；（2）過點隨意作兩條相互垂直的直線，，分別與圓交于兩點和兩點，設(shè)線段的中點分別為.求證：直線恒過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)設(shè)出圓M的標準方程，依據(jù)圓上三個點列出方程組，求解方程組即可；(2)當斜率存在且不為零時，設(shè)，，，聯(lián)立的方程和圓M的方程，依據(jù)韋達定理和中點坐標公式表示出R的坐標，同理表示出S的坐標，求出直線RS的方程即可推斷其經(jīng)過的定點．小問1詳解】設(shè)圓M的方程為，則，解得，∴圓M的方程為．【小問2詳解】若斜率不存在，則此時AB中點為R(0，0)，CD中點為S(1，0)，則直線RS為y=0；同理斜率為零時，直線RS為y=0；當斜率存在且不為零時，設(shè)，，，則，，，∴，，同理為，即，∴，∴RS：，化簡為，∴RS過定點．當k=1時，R為，S為，直