廣東省大灣區(qū)2025屆高三12月模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省大灣區(qū)2025屆高三12月模擬聯(lián)考試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一是合題目要求的.1.設(shè)集合.則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.如圖，某雙曲線筆簡的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意可得，所以，所以該筆筒中間最窄處的直徑為.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】〖祥解〗.故選：A.5.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.4 B.或1 C. D.4或【答案】B【解析】將兩邊平方，得，由得，即，解得或1.故選：B.6.已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】注意到函數(shù)圖象在0,+∞上連續(xù)不間斷，因?yàn)樵?,+∞上均單調(diào)遞增，則在0,+∞上單調(diào)遞增.對(duì)于A，.因函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，則在上無零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，則，結(jié)合，故在上存在零點(diǎn)，故正確；對(duì)于CD，由于在0,+∞上單調(diào)遞增，，可知C?D都是錯(cuò)誤的.故選：B.7.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布服從二項(xiàng)分布，則（）A. B.C.， D.【答案】D【解析】，故AB錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，故D正確.故選:D.8.已知，其中相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離為，且經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的方程在上的不同解的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由已知相鄰兩條對(duì)稱軸距離為，可得，又，可得，由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則，即，又，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以在函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了弘揚(yáng)奧運(yùn)會(huì)中我國射擊隊(duì)頑強(qiáng)拼博的布斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽，得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)為：6，6，7，8，9，9，9，10（位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A.極差為4 B.平均數(shù)是8C.75%分位數(shù)是9 D.方差為4【答案】ABC【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，得，這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；平均數(shù)為，故B正確；因?yàn)?，所以?5%分位數(shù)為，故C正確；方差，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.設(shè)函數(shù)，則（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.是的極小值點(diǎn)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】對(duì)于A，令，解得或，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，f'x>0，即在和1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，即在-1,1所以是的極小值點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)x∈-1,1時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.11.曲線上任點(diǎn)，滿足點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為6，則下列說法中正確的有（）A.曲線經(jīng)過原點(diǎn)B.曲線關(guān)于軸對(duì)稱C.曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為D.直線被曲線截得的線段長為【答案】ABD【解析】設(shè)點(diǎn)Px,y，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為6，所以，當(dāng)時(shí)，得，兩邊同平方，得；當(dāng)時(shí)，得，兩邊同平方，得，對(duì)于A，如圖，曲線過原點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，由圖易知，兩段拋物線弧均關(guān)于軸對(duì)稱，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，若點(diǎn)Px,y在上，得，所以，若點(diǎn)Px,y在上，同理得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得或（舍去），由，得或（（舍去），故與曲線交于點(diǎn)，則，可得，D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)為.令，則，故的系數(shù)是.故答案為：6013.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為，母線長最短，最長，則斜截圓柱的體積為__________【答案】【解析】將如圖所示的相同的兩個(gè)幾何體拼接為圓柱，則圓柱底面半徑為，高為，體積為，則該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即.故答案為：14.若直線（為常數(shù)）與曲線，曲線均相切，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)直線與fx=lnx的切點(diǎn)為，則切線方程為，即，又因?yàn)?，所以解得，所以切線方程為，因?yàn)?，所以，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，所以①，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，所以②，由①和②可得，所以，解得.故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?運(yùn)用過程及演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求角的大小；（2）已知.求的面積.解:（1）因?yàn)?，即，解得?因?yàn)樵谥?，，所?（2）在中，由余弦定理，得，整理得，由，解得，所以的面積為.16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，其對(duì)角線交于點(diǎn).且平面.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所?又平面，所以平面.（2）解：方法1，由，四邊形為菱形，，則是邊長為2的等邊三角形.所以.因?yàn)槠矫妫瑒t以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，取，則，故，易知平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的余弦值，故平面與平面夾角的余弦值為；方法2，由，四邊形為菱形，，則是邊長為2的等邊三角形，所以，所以.取中點(diǎn)，連接，在等腰直角中，且，由勾股定理得.因?yàn)?，則，.注意到，平面平面，所以平面與平面的夾角即為.在中，，則，即，故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的值.解:（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由恒成立，得恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故恒成立，因此，所以.18.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)且的周長為.（1）求橢圓的方程.（2）若直線過點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)（i）求直線的方程；（ii）已知點(diǎn)，求的面積.解:（1）根據(jù)題意有，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）若直線的斜率不存在，其垂直平分線與軸重合，不符合題意；不妨設(shè)直線的方程為的中點(diǎn)為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立有，整理得，直線過橢圓焦點(diǎn)，必有，則，所以，由題意知，即，解得，即，整理得直線的方程為或（ii）由弦長公式可知，由直線的對(duì)稱性，知點(diǎn)到兩條直線的距離相同，即，所以的面積為.19.已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)，對(duì)任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若，請(qǐng)判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)；（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件；（3）已知數(shù)列中，且.若數(shù)列只有性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:（1），對(duì)于，故，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”.（2）先證“充分性”：當(dāng)數(shù)列具有“性質(zhì)”時(shí)，有，又因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，結(jié)合有，即“