人教版選擇性必修一冊高中數(shù)學(xué)講義：拓展之異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）（學(xué)生版+解析）

第07講拓展一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）

jQ知識清單

1、（傳統(tǒng)法）核心技巧：平移使相交

具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角

2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角

已知a,b為兩異面直線，A-C與B，。分別是b上的任意兩點，a,b所成的角為。，則

ACBD

①cos<AC,BD>=

\AC\\BD\

\ACBD\

②cos3=|cos<AC,BD>|=7-----------

AC\'\BD

豳題型精講

題型01求異面直線所成角（定值）（傳統(tǒng)法）

【典例1］（23-24高一下?山東煙臺?階段練習(xí)）已知在長方體中，AB=BC,直線AC1與

平面ABCD所成角的正弦值為冷,N為線段3c的中點，則直線A片與直線C|N所成角的余弦值為（）

【典例2］（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）在正三棱柱ABC-A耳G中，叫，面ABC,2AB=AAl,則異

面直線AC與A4所成角的余弦值為（）

【變式1］（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，分別是P"3c的中點,

點P在平面ABCD內(nèi)的射影為N,PA與平面ABCD所成角的正切值為2,則直線總與MC所成角的余弦值

為（）

題型02求異面直線所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）己知直三棱柱ABC-AB?中，/ABC=120。,AB=CCt=2,BC=1,

則異面直線A與與BG所成角的余弦值為（）

A.BB.姮C.巫D.且

2543

【典例2］（23-24高三上?廣西?開學(xué)考試）正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們

的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為2c

的中點，則異面直線EG與防所成角的正弦值為.

【典例3】（2024高一下?全國?專題練習(xí)）如圖，已知。是圓柱下底面圓的圓心，人4為圓柱的一條母線，

.2兀.

B為圓柱下底面圓周上一點，OA=1,ZAOB=^,AAZ?為等腰直角三角形，則異面直線AQ與A3所成

角的余弦值為

TT

【變式1】（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知菱形A3CZ）,ZDAB=~,將△ZMC沿對角線AC折起，使以

A,民C,。四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線A8與8所成角的余弦值為（）

A』Bf38

A?D.L.L）.

5244

【變式2］（23-24高三下?四川德陽?期末）正四面體A3C￡＞中，E、P分別是AB和。的中點，則和

AC所成角的大小是.

【變式3】（23-24高二上?廣東茂名?期末）長方體A8CD-ABGA中，AB=BC=2,CCl=l,點F是底

面ABCD的中心，則直線AG與直線BF所成角的余弦值為.

題型03求異面直線所成角（最值或范圍）

【典例1］（23-24高二下?山東煙臺?階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方體ABCD-ABIGA中，點P在4G

上，點。在平面內(nèi)，設(shè)直線AA與直線尸2所成角為仇若直線PQ到平面AC?的距離為也，貝bin。

2

的最小值為.

【典例2］（23-24高二上?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDE中，.平面ABC,平面BCD_L

平面ABC,.ABC是邊長為2的等邊三角形，BD=CD=下,AE=2.

B

⑴求點B到平面ECD的距離；

（2）若M為3c的中點，N為線段砥上的動點，設(shè)異面直線。與MN所成角為凡求cos。的最大值及此時

EN_

f的值

ED

【變式3］（23-24高二上?吉林通化?期末）如圖，在正四棱錐V-ABCD中，二面角V-3。-。為60。，E

VF

為3c的中點.已知F為直線VA上一點，且F與A不重合,若異面直線與儂所成角為6。。,則祈

題型05易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍

【典例1］（23-24高二上?遼寧?期末）直三棱柱ABC-A瓦G中，AC=AB=2,BC=2近,"=3,則直線

AG與4聲夾角的余弦是（）

991616

A.-----B.—C.——D.—

13132525

【典例2］（23-24高二上?黑龍江齊齊哈爾?期末）中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為"曲池"

的幾何體，該幾何體為上下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所

示的曲池，其中明，底面ABCD,底面扇環(huán)所對的圓心角為,，扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1:2,

AB=\,M=1-E在4〃上且為靠近2的三等分點，則異面直線班與C］。所成角的余弦值為（）

\/6—^2^2—\/6ry［6+V?A/6—^2

A.------------b.-----------c.-----------u.-----------

2444

【變式1］（23-24高二上?湖北武漢?期末）已知兩條異面直線的方向向量分別是〃=（-3,1,-2）,v=（3,2,1）,

則這兩條異面直線所成的角。滿足（）

A.sin^=-B.cos6=——

1414

7115

c.sin6=一D.cos6?=-—

1414

【變式2］（23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD1

底面ABCD,PD=2DC,E為PC上一點,且PC=4EC,則異面直線AC與BE所成角的余弦值為（）

742DV42rV21NA/21

14141414

第07講拓展一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）

知識清單

1、（傳統(tǒng)法）核心技巧：平移使相交

具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角

2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角

已知a,b為兩異面直線，A，C馬B，。分別是。，b上的任意兩點，a,b所成的角為。，貝U

\AC-BD\

②cos0=|cos<AC,BD>|=

I研麗I

題型精講

題型01求異面直線所成角（定值）（傳統(tǒng)法）

【典例1］（23-24高一下?山東煙臺?階段練習(xí)）已知在長方體ABCD-ABCB中，AB=3C,直線AG與

平面ABCD所成角的正弦值為冷,N為線段3C的中點，則直線A片與直線C|N所成角的余弦值為（）

,史

【答案】A

【分析】結(jié)合條件根據(jù)線面角的定義求得GC,連接G2DN,根據(jù)異面直線夾角的定義，利用余弦定理

求解即可.

【詳解】連接AC,因為GC，平面A3CD,所以NC|AC為直線AG與平面A3。所成角,

設(shè)A3=3C=a,CC]=/i,則AC二AC]=,2/+元,

所以sin/￡AC=~1f=?=乎,所以〃=立〃，

GA,2/+后52

連接連接GDOV,由長方體的性質(zhì)知，4G//A。且

所以四邊形A〃G與為平行四邊形，

所以A4〃DC〉則ZNQD或其補角即為直線AB1與直線QN所成角，

22

在NC]。中，DCX=y/a+h=a,NC{=a,DN=a>

3/3Q25Q2

所以由余弦定理得cosNNC\D==2；44=X0

ZC.JLJ-CJVcVO731,

2xax—ci

22

即直線A片與直線C|N所成角的余弦值為YZ.

3

故選：A

DxG

AB

【典例2]（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）在正三棱柱A3C-AAC中,AA_L面ABC,2AB=AA,,貝！|異

面直線AC與A4所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】分別取4男,朋,AB,AC的中點F,E,H,G,可得ZFEG是異面直線4c與A4所成角即為所與EG

所成角（或其補角），在AEFG中，由余弦定理求解即可.

【詳解】分別取A瓦,的中點F,E,H,G,

連接EF,FH,EG,GH,FG,所以￡F//4綜EG//A。，

所以異面直線4c與A與所成角即為所與EG所成角（或其補角），

即N五EG,設(shè)2AB=44]=2,所以￡F=EG=

FG=^FH2+GH2=

一5--5---1-7

222

EF+EG-FG44447

所以在EFG中，所以cos/EEG=

2EFEG2小逐5W

2

7

所以異面直線AC與A與所成角的余弦值為工.

故選：A.

【變式1］（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，M,N分別是PD/C的中點,

點P在平面ABCD內(nèi)的射影為N,PA與平面A3CD所成角的正切值為2,則直線以與所成角的余弦值

為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由條件可證MC〃￡W,則直線R4與MC所成的角為NAEN,然后結(jié)合條件以及余弦

定理代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】

如圖，取R4的中點E,連接EM,EN.因為分別是24,尸。的中點,

所以EM//ADEM=-AD.

2

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO//BC,AD=-BC.

2

因為N為BC的中點，所以NC=：BC,所以EM//NC,EM=NC.

故四邊形包區(qū)可為平行四邊形，所以MC〃敬,

所以直線上4與MC所成的角為NAEN.

連接PN,AN,因為點尸在平面ABCD內(nèi)的射影為N,所以兩人平面ABCD,

所以24與平面A3CD所成的角為NE4N,所以tan/EAN=2.

不妨令PN=2,貝！J3=1,所以PAMJPM+AN?=占,

所以EA=EN=@,

2

在"EN中，

EA2+EN2-AN。

由余弦定理得cosZAEN=

2.EA-EN

故選：A.

【變式2］（23-24高一下?安徽阜陽?期中）如圖，在正方體ABCQ-ABGA中，M,N分別為。。/和C。

的中點，則異面直線AM與BN所成角的余弦值為（）

4

D.I

【答案】A

【分析】E,尸分別為AB,8瓦的中點，NEC/或其補角為AM與BN所成的角，設(shè)正方體的邊長為。，余弦

定理求解即可.

【詳解】取4B的中點E,B片的中點尸，連接EQ/G，

又M,N分別為GA和CG的中點，正方體中，QN//FB,C\N=FB,

四邊形GNBP為平行四邊形，有FCJIBN,

同理有EC,//AM,則NEC/或其補角為AM與所成的角,

EC；+FC；-EF。

所以cos/EC/=

-2EC、FC\

即異面直線AM與BN所成角的余弦值為乎.

故選：A.

【變式3］（23-24高三上?河南鶴壁?期中）如圖，在正三棱柱ABC-A與G中，的=4,AB=2,則直線

與直線B￡所成角的正切值為.

【答案】早］底

【分析】根據(jù)給定條件，作出直線與直線BC所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.

【詳解】在正三棱柱ABC-A再G中，連接明交BC于。點，取4G的中點R連接。尸,

顯然。是BG的中點，則。尸//AB,/與。廠是4B與4c所成的角或其補角,

2222

在’08尸中，B1F=6,OBt=^BtC=174+2=75,OFA.B=^4+2=A/5,

(百丁十(6)2—(6)27Jl-cos?NBQF_751

cosZB{OF=一，tanZB.OF=

2x^5x^5101cosZB^OF7

所以直線A3與直線所成角的正切值為叵.

7

故答案為：耳

【變式4】(2024?全國?模擬預(yù)測)在三棱錐P-ABC中，AC=y/3,SC=1,PA=PB=PC=AB=2,M

為AC的中點，則異面直線8M與R4所成角的余弦值是.

【答案】咚

【分析】先根據(jù)異面直線所成角的定義確定血B為異面直線皿與B4所成的角或其補角；再根據(jù)勾股定

理求出即4,余弦定理求出cosNDCB.,進(jìn)而得出BEP；最后在8A仍中，利用余弦定理即可求出cos/DMB.

【詳解】取PC的中點D,連接如圖所示:

p

因為M為AC的中點，。為尸。的中點,

則根據(jù)三角形的中位線定理可得DM//PA,且DM=,PA=1.

2

所以ZDMB為異面直線與a所成的角或其補角.

因為在“ABC中，AC=0,BC=1,AB=2,

所以AB?=3C2+AC2,則AC13C.

^AM=MC=-AC=—,所以=JBC2+MC2=立.

222

又在PBC中，BC=1,PB=PC=2,

72_i_I2_721

所以由余弦定理可得：cosNDCB=J

2x2x14

又因為在中，DC=BC=1,

I3

所以由余弦定理可得：BD2=l+l-2xlxlx-=-.

42

173

/z.cDM2+BM1-BD-1+4-2577

則在中，由余弦定理可得,cosZDMB=-----------------------

2xDMxBM2小也一28

2

所以異面直線BM與PA所成角的余弦值為空.

故答案為：這.

28

題型02求異面直線所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）己知直三棱柱ABC-AB?中，ZABC=120°,AB=CC1=2,BC=1,

則異面直線A片與BG所成角的余弦值為（）

A.D..

254

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量法求線線角解決即可.

【詳解】以3為原點，在平面A3C過B作8C的垂線交AC于。，

以8￡＞為x軸，以BC為V軸，以B片為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因為直三棱柱ABC-A再￡中，/ABC=120。，AB=CCi=2,BC=1,

所以A(A/3,-1,0),耳(0,0,2),5(0,0,0),q(0,1,2),

所以曲=(-73,1,2),Bq=(0,1,2),

設(shè)異面直線AB,與8G所成角為。,

\ABBC\5Tio

所以cos。=c

\ABX\-\BCX\A/8,A/54

故選：C.

【典例2］（23-24高三上?廣西?開學(xué)考試）正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們

的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為8C

的中點，則異面直線EG與B尸所成角的正弦值為.

E

【答案】叵

6

【分析】依題意，求出棱長，建立空間直角坐標(biāo)系，借助向量求出異面直線夾角的余弦值，再轉(zhuǎn)換為正弦

值即可.

【詳解】

連接30AC交于。點，連接收，

因為該幾何體是一個高為4的正八面體，

所以3￡>_LAC,EF=4,OE=2,

設(shè)棱長為。，則4。=缶，。4=叵，

2

所以在RtAAOE中，AE2=O^+OE2,即/=［孚］+2?,解得°=20，

以O(shè)A,OB,OC所在直線為％%z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則E（0,0,2）,C（-2,0,0）,G（-l,l,0）,S（0,2,0）,F（0,0,-2）,

所以EG=（-1,1,-2）,3/=（0,-2,-2）,

設(shè)異面直線EG與8尸夾角為。，

EGBF(-1)x0+1x(-2)+(-2)x(-2)

則cos0=

EG^BF^(-1)2+12+(-2)2J(-2『+(-2)2~6

因為640微

所以異面直線EG與BF所成角的正弦值sin3=Vl-cos2^=等

故答案為：—.

6

【典例3】（2024高一下?全國?專題練習(xí)）如圖，已知。是圓柱下底面圓的圓心，他為圓柱的一條母線,

8為圓柱下底面圓周上一點，OA=1,ZA0B=y,然2為等腰直角三角形，則異面直線AQ與A3所成

角的余弦值為.

【分析】可借助等角定理得到/用4?；蚱溲a角即異面直線4。與A3所成的角，結(jié)合余弦定理計算；或借

助空間向量的線性運算得到AlO-AB=^AO-AAiyAB=AO-AB-AAiAB=|OA|-|AB|COS^=|,再利用夾角

公式計算.

【詳解】方法一：

如圖，過點8作2瓦〃相交圓柱的上底面于點4,連接A與，BQ,

則由圓柱的性質(zhì)易證四邊形4片仍為矩形，所以4瓦//43,

所以/用4?；蚱溲a角即異面直線4。與AB所成的角,

在中，OA=OB=1,ZAOB=—,所以A3=20Bsin^^=2sin^=石,

323

因為AA8為等腰直角三角形，且AAJ.AB,所以AA=AB=6，

所以BQ=Afi=小A4?+OA2=2,又44=AB-E，

攻+外哥-攻4+3_4

所以COS/與4。=

2Ao-2x2x6-4

即異面直線4。與例所成角的余弦值為當(dāng)

27r

在,ABO中，OA=OB=1,ZAOB=—,

所以AB=20Bsin'=技ZOAB=-,

36

因為44出為等腰直角三角形，且所以用=筋=百，

易知A41_LAO,所以AO=/4短+QV=2,AA]-AO=0,AAi-AB=O,

所以AO.AB=（AO-裕）A3=AO.A3-A4rAB=|O4|A@COS《=T，

3

2=5.

所以cos（AO,A3）4。A3

P4M2x734

則異面直線\0與AB所成角的余弦值為昱.

4

故答案為：走.

4

【變式1】（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知菱形A3CD,ZDAB=1,將△ZMC沿對角線AC折起，使以

A,民C,。四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線A3與8所成角的余弦值為（）

A,-B.3C,-D.正

5244

【答案】C

【分析】當(dāng)三棱錐。-ABC的體積最大時，平面ACDL平面A5C,以“為原點，EB,EC,ED分別為x，y，z

軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量AB,CD的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.

【詳解】記AC的中點分別為E,因為AD=CD,所以O(shè)E人AC,

同理，BELAC,記AB=2a,

因為=所以行MC=BAC=-,

36

所以BE=DE-a,AE=CE=6a,

TT

易知，當(dāng)平面AS,平面A5c時，三棱錐O-ABC的體積最大，此時/呂釗二,，

以E為原點，￡氏￡。,皮）分別為蒼y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,-百〃,0）,B（?,0,0）,Ce,6a,0）,￡＞（0,0,?）

所以AB=（。,y/3a,0j,CD=（0,-a）,

所以cosAB,CD=3a=一』,

2ax2a4

3

所以異面直線AB與8所成角的余弦值為一.

4

故選：C

【變式2]（23-24高三下?四川德陽?期末）正四面體ABCD中，￡、廠分別是43和8的中點，則EF和

AC所成角的大小是.

【答案】45。/!

4

【分析】構(gòu)造輔助線，利用中位線定理得到NGEE是所和AC所成角，然后結(jié)合向量數(shù)量積的變形即可求

解.

【詳解】取A0中點G,連接EG,FG,令棱長為

因為E、歹分別是A8和8的中點，

所以EG〃9，EG=-BD,GF//AC,GF=-AC,

22

所以ZGFE是EF和AC所成角,

11,

又BA-BC=BA-BD=BC-BD=a^a—=—a2,

22

FG=-CA=-（BA-BC]=-BA--BC,

22、>22

FE^FC+CB+BE=-DC-BC+-BA

22

=-(BC-BD\-BC+-BA=-BA--BC--BD,

2、>2222'

122Jy222)4

|=]，r_V2

FG=\BA-\BCFE=-BA--BC--BD|-2"）

222

FGFEV2

所以cos/GFE=

FG||FE|2，

所以NGEE=45。，即M和AC所成角的大小為45。.

故答案為：45°

【變式3］（23-24高二上?廣東茂名?期末）長方體ABCD-A4GA中，AB=BC=2,CQ=1,點尸是底

面A3CD的中心，則直線AQ與直線BF所成角的余弦值為

【答案】烏！石

99

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行計算即可.

【詳解】如圖所示，建立如下空間直角坐標(biāo)系,

依題可得，A（2,0,0）,G（0,2,1）,/（1,1,0）,4（2,2,1）,

ACj-FB]-2xl+2xl+lxl_73

所以cosAC1,做=

HH也忑一9

故直線AG與直線所成角的余弦值為當(dāng)，

故答案為：走.

9

題型03求異面直線所成角（最值或范圍）

【典例1］（23-24高二下?山東煙臺?階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方體ABCD-AqG0中，點尸在4G

上，點Q在平面ABBiA內(nèi)，設(shè)直線A4與直線尸。所成角為夕若直線P。到平面AC，的距離為且，貝”in。

2

的最小值為.

AG

［答案］6

3

（分析］建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出P到面ACR的距離，進(jìn)而求出點P坐標(biāo)，過尸作平面ACDt

的平行平面，得到點。的軌跡，再利用向量法求線線角，進(jìn)而求其最值即可.

【詳解】因為直線尸。到平面ACQ的距離為更，

2

所以必有尸?！鍭CD］,即點尸到平面AC。的距離為昱,

2

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（P』」），又4（1,0,0）,C（0,1,0）,。（0,0,1）,

則AC=（-1,1,0）,40,=（-1,0,l）,CP=（p,0,l）,

設(shè)面ACD｛的法向量為乃=（x,y,z）,

AC-n=-x+y=0,、

則，取尤=1得〃=（1』,1）,

ADl-n=-x+z=0

則歸*1=甲=且，解得p=;,即尸

\n\V32212）

過尸作平面AC，的平行平面，與正方體ABCD-4AGA的截面為麗,

V,N分別為線段4片和線段B片的中點，則

所以。在直線MN上，

^PQ=PM+MQ=PM+AMN=0\+A[0,-,--I=I

y22JI22Jy2222

_|%尸。|

又刈=（。,。,1）,則儂6=時闋

當(dāng)2=0時，cos0=0,

口

cos0<------

A/2XT-T,

則sin。的最小值為Jl-

一3

故答案為：手

【典例2](23-24高二上?浙江金華,階段練習(xí))如圖，在多面體ABCDE中，平面A3C,平面3CD_L

平面ABC,A5C是邊長為2的等邊三角形，BD=CD=s/5,AE=2.

B

⑴求點B到平面ECD的距離；

(2)若M為8c的中點，N為線段BE上的動點，設(shè)異面直線CO與所成角為。，求cos。的最大值及此時

EN_

言的值

ED

【答案】⑴半

,9,A/8057

3511

【分析】

(1)說明08,49,8兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面ECD的法向量，根

據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案；

(2)設(shè)EN=/l即(0W2W1),表示出N點坐標(biāo)，即可求得MN坐標(biāo)，結(jié)合的坐標(biāo)，根據(jù)空間角的向量

求法，即可求得cos。的最大值及此時F蕓N的值.

【詳解】(1)設(shè)BC的中點為。，連接AO,。。，KuBD=CD=s/5,則

ABC是邊長為2的等邊三角形，故OC=1,則0O=JCD2_OC2=2,

平面BCD_L平面ABC,平面BCD一「平面ABC=8C,DOu平面BCD,

故DO_L平面A5C,AOu平面A5C,故。O_LAO,

乂ABC是邊長為2的等邊三角形，BC的中點為。，故AO23C,

故以O(shè)B,AO,OD所在直線為x,7z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則Ae,一后0),2(1,0,0),。(0,0,2),E(0,-V3,2),C(-l,0,0),

C￡>=(1,O,2),CE=(1,-V3,2),

n-CD=x+2z=0

設(shè)平面CED的一個法向量為〃=(%,y,z)則

n-CE=x-布y+2z=0

令尤=2,則〃=(2,0,—1),又CB=(2,0,0),

故點B到平面ECD的距離為d=0包=與=還;

\n\V55

(2)M為2C的中點，即為。點；

N為線段助上的動點，設(shè)EN=XE8(04241),

而班=(1,右,一2),即硒=彳(1,6,一2),故點N(X,石(2-1),一2(力一1)),

故MN=(2,A/3(A-l),-2(2-1)),而CD=(1,0,2),

設(shè)異面直線8與MN所成角為。，則cos6=|cos（MN,CD）|=心,①

\MN\\CD\

__________14-3-1_________|4-32|

A/S7A2+3（2-1）2+4（2-1）2后，8幾2—14力+7'

令f=4-33je[l,4],則彳

|4-32|31fl3

故BW?一14X+7后弧2一221+23匹卜子+軍，

112223

4-=v,ve[-,l],貝IJ8——+—,即為235—22v+8,

t4tt

當(dāng)V="eG,1]時，23V2_22v+8取得最小值||,

?237-3一艮麻

即，=打，即4-32=F/.2=五時，w122?23取得最大值E73535，

即cos。的最大值為叵，此時黑的值為j

35EB11

【典例3]（23-24高三下?湖南長沙?開學(xué)考試）三棱錐尸-ABC中，上4,平面ABC,ABJ.BC,AB=BC=2.

PA=2有，點。是面R4B內(nèi)的動點（不含邊界），AD±CD,則異面直線8與A3所成角的余弦值的取

值范圍為（）

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由AD29，可得/_2x+z2=0（0〈尤＜撩），再利用線線角的向量求法求

解即得.

【詳解】由2，平面ABCBCu平面A3C,得上4L3C,

又AB_LBC,PA45=從尸418(^平面/^,則3C2平面R4B,

ADu平面aB,則AD13C,又AD_LC￡>,BC8=C,3C,C￡>u平面BCD,

因此AD_L平面BCD,而BDu平面BCD,則ADS3D,

如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB,BC,AP的方向為x，Mz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),。(2,0,0),。(2,2,0),尸(0,0,2?設(shè)。(x,0,z),

3

AO=(x,0,z),3Q=(x—2,0,z),由ADIHD,^x2-2x+z2=0(0<x<-),

AB=(2,0,0),CD=(x—2,-2,z),設(shè)異面直線CD與AB所成角為0,

\ABCD\2(2-x)2—x

則cos0=|cos(AB,CD)|二

\AB\\CD\~27(X-2)2+4+Z2-A/2-74^1'

）

令j4—x=t,貝！—,2),cos6=2

顯然函數(shù)y=在（半，2）上單調(diào)遞增，此時"je（嚕，D'c°sOe

所以異面直線8與AB所成角的余弦值的取值范圍為

故選：A

【點睛】思路點睛：求空間角余弦的最值或范圍問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的余弦建立起變

量的函數(shù)，求出函數(shù)最值或范圍即可.

【變式1］（23-24高二上?山東濰坊?期末）在直三棱柱ABC-中，的=4,A8=26,平面。經(jīng)過

點A,且直線AA與平面&所成的角為30。,過點a作平面a的垂線，垂足為則點A到平面口的距離為

直線AA與BH所成角的范圍為.

【答案】2［30。,60。］

【分析】利用得出H在以A4為直徑的球面上，其時可得出A到平面。的距離，由直線A4與

平面。所成的角為30。，得“在以A4為軸，頂角為60。的圓錐面上，從而得出”的軌跡是圓，然后建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得3"與A4所成角的余弦值，角的范圍.

【詳解】如圖，連接因為AHua,所以

所以H在以朋為直徑的球面上，又直線AA與平面a所成角為30。，而/AA8即為直線AA與平面&所成

的角，因此NAAH=30。，因此H在以AA為軸，頂角為60。的圓錐面上，

過H作/￡0,AA于點O,則其中的長即為4到平面a的

距離.

所以H在圓錐40的底面圓上，。為圓心，半徑為G，

以A8為V軸，A4為z軸，過A與A3垂直的直線的為了軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8（0,2石,0）,設(shè)H（石cos仇括sin0,3）,

BH=cos0,sin（9-2^,3）,取A4,的一個方向向量為”=（0,0,1）,

\BH,"L廠3廠36工

cosBH,n=

BH同J3cos20+3(sin3-2)2+9j24-12sind以2’2」

又QVBH,nMn,所以3",

63

所以直線BH與A4所成角的范圍是邑口，即［30。,60。］,

故答案為：2；［30。,60。］.

【變式2］（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，在長方體ABCD-A/CQ中，E是人4的中點，點

尸是A。上一點，AB=AAl=2,BC=3,AF=1,動點尸在上底面AAGA上，且滿足三棱錐尸—班尸的

體積等于1,則直線CP與所成角的余弦值的最大值為

【答案】外

（分析］建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（九n,2）（0<m<3,0<n<2）,通過向量法算出點P到平面BFE的距離,

結(jié)合三棱錐P-3E廠的體積等于1可得到2"「〃=2,再通過向量法計算直線CP與所成角的余弦值的

范圍，繼而算出答案

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，分別以DC,OR所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

P（m,n,2）（0W相V3,0W〃V2）,則/（2,0,0）,E（3,0,1）,8（3,2,0）,C（0,2,0）,

A（0,0,2）,

FB=（1,2,0）,FE=Q,0,1）,CP=（叫及—2,2）,DR=（0,0,2）,

設(shè)平面ME的法向量為4=（尤,y,z）,貝I]"-"x+ZwO,令片2,得a=（2,-l,-2）,

a?FE=x+z=0

上.￡尸||2/77-8-

而EP=,則點P到平面BFE的距離d=

開二i

又EP=JF+12=e,BF=BE=Jf+愛=小，

在等腰△班E中，B到中:的高為扃-—=—,則SBFE'X0X述=』，

22222

1c413日\2m-n-8\

而Vp_BFE=7xSBFExd=二義二義d=1,于THd=--------------=2，

3BFE323

解得2加一九=2或2加一〃=14，由0?根?3,。?〃42,得一202加一〃46,貝U2m-n=2f

jrCPDD、4

設(shè)直線W與所成的角為氏