三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)含答案

三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)含答案

三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖，這一蘊(yùn)含深厚數(shù)學(xué)智慧的圖形，分為內(nèi)弦圖與外弦圖，其中內(nèi)弦圖由古代中國數(shù)學(xué)家趙爽

所發(fā)現(xiàn)。它不僅為勾股定理提供了直觀的證明途徑，還成為了探索數(shù)學(xué)命題的寶貴工具。弦圖題目

的挑戰(zhàn)性與其解題方法的多樣性并存,使其成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的不朽傳奇。其簡約而不失深邃的

美學(xué)價值，以及其中蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想、數(shù)形結(jié)合思想和圖形變換思想，都為課堂教學(xué)提供了豐富的數(shù)

學(xué)思想滲透資源。

弦圖，這一小巧卻能量巨大的幾何模型，巧妙地融合了初中平面幾何的線與形、位置與數(shù)量，以

及方法與思想。它不僅是數(shù)學(xué)教育的經(jīng)典之作，更是廣大數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者競相研究的熱點(diǎn)。

近年來，弦圖更頻繁地出現(xiàn)在各地中考中，成為檢驗學(xué)生幾何素養(yǎng)的重要標(biāo)尺。

然而，在學(xué)習(xí)幾何模型時，許多學(xué)生往往過于注重模型結(jié)論，而忽視了證明思路及方法的重要性。這

種本末倒置的做法，無疑會限制學(xué)生在數(shù)學(xué)題目解答中的靈活性。要知道,數(shù)學(xué)考察的并非一成不

變的知識點(diǎn)，而是學(xué)生對知識的理解和運(yùn)用能力。因此，學(xué)數(shù)學(xué)不能死記硬背，而應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上

記憶，這樣才能做到對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用。

為了真正掌握幾何模型，學(xué)生需栗做到以下幾點(diǎn)：首先，要能夠認(rèn)識幾何模型，并能夠從題目中

提煉并識別出幾何模型；其次，雖然記住結(jié)論很重要，但更為關(guān)鍵的是要記住證明思路及方法，這樣

才能在遇到類似問題時迅速找到解題思路；最后，要明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因為多數(shù)題目考察的

方面均源自于這些易錯點(diǎn)。

當(dāng)然，以上三點(diǎn)只是基礎(chǔ)要求。由于題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中脫穎而出，學(xué)生還需栗在

平時的學(xué)習(xí)過程中通過大量練習(xí)，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用。只有這

樣，才能在面對各種復(fù)雜的幾何問題時游刃有余，展現(xiàn)出真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

---------------------------------------------------------------------------0°---------------------------------------------------------------------------

例題講模型...........................................................................1

模型1.弦圖模型..................................................................1

模型2.勾股樹模型................................................................9

習(xí)題練模型..........................................................................15

例題講模型

模型1.弦圖模型

模型解讀

“弦圖”就是我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等直角

三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍城正方形的

邊長時就叫外弦圖模型。

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，考試中有時候不會直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學(xué)習(xí)中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈活變形,

從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時能夠從多種角度進(jìn)

行考慮,并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

(1)內(nèi)弦圖模型:

條件:如圖1,在正方形RBCS?中，于點(diǎn)E,EF_LGG于點(diǎn)F,OG于點(diǎn)G,AE于

點(diǎn)H,結(jié)論：叁△BCF當(dāng)△CDG望△DAH；

證明：；4ABe=ABFC=AAEB=90°,A/ABE+AFBC=AFBC+AFCB=90°./.NABE=

AFCB.

又AB=BC,：.4ABE篤△BCF，同理可得4ABE篤ABCF空/XCDG左/\DAH.

⑵外弦圖模型：

條件:如圖2,在正方形4BCD中，E,F,G,H分別是正方形4BCD各邊上的點(diǎn)，EFGH是正方形，

結(jié)論：AAHE冬△BEF冬△CFU簍△DGH；+

證明：：ZB=ZEFG=ZC=90°,AZBEF+ZEFB=Z.EFB+ZGFC=90°,ABEF=AGFC.

又,：EF=FG,：.^EBFAFCG.同理可得△ERF篤△尸CG篤△GDH篤△H4E.

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形ABCD、的GH、PQMV、均為正方形；結(jié)論：2S正方形瓦麗=SmABCD+

S正方彩PQMN.

證明：由(1)(2)中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用S△表示他們的面積。

S正方形4BCO=S正方形PQMV+&S&；S正方形EFGH=S正方形PQJVW+4SA；

?S正方形ABCD+S正方形PQJVCV=S正方形pQjvcv+8SA+S正方形PQMV=2s正方形PQJVCV+8sA=2s正方形EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外,也常和完全平方公式(知二求二)結(jié)合考查。???

（4）半弦圖模型

A

條件:如圖5,EA_L4B于點(diǎn)A,G?_LAB于點(diǎn)B,EF_LR?,曲=如0,結(jié)論：入42加箜△BGF；EA+

GB=AB.

證明：:EA，AB于點(diǎn)A,GB,AB于點(diǎn)尸G,乙4=NB=NEFG=90°

...NAFE+乙AEF=NAEF+ABFG=90°.AAFE=ABFG.

5L-：EF=FG,：./\AFE^/\BGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABa

條件:如圖6,EA_LAB于點(diǎn)A,GB_LAB于點(diǎn)B,EF_LEG,EF=MG，結(jié)論：&?而空△BGF；EA-

GB=AB.

證明：同圖5證明可得：4AFE空/\BGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=AB.

條件:如圖7,在Rt△ABE和_R力ABCD中，4B=BC,結(jié)論：/lABE^ABCD；AB-CD=

EC。

證明：?//XABE和/\BCD是母△,AE_LBD,：./ABE=ZC=ZAFB=90°。

/.ZA+AABF=AABF+ADBC=90°.Z.ZA=ADBC.

又?：AB=BC,：.4ABE烏岫CD,：.BE=CD,：.AB-OD=BC-BE=EC。

上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個直角三角形,他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字

眼就要想到用弦圖的相關(guān)知識解決問題。

1.（23-24八年級下?北京門頭溝?期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該

圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.

如果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用為"表示直角三角形的兩直角邊（rc>y）,

下列四個推斷:①①2+y2=49；②2；—J/=2；（3）2xy+4=49；@rr+y=7.

其中所有正確推斷的序號是（）.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

???

2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的

“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

3.（2023?山東棗莊?二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明

勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個

全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形4BCD,正方形正方形兒WXT的面積分別為SiS,

S3.若正方形EFGH的邊長為2,則Si+S2+S3=

圖②

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修

飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)〃是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27,則

AD的長為

A

B

5.（23—24八年級下?福建龍巖?階段練習(xí)）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個

全等的直角三角形圍成的，若AC=6,8C=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一

倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）

4

B

D.80

6.（2023?河北?八年級期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它

是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形,若大正方形的邊長為5,小正方形的邊

長為L（1）如圖1,若用a,b表示直角三角形的兩條直角邊（aVb）,則而=.

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形ABCD,中間的小正方形為正方形EFGH，連接4。,交于點(diǎn)

P,交DE于點(diǎn)、M，SAAFP-S&CGP=_____-

7.（2024?山東濟(jì)南?二模）公元三世紀(jì),我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了“趙爽弦圖”.將兩

個大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個小正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10

的正方形則空白部分面積為

8.（23-24八年級上?浙江溫州?期中）如圖，在4ABC中，AACB=90°,AC=,AE是邊上的中線,

過點(diǎn)。作CF，AE,垂足為F,過點(diǎn)B作BC的垂線交CF的延長線于點(diǎn)D.

5

（1）求證：AE=CD.（2）若8。=1,求AE.

9.（23-24八年級下?廣東揭陽?期末）綜合實踐:我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，制作了如圖1所示

的“趙爽弦圖”，弦圖中四邊形ABCD，四邊形EFCH和四邊形IJKL都是正方形.某班開展綜合與實踐

活動時，選定對“趙爽弦圖”進(jìn)行觀察、猜想、推理與拓展.

（1）小亮從弦圖中抽象出一對全等三角形如圖2所示,請你猜想線段AE,8GA8之間的數(shù)量關(guān)系:

（2）小紅從弦圖中抽象出另一對全等三角形如圖3所示,請你猜想線段EJ,JK,KG之間的數(shù)量關(guān)系:

（3）小明將圖3中的KG延長至點(diǎn)河,使得=,連接成f與K尸相交于點(diǎn)N,請你在圖3中畫出圖

形.若求線段K/與JK之間的數(shù)量關(guān)系.

模型2.勾股林模型

模型解讀

勾股樹，也叫“畢達(dá)哥拉斯樹”。是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹形圖形，如下圖。

又因為重復(fù)多次后的形狀好似一棵樹,所以被稱為勾股樹。

模型特征:在直角三角形外，分別以三條邊作相同的圖形，則兩直角邊所作圖形面積之和等于斜邊所作圖形的面

積。該模型主要根據(jù)勾股定理的關(guān)系及等式性質(zhì)求解,常用來解決相關(guān)面積問題。

條件:如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊為元素所

作圖形的面積為Si,S2,以斜邊為元素所作的圖形的面積為S3。結(jié)論：Si+S2=S3

證明，設(shè)圖中兩直角邊為a、6,斜邊為c；且a、6、c三邊所對應(yīng)的等邊三角形面積分別為&、S?、53。

由等邊三角形和勾股定理易得：&的高為：率&；

.Q-1_A/32閂工田Q—V3Q_V32

2l22

,a?—a=-^-ao同理：Sz=b；S^—-^co

由題意可得：。2+〃=。2；...8+$2=4a2+?〃=乎（〃+〃）=?c2=s,

由于該類模型的證明基本相同，故此只證明等邊三角形。除了圖中的三類圖形，也?？嫉妊苯侨切?。

條件:如圖,正方形ABCD的邊長為a，其面積標(biāo)記為Si,以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形

的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積標(biāo)記為&,…按照此規(guī)律繼續(xù)下去,結(jié)論，Sn=a2證明：：

正方形ABCD的邊長為a,ACDE為等腰直角三角形，

:.DE2+CE2=CD2,DE=CE,.-.S..+S^S^觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

2222

SI=Q2,S2=yS1=ya,S3=yS2=-^-a,S4=yS3=-1-a,…,Sn=a-號）

條件:如圖，“勾股樹”是以邊長為利的正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別

向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似--棵樹而得名.假設(shè)下圖分別是第

一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，

結(jié)論:第n代勾股樹中正方形的個數(shù)為：乂=2滸1—1；第九代勾股樹中所有正方形的面積為：S?.=（n+1）?

m2o證明：由題意可知第一代勾股樹中正方形有1+2=3=22—1（個），

第二代勾股樹中正方形有1+2+22=7=23—1（個）,

7

第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15=2」1（個），

由此推出第n代勾股樹中正方形有1+2+22+23+…+2〃=2g1—1（個）。

設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b,斜邊長為c,根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2=rr>?,

第一代勾股樹中所有正方形的面積為=a2+62+c2=c2+c2=2m2；

同理可得:第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2a2+262+c2=3c2=3m2；

第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4c2=4m2；

第n代勾股樹中所有正方形的面積為=（n+l）c2=（n+l）-m2.

10.（23-24八年級下?河北承德?期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、伉斜邊為c,以直角三角形的

三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.那么，這四個圖形中，直角

三角形外,其他幾個圖形面積分別記作Si、$2、S3.

結(jié)論I：⑸、$2、53滿足$1+$2=$3只有即；

結(jié)論H：???a+b>c,.?.&+$2>$3的有⑴⑵⑶.

對于結(jié)論I和n,判斷正確的是（）.

A.I對II不對B.I不對II對C.I和II都對D.I和II都不對

11.（23-24八年級下?河南開封?期中）如圖,在四邊形ABCD中，ADAB=4BCD=90°,分別以四邊形

4BCD的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為a,b,c,d.若b+c=12,則a+d=.

12.（23-24九年級上?遼寧盤錦?開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為&,以CD為斜邊

作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,???.按照

8

此規(guī)律繼續(xù)下去，則s201的值為.

13.（23-24八年級下.山東日照.期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角

形的兩直角邊分別向外作正方形,重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而

得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹,按照勾股樹的作圖原理作圖，如果

第一個正方形面積為1,則第2024代勾股樹中所有正方形的面積為.

14.（2023春?重慶?八年級專題練習(xí)）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

圖⑷

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖⑵在圖⑴的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖⑶在圖（2）的

基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖⑹應(yīng)在圖⑸的基礎(chǔ)上增加的正方形的個數(shù)

是（）

A.12B.32C.64D.128

15.（2023春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理,世界上各個文明古國

都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻(xiàn)，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)學(xué)家歐

???

幾里得證明這個定理使用的圖形.以7?杈“16。（/人口。=90°）的三邊a,b,c為邊分別向外作三個正方形：

正方形ACED、正方形4ra8、正方形8CW,再作CG±垂足為G,交AB于P,連接BD,CF.則結(jié)

論：①ADAB=ACAF,②/XDAB空/\CAF,③S正方形人重。=2s，④S^AFGP=2S".正確的結(jié)論有

()

習(xí)題練模型

16.（2023秋.湖北.九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)其原型是我

國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面積是

16,直角三角形的直角邊長分別為Q,b,且稼+b2=Qb+10,那么圖中小正方形的面積是（）

17.（2024.廣西.中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABCD,E,F,G,H分別為各邊中點(diǎn)，連接AG,BH,

CE,DF,交點(diǎn)、分別為M,N,P,Q,那么四邊形的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

10

18.（2024?江西吉安?二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正

方形，若E是人尸的中點(diǎn)，入。=5,連接并延長交CD于點(diǎn)則的長為（）

AAB.1

A，4,4

19.（2024.廣東汕頭.一模）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶.

數(shù)學(xué)家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理：以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACH7,正

方形ABED,正方形BCGF,連接,CD,過點(diǎn)。作C0E于點(diǎn)J,交于點(diǎn)K.設(shè)正方形ACHI的

面積為$,正方形BCGF的面積為S2,長方形AKJD的面積為S3,長方形KJEB的面積為S4,下列結(jié)論：

①2S”CD=SI；②&=S3；③Si+S,j=S2+S3；④后隹=詞不瓦.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

20.（2024.浙江?中考真題）如圖，正方形4BCD由四個全等的直角三角形（AABEABCFACDGADAH）和

中間一個小正方形即GH組成,連接。E.若AE=4,BE=3,則小=（）

A.5B.2V6C.V17D.4

21.（2024.云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

11

圖⑷

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的

基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個數(shù)

是（）

A.12B.32C.64D.128

22.（2024.福建?中考真題）如圖，正方形4BCD的面積為4,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,4D的中

點(diǎn)，則四邊形E尸GH的面積為

23.（2024.北京?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，4F1_LDE于點(diǎn)F,CGLDE于點(diǎn)、G.

若4D=5,CG=4,則△AEF的面積為

24.（23-24九年級上?山西晉中?期末）如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的四個直角三角形和標(biāo)號為⑤的正方形恰好

拼成對角互補(bǔ)的四邊形ABCD,相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰以和等腰

①△BCF,③和④分別是電△CDG和電△。/舊，⑤是正方形直角頂點(diǎn)E,F,G,"分別在邊

BF,CG,DH,AE上.若普=中，43cm,則BE的長是cm.

GTJH.4

12

D

25.（23-24九年級上?湖南長沙?期中）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合

在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引

發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C.在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其

為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出

了數(shù)百種證明方法,成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名

網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是

（填寫數(shù)字序號即可）.

①。（懂得都懂）②YKDS（永遠(yuǎn)的神）③JAW（覺醒年代）④0GTW（強(qiáng)國有我）

26.（2024.浙江?二模）如圖，48，BD于點(diǎn)、B,CD±BD于點(diǎn)DP是BD上一點(diǎn)，且4P=PC,AP，PC.

⑴求證：△4BP篤△PDC；（2）若AB=1,CD=2,求AC的長.

13

27.（23-24八年級下?浙江杭州?期末）綜合與實踐

問題情境:第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會合徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.

如圖1,在綜合實踐課上，同學(xué)們繪制了“弦圖”并進(jìn)行探究，獲得了以下結(jié)論:該圖是由四個全等的直角三

角形（ADAE,/\ABF,△BCG,/\CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD,且N4B尸

>ABAF.

特殊化探究:連接設(shè)BF=a,AF=b.

“運(yùn)河小組”從線段長度的特殊化提出問題：（1）若AR=5,尸G=l,求△Ab斤的面積.

AB

圖1J圖2

“武林小組”從a與b關(guān)系的特殊化提出問題：⑵若b=2a,求證：ABAE=ZBHE.

深入探究:老師進(jìn)一步提出問題：（3）如圖2,連接BE,延長FA到點(diǎn)］，使AI=AB,作矩形BFIJ.設(shè)矩形

〃的面積為Si，正方形4BCD的面積為S2,若班平分/4BF,求證：S,=S2.請你解答這三個問題.

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28.（23-24八年級下?湖北武漢?期中）問題發(fā)現(xiàn):梓航在學(xué)完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中有一

種很好的勾股定理的證法:如圖1,作CG，F(xiàn)H于點(diǎn)G,交于點(diǎn)P,通過證明S正方形ADEC=$長方形4FGP，

S正方形BCNM=S長方形BHGP的方法來證明勾股定理?

愛思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，如圖2,若以H力△ABC的直角邊AC,為邊向外任意作OADEC,

□BCNM,斜邊AB上的DABHF，延長交于點(diǎn)Q,直線QC被OABH尸所截線段為PG,當(dāng)CQ

=PG時,此時SaADEC+S口BCNM=SaABHF成立.請你幫他完成證明.

問題證明：（1）先將問題特殊化，如圖3,當(dāng)四邊形ADEC，四邊形BCNM，四邊形ABHF均為矩形，且CQ

=PG時,求證：S矩3EC+S矩BCN"=S矩4BHF，（按梓航的分析，完成填空）

分析:過人作KZ〃PQ交直線于K,J,過8作R7V/PQ交于R,T；

可證S矩ADEC=SuAKQC=S口APGJ；同理可證S矩BCNM=SuBCQR=SaBTGp；

另外易得△⑷^篤可得S短ADEC+S矩BCNM=SuABJT=S矩4BHF成立.

（2）再探究一般情形，如圖2,當(dāng)四邊形4DEC,四邊形BCW,四邊形4BHR均為平行四邊形，且CQ=

PG時，求證：SuADEC+S口BCNM=SuABHF-

問題探索：（3）將圖2特殊化，如圖4,若ND=/CMW=/H=60°,AD=m,CN=n,AF=t,^.AQPB

=75°,請你直接寫出t的值（用含山，九的式子表示）.

29.（24—25八年級上?湖北荊州?階段練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】某興趣小組從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1,由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形

全等模型圖（如圖2、圖3）,即“一線三直角”模型和“K字”模型.

趙爽弦圖

圖1

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2,已知，ZVIBC中，CA=CB,乙4cB=90°,一直線過頂點(diǎn)。，過A,B分別作其垂

線，垂足分別為E,八求證：即=4?+89；

【問題提出】⑵如圖3,改變直線的位置，其余條件與⑴相同，若加1=4AE,后尸=3,求/\BCF的面積;

⑶如圖4,四邊形ABCD中，N4BC=/CAB=/4DC=45°,ZVICD的面積為20,且CD的長為8,求

△BCD的面積.

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30.（2020.山西.模擬預(yù)測）綜合與實踐：正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究

定義:如圖1,在正方形ABCD中，以為直徑作半圓。，以。為圓心，D4為半徑作曲,與半圓。交于

點(diǎn)P我們稱點(diǎn)P為正方形4BCD的一個“奇妙點(diǎn)”.過奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形無論是位置

關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究.

性質(zhì)探究:如圖2,連接DP并延長交人口于點(diǎn)E,則DE為半圓O的切線.

證明：連接OP,OD由作圖可知，DP=ZX7,OP=OC,

又???OD=OD△OP?？铡鱋CD.（SSS）.?.NO尸。=NOCD=90°,.?.0E是半圓O的切線.

問題解決：⑴如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，連接OE.請判斷/8OE和ZCDO的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

（2）在（1）的條件下，請直接寫出線段DE,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖4,已知點(diǎn)P為正方形ABCD的一個“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接DP并延長交AB于點(diǎn)

E,連接CP并延長交AB于點(diǎn)F,請寫出BE和AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑷如圖5,已知點(diǎn)E,尸，G,H為正方形48co的四個“奇妙點(diǎn)”.連接AG,BH,CE,DF,恰好得到一

個特殊的“趙爽弦圖”,請根據(jù)圖形,探究并直接寫出一個不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系.

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31.（2024.上海.中考真題）同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直

角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為瓦

（1）直接寫出:①兩個直角三角形的直角邊（結(jié)果用九表示）；

②小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用拉表示）；

（2）請畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖,要求:①不與給定的圖形狀相同;②畫出三角形的邊.

32.（2024?廣東?中考模擬預(yù)測）請閱讀下列材料：

小明遇到這樣一個問題:如圖1,在邊長為a（a>2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=

DH=1,當(dāng)ZAFQ=ZBGM=ACHN=NDEP=45°時,求正方形MNPQ的面積.

小明發(fā)現(xiàn)，分別延長交E4,的延長線于點(diǎn)A,S,T,W,可得ARQ斤,

/\SMG,/\TNH,△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）.

圖⑴圖（2）''-!圖⑶

請回答：（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙不重疊），則這個新正方形的邊長

為;

（2）求正方形MNPQ的面積；（3）參考小明思考問題的方法，解決問題:如圖3,在等邊△ABC各邊上分別

截取AD=BE=CR,再分別過點(diǎn)。，E,尸作BC,AC,AB的垂線,得到等邊ARPQ.若S^RPQ=

尊，求AO的長.

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33.(2022.寧夏.中考真題)綜合與實踐

知識再現(xiàn):如圖1,Rt/\ABC中，ZACB=90°,分別以BC、CA、為邊向外作的正方形的面積為&、

$2、S3.當(dāng)Si=36,S3=100時，$2=.

問題探究:如圖，①ZVLBC中，/ACB=90°.

(1)如圖2,分別以8。、CA、為邊向外作的等腰直角三角形的面積為Si、S”S3,則&、S2、S3之間的

數(shù)量關(guān)系是,(2)如圖3,分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為$4、$5、$6，試

猜想S’、S5、Se之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

實踐應(yīng)用⑴如圖4,將圖3中的△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△BGH,△ACE繞點(diǎn)A順時針旋

轉(zhuǎn)一定角度至△4W,GH、2W相交于點(diǎn)P.求證：$"郎=$四邊形PMFG；

(2)如圖5,分別以圖3中R力△ABC的邊8C、C4、為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，

8C、CA、4B為直徑的半圓柱的體積分別為H、%、%.若AB=4,柱體的高h(yuǎn)=8,直接寫出弘+%的

值.

??

三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖，這一蘊(yùn)含深厚數(shù)學(xué)智慧的圖形，分為內(nèi)弦圖與外弦圖，其中內(nèi)弦圖由古代中國數(shù)學(xué)家趙爽

所發(fā)現(xiàn)。它不僅為勾股定理提供了直觀的證明途徑，還成為了探索數(shù)學(xué)命題的寶貴工具。弦圖題目

的挑戰(zhàn)性與其解題方法的多樣性并存,使其成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的不朽傳奇。其簡約而不失深邃的

美學(xué)價值，以及其中蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想、數(shù)形結(jié)合思想和圖形變換思想，都為課堂教學(xué)提供了豐富的數(shù)

學(xué)思想滲透資源。

弦圖，這一小巧卻能量巨大的幾何模型，巧妙地融合了初中平面幾何的線與形、位置與數(shù)量，以

及方法與思想。它不僅是數(shù)學(xué)教育的經(jīng)典之作，更是廣大數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者競相研究的熱點(diǎn)。

近年來，弦圖更頻繁地出現(xiàn)在各地中考中，成為檢驗學(xué)生幾何素養(yǎng)的重要標(biāo)尺。

然而，在學(xué)習(xí)幾何模型時，許多學(xué)生往往過于注重模型結(jié)論，而忽視了證明思路及方法的重要性。這

種本末倒置的做法，無疑會限制學(xué)生在數(shù)學(xué)題目解答中的靈活性。要知道,數(shù)學(xué)考察的并非一成不

變的知識點(diǎn)，而是學(xué)生對知識的理解和運(yùn)用能力。因此，學(xué)數(shù)學(xué)不能死記硬背，而應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上

記憶，這樣才能做到對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用。

為了真正掌握幾何模型，學(xué)生需栗做到以下幾點(diǎn)：首先，要能夠認(rèn)識幾何模型，并能夠從題目中

提煉并識別出幾何模型；其次，雖然記住結(jié)論很重要，但更為關(guān)鍵的是要記住證明思路及方法，這樣

才能在遇到類似問題時迅速找到解題思路；最后，要明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因為多數(shù)題目考察的

方面均源自于這些易錯點(diǎn)。

當(dāng)然，以上三點(diǎn)只是基礎(chǔ)要求。由于題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中脫穎而出，學(xué)生還需栗在

平時的學(xué)習(xí)過程中通過大量練習(xí)，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用。只有這

樣，才能在面對各種復(fù)雜的幾何問題時游刃有余，展現(xiàn)出真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

O

例題講模型..........................................................................

模型1.弦圖模型..................................................................

模型2.句展樹模型...............................................................9

習(xí)題練模型.........................................................................15

-o【例題講模型】O

模型1.弦圖模型

1

模型解讀

“弦圖”就是我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等直角

三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍城正方形的

邊長時就叫外弦圖模型。

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，考試中有時候不會直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學(xué)習(xí)中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈活變形,

從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時能夠從多種角度進(jìn)

行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

(1)內(nèi)弦圖模型:

條件:如圖1,在正方形RBCS?中，于點(diǎn)E,EF_LGG于點(diǎn)F,OG于點(diǎn)G,AE于

點(diǎn)H,結(jié)論：叁△BCF當(dāng)△CDG望△DAH；

證明：；4ABe=ABFC=AAEB=90°,A/ABE+AFBC=AFBC+AFCB=90°./.NABE=

AFCB.

又AB=BC,：.4ABE篤△BCF，同理可得4ABE篤ABCF空/XCDG左/\DAH.

⑵外弦圖模型：

條件:如圖2,在正方形4BCD中，E,F,G,H分別是正方形4BCD各邊上的點(diǎn)，EFGH是正方形，

結(jié)論：AAHE冬△BEF冬△CFU簍△DGH；+

證明：：ZB=ZEFG=ZC=90°,AZBEF+ZEFB=Z.EFB+ZGFC=90°,ABEF=AGFC.

又,：EF=FG,：.^EBFAFCG.同理可得△ERF篤△尸CG篤△GDH篤△H4E.

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形ABCD、的GH、PQMV、均為正方形；結(jié)論：2S正方形瓦麗=SmABCD+

S正方彩PQMN.

證明：由(1)(2)中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用S△表示他們的面積。

S正方形4BCO=S正方形PQMV+&S&；S正方形EFGH=S正方形PQJVW+4SA；

?S正方形ABCD+S正方形PQJVCV=S正方形pQjvcv+8SA+S正方形PQMV=2s正方形PQJVCV+8sA=2s正方形EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外,也常和完全平方公式(知二求二)結(jié)合考查。???

（4）半弦圖模型

A

條件:如圖5,EA_L4B于點(diǎn)A,G?_LAB于點(diǎn)B,EF_LR?,曲=如0,結(jié)論：入42加箜△BGF；EA+

GB=AB.

證明：:EA，AB于點(diǎn)A,GB,AB于點(diǎn)尸G,乙4=NB=NEFG=90°

...NAFE+乙AEF=NAEF+ABFG=90°.AAFE=ABFG.

5L-：EF=FG,：./\AFE^/\BGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABa

條件:如圖6,EA_LAB于點(diǎn)A,GB_LAB于點(diǎn)B,EF_LEG,EF=MG，結(jié)論：&?而空△BGF；EA-

GB=AB.

證明：同圖5證明可得：4AFE空/\BGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=AB.

條件:如圖7,在Rt△ABE和_R力ABCD中，4B=BC,結(jié)論：/lABE^ABCD；AB-CD=

EC。

證明：?//XABE和/\BCD是母△,AE_LBD,：./ABE=ZC=ZAFB=90°。

/.ZA+AABF=AABF+ADBC=90°.Z.ZA=ADBC.

又?：AB=BC,：.4ABE烏岫CD,：.BE=CD,：.AB-OD=BC-BE=EC。

上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個直角三角形,他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字

眼就要想到用弦圖的相關(guān)知識解決問題。

1.（23-24八年級下?北京門頭溝?期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該

圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.

如果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用為"表示直角三角形的兩直角邊（rc>y）,

下列四個推斷:①①2+y2=49；②2；—J/=2；（3）2xy+4=49；@rr+y=7.

其中所有正確推斷的序號是（）.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

???

【答案】B

【分析】本題考查了勾股弦圖、完全平方公式等知識點(diǎn)，正確運(yùn)用完全平方公式變形求值成為解題的關(guān)鍵.

由題意可得大正方形的邊長為7,小正方形的邊長為2,再結(jié)合圖形和勾股定理可得/+靖=49、立一夕=2可

判定①②；然后通過完全平方公式變形求值可判定③④.

【詳解】解：：大正方形面積為49,小正方形面積為4,

大正方形的邊長為7,小正方形的邊長為2,x2+y2—,x-y—2,即①、②正確；

（①—y'f=x2+y2—2xy=49—2xy=4,則：/夕=',2xy+4=49,即③正確；

/.（，+y）2="+靖+2xy=49+2xy—49+45—94,：.x+y—V94，即④錯誤；

綜上，正確的有①②③.故選B.

2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的

“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

A.24B.36C.40D.44

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c,根據(jù)圖1,結(jié)合已知條件得到a2+〃

=c2=24,（a—b）2=a2+&2-2ab=4,進(jìn)而求出ab的值,再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解:如圖，直角三角形的兩直角邊為a,6,斜邊為c,

）?圖1中大正方形的面積是24,二a2+b2=c2=24,

1,小正方形的面積是4,（a—fe）2—a2+b2—2ab—4,.'.ab—10,

圖2中最大的正方形的面積=02+4*~1~而=24+2*10=44;故選：D.

3.（2023?山東棗莊?二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明

勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個

全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形4BCD,正方形跳‘GH,正方形MNXT的面積分別為Si,S2,

S3.若正方形跳‘GH的邊長為2,則Si+S?+S3=.

D

G

【答案】12

【分析】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的變形求值，設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為心6且&>

22

b,則&=(a+bHS2=a+b,S3=((1一6)2,再由正方形石7瓦沿的邊長為2得到(12+〃=4,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為以6且&>6,

由題意可知：S[=(a+b)2,$2=出+〃，$3=(a—bl,

2222222222

Si+S2+S3,—(a+》y+a+b+(a—b)?—a+2ab+b+a+b+a—2ab+b—3(a+6),

；正方形EFGH的邊