人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

的理解！

【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】

1.（2023春?山東濟(jì)南?九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍

點.若二次函數(shù)y=/-2x+c（c為常數(shù)）在一1<x<4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

A.-5<c<4B.0<c<1C.-5<c<1D.0<c<4

2.（2023春?湖北咸寧?九年級統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

異二次函數(shù)”.若互異二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（-1,0）,則這個互異二次函數(shù)的二次

項系數(shù)是（）

11

A.5B,-C,1D.-1

3.（2023春?廣西南寧?九年級統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（m,n）和點P（m,,

若滿足：論0時，"'="-4；相<0時，n'=-n,則稱點尸‘（加，"'）是點尸（m,n）的限變點.例如：點尸/（2,

5）的限變點是P/（2,1），點尸2（-2,3）的限變點是尸2,（-2,-3）.若點P（m,n）在二次函數(shù)y=-/+4x+2

的圖象上，則當(dāng)時，其限變點P，的縱坐標(biāo)H的取值范圍是（）

A.-2<n'<2B.l<n'<3C.l<n'<2D.-2<n'<3

4.（2023春?湖南長沙?九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標(biāo)是

橫坐標(biāo)2倍的點稱為“青竹點”.例如：點（1,2）、（-2.5,-5）……都是“青竹點”.顯然，函數(shù)y=/的圖象上

有兩個“青竹點”：（0,0）和（2,4）.

（1）下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點”的，請在橫線上打W”，不存在“青竹點”的，請打“x”.

①y—7.x—1；②y=—x2+1；③y—x2+2.

⑵若拋物線y=-1%2一根+1（根為常數(shù)）上存在兩個不同的“青竹點”，求機(jī)的取值范圍；

（3）若函數(shù)y=1汽2+（5_。+2）%+a+c-3的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當(dāng)一1<b<2時，a的

最小值為求c的值.

5.（2023春?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中）定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與y軸交點

也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2+4x-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-%2-2%-

5.

(1)函數(shù)y=Jx2-2x+3的友好同軸二次函數(shù)為一.

(2)當(dāng)一1<x<4時，函數(shù)y=(1-a)x2-2(1-a)x+3(aK0且a豐1)的友好同軸二次函數(shù)有最大值為

5,求a的值.

(3)已知點(rn,p),(m,q)分別在二次函數(shù)yi=ax2+4ax+c(a>|且a力1)及其友好同軸二次函數(shù)y2的圖

像上，比較p,q的大小，并說明理由.

6.(2023春?浙江金華?九年級校考期中)定義：若拋物線y=a/+Zzx+c與x軸兩交點間的距離為4,稱此拋

物線為定弦拋物線.

(1)判斷拋物線y=V+2x-3是否是定弦拋物線，請說明理由；

(2)當(dāng)一定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形,

求該拋物線的表達(dá)式；

(3)若定弦拋物線(b<0)與無軸交于A、B兩點(A在B左邊),當(dāng)2m爛4時，該拋物線的最大

值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值.

7.(2023春?浙江?九年級期末)定義：若拋物線刈=cii(x+h)2+自與拋物線丫2=a2(x+h)2+電.同時

滿足a2=-4%且6=-；口，則稱這兩條拋物線是一對“共輾拋物線”.

(1)已知拋物線為=+bx+c與>2=%2-2%-3是一對共輾拋物線，求為的解析式；

(2)如圖1,將一副邊長為4位的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以中點為原點，直線BC為x軸建立

平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點A,E,。的拋物線為經(jīng)過A、B、。的拋物線為乃，請立接寫出y”內(nèi)的解

析式并判斷它們是否為一對共輾拋物線.

圖1圖2

8.(2023春?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末)定義：如果拋物線y=ax2+bx+c(a大0)與x軸交于點力(右,0),

B(X2,0),那么我們把線段力B叫做雅禮弦，4B兩點之間的距離/稱為拋物線的雅禮弦長.

(1)求拋物線y=%2-2%-3的雅禮弦長；

(2)求拋物線y=%2+(n+l)x-1(1<n<3)的雅禮弦長的取值范圍；

(3)設(shè)為正整數(shù)，且znKl,拋物線y=/+(4--的雅禮弦長為拋物線y=-久？+

(t一7?)久+nt的雅禮弦長為s-ll-試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，若不論t為何值，s20恒成立，

求it的值.

9.(2023春?河南濮陽?九年級統(tǒng)考期中)小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)

y=aix2+bix+a(可加)與(慮加)滿足。/+。2=0,a+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)

函數(shù)”.求函數(shù)y=/-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小明是這樣思考的：由函數(shù)y=/-3%-2可知，<27=1,bi=-3,0—2,根據(jù)幻+<22=0，b尸岳，。/+。2=0,求出政，

岳，C2,就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

請參考小明的方法解決下面問題：

⑴直接寫出函數(shù)產(chǎn)/-3/2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”_；

(2)若函數(shù)y=-x2+^mx-2與y=^-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求(加+力>儂的值；

(3)已知函數(shù)y=/%-1)(久+4)的圖象與x軸交于點A、8兩點(A在8的左邊)，與y軸交于點C,點A、

B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A[,B],C1，試證明經(jīng)過點4,Bi，G的二次函數(shù)與函數(shù)y="%一1)0+4)

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

10.(2023春?山西大同?九年級統(tǒng)考期中)請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2—bx+c(a^O,b40)稱為一對“親密函

數(shù)"，如y=5x2-3x+2的“親密函數(shù)”是y=5x2+3x+2.

任務(wù)：

(1)寫出二次函數(shù)y=/+3萬一4的“親密函數(shù)”：；

(2)二次函數(shù)y=/+3x-4的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為1和-4,它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點的橫

坐標(biāo)為,猜想二次函數(shù)y=ax2+bx+c(Z?2-4ac>0)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)與其“親密函數(shù)”

的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是;

(3)二次函數(shù)丫=/+.-2021的圖像與無軸交點的橫坐標(biāo)為1和-2021,請利用(2)中的結(jié)論直接寫出

二次函數(shù)y=4x2-2bx-2021的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).

【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】

1.(2023春?九年級課時練習(xí))定義：由a,b構(gòu)造的二次函數(shù)y=a久2+①+6)久+b叫做一次函數(shù)y=ax

+b的“滋生函數(shù)"，一次函數(shù)y=ax+b叫做二次函數(shù)y=a/+①+6)久+b的“本源函數(shù)”(a,6為常數(shù)，

且a40).若一次函數(shù)y=ax+b的“滋生函數(shù)"是y=ax2—3x+a+1,那么二次函數(shù)y=ax2—3x+a+1

的“本源函數(shù)”是.

2.(2023春?浙江湖州?九年級統(tǒng)考期中)定義：如果函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為函數(shù)

的不動點.例如，點(1,1)是函數(shù)y=-2x+3的不動點.已知二次函數(shù)y=x2+2(b+2)久+b2(b是實數(shù)).

(1)若點是該二次函數(shù)的一個不動點，求b的值；

(2)若該二次函數(shù)始終存在不動點，求b的取值范圍.

3.(2023?安徽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)為=2kx+k與函數(shù)%-2久+3,定義“和函數(shù)"y=%,+%?

⑴若k=2,貝I"和函數(shù)"y=_；

(2)若“和函數(shù)"y為y="+bx—2,則k=_,b=_；

(3)若該“和函數(shù)，的頂點在直線y=-x上，求匕

4.(2023?北京?模擬預(yù)測)城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地,

只能按直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系久Oy,對兩點4(%,%)和

8(%2①)，用以下方式定義兩點間距離：d(A,B)-\xr-x2\+\y±-y2l-

(1)①已知點4(一2,1),則d(0,4)=.

②函數(shù)y=-2x+4(0WxW2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d(O,B)=3,求點B的坐標(biāo).

(2)函數(shù)y=尤2_5乂+7(%>0)的圖象如圖②所示，。是圖象上一點，求d(O,D)的最小值及對應(yīng)的點。的坐

標(biāo).

5.(2023春?上海?九年級上海市民辦新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥?我們定義【a,b,c】為函數(shù)y=a/+bx+c

的“特征數(shù)”，如：函數(shù)y=2久2-3久+5的“特征數(shù)”是12,-3,5],函數(shù)y=x+2的“特征數(shù)”是[0,1,

2]

J'A

o

⑴若一個函數(shù)的“特征數(shù)”是［1,-4,11,將此函數(shù)圖像先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得

到一個圖像對應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是；

⑵將“特征數(shù)”是【0,-孚，-1］的圖像向上平移2個單位，得到一個新函數(shù)，這個函數(shù)的解析式是；

(3)在(2)中，平移前后的兩個函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點，與直線久=-8分別交于D、C兩點，

在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、B、C、。四點為頂點的四邊形的面積；

(4)若(3)中的四邊形與“特征數(shù)”是［1,-2b,b2+|］的函數(shù)圖像有交點，求滿足條件的實數(shù)b的取值范

圍.

6.(2023春?福建龍巖?九年級校考期末)定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量尤的一個值，當(dāng)x<0時,

它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)定0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等.我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例

如：一次函數(shù)y=它的相關(guān)函數(shù)為"尸

1%—從％NU)

(1)已知點A(-2,1)在一次函數(shù)y=ax—3的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求。的值.

(2)已知二次函數(shù)y=-/+4X-a當(dāng)點2(加，1)在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求相的值.

7.(2023春?江蘇南通?九年級統(tǒng)考期末)定義:若圖形M與圖形N有且只有兩個公共點，則稱圖形M與圖形

N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

圖1圖2

備用圖

(1)若直線y=—x+6與拋物線y=x2+1互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=—x+6不是雙曲線y=(的“雙聯(lián)圖

形”，求實數(shù)b的取值范圍；

⑵如圖2,己知4(—2,0),B(4,0),C(l,3)三點.若二次函數(shù)y=a(x+1尸+3的圖象與△ABC互為“雙聯(lián)圖

形”，直接寫出a的取值范圍.

8.(2023春?北京?九年級北京市第三中學(xué)校考期中)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點尸(x,y)

的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)尤的差y-x稱為P點的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖

形G的“特征值”.

(1)①點A(1,3)的“坐標(biāo)差”為；

②拋物線產(chǎn)-/+3x+3的“特征值”為；

(2)某二次函數(shù)y=-r+bx+c(今0)的“特征值”為1,點、BCm,0)與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與尤

軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標(biāo)差”相等.

①直接寫出根=;(用含c的式子表示)

②求6的值.

9.(2023春?北京?九年級人大附中?？计谥?對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意

的函數(shù)值%都滿足-MWyWM,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個

函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

備用圖備用圖

(1)直接寫出有界函數(shù)y=2x+1(-4<x<2)的邊界值；

(2)已知函數(shù)y=2/+bx+c(mW尤W<n)是有界函數(shù)，且邊界值為3,直接寫出幾-6的最大值；

(3)將函數(shù)y=2x2(-l<x<k,k>0)的圖象向下平移k個單位，得到的函數(shù)的邊界值是3直接寫出k的取值

范圍，使得|<t<2.

10.(2023春?湖南長沙?九年級?？计谥?若定義：若一個函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把

該函數(shù)稱為“明德函數(shù)"，該點稱為“明德點"，例如：“明德函數(shù)"y=x+l,其“明德點”為(1,2).

(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3-“明德函數(shù)”(填“是”或“不是”)；

②函數(shù)y=/的圖像上的明德點是；

(2)若拋物線y=(m-l)x2+mx+上有兩個“明德點”，求m的取值范圍；

4

(3)若函數(shù)y=x2+(m-k+2)x+[-|■的圖像上存在唯一的一個“明德點”，且當(dāng)-1<m<3時，n的最小

值為k,求k的值.

【類型3二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中的新定義問題】

1.(2023春?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期末)定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

異二次函數(shù)如圖，在正方形。A8C中，點4(0,2),點。(2,0),則互異二次函數(shù)y=(%-爪)2-瓶與正方形

04BC有交點時m的最大值和最小值分別是()

2.(2023春?山東濟(jì)南?九年級統(tǒng)考期末)定義：關(guān)于無軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋

物線”.例如：yi=(x-1)2-2的“同軸對稱拋物線“為"=-(x-1)2+2.

(1)請寫出拋物線"=("1)2-2的頂點坐標(biāo)」及其“同軸對稱拋物線勺2=-(X-1)2+2的頂點坐標(biāo)」

(2)求拋物線>=-2r+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式.

(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點8是拋物線L：>=加-4辦+1上一點，點B的橫坐標(biāo)為1,過點8作

無軸的垂線，交拋物線乙的“同軸對稱拋物線”于點C,分別作點8、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點夕、C,

連接8C、CC'、B'C、BB'.

①當(dāng)四邊形為正方形時，求a的值.

②當(dāng)拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)共有11個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點

3.(2023春?北京門頭溝?九年級大峪中學(xué)?？计谥?定義：對于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點P(a,6)和拋物

線y=x2+ax+b,我們稱P(a,b)是拋物線y=x2+ax+6的相伴點，拋物線y=x2+ax+b是點P(a,b)的

相伴拋物線.如圖,已知點4(—2,—2),8(4,—2),C(l,4).

(1)點4的相伴拋物線的解析式為；過48兩點的拋物線37=%2+&尤+6的相伴點坐標(biāo)為；

(2)設(shè)點P(a,b)在直線4C上運動：

①點P(a,6)的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線0上，求拋物線。的解析式.

②當(dāng)點P(a,6)的相伴拋物線的頂點落在△ABC內(nèi)部時，請直接寫出a的取值范圍.

4.(2023春?浙江紹興?九年級校聯(lián)考期中)定義：如圖1,拋物線丫=￡1K2+.+。((170)與*軸交于人，

B兩點，點P在該拋物線上(P點與A.B兩點不重合)，如果△ABP中PA與PB兩條邊的三邊滿足其中一

邊是另一邊倍，則稱點P為拋物線y=ax2+bx+c(a*0)的“好”點.

(1)命題：P(0,3)是拋物線丫=一/+2%+3的“好”點.該命題是(真或假)命題.

(2)如圖2,已知拋物線C:y=ax2+bx(a<0)與無軸交于A,B兩點，點P(l,2)是拋物線C的“好”點，

求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件SAABQ=SAABP的Q點(異于點P)的坐標(biāo).

5.(2023?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c(a、

b、c為常數(shù)，a/))的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三

角形”.已知拋物線y=-平/一*久+2W與其“夢想直線，，交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與x

軸負(fù)半軸交于點C.

(1)填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為.

(2)如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N,若

AAMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點M的坐標(biāo).

6.(2023春?湖南長沙?九年級統(tǒng)考期中)定義：在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分,

則稱P、Q為線段MN的三等分點.

已知一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N,且A、C為線段MN的三等分點(點A在點

C的左邊).

(1)直接寫出點A、C的坐標(biāo)；

(2)①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點O、A、C,試求此二次函數(shù)的解析式；

②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點，在此拋物線O、C之間取一點P(點P不與O、C重

合)作PFLx軸于點F,PF交0C于點E,是否存在點P使得AP=BE?若存在，求出點P的坐標(biāo)？若不

存在，試說明理由；

(3)在(2)的條件下，將AOAB沿AC方向移動到△OAB(點A在線段AC上，且不與C重合)，△OAB

與AOCD重疊部分的面積為S,試求當(dāng)S=［時點A，的坐標(biāo).

8

7.(2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標(biāo)y

與其橫坐標(biāo)x的差y-x稱為點P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特

征值”.

(1)求點A(2,1)的“坐標(biāo)差”和拋物線y=-x?+3x+4的“特征值”.

(2)某二次函數(shù)=-x2+bx+c(c^O)的“特征值”為-1,點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸

的交點，且點B與點C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式.

(3)如圖所示，二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象頂點在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是

矩形，點E的坐標(biāo)為(7,3),點O為坐標(biāo)原點，點D在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)y=-x?+px+q的圖象與矩

形的邊有四個交點時，求p的取值范圍.

8.(2023?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期中)新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

(1)初步嘗試

如圖1,已知等腰直角△ABC,ZACB=90°,請將它分成兩個三角形，使它們成為偏等積三角形.

(2)理解運用

如圖2,已知△ACD為直角三角形，ZADC=90°,以AC,AD為邊向外作正方向ACFB和正方形ADGE,

連接BE,求證：△ACD與△ABE為偏等積三角形.

(3)綜合探究

如圖3,二次函數(shù)y=g2-|x_5的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,在二次函數(shù)的圖象上是否存

在一點D,使△ABC與△ABD是偏等積三角形？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.(2023春?江西贛州?九年級統(tǒng)考期末)我們給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果一條拋物線

平移后得到的拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點，那么這條拋物線叫做原拋物線的過頂拋物線.

如下圖，拋物線F2都是拋物線Fi的過頂拋物線，設(shè)Fi的頂點為A,F2的對稱軸分別交Fi、F2于點D、B,

圖1圖2

(1)如圖1,如果拋物線y=x2的過頂拋物線為y=ax?+bx,C(2,0),那么

①a=_,b=

②如果順次連接A、B、C、D四點，那么四邊形ABCD為()

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如圖2,拋物線y=ax2+c的過頂拋物線為F2，B(2,c—1).求四邊形ABCD的面積.

(3)如果拋物線y=|x+(的過頂拋物線是F2,四邊形ABCD的面積為2回請直接寫出點B的坐

標(biāo).

10.(2023春?江西贛州?九年級?？计谀?定義:在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+bx+c(a/))與直

線y=m交于點A、C(點C在點A右邊)將拋物線y=ax?+bx+c沿直線y=m翻折，翻折前后兩拋物線的

頂點分別為點B、D.我們將兩拋物線之間形成的封閉圖形稱為驚喜線，四邊形ABCD稱為驚喜四邊形，對

(1)圖①是拋物線y=%2-2x-3沿直線y=0翻折后得到驚喜線.則點A坐標(biāo)，點B坐標(biāo).，驚

喜四邊形ABCD屬于所學(xué)過的哪種特殊平行四邊形，|D|為.

(2)如果拋物線y=m。一I/-6m(m>0)沿直線y=m翻折后所得驚喜線的驚喜度為1,求m的值.

(3)如果拋物線y=(x-I)2-6m沿直線y=m翻折后所得的驚喜線在m-l<x<m+3時，其最高點的縱坐標(biāo)

為16,求m的值并直接寫出驚喜度|D|.

專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

的理解！

【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】

1.（2023春?山東濟(jì)南?九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍

點.若二次函數(shù)y=/-2x+c（c為常數(shù)）在一1<x<4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

A.-5<c<4B.0<c<1C.-5<c<1D.0<c<4

【答案】D

【分析】由點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點在直線y=2x上，由-1<%<4可得二倍點所在線段2B的

端點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段的交點求解.

【詳解】解：由題意可得二倍點所在直線為y=2%,

將x=-1代入y=2x得y=-2,

將x=4代入y=2%得y=8,

設(shè)4（-1,-2）,8（4,8）,如圖，

聯(lián)立y=2x與y=x2—2%+c,得方程/—2x+c=2x,

即/—4x+c—0

：拋物線與直線y=2久有兩個交點，

△=42—4c>0,

解得c<4,

當(dāng)直線x=-1和直線％=4與拋物線交點在點A,B上方時，拋物線與線段4B有兩個交點,

把x=-1代入y=x2—2x+c,得y=3+c,

把％=4代入y=x2-2x4-c得y=8+c,

.f3+c>—2

,,i8+c>8'

解得c>0,

???0<c<4.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點問題，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，

將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解.

2.（2023春?湖北咸寧?九年級統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

異二次函數(shù)若互異二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（-1,0）,則這個互異二次函數(shù)的二次

項系數(shù)是（）

A.-B.-C.1D.-1

24

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸和互異二次函數(shù)的特點計算即可；

【詳解】由題可知：此函數(shù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，且對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（-1,0）,

設(shè)此函數(shù)為y=ax2+bx+c,

1

.2a

??0=u,—b+c

<—1=a+b+c

.?.此函數(shù)的二次項系數(shù)為;；

4

故選B.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?廣西南寧?九年級統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（m,九）和點PGn,時），

若滿足:讓0時，n'=n-4；相<0時，n'=-n,則稱點戶（加，"'）是點尸（m,n）的限變點.例如：點、P]（2,

5）的限變點是尸/（2,1），點尸2（-2,3）的限變點是尸2,（-2,-3）.若點P（m,ri'）在二次函數(shù)y=-/+4x+2

的圖象上，則當(dāng)時，其限變點P，的縱坐標(biāo)H的取值范圍是（）

A.-2<n'<2B.l<n'<3C.l<n'<2D.-2<n'<3

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)定0時，n'=-m2+4m+2-4=-（m-2）~+2,在00區(qū)3時,得到-2夕三2；當(dāng)機(jī)<0時,

n'=m2-4m-2=(m-2)2-6,在-lSn<0時，得到-2芻三3,即可得到限變點P的縱坐標(biāo)”的取值范圍是-2X.

【詳解】解：由題意可知，

當(dāng)論0時,n'=-m2+4m+2-4=-Gn-212+2,

.?.當(dāng)時，-2<n'<2,

當(dāng)m<0時，n'=m2-4m-2=(m-2)2-6,

.?.當(dāng)時，-2<n'<3,

綜上，當(dāng)-15W3時，其限變點P的縱坐標(biāo)"'的取值范圍是-2夕三3,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點的定義得到H關(guān)于m的函

數(shù).

4.(2023春?湖南長沙?九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀?定義：我們不妨把縱坐標(biāo)是

橫坐標(biāo)2倍的點稱為“青竹點”.例如：點(1,2)、(一2.5,-5)……都是“青竹點”.顯然，函數(shù)y=/的圖象上

有兩個“青竹點”：(0,0)和(2,4).

(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點”的，請在橫線上打W”，不存在“青竹點”的，請打“x”.

①y=2x—1；?y=—x2+1；③y=x2+2.

⑵若拋物線y=-|%2-血+1(根為常數(shù))上存在兩個不同的“青竹點”，求機(jī)的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=；/+(匕一。+2)%+。+c-3的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當(dāng)一42時，。的

4

最小值為C,求C的值.

【答案】⑴X；1X

(2)m<3

⑶C=5

【分析】(1)根據(jù)“青一函數(shù)”的定義直接判斷即可；

(2)根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于根的不等式，即可求解；

(3)根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于。的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值求

解即可.

【詳解】(1)解：①令2乂-1=2X，方程無解，

函數(shù)y=2x-l圖像上不存在“青竹點”，故答案為：x；

②令—％2+1=2%,

解得：=-1+V2,%2=-1—V2,

???函數(shù)y=-/+1圖像上存在“青竹點”(一1+魚,_2+2或)和(一1一企,一2-2企)，故答案為：Y；

③令％2+2=2%,方程無解，

???函數(shù)y=/+2圖像上不存在“青竹點，，，故答案為：X；

(2)解：由題意得一：/—血+1=2%,

整理，得%2+4%+2m—2=0,

?.?拋物線y=一之/一6+i(根為常數(shù))上存在兩個不同的“青竹點”，

.,.A=42-4(2m-2)>0,

解得TH<3；

(3)解：由題意得:/+(卜_c+2)x4-a+c—3=2x

整理，得/+4(6—c)x+4(a+c—3)=0

函數(shù)y=；/+(6-c+2)x+a+c-3的圖像上存在唯一的一個“青竹點”，

.*.△=[4(6-c)]2-4xlx4(a+c-3)=0

整理，得a=(b-c)2-c+3

，當(dāng)6=c時，a的最小值為3-c,

當(dāng)―1<b<2時，a的最小值為c,

3—c=c

?3

??C=一,

2

【點睛】本題屬于函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解

題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式.

5.(2023春?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中)定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與y軸交點

也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2產(chǎn)+4%-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-%2-2%-

5.

(1)函數(shù)y=Jx2-2x+3的友好同軸二次函數(shù)為一.

(2)當(dāng)一1<x<4時，函數(shù)y=(1-a)x2-2(1-a)x+3(aK0且a豐1)的友好同軸二次函數(shù)有最大值為

5,求a的值.

(3)已知點(m,p),(ni,q)分別在二次函數(shù)為=ax2+4ax+c(a>|且a力1)及其友好同軸二次函數(shù)y2的圖

像上，比較p,q的大小，并說明理由.

【答案】⑴y=：/一6久+3；

⑵a=：或-2；

(3)當(dāng)TH=-4或m=0時，p=q；當(dāng)mV—4或TH>0時，p>q；當(dāng)—4VmV0時，p<q

【分析】(1)根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出,=：/一2久+3的友好同軸二次函數(shù)即可；

(2)根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=(l—a)/-2(1—a)久+3的友好同軸二次函數(shù)，判斷函數(shù)圖

像開口方向，利用函數(shù)的對稱軸和自變量范圍進(jìn)行最大值討論；

(3)先根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出丫1=。/+43+?的友好同軸二次函數(shù)，再把兩點代入p,q,

作差后比較大小，為含參數(shù)a的二次不等式，求解m的范圍即可.

【詳解】(1)設(shè)友好同軸二次函數(shù)為丫=a/+b%+c(aW0),

由函數(shù)y=—2%+3可知，

對稱軸為直線X=-￡=4,與y軸交點為(0,3),

4

a=1--=c=3,對稱軸為直線％=—^3=4,

442X-

4

???b=-6,

友好同軸二次函數(shù)為y=一6%+3；

(2)由函數(shù)y=(1—a)%2—2(1—a)x+3(aH0且aW1)可求得，

該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y=ax2-2ax+3=a(x-l)2+3-a；

2

①當(dāng)a>0時，x=4時，ymax=a(4—l)+3—a=8a+3=5,

解得：a=；；

4

2

②當(dāng)a<0時，x=1時，ymax=a(l—l)+3—a=3—a=5,

解得：a=—2；

綜上所述，a=；或—2；

(3)由函數(shù)yi=a/+4。％+式。>［且a。1)可求得，

該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為丫2=(1-。)%2+4(1-d)x+C,

把(zn,p),(m,q)分別代入丫1，%可得，

p=am2+4am+c,q=(1—a)m2+4(1—a)m+c,

則p—q=am2+4am4-c—[(1—a)m2+4(1—a)m+c]=(2a—l)m2+4(2a—l)m,

1

va>

2

*'?(2a—1)>0,

①當(dāng)p-q>0時，p>q,即(2a—l)m2+4(2a—l)m>0,

m2+4m>0,

解得：m<-4或m>0；

②當(dāng)p-qV0時，p<q,即(2a—l)m2+4(2a—l)m<0,

m2+4m<0,

解得：-4Vme0；

③當(dāng)p—q=0時，p=q,即(2a—l)m2+4(2a—l)m=0,

m2+4m=0,

解得：m=-4或zn=0；

綜上所述，當(dāng)m=-4或m=0時，p=q；

當(dāng)zn<—4或zn>0時，p>q；

當(dāng)一4<m<0時，pVq.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及新定義問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及研究手段，準(zhǔn)確根據(jù)題意

求出符合要求的友好同軸二次函數(shù)是解題關(guān)鍵.

6.(2023春?浙江金華?九年級?？计谥?定義：若拋物線>=加+法+。與1軸兩交點間的距離為4,稱此拋

物線為定弦拋物線.

⑴判斷拋物線y=f+2x-3是否是定弦拋物線，請說明理由；

(2)當(dāng)一定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形,

求該拋物線的表達(dá)式；

⑶若定弦拋物線尸(Z?<0)與i軸交于A、B兩點(A在3左邊)，當(dāng)2上4時，該拋物線的最大

值與最小值之差等于03之間的距離，求b的值.

【答案】(1)是定弦拋物線，理由見解析

⑵尸-g(x+l)(%-3)或產(chǎn)?(久+1)(刀-3)

⑶6=-4或-g

【分析】(1)令y=0,求出與x軸的交點坐標(biāo)，可判斷；

(2)分開口向上向下討論，利用定弦拋物線的定義和對稱軸可求出與x軸交點坐標(biāo)，用相似求出與y軸交點

坐標(biāo)，代入可得答案；

(3)根據(jù)對稱軸和所給范圍分情況討論即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)y=0時，/+2x-3=0,

解得：X/=l,X2=-3,

則出-尤2尸4,

即該拋物線是定弦拋物線；

(2)：當(dāng)該拋物線開口向下時，如圖所示.

V該定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,

設(shè)C(m,O),D(n,O)

貝p-m=4

In+m=2

解得：F工1

AC(-1,0),D(3,0),

?.,△CED為直角三角形

由題意可得NCEO=90。，

■:EOLCD,

：./\CEO^>/\EDO,

：.OE2=OCOD=3,

：.E(0,V3)

設(shè)該定弦拋物線表達(dá)式為y=a(久+l)(x-3),

把E(0,V3)代入求得￡1=—日

，該定弦拋物線表達(dá)式為、=—亨(%+1)(%-3),

當(dāng)該拋物線開口向上時，

同理可得該定弦拋物線表達(dá)式為片［Q+1)Q-3),

...綜上所述，該定弦拋物線表達(dá)式為y=—y(久+1)(久一3)或『=y(x+1)(久一3)；

(3)解:若—注2,則在2sxs4中,

當(dāng)x=4時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x=2時該定弦拋物線取最小值.

16+46+c-(4+2b+c)=-1+2,

解得：b=-4,

V--<2,

2-

.?.尼-4,即b=-4,

若2W-狂3,則在2W店4中，

當(dāng)x=4時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x=-￡時該定弦拋物線取最小值.

.?.16+46+。-^^=，+2,

42

解得：bi=-4,岳=-14,

V2<-1<3,

???-6<b<-4,

**.bi=-4,岳=-14(舍去),

若3c告4,則在2WxW4中，

當(dāng)x=2時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x=-5時該定弦拋物線取最小值.

：.4+2b+c-^^=-^+2,

解得：b=-5+V17,

???3<々4，

.*?-8gZ?V-6,

-5±JF不合題意，舍去，

若—?>4，則在2W爛4中，

當(dāng)x=2時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x=4時該定弦拋物線取最小值.

4+2&+c-(16+4Z?+c)=-1+2,

解得：b=-^,

V-->4,

2

：.b<-8,

,??b?=--28,

...綜上所述6=-4或—g.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，包括與x軸交點問題，最值問題，以及和相似的結(jié)合，準(zhǔn)確地理

解定弦拋物線的定義以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2023春?浙江?九年級期末)定義：若拋物線yi=%(%+%)2+七與拋物線丫2=+九￥+七.同時

滿足劭=-4%且七=-3,則稱這兩條拋物線是一對“共物拋物線”.

(1)已知拋物線yi=+bx+c與=x2-2%-3是一對共粗拋物線，求y1的解析式；

(2)如圖1,將一副邊長為4夜的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點為原點，直線BC為x軸建立

平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點A,E,。的拋物線為yi，經(jīng)過A、B、C的拋物線為火，請立接寫出%的解

析式并判斷它們是否為一對共輾拋物線.

圖1

【答案】⑴%=一

4Z4

2

⑵為=_#+8,y2=1%-2,%、力是一對共軌拋物線

【分析】(1)將丫2=/-2“-3化作頂點式，可求出a2,h和心的值，根據(jù)“共輾拋物線”的定義可求出的,

八和心的值，進(jìn)而求出力的解析式；

(2)根據(jù)七巧板各個圖形之間的關(guān)系可求出各個圖形的邊長，進(jìn)而可表示點4B,C,D,E的坐標(biāo)，分別

求出yi和光的解析式，再根據(jù)“共輾拋物線”的定義可求解.

22

【詳解】(1)解：y2=x-2x-3=(X-1)-4,

/.a2=1?h=—1?k2=—4,

?拋物線yi=--x2+b%+c與=x2-2x-3是一對共輾拋物線，

a-.=—=—h=—1且Ze】=—4/ci=16,

-44

1x?、21Tz?17163

Vi=——(%-I)2+16=--%2+-xH——.

八4、'424

(2)解：如圖，

由題意得，DF=AF=4V2,貝UAG=GF=DG=GF=4,EG=2,HG=2,BC=4,。尸=2,

?.?點。為BC的中點，:.BO=0C=2,

???8(-2,0),C(2,0),4(-4,6),D(4,6),E(0,8),

，可設(shè)拋物線yi=fli(x+4)(%-4)+6,與拋物線丫2=。2(%+2)(%-2),

11

*??—16al+6=8,(—4+2)(—4—2)。2=6,解得：%=—，%=

82

丁?拋物線為=其%+4)(%-4)+6=-i%2+8,

拋物線=1(%+2)(%-2)=i%2-2,

/.ft=0,七=8,a=h=0,k=—2,

8222

—x(—4)=—,—x8=-2,

8、,24

；?病足。2=-4cli且七———k-^>

二月、丫2是一對共朝拋物線.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)的新定義類問題，主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)的頂點式，

一般式及交點式三種方式的變換，熟知相關(guān)運算是解題關(guān)鍵.

8.(2023春?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末)定義：如果拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)與無軸交于點力(/,0),

BQ2,。)，那么我們把線段48叫做雅禮弦，力8兩點之間的距離】稱為拋物線的雅禮弦長.

(1)求拋物線y=x2-2x-3的雅禮弦長；

(2)求拋物線y=x2+(n+l)x-1(1<n<3)的雅禮弦長的取值范圍；

(3)設(shè)Hi,n為正整數(shù)，且TTIKI,拋物線y=/+(4—?nt)x—的雅禮弦長為"，拋物線y=-/+

(t-n)x+他的雅禮弦長為％，s=片-次試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，若不論t為何值，s20恒成立，

求7M,71的值.

【答案】(1)4

(2)2A/2<<2V5

(3)m=2,n=2或m=4,n=1

【分析】(1)根據(jù)定義求得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)即可求解；

(2)根據(jù)(1)的方法求得=J(n+1尸+4,根據(jù)n的范圍，即可求解.

(3)根據(jù)題意，分別求得I排2,根據(jù)s=ll-lb求得出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)s>0恒成立，可得nm=

4,根據(jù)小，n為正整數(shù)，且巾41,即可求解.

【詳解】(1)解：x2-2x-3=0,

(x—3)(%+1)=0,

,,,%]=3,%2=—1，

,雅禮弦長=4；

(2)%2+(n+1)%—1=0,4(%i，0),

???48=|%1—%2I=J(%1+%2)2—4%1%2，

?."=5+1)2+4>0,產(chǎn)+%2=-(2+1),

v7(久%12=—1

???AB=’(九++4,

1<n<3,

???當(dāng)九=1時，48最小值為2企，

當(dāng)九二3時，最大值小于2遍，

2A/2<AB<2V5；

(3)由題意，令y=x2+(4—mt)x—4mt=