2絕對值不等式的解法

1、2絕對值不等式的解法主備：馮宗明 喻浩 徐洪燕 審核：牟必繼古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有堅古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有堅忍不撥之志忍不撥之志 .,|;,|, 11111111即即的點的集合的點的集合數(shù)軸上到原點距離大于數(shù)軸上到原點距離大于它的解集是它的解集是由絕對值的幾何意義由絕對值的幾何意義對于不等式對于不等式即即的點的集合的點的集合小于小于點距離點距離它的解集是數(shù)軸上到原它的解集是數(shù)軸上到原幾何意義幾何意義由絕對值的由絕對值的對于不等式對于不等式我們知道我們知道xx.|;|,|,|,axaxaxaxaaxaaxaaxa 或或因因而而的的點點的的集集合合表表示示到到原原點點距

2、距離離大大于于的的點點的的集集合合小小于于表表示示數(shù)數(shù)軸軸上上到到原原點點距距離離義義看看那那么么從從絕絕對對值值的的幾幾何何意意如如果果一一般般地地0 :.,|;,|,821 圖圖下下在在數(shù)數(shù)軸軸上上表表示示如如的的解解集集是是不不等等式式的的解解集集是是不不等等式式因因此此aaaxaaaxa aOxax |a aOax |x821 .圖圖 我們有我們有或或對于絕對值不等式對于絕對值不等式是一個正實數(shù)是一個正實數(shù)例如例如等式而得到等式而得到上述不上述不解一般可以通過轉化為解一般可以通過轉化為即其他絕對值不等式的即其他絕對值不等式的的基礎的基礎是解其他絕對值不等式是解其他絕對值不等式上述絕對值

3、不等式上述絕對值不等式, )|(|,.,axxaxxa 11;|axxaxaxxaaxx 1111 axxaxxaxx111或或,|.,axxaxx 11或或921 .圖圖ax 1ax 11xxaxx |1x1xaxx |1ax 1ax 1.,|所示所示如圖如圖可以在數(shù)軸上表示出來可以在數(shù)軸上表示出來以上不等式的解以上不等式的解所以所以的點的距離的點的距離的點與坐標為的點與坐標為標為標為的幾何意義是數(shù)軸上坐的幾何意義是數(shù)軸上坐由于絕對值由于絕對值92111 xxxx .,的不等式的不等式可以解一些含有絕對值可以解一些含有絕對值式及絕對值的幾何意義式及絕對值的幾何意義利用上述利用上述 型不等式的

4、解法型不等式的解法和和cbaxcbax |1.|2133 x解不等式解不等式例例,|2132213 xx得由解得解,131 x., 131xx原不等式的解集為因此.,|,所示如圖合的點的集離不大于的點的距標為它的解集是數(shù)軸上到坐得兩邊除以如果將從幾何上看1021323132313213 xxOx3131 11021 .圖圖.|7324 x解解不不式式例例,|723732 xx得由解,723723 xx或所以,335 xx或從而. 335xxx或所以原不等式的解集為?解的幾何解釋嗎解的幾何解釋嗎等式的等式的你能給出上述絕對值不你能給出上述絕對值不探究探究 等式的解法等式的解法型不型不和和cbxa

5、xcbxax |2.|5215 xx解不等式解不等式例例.,.,.,就可以得出不等式的解就可以得出不等式的解位置位置出具有上述特點的點的出具有上述特點的點的我們只要在數(shù)軸上確定我們只要在數(shù)軸上確定所以所以的點所對應的實數(shù)的點所對應的實數(shù)點的距離之和不小于點的距離之和不小于兩兩軸上到軸上到那么不等式的解就是數(shù)那么不等式的解就是數(shù)別是別是對應的點分對應的點分數(shù)軸上與數(shù)軸上與設設如圖如圖意義來分析意義來分析我們從它的幾何我們從它的幾何比較復雜比較復雜這個絕對值不等式這個絕對值不等式分析分析5121121BABA xO1AAB1B3-2-1-121121 .圖圖xO1AAB1B3-2-1-121121

6、 .圖圖 .,.的解上的數(shù)都不是原不等式因此區(qū)間是兩點的距離那么為對應的點分別軸上與設數(shù)如圖解法一123121121 BABA;|,.,515111 BAAAAABA這時有位到點個單向左移動將點的點的距離之和為點關鍵要在數(shù)軸上找出與為了求出不等式的解;|,51111 BBABBB這時也有個單位到點向右移動將點同理的的左邊或點點的距離之和都小于點之間的任何點到與點點從數(shù)軸上可以看到11115BABABA;,xO1AAB1B3-2-1-121121 .圖圖.,5離之和都大于的距右邊的任何點到BA ., 23原不等式的解集是所以 .,|,等式的解集等式的解集們綜合在一起就得到不們綜合在一起就得到不它

7、它把把后后然然況況的情的情解解的的三個區(qū)間上討論不等式三個區(qū)間上討論不等式分別在這分別在這先先了三個區(qū)間了三個區(qū)間集分成集分成實數(shù)實數(shù)把把對應的點對應的點數(shù)軸上與數(shù)軸上與時時解解可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)解法解法述述上上分析分析 112212521BAxx.,因此我們有如下解法因此我們有如下解法絕對值的不等式絕對值的不等式為不含為不含絕對值不等式可以轉化絕對值不等式可以轉化在這三個區(qū)間上在這三個區(qū)間上將數(shù)軸分為三個區(qū)間將數(shù)軸分為三個區(qū)間為分界點為分界點以點以點事實上事實上BA ,35212 xxxx解得原不等式可以化為時當解法二5212 |,xxx即不等式組 ., 3 的解集是 .,矛盾即原不等式可以化

8、為時當5352112 xxx52112 |,xxx所以不等式組.的解集為 ,25211 xxxx解得原不等式可以化為時當5211 |,xxx即不等式組 .,2的解集是 ., 23原不等到的解集是綜上所述 .,.,的解集的解集利用函數(shù)圖象求不等式利用函數(shù)圖象求不等式數(shù)的觀點數(shù)的觀點我們也可以從函我們也可以從函類似地類似地根根近似近似圖象求方程的圖象求方程的可以利用函數(shù)可以利用函數(shù)的關系的關系的根的根零點與方程零點與方程的的由函數(shù)由函數(shù)時我們知道時我們知道在學習函數(shù)知識在學習函數(shù)知識0 xfxfy3 2 1 121-2-123xyO1221 .圖圖.|0521 xx為將原不等式轉化解法三即構造函數(shù)

9、.|521 xxy.,;,;,142122262 xxxxx y .,.|,.,. 230521023231221不等式的解集是所以原即有時當從圖象可知函數(shù)的零點是它是分段線性函數(shù)圖作出函數(shù)的圖象xxyx?,的特點嗎的特點嗎你能概括一下它們各自你能概括一下它們各自不等式的方法不等式的方法中給出了三種解絕對值中給出了三種解絕對值例例思考思考5.,有特點有特點上述三種方法各上述三種方法各的解題過程可以看到的解題過程可以看到從例從例5.,.,釋是解題關鍵釋是解題關鍵確的幾何解確的幾何解給予絕對值不等式以準給予絕對值不等式以準幾何意義幾何意義理解絕對值的理解絕對值的從中可以發(fā)現(xiàn)從中可以發(fā)現(xiàn)了數(shù)形結合思

10、想了數(shù)形結合思想體現(xiàn)體現(xiàn)等式的幾何意義等式的幾何意義解法一利用了絕對值不解法一利用了絕對值不體現(xiàn)了分體現(xiàn)了分等式而解之等式而解之轉化為不含絕對值的不轉化為不含絕對值的不原不等式原不等式然后在這三個區(qū)間上將然后在這三個區(qū)間上將成三個區(qū)間成三個區(qū)間將數(shù)軸分將數(shù)軸分的解的解解法二利用解法二利用,| ,|0201 xx.,.絕對值符號絕對值符號進而去掉進而去掉項式的符號項式的符號確定各個絕對值中的多確定各個絕對值中的多目的是為了目的是為了將數(shù)軸分為幾個區(qū)間的將數(shù)軸分為幾個區(qū)間的為分界點為分界點零點零點以絕對值的以絕對值的從中可以發(fā)現(xiàn)從中可以發(fā)現(xiàn)類討論思想類討論思想.)(,.,是解題的關鍵是解題的關鍵的增減性的增減性有時需要考察函數(shù)有時需要考察函數(shù)象象數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖數(shù)的零點并