江蘇省常州市溧陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市溧陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式，得，即，而，所以.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)，為了得到的圖象，只需將的圖象（）A.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】D【解析】因?yàn)?，所以為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，故C錯(cuò)誤，D正確；若把的圖象向右平移個(gè)單位，則所得圖象的解析式為，若把的圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖象的解析式為，AB錯(cuò)誤.故選：D.4.已知函數(shù)，若，則的值是（）A. B.3或 C.或 D.3或或【答案】A【解析】函數(shù)，由，得，解得；或，無(wú)解，所以的值是.故選：A.5.已知函數(shù)為奇函數(shù).則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以，即，得到，所以，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)殛P(guān)于數(shù)0對(duì)稱，符合意義，所以.故選：B.6.在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：在四個(gè)函數(shù)模型（為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題，作出散點(diǎn)圖如下，由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)圖和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象接近，可選擇反映函數(shù)關(guān)系.故選：C.7.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，在定義域內(nèi)的單調(diào)性有增有減，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，記，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因此函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，顯然，即，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.化成弧度是 B.函數(shù)的周期為C.第四象限角不一定是負(fù)角 D.圓心角為，半徑為2的扇形面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋赃x項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈闹芷跒?，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榈谒南笙藿菫?，?dāng)時(shí)，均為正確，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，半徑為2，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.下列判斷正確的是（）A. B.若，則C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由，得，所以，B正確；對(duì)于C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，而，因此，即，D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.的圖象與直線不可能有3個(gè)交點(diǎn)D.若，則方程只有1解【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，取，，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，若時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，要求的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即令，即，即，即與在的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖，與在的最多有2個(gè)交點(diǎn)，故C正確.對(duì)于D，若，則，若時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，若時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的值域?yàn)?，而，而?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，即，方程只有1解，故D正確.故選：BCD.12.對(duì)于定義在上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得，那么稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有且只有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)C.函數(shù)有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)D.函數(shù)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，由，解得或，所以有兩上不?dòng)點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，由，得到，令，易知區(qū)間上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，得到，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以和是的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中，作出的圖象，由圖知，只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，由，令，在同一坐?biāo)系中，作出的圖象，由圖知，與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________________.【答案】【解析】函數(shù)有意義，，解得，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?14.寫(xiě)出一個(gè)在區(qū)間上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)的冪函數(shù)：_____________________.【答案】（答案不唯一，寫(xiě)一個(gè)即可）【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，所以冪函數(shù)可以為.（答案不唯一，寫(xiě)一個(gè)即可）15.若存在滿足，則的取值范圍為_(kāi)________________________.【答案】【解析】存在滿足，則，令，因在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.故的取值范圍為：.16.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)________________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”可知在上單調(diào)遞增，任取，，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解?所以原不等式的解集為.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.（1）判斷元素，與集合的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求.解：（1）令，解得：，故；令，解得：，故；故，.（2）因?yàn)?，，?dāng)為偶數(shù)，則，當(dāng)為奇數(shù)，則，所以，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角的終邊上.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）點(diǎn)在角的終邊上，，，，所以，，所以.（2）.19.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．解：（1）由函數(shù)，不等式化為，由不等式的解集為，所以方程的兩根為1和2，由根與系數(shù)的關(guān)系知：，解得a＝2，b＝1.（2）b＝1時(shí)不等式，可化為，即；當(dāng)a＞1時(shí)，解不等式得x＜1或x＞a；當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式得x≠1；當(dāng)a＜1時(shí)，解不等式得x＜a或x＞1．綜上，a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1或x＞a}；a＝1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}；a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜a或x＞1}．20.函數(shù)的圖象如圖所示.（1）寫(xiě)出的單調(diào)增區(qū)間（不用寫(xiě)過(guò)程）；（2）求的值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有12個(gè)零點(diǎn)，求的值.解：（1）觀察圖象得：，函數(shù)的周期，則，，由，得，即，由，，得，因此，，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是.（2）由（1）知，.（3）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，而，所以.21.節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境是中國(guó)的基本國(guó)策.某化工企業(yè)，積極響應(yīng)國(guó)家要求，探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，第次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量，可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù).（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型；（2）依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過(guò)，試問(wèn)至少進(jìn)行多少次改良工藝后，才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)？（參考數(shù)據(jù)：取）解：（1）由題知，，所以當(dāng)時(shí)，由，得到，解得，所以，所以改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為.（2）由題有，整理得到，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得到，即，又，解得，又，所以至少進(jìn)行7次改良工藝后，才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).22.中心對(duì)稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個(gè)定點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)，我們學(xué)過(guò)的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn).類比奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)，都有，則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為.（1）判斷是否為中心對(duì)稱函數(shù)（不用寫(xiě)理由），若是，請(qǐng)寫(xiě)對(duì)稱中心；（2）若定義在上的函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，求的值；（3）判斷函數(shù)是否為中心對(duì)稱函數(shù)，若是，求出其對(duì)稱中心；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）根據(jù)題意，的定義域?yàn)?，，若?duì)，都有，所以中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為.（2）若定義在上的函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，明顯定義域僅關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱