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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】故,故.故選:B.2.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由,即,解得,所以由推不出,故充分性不成立;由推得出,故必要性成立;所以“”是“”的必要不充分條件.故選:C.3.下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【答案】D【解析】對(duì)于A:若,,滿足,但是,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:若,,滿足,但是,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,則,所以,所以,即,故D正確.故選:D.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?,故,若函?shù)有意義,則,解得.則函數(shù)的定義域?yàn)?故選:B.5.若,則()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】,,,,.故選:B.6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),的取值范圍是,又因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,則,即當(dāng)時(shí),的取值范圍是.故選:B.7.若命題“,不等式恒成立”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】命題“,不等式恒成立”是真命題,則,令,則,則,可得,因?yàn)楹瘮?shù)、在區(qū)間1,2上均為減函數(shù),所以,函數(shù)在區(qū)間1,2上為減函數(shù),故當(dāng)時(shí),,所以,.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.8.存在三個(gè)實(shí)數(shù),滿足下列兩個(gè)等式:①;②,其中表示這三個(gè)實(shí)數(shù)中的最大值,則()A.的最大值是2 B.的最小值是2C.的最大值是 D.的最小值是【答案】B【解析】由題意可知,中有2個(gè)負(fù)數(shù),1個(gè)正數(shù),其中是負(fù)數(shù),,則,所以,則,且,所以,即,所以的最小值為2.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的有()A. B.C. D.若,則【答案】AC【解析】對(duì)于A:,,所以,故A正確;對(duì)于B:,,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:,故C正確;對(duì)于D:因?yàn)?,所以,,所以,故D錯(cuò)誤.故選:AC.10.已知函數(shù)滿足,下列結(jié)論正確的是()A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】依題意,令,得,故A正確;令,則,則,所以,令,所以,所以為奇函數(shù),即為奇函數(shù),故C正確,D錯(cuò)誤;令,由可得,所以,故B正確.故選:ABC.11.已知,則下列結(jié)論正確的有()A.的最小值為4 B.的最小值為9C.的最小值為10 D.的最小值為128【答案】BD【解析】因?yàn)?,所以,解得(?fù)值已舍去),所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),的最小值取到,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取到最小值為9,故B正確;,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為,故C錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為,故D正確.故選:BD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.計(jì)算______________.【答案】【解析】原式.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減,故成立,當(dāng)時(shí),要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,解得:.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.14.如圖,邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn),且.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿著菱形四條邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn),記運(yùn)動(dòng)的路程為,點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方為,則函數(shù)在上單調(diào)遞______________(填“增”或“減”);若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】減或【解析】由點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),由題意可知,是等邊三角形,邊長(zhǎng)為4,所以,點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中,OP變短,所以在上單調(diào)遞減;點(diǎn)到各邊的距離都是,如圖,垂足分別為,,,所以,畫(huà)出函數(shù)的圖象,當(dāng)時(shí),取得最小值3,時(shí)的函數(shù)值為4,時(shí)的函數(shù)值為12,與y=fx有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),或.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合,集合.(1)若,求;(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)因?yàn)?,?dāng)時(shí),,則或,所以,或.(2)因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件,則,則,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù).(1)若,求的值;(2)若,求函數(shù)的最小值.解:(1)因?yàn)椋?,兩邊平方可得,所?(2)因?yàn)?,所以,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),等號(hào)成立,即,所以,對(duì)稱(chēng)軸為,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,即時(shí),,所以函數(shù)的最小值為.17.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:對(duì),且,都有成立,且.(1)若函數(shù).①求證:函數(shù)是偶函數(shù);②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求不等式解集.解:(1)①∵是定義在上的奇函數(shù),∴.∴,∴函數(shù)是偶函數(shù).②設(shè)且,則,由,得,∴,即,所以函數(shù)在0,+∞上減函數(shù);又∵函數(shù)偶函數(shù),∴在上是增函數(shù);所以的單調(diào)減區(qū)間是0,+∞;單調(diào)增區(qū)間是.(2)∵,是偶函數(shù)∴,由,故可轉(zhuǎn)化為或,當(dāng)時(shí),由得,即,因?yàn)樵?,+∞上是減函數(shù),∴;當(dāng)時(shí),由得,即,因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),∴.即不等式的解集為.18.已知函數(shù)(1)若是上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.①寫(xiě)出實(shí)數(shù)和的取值范圍;②求證:.解:(1)因?yàn)?,又是上的增函?shù),所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在0,2上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,令,即,解得;當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增,且,;則的圖象如下所示:①因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)實(shí)數(shù)解,即y=fx與有三個(gè)交點(diǎn),由圖可知,且,,所以;②由①可知,所以,所以,令,因?yàn)?,所以,則,所以,則,又對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,所以,所以,所以.19.已知二次函數(shù)滿足:有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,記在時(shí)的最小值為,求的表達(dá)式;(3)若與都是整數(shù)且,求的值.
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