考研學習筆記 《信號與線性系統(tǒng)》（第5版）筆記和課后習題（含考研真題）詳解

管致中主編的《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)是我國高校電子信息與電氣信息類專業(yè)“信號與系統(tǒng)”課程廣泛采用的權威教材之一，也被眾多高校(包括科研機構)指定為考研考博專為了幫助參加研究生入學考試指定參考書目為管致中主編的《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)號與線性系統(tǒng)》(第5版)輔導用書(均提供免費下載，免費升級):1.管致中《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)筆記和課后習題(含考研真題)詳解2.管致中《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習題+章節(jié)題庫+本書是管致中主編的《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)的配套3D電子書書，主要包括以下內(1)梳理知識脈絡，濃縮學科精華。本書每章的復習筆記均對該章的重難點進行了整理，(2)詳解課后習題，鞏固重點難點。本書參考大量相關輔導資料，對管致中主編的《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)的課后思考題進行了詳細的分析和解答，并對相關重要知識點進行(3)精編考研真題，培養(yǎng)解題思路。本書精選詳析了部分名校近年來的相關考研真題，這(4)免費更新內容，獲取最新信息。本書定期會進行修訂完善，補充最新的考研真題和答()提供全國各高校電子信息類專業(yè)考研考博輔導班【一對一輔導(面授/網授)、網授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費下載，免費升級)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、電子信息類國內外經典教材名師講堂、考研教輔圖書等。研究生入學考試指定考研參考書目為管致中主編的《信號與線性系統(tǒng)》(第5版)的考生，1.720度立體旋轉：好用好玩的全新學習體驗2.質量保證：每本e書都經過圖書編輯隊伍多次反復修改，顧問組嚴格審核把重要考點全部固化為試題(或講義)形式，形成精準領先及時的備考e書。同時，依托北3.免費升級：更新并完善內容，終身免費升級4.功能強大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(2)便箋工具做筆記、寫反饋【獨家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學習效果好【獨家推出】5.品種齊全：包括全部職稱資格考試、、。主要包括：、、,共3萬余種，每天新上線約30種e書，每天下載約1萬次。()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學習提供輔導方案【保過班、網授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學習型視頻學習網站，擁有近100種考試(含418個考試科目)、194種經典教材(含英語、經濟、管理、證券、金融等共16大類),合計近萬小時的面授班、網授如您在購買、使用中有任何疑問，請及時聯系我們，我們將竭誠為您服務!詳情訪問：/(證券類)1.1復習筆記1.2課后習題詳解1.3名?？佳姓骖}詳解第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1復習筆記2.2課后習題詳解2.3名?？佳姓骖}詳解第3章連續(xù)信號的正交分解3.1復習筆記3.2課后習題詳解3.3名校考研真題詳解第4章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4.1復習筆記第5章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析5.1復習筆記5.2課后習題詳解5.3名?？佳姓骖}詳解第6章連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數6.1復習筆記6.2課后習題詳解第7章離散時間系統(tǒng)的時域分析7.1復習筆記7.2課后習題詳解7.3名校考研真題詳解第8章離散時間系統(tǒng)的變換域分析8.1復習筆記第9章離散傅里葉變換9.1復習筆記9.3名?？佳姓骖}詳解第10章數字濾波器10.1復習筆記第11章線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析11.2課后習題詳解1.確定信號與隨機信號2.連續(xù)信號與離散信號和連續(xù)信號相對應的是離散信號(discretesignal)。離散信號的時間函數只在某3.周期信號與非周期信號用確定的時間函數表示的信號，又可分為周期信號(periodicsignal)和非周期信號4.能量信號與功率信號圖1-21.信號的相加與相乘兩個信號的相加(乘)即為兩個信號的時間函數相加(乘),反映在波形上則是將相同時刻對應的函數值相加(乘)。圖1-1所示就是兩個信號相加的一個例子。圖1-12.信號的延時中將出現在一|==時刻。如果=為正值，則其波形在保持信號形狀不變的同時，沿時間軸右移=的距離；如=為負值則向左移動。圖1-2為信號延時的示例。3.信號的尺度變換與反褶信號f(t)經尺度變換后的信號可以表示為-=,其中「為一常數。顯然在t為某值時f(at)的波形中將出現在的位置。因此，如Q為正數，當a>1時，信號波形被壓形為=,波形對稱于縱坐標軸的反褶(reflection)。圖1-3給出了尺度變換引起信號波形變化的示例。圖1-3所謂系統(tǒng)(system),從一般的意義上說，系統(tǒng)是一個由若干互有關聯的單元組成的、具有1.線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)或者說，具有這種特性的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不具有上述特性。2.非時變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)系統(tǒng)又可根據其中是否包含有隨時間變化參數的元件而分為非時變系統(tǒng)(time.Invariantsystem)和時變系統(tǒng)(timevaryingsystem)。系統(tǒng)若具有上式表示的性質則為非時變系統(tǒng)，不具有上述性質則為時變系統(tǒng)。3.連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)(continuous-timesystem)和離散時間系統(tǒng)(discrete-timesystem)是根據它們所傳輸和處理的信號的性質而定的。前者傳輸和處理連續(xù)信號，它的激勵和響應在連續(xù)時間的一切值上都有確定的意義；與后者有關的激勵和響應信號則是不連續(xù)的離散序列。4.因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)一切物理現象，都要滿足先有原因然后產生結果這樣一個顯而易見的因果關系，結果不能早于原因而出現。對于一個系統(tǒng)，激勵是原因，響應是結果，響應不可能出現于施加激勵之前。符合因果律的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)(causalsystem),不符合因果律的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)(non然該系統(tǒng)為一非因果系統(tǒng)。如則該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。1.2課后習題詳解1.1說明波形如圖1-4所示的各信號是連續(xù)信號還是離散信號。圖1-4答：連續(xù)時間信號是指它的自變量(時間變量t)是連續(xù)的，若時間變量的取值是離散的，則為離散時間信號。圖1-4中，(a)、(b)、(d)、(e)是連續(xù)信號，而(c)、(f)是離散信號。1.2說明下列信號是周期信號還是非周期信號。若是周期信號，求其周期T。因此只要找到n個不含整數公因子的正整數使成立，就可判定該如復合信號中某兩個分量頻率的比值為無理數，則無法找到合適的E;,該信號常稱為概周期信號。概周期信號是非周期信號，但如選用某一有理數頻率來近似表示無理數頻率，則該信號可視為周期信號。所選的近似值改變，則該信號的周期也隨之變化。例如=200。如令==1.414,則該信號的周期變?yōu)?000。答：(a)sint、sin3t的角頻率之比T,因此該信號為周期信號，其周期為(b)sin4t、sin7t的角頻率之比T,因此該信號為周期信號，周期(c)①當一國時，sin3t、sinπt的角頻率之比,因此該信號為周期信號，周期②當=時，于π是無理數，因此該信號為非周期信號。(d)cosπt、sin2πt的角頻率之比,因此該信號為周期信號，周期即-所以該信號是周期信號，周期□,因此該信號為周期信號，周期□,所以該信號為周期信號，1.3說明下列信號中哪些是周期信號，哪些是非周期信號；哪些是能量信號，哪些是功率信號。計算它們的能量或平均功率。答：(1)嚴格地講，周期信號應該是無始無終的，所以該信號應該算作非周期信號。但由于當時，信號呈周期性變化，故這樣的信號也稱為有始周期信號，此時，T=2π/10π=1/5,顯然該信號為功率信號，平均功率：(3)因I,故f(t)為周期信號，周期T=2,該信號也為功率信(4)因,即I,所以該信號為非周期信號，為功率信號，其(1)兩個周期信號之和必仍為周期信號；(2)非周期信號一定是能量信號；(3)能量信號一定是非周期信號；(4)兩個功率信號之和必仍為功率信號；(5)兩個功率信號之積必仍為功率信號；(6)能量信號與功率信號之積必為能量信號；(7)隨機信號必然是非周期信號。答：(1)錯誤。只有當兩個周期信號周期的比值為正整數時，其信號之和才是周期信號。若其周期的比值為無理數，則其信號之和為非周期信號。(2)錯誤。例如，為非周期信號，但不是能量信號。(3)正確。因為周期信號是無限長的信號，它每個周期的信號是一致的，信號的能量就是每個周期的能量和周期個數的乘積，時間無窮大，能量也無窮大，所以能量信號一定是非周期信號。(4)錯誤。例如E均為功率信號，但兩者之和(門函數)卻是能量信號。是能量信號。(6)錯誤。例如=為功率信號，=為能量信號，但兩者之積卻不是能量信號。(7)正確。隨機信號是無法找到周期的，所以為非周期信號。1.5粗略繪出下列各函數式表示的信號波形。答：波形圖如圖1-5(1)～(7)所示。圖1-51.6已知信號f(t)波形圖如圖1-6所示，試繪出三、國圖1-6答：波形如圖1-7(1)～(6)所示。圖1-71.7改變例題1-2中信號處理的分步次序為：(1)反褶，時延，尺度變換；(2)尺度變換， 反褶，時延；(3)尺度變換，時延，反褶。重繪的波形，并與例題1-2的結果相答：波形如圖1-8(1)～(3)所示。圖1-81.8試判斷下列方程所描述的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，是否為時變系統(tǒng)。將代入方程左邊，可得：將將代入方程右邊，可得：可知方程左右兩邊不相等，所以該系統(tǒng)是非線性的。又因為該系統(tǒng)方程為常系數微分方程，所以該系統(tǒng)是時不變的。(2)同理，將代入方程左邊，可得：將代入方程右邊，可得：可知方程左右兩邊相等，所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。又因為該系統(tǒng)方程不是常系數微分方程，所以該系統(tǒng)是時變的。(3)將代入方程右邊，可得：將kri(t)+k?Y?t)代入方程左邊，可得：可知方程左右兩邊不相等，所以該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。又當激勵為==時，系統(tǒng)響應為,該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。將kie(t)+ke?(t)代入方程右邊，可得：0可知方程左右兩邊不相等，所以該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。又因為該系統(tǒng)方程不是常系數微分方程，所以該系統(tǒng)是時變的。1.9證明線性時不變系統(tǒng)有如下特性：即若系統(tǒng)在激勵一三作用下響應為一三，則當激勵為又由疊加性和均勻性~又由疊加性和均勻性~取的極限，可得：1.10一線性時不變系統(tǒng)具有非零的初始狀態(tài)，已知當激勵為e(t)時，系統(tǒng)全響應為;當初始狀態(tài)不變，激勵為一=時，系統(tǒng)全響應為L。求在同樣初始狀態(tài)條件下，當激勵為一時系統(tǒng)的全響應。答：設零輸入響應為一廠，零狀態(tài)響應為自，則全響應-當激勵為時，響應為：①①當激勵為一E時，響應為：②②聯立式①②可得：所以當激勵為一：二時，響應為：1.11一具有兩個初始條件三、國的線性時不變系統(tǒng)，其激勵為elt),輸出響應為r(t),(1)當一|時，求時的零狀態(tài)響應。系統(tǒng)零狀態(tài)響應為Iz?(t);答系統(tǒng)零狀態(tài)響應為Iz?(t);時的響應為時的響應為該系統(tǒng)在無激勵，初始條件時的響應為時的響應為該系統(tǒng)在無激勵，初始條件根據題意：所以當時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為1.3名校考研真題詳解1.兩個線性時不變系統(tǒng)相級聯的先后順序不影響總的輸入輸出關系。()[中山大學2010研]【解析】線性時不變系統(tǒng)級聯，總的系統(tǒng)函數相當于各個系統(tǒng)函數相卷積，根據卷積的性質，卷積的次序是可以交換的。2.兩個周期信號之和一定為周期信號。[北京郵電大學2012研]【答案】×查看答案【解析】兩個周期信號之和不一定是周期信號，例如,周期為無理數，所以不是周期周期3.若h(t)是一個線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應，并且h(t)是周期的且非零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。[北京郵電大學2012研]【答案】×查看答案【解析】系統(tǒng)也可以是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)即有界輸入，有界輸出。圖1-9例如(t)=cost,,當輸入信號為,輸出為,可見有界輸入有界1.方程描述的系統(tǒng)是()。[北京航空航天大學20072.計算l=()。[電子科技大學2012研]2.信號x(t)如圖1-10所示，畫出信號的圖形。[北京郵電大學2012圖1-10圖1-11(a)圖1-11(b)圖1-11(c)圖1-11(d)第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1復習筆記建立并求解線性微分方程1.時域分析法：在時間域內進行分析，即在分析過程中所涉及的函數的變量都是時間t。經典解法：微分方程的解=齊次方程的通解+特解齊次方程為通解為：自然響應(自由響應)非齊次方程特解的形式由激勵函數決定——受迫響應即系統(tǒng)的全響應=自由響應+受迫響應此法適合于激勵函數為直流，正弦或指數等簡單形式的情況，復雜函數激勵時，可用疊加積分法或變換域方法。全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應2.變換域分析法：為了便于求解微分方程而將時間變量變換成其它變量如頻率(頻域)等。二、系統(tǒng)方程的算子表示法1.微分算子及其運算規(guī)則引進算子「令于是有則微分方程：可寫成引進p后，微分方程→代數方程，一般情況下，代數方程的運算規(guī)則也適用于算子方程，2.轉移算子n階線性微分方程為：即即令求零輸入響應時，此時方程為齊次方程：求解系統(tǒng)的零輸入響應，就是解式==所示齊次方程代數方程一2==0稱為系統(tǒng)的特征方程。1.當根均為單根時，則齊次方程解的一般形式應為：代入初始值，可得到齊次方程的解。2.若當特征方程中有一k階的重根時，微分方程的解應為：四、奇異函數1.階躍函數(1)單位階躍信號(2)延遲的階躍信號圖2-1單位階躍信號與延遲的階躍信號2.單位沖激函數圖2-2單位沖激函數3.沖激函數的性質(1)抽樣性質(2)單位沖激函數的積分是單位階躍函數(3)單位沖激函數與單位階躍函數的關系：(4)奇異函數的若干次積分和若干次微分也都是奇異函數圖2-3單位沖激響應以符號h(t)表示，單位階躍響應以一F1.卷積的定義2.卷積的性質(1)互換律、結合律和分配律(2)函數相卷積后的微分與積分(3)與沖激函數、階躍函數的卷積(4)卷積的多階導數或多重積分運算規(guī)律 設一,則有一。其中，i、j取正整數時為導數的階(5)函數延時后的卷積(6)相關與卷積LTI系統(tǒng)：全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應，若特征方程無重根，且考慮到N(p)的冪次一般低于D(p),則有：2.2課后習題詳解2.1寫出圖2-4中輸入三和輸出一及一之間關系的線性微分方程，并求轉移算子。圖2-4答：(1)利用節(jié)點法來分析電路，可得對于節(jié)點1:①對于節(jié)點2:將式③代入式④可得：用微分算子表示為：(2)同理，將式①代入式③可得：整理得：即2.2寫出圖2-5中輸入=和輸出一=之間關系的線性微分方程，并求轉移算子H(p)。答：由圖2-5可得：用微分算子表示為：圖2-5利用克萊姆法則求一國，可知：所以轉移算子為：其微分方程為：2.3分別求圖2-6(a)、(b)、(c)所示網絡的下列轉移算子：圖2-6對式①②兩邊同時乘以p(即求導),再利用克萊姆法則可得：三對一的轉移算子為：uo對-三的轉移算子為：(b)繪制圖2-6(b)的算子電路圖，如圖2-7(b)所示。圖2-7列出算子方程：整理上述方程組，利用克萊姆法則，可得：i?對f(t)的轉移算子為：uo對f(t)的轉移算子為：圖2-7(c)利用等效阻抗的概念，可得：i?對的轉移算子為：uo對f(t)的轉移算子為：2.4已知系統(tǒng)的轉移算子及未加激勵時的初始條件分別為：求各系統(tǒng)的零輸入響應并指出各自的自然頻率。答：(1)由系統(tǒng)轉移算子可知其特征方程為：特征根為：故系統(tǒng)零輸入響應為：利用初始條件有：解得即系統(tǒng)零輸入響應為：其自然頻率即為特征根，為-1,-2。(2)由系統(tǒng)轉移算子可知其特征方程為：代入初始條件，有：解得：即系統(tǒng)零輸入響應為：其自然頻率為(3)系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：故系統(tǒng)零輸入響應形式為：代入初始條件，有：解得：即系統(tǒng)零輸入響應為：其自然頻率為-1。2.5已知系統(tǒng)的微分方程與未加激勵時的初始條件分別如下：答：(1)由系統(tǒng)微分方程可得轉移算子為：其特征方程為：解得特征根：則系統(tǒng)零輸入響應形式：代入初始條件得：故系統(tǒng)零輸入響應為：系統(tǒng)的自然頻率為0和-1。(2)由系統(tǒng)微分方程可得轉移算子為：其特征方程為：解得特征根：則系統(tǒng)零輸入響應形式：代入初始條件得：故系統(tǒng)零輸入響應為：系統(tǒng)的自然頻率為0,-1和-2。2.6已知電路如圖2-8所示，電路未加激勵的初始條件為：求上述兩種情況下電流i(t)及-E的零輸入響應。圖2-8答：由圖2-8可得：化為算子方程可得：根據上述方程組，可知系統(tǒng)的特征方程為：故的零輸入響應的形式分別為：(1)對于一，代入初始條件,可得：故一的零輸入響應為：對于一同，需要計算出它的初始條件。代入一的初始條件得：(2)已知初始條件7,則有：③故-三和一三的零輸入響應為：2.8寫出圖2-9所示各波形信號的函數表達式。圖2-92.9求題2-9所給各信號的導函數并繪其波形。波形如圖2-10(a)～(f)所示。圖2-102.10已知信號f(t)波形如圖2-11所示，試繪出下列函數的波形：圖2-11答：波形如圖2-12(1)～(6)所示。由圖2-11可知信號f(t)的表達式為：ft)(1)將波形按時間軸壓縮一半得到|==,如圖2-12(1)所示；(2)取波形當t>0的部分得到三例,如圖2-12(2)所示；(3)形沿x軸右移兩個單位，再取其t>0的部分得到1,如圖2-12(3)(5)將f(t)的波形沿x軸左移兩個單位得到f(2+t)波形，再對稱于坐標軸y軸反褶得到f(2一t)波形，取其t<0的部分即得到波形，如圖2-12(6)所示。圖2-12=并繪其波形。圖2-13上式化為算子方程可得：將式②代入式①,消去三可得：則轉移算子為：(1)當激勵i(t)=8(t)時其響應波形如圖2-14所示。圖2-14其響應波形如圖2-15所示。圖2-152.12圖2-16所示電路，求激勵e(t)分別為δ(t)及=(t)時的響應電流E及響應電壓并繪其波形。圖2-16答：由圖2-16可得：則轉移算子為特征根(1)當激勵響應電流為：響應電壓為：波形如圖2-17所示。圖2-17(2)當激勵一=時波形如圖2-18所示。圖2-182.13求圖2-19所示電路的沖激響應-三。圖2-19其中分別為流經的電流，則有：用微分算子表示為：則系統(tǒng)轉移算子為：故沖激響應為：(b)由圖2-19(b)列回路電壓方程，有：式①兩端對t求導，并將式②代入整理得：代入式①可得沖激響應為：2.14圖2-20所示電路中，元件參數為：響應為電流24)。求沖激響應一=及階躍響應一：=。圖2-20答：設圖2-20中流經R?的電流為i,方向向下，可得電路方程：故系統(tǒng)轉移算子為：2.15圖2-21電路中，元件參數為,響應為電壓圖2-21階躍響應2.16求取下列微分方程所描述的系統(tǒng)的沖激響應。答：(1)由微分方程引入算子得：(2)由微分方程引入算子得：(3)由微分方程引入算子得：故系統(tǒng)轉移算子為：(4)由微分方程引入算子得：故系統(tǒng)轉移算子為：(5)由微分方程引入算子得：故系統(tǒng)轉移算子為：2.17線性系統(tǒng)由圖2-22的子系統(tǒng)組合而成。設子系統(tǒng)的沖激響應分別為。求組合系統(tǒng)的沖激響應。圖2-22答：由圖2-22可知組合系統(tǒng)在e(t)激勵下的響應為故組合系統(tǒng)的沖激響應為2.18用圖解法求圖2-23(a)～(e)中各組信號的卷積,并繪出所得結果的波形。圖2-23二F三與一三相乘再積分，得：的波形如圖2-24(a)所示?？蓪劃分為五個時段分別考慮，其波形如圖圖2-24綜上，可得卷積的波形如圖2-24(g)所示。綜上，可得卷積圖2-25的波形如圖2-25(g)所示。和一日的波形如圖2-26(a)所示?？蓪劃分為其波形如圖2-26圖(b)～(f所示。圖2-26綜上，可得卷積的波形如圖2-26(g)所示。可將t劃分為四個時段分別考慮，其波形如圖2-27(b)～(e)圖2-27綜上，可得卷積的波形如圖2-27(+所示。則其卷積波形如圖2-28所示。圖2-28求圖2-29所示信號的卷積。請注意積分限的確定。求圖2-29所示信號的卷積。請注意積分限的確定。圖2-29答：由圖2-29可知一三和一F表達式為：2.20用卷積的微分積分性質求下列函數的卷積。答：(1)由卷積性質，可得：(2)由卷積性質，可得：(3)由卷積性質，可得：(4)由卷積性質，可得：2.21已知某線性系統(tǒng)單位階躍響應為,試利用卷積的性質求下列波形(見圖2-30)信號激勵下的零狀態(tài)響應。圖2-30答：由單位階躍響應與單位沖激響應的關系，可得零狀態(tài)響應為：(a)由圖2-30(a)可知e(t)表達式為：故其零狀態(tài)響應為：(b)由圖2-30(b)可知e(t)表達式為：故其零狀態(tài)響應為：(c)由圖2-30(c)可知e(t)表達式為：故其零狀態(tài)響應為：(d)由圖2-30(d)可知e(t)表達式為：設(c)題的激勵為日，零狀態(tài)響應為一日，則故其零狀態(tài)響應為：(e)圖2-30(e)可知e(t)表達式為：由卷積的基本性質，可得其零狀態(tài)響應為：圖2-31答：設i為流經R?的電流，由圖2-31可得：消去i(t),可得：2.23圖2-32所示電路，其輸入電壓為單個倒鋸齒波，求零狀態(tài)響應電壓uL(t)。圖2-32答：設電感支路的電流為同，方向向下，由圖2-32所示電路可得：可得系統(tǒng)的沖激響應為：由圖可知輸入電壓為：故零狀態(tài)響應為：2.24圖2-33所示電路設定初始狀態(tài)為零，(1)如電路參數時，測得響應電壓~時，測得響應電壓求激勵電流i(t);,求電路元件圖2-33答：由圖2-33列電路方程可得：(1)將一代入上式，有： 根據方程①可得算子方程：對照兩式，可得：2.25已知圖2-34所示電路的初始狀態(tài)為零，求下列兩種情況下流過AB的電流'i(t)。圖2-34u(t答：設上下兩個電容上的電壓分別為=和“2,極性均為上正下負。(1)當激勵源為電流源時，根據圖2-34可得節(jié)點方程：寫成算子形式為于是在is(t)=ε(t)A激勵下的響應為于是在es(t)=ε(t)V激勵下的響應為2.26圖2-35所示電路中，元件參數為,激勵源分別為,求電容C上的電壓,圖2-35答：設F上的電流為=,方向自左向右，則可寫出如下方程：轉移算子所以沖激響應當激勵源分別為時，電容上的電壓2.27已知圖2-36所示電路，在t=0時合上開關目，經0.1s后又合上開關三，求流過電阻三的電流i(t)。圖2-36答：設流過電感L的電流為三，方向自左向右，則此時z(t)的響應包括零輸入響應和零狀態(tài)響應兩部分，且零狀態(tài)響應為所以,2012研]2.3名?？佳姓骖}詳解1.任何系統(tǒng)的全響應必為零狀態(tài)響應與零輸入響應之和。[北京郵電大學2012研]【解析】零輸入響應為僅由起始狀態(tài)所產生的響應。零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，【解析】1.信號x(t),h(t)波形如圖2-38所示，畫出卷積y(t)=x(t)*h(t)結果的波形。[北京郵電大學圖2-38如圖2-39所示圖2-391,單位沖激響應為=。[北京郵電大學2012研]學技術大學2012研]根據沖激函數的性質計算可得：v(t)=sin(t)[u(t-2π)-u(4.如果,證明[電子科技大學2012研]5.已知當輸入信號為三時，某連續(xù)時間LTI因果系統(tǒng)的輸出信號為國，E和-國的波形如圖2-40所示。試用時域方法求：圖2-40(1)該系統(tǒng)的單位階躍響應-匡，并大概畫出巨的波形；(2)在系統(tǒng)輸入為圖2-41所示的一三時的輸出信號一=,并大概畫出一的波形。[中國科學院2005研]圖2-41答：(1)設系統(tǒng)的沖激響應為h(t),則有根據卷積積分的微分性質，有由y(t)波形微分可得豐波形，如圖2-42所示，則有圖2-42(2)由題(1)可得：,則有由圖2-41可得將=代入，可得所求系統(tǒng)輸出為的波形如圖2-43所示。3.1復習筆記1.正交矢量圖2-43第3章連續(xù)信號的正交分解定義：如果兩個矢量和一=相互垂直，則稱=和=為正交矢量。若用一E來近似表示A,則表達式(1)要用一個矢量分量去代表原矢量，當分量是原矢量的垂直投影時，誤差矢量最?。?2)若從解析角度考慮三的取值問題，可令誤差矢量的平方最?。寒擜和A?全相同時，,當和A?互相垂直時，標志著兩個矢量相互接近的程度。平面上任意矢量在直角坐標系中可分解為兩個正交矢量的組合。2.正交函數(1)若非零實函數日和一莊在區(qū)間一日內滿足(2)若一：=和=為復函數，兩函數在區(qū)間內正交的條件是3.正交函數集定義：在一E區(qū)間上定義的n個非零實函數集其中任意兩個函數均滿足：其中4=為常數，稱此函數集為正交函數集。當4==1時，上述函數集就稱為歸一化正交函數集。4.完備正交函數集則稱此函數集為完備正交函數集。5.信號的正交分解任一函數f(t)用n個正交函數的線性組合來近似，即在用正交函數去近似f(t)時，所取得項數越多，即n越大，則均方誤差越小。當一三時(為完備正交函數集),均方誤差為零。1.三角傅里葉級數對于對于任何一個周期為T的周期信號一，其三角傅里葉表示式為：其中系數=、=和幅度=、相位=之間的關系為2.指數傅里葉級數其中3.函數的偶、奇性質及其與諧波含量的關系(1)偶函數若函數f(t)滿足,則稱f(t)為時間t的偶函數。如圖3-1(a)所示。此時f(t)的三角傅里葉級數只包含余弦項諧波分量a,并且當函數的平均值不為零時圖3-1(2)奇函數此時f(t)的三角傅里葉級數只包含正弦項諧波分量bnsinnQt,而無直流分量和余弦項諧波分(3)非奇非偶函數如圖3-2所示。圖3-2若函數f(t)為奇諧函數，則其滿足如圖3-3所示，奇諧函數中不包含直流分量和偶次諧波而只包含奇次諧波.圖3-3(5)偶諧函數如圖3-4所示，函數中只包含偶次諧波分量。圖3-41.周期信號的頻譜率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。圖3-5周期性矩形脈沖信號及其頻譜(1)頻譜由不連續(xù)的線條組成，每一條線代表一個正弦分量，所以這樣的頻譜稱為不連續(xù)(2)頻譜的每條譜線，都只能出現在基波頻率Ω的整數倍的頻率上，頻譜中不可能存在任何具有頻率為基波頻率非整數倍的分量。(2)各條譜線的高度，也即各次諧波的幅度，總的趨勢是隨著諧波次數的增高而逐漸減小的；當諧波次數無限增高時，諧波分量的幅度亦就無限趨小。2.周期與脈沖對頻譜的影響圖3-5所示周期性矩形脈沖信號的第n次諧波的幅度為由此可知，諧波的幅度數值與“之比有關。圖3-6所示為抽樣函數對于不同周期與脈沖寬度比的頻譜圖。圖3-6四、傅里葉變換傅里葉變換與傅里葉反變換的公式1.傅里葉變換的基本性質(1)線性特性若,則其中，三為常數，為正整數。(2)延時特性若l,則(3)移頻特性若,則(4)尺度變換特性若,則(5)奇偶特性若f(t)為時間t的實函數。頻譜函數的實部一E三與虛部一E=以及模量與相角(6)對稱特性若,則(7)微分特性若f(t)→F(w),則(10)卷積特性(卷積定理),則一時域頻域時域頻域1五、帕塞瓦爾定理與能量頻譜為功率譜，功率譜只與幅譜平方有關，與相譜無關。帕薩瓦爾定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數集中各分量功率之和。2.能量信號的能量此等式即為雷利定理：對于非周期信號，在時域中求得的信號能量與在頻域中求得的信號能量相等。3.能量密度頻譜函數能量頻譜是G(o)是某角頻率w處的單位頻帶中的信號能量。信號在整個頻率范圍內的全部能量為(1)如用在同一時間區(qū)間上的正弦信號來近似表示此方波信號，要求方均誤差最小，寫出此正弦信號的表達式；(2)證明此信號與同一時間區(qū)間上的余弦信號一(n為整數)正交。答：(1)設在(0,2π)區(qū)間內以均方誤差最小為原則來逼近一面，則最佳系數 所以，三在此區(qū)間內和余弦信號二：=(n為整數)正交。3.2已知。求it在f?t)上的分量系數三及此二信號廟答：(1)分量系數(2)相關系數二3.3證明兩相互正交的信號f(t)與f?(t)同時作用于單位電阻上產生的功率，等于每一信號在單位電阻上產生的功率：同時作用于單位電阻上產生的功率：當一=相互正交時，有所以，可證E(1)當時，相互正交。二者單獨作用時，有同時作用時，有(2)當時，相互不正交。二者單獨作用時，有同時作用時，有命題得證。3.4將圖3-7所示的三角形信號在時間區(qū)間上展開為有限項的三角傅里葉級數，使其與實際信號間的均方誤差小于原信號一=總能量的1%。寫出此有限項三角傅里葉級數的表達式。圖3-7答：由f(t)在上的偶對稱特性知從而一同。下面求系數a0和an。直流分量：余弦分量：因此，信號可表示為：信號的總能量：只取有限項表示信號，均方誤差為：只取直流項時，均方誤差為：此時，有：取直流分量和基波分量時，均方誤差為：此時，有：滿足題意要求，所以可以用直流分量和基波分量來近似表示f(t),即3.5求圖3-8(a)所示的周期性半波整流余弦脈沖信號及圖3-8(b)所示的周期性半波整流正弦脈沖信號的傅里葉級數展開式。繪出頻譜圖并作比較脈沖信號的傅里葉級數展開式。繪出頻譜圖并作比較，說明其差別所在。圖3-8故一的傅里葉展開式為：圖3-93.6利用周期性矩形脈沖與周期性三角形脈沖的傅里葉級數展開式(3—30)及式(3—38),求圖3-10波形所示信號的傅里葉級數。圖3-10圖3-11由教材式(3-38b)可直接得到周期性三角脈沖f?(t)的傅里葉級數：3.7試判斷在時間區(qū)間上展開的傅里葉級數是僅有余弦項，還是僅有正弦項，還是二者都有。如展開時間區(qū)間改為則又如何。答：三=波形如圖3-12(可得如圖3-12(b)所示波形，只取時間區(qū)間上的波形進行周期延拓，可得如圖3-12(c)所示波形。圖3-12圖3-12(b)波形關于原點對稱為奇函數，所以它只包含正弦項諧波分量=而無直流分量和余弦波分量。圖3-12(c)波形關于y軸對稱為偶函數，所以它只包含余弦項諧波分量=,函數的平均值不為零，還存在直流分量，而沒有正弦波分量。3.8已知周期信號f(t)前四分之一周期的波形如圖3-13所示，按下列條件繪出整個周期內的信號波形。1)f(t)是t的偶函數，其傅里葉級數只有偶次諧波；(2)J()是t的偶函數，其傅里葉級數只有奇次諧波；(3)是t的偶函數，其傅里葉級數同時有奇次諧波與偶次諧波；(4))是t的奇函數，其傅里葉級數只有偶次諧波；(5)f(t)是t的奇函數，其傅里葉級數只有奇次諧波；ft(6))是t的奇函數，其傅里葉級數同時有奇次諧波與偶次諧波。圖3-13答：(1)f(t)是t的偶函數，其傅里葉級數只有偶次諧波，表明f(t)是偶諧函數，滿足,如圖3-14(a)所示；(2)f(t)是t的偶函數，其傅里葉級數只有奇次諧波，表明f(t)是奇諧函數，滿足及,如圖3-14(b)所示；(3)f(t)是t的偶函數，其傅里葉級數同時有偶次諧波和奇次諧波，表明f(t)是既不是偶諧函數，也不是奇諧函數，滿足=,如圖3-14(c)所示；(4)f(t)是t的奇函數，其傅里葉級數只有偶次諧波，表明f(t)是偶諧函數，滿足及,如圖3-14(d)所示；(5)f(t)是t的奇函數，其傅里葉級數只有奇次諧波，表明f(t)是奇諧函數，滿足及,如圖3-14(e)所示；(6)f(t)是t的奇函數，其傅里葉級數同時有偶次諧波和奇次諧波，表明f(t)既不是偶諧函數，也不是奇諧函數，滿足=,如圖3-14(①所示。圖3-143.9試繪出圖3-15所示波形信號的奇分量及偶分量的波形。圖3-15所以分別對進行分解，結果如圖3-16所示。圖3-163.10利用信號的奇偶性，判斷圖3-17所示各信號的傅里葉級數所包含的分量。圖3-17答：(1)fi(t)是偶函數，且平均值為零，所以不含正弦項和直流分量，同時f?(t)又是奇諧對稱的，不包含偶次諧波，所以fi(t)只含有奇次余弦分量。(2)f?(t)是奇函數，所以不含余弦項和直流分量，所以f?(t)只含有正弦分量。(3)f?(t)是偶函數，且平均值不為零，所以不含正弦項，同時f?(t)又是偶諧對稱的，不包含奇次諧波，所以f?(t)只含有偶次余弦分量和直流分量。(4)f?(t)是非奇非偶函數，可以分解為正弦與余弦分量的疊加，無直流分量，同時f?(t)又是奇諧對稱的，不包含偶次諧波，所以f?(t)只含有奇次分量。3.11已知一E的頻譜函數為一E=,與一E三波形有如圖3-18的關系，試用一E三的F因為所以由傅里葉變換的時延性和尺度變換，有3.12利用傅里葉變換的移頻特性求圖3-19所示信號的頻譜函數。圖3-19答：(1)由圖3-19可知圖示波形為：因為(2)由圖3-19可知圖示波形為：因為三角形脈沖函數的傅里葉變換為：(3)由圖3-19可知圖示波形為：由傅里葉變換的時移性質，有：所以3.13如時間實函數，f(t)的頻譜函數,試證明f(t的偶分量的頻譜函數為一，奇分量的頻譜函數為一=。f(證明：若)為實函數，則其頻譜函數的實部為偶函數，虛部為奇函數，即f(t)f(t)3.14利用對稱特性求下列函數的傅里葉變換。答：(1)因一,故根據對稱性有：又由時延特性，有：(3)因三角形脈沖函數的傅里葉變換為：根據對稱性，有：整理得：3.15求下列頻譜函數對應的時間函數。答：(1)已知--(2)已知門函數(3)已知指數函數則(頻域微分特性)(4)已知符號函數3.16試用下列特性求圖3-20所示信號的頻譜函數。(2)用時域微分、積分特性。圖3-20答：(1)對于圖3-20(a)①用延時和線性特性求解因為門函數又由圖3-20(a)可得：根據延時特性，有：再由線性特性，可得：②用時域微分、積分特性求解(2)對于圖3-20(b)①用延時和線性特性求解由圖3-20(b)所示可得：由頻域卷積定理可得：②用時域微分、積分特性求解3.17試用時域微分、積分特性求圖3-21波形信號的頻譜函數。圖3-21(時移特性)故由傅里葉變換的積分特性，可得：(b)對圖3-21(b)的f(t)求二次導，有：由積分特性，有：(c)由圖3-21(c)所示波形可知：則3.18由原教材中的表3-1中的第13號矩形脈沖的頻譜函數導出第17號三角形脈沖的頻譜函數。(1)用時域微分、積分特性；(1)利用微積分特性由教材表3-1第17號三角形脈沖求導，可得：(2)利用卷積定理由時域卷積定理，可得：3.19利用頻域卷積定理，由|3=的傅里葉變換及一三的傅里葉變換導出的傅里葉變換。由卷積特性可得：3.20由沖激函數的頻譜函數求圖3-22所示波形信號的頻譜函數。圖3-22答：(1)由圖3-22可得：求導得：求導得：由時移性質，可得：又由積分性質，可得：(2)由圖3-22可得：求導得：由時移性質，可得：…又由積分性質，可得：(3)由圖3-22可得：二次求導得：由線性和時移性質，可得：又由積分性質，可得：(4)由圖3-22可得：由時移特性，可得：3.21已知。f(t)的頻譜函數為F(jw),求下列時間信號的頻譜函數。(尺度變換特性)(頻域微分特性)(2)(頻域微分特性)(3)(時域微分特性)(頻域微分特性)所以:=的傅里葉變換為：(尺度變換)所以一=的傅里葉變換為：(5)由(4)可知：(延時特性)所以日=的傅里葉變換為：3.22證明下列函數的頻譜函數，當一時俱逼近于一的頻譜函數1。即這些函數在二E時都可視為單位沖激函數。所以(2)因為,由傅里葉變換的對稱性，有令當一==時，(3)查教材表3-1可知，對于三角形脈沖函數，有：(3)查教材表3-1可知，對于三角形脈沖函數，有：3.23已知it)的頻譜函數為F(jo),將fi(t)按圖3-23的波形關系構成周期信號f?(t),圖3-23則而一E的傅里葉級數系數為故根據周期信號的傅里葉變換式(3-67),可得3.24三角形周期脈沖的電流如圖3-24所示。(1)若一，求此周期電流的平均值與均方值；(2)求此周期電流在單位電阻上消耗的平均功率、直流功率與交流功率，并用帕塞瓦爾定理核對結果。圖3-24答：(1)電流的平均值：所以，電流的均方值：(2)平均功率：因為i(t)是偶函數，所以bn=0,則有：故7,符合帕塞瓦爾定理。3.25求圖3-25所示三角形周期信號的沃爾什級數中不為零的前三項。圖3-25答：由圖3-25可知：因f(t)是偶函數，故bs=0,則有：其中，沃爾什系數為：3.26證明沃爾什級數展開時，帕塞瓦爾定理關系式成立。1.連續(xù)非周期信號的頻譜也是連續(xù)非周期的。()[中山大學2010研]2.若x(t)的傅里葉變換為X(f),則x(O)=X(f)的面積=[北京郵電大學2012研]【解析】x(t)的傅里葉反變換為1.已知信號x(t)的頻譜帶限于1000Hz,現對信號進行抽樣，求使一回不失真的最小抽樣頻率為()。[中國科學院研究生院2012研]【解析】x(t)的頻譜帶限于1000Hz,根據尺度變換特性可知，F的頻譜帶限為3000Hz,2.若f(t)的奈奎斯特角頻率為=,則的奈奎斯特角頻率為()。[中山大學2010研]【答案】C查看答案3.若信號波形相對于縱軸對稱，則該信號的傅里葉級數中()。[中國科學院研究生院2012研]A.不含有直流項B.不含有正弦項C.不含有余弦項D.各項都包含【答案】B查看答案三、填空題1.有些信號的頻譜是連續(xù)的，有些是離散的；而有些信號的頻譜是周期的，有些是非周期的，對于單脈沖信號、周期脈沖信號以及抽樣信號(帶限非周期連續(xù)時間信號經理想抽樣得頻譜是非周期的有。[南京航天航空大學2012研]【答案】單脈沖信號，抽樣信號；周期脈沖信號；抽樣信號；單脈沖信號，周期脈沖信號。級數系數為。[華南理工大學2011研]【答案】三查看答案【解析】設x(t)的傅里葉級數系數為日，信號x(t)也表示成1.使用傅里葉變換進行頻域分析的充分條件是什么?寫出傅里葉變換對的數學表達式，并計算—==的時間函數。[中國科學院研究生院2012研]答：使用傅里葉變換進行頻域分析的充分條件是信號需要滿足狄里赫利條件。信號的傅里葉變換才是存在的。才可以進行頻域分析。傅里葉變換對：的信號，信號一被用來調制載波c(t)以得到1。用一個帶通濾波器，使當輸入為一=時，該濾波器的輸出是,則該帶通濾波器的通帶帶通濾波器的通帶為。[華南理工大學2012研]三為一實周期信號，Y(t)經過帶通濾波器后只存在k=-1,與k=1分量3.在圖3-26所示系統(tǒng)中，已知帶通濾波器的如圖3-26(b)所示，同。求零狀態(tài)響應間。[北京航空航天大學2005研]4.已知信號F的最高角頻率為，當對取樣時，求其頻譜不混疊的第4章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析1.系統(tǒng)函數(1)定義②從微分方程直接求解(方程兩邊去傅里葉變換);③從系統(tǒng)的沖激響應(3)系統(tǒng)的頻率特性2.系統(tǒng)在周期性信號激勵下響應的頻域分析(1)基本信號-,輸出(2)正弦信號(3)任意周期信號3.系統(tǒng)在非周期性信號激勵下響應的頻域分析非周期信號輸入到系統(tǒng)中，如圖4-1所示圖4-1(2)確定系統(tǒng)函數(4)取一的反變換，得三。1.理想低通濾波器具有如圖4-2所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器，三稱為截止角頻率。圖4-2圖4-32.沖激響應3.階躍響應式中1.物理可實現的條件就時域特性而言，一個物理可實現的系統(tǒng)，其沖激響應在一時必須為0,即就頻域特性來說，佩利—維納證明了物理可2.可實現濾波器(1)最平坦型濾波器巴特沃斯濾波器圖4-4圖4-5不同階數切比雪夫濾波器特性。(2)通帶起伏型濾波器—切比雪夫濾波器圖4-5為不同階數切比雪夫濾波器特性。1.調制和解調2.抑制載頻調幅(AmplitudeModulationwithSuppressedCarrier,AM-SC)(1)調制設信號e(t),不包含直流分量，且其頻譜為一帶限頻譜，如圖4-6(b)所示。而載波信號的頻譜,為一對處于±@c處強度為的沖激，如圖如圖4-6(d)所示圖4-6抑制載波調幅及其頻譜調制信號的能量集中在零頻率附近，其頻寬B==,已調信號的頻寬為調制信號頻寬的兩大于@c的部分，即@c至@c+@m的頻譜稱為上邊帶；小于@c的部分，即@一@m至@c的(2)解調譜結構來實現，如圖4-7所示。圖4—7同步解調的框圖及頻譜用一個截止頻率大于@m,小于2@-@m的低通濾波器將其濾出，從解調所加的載波為cos(@ct+0)解調后的信號為：3.幅度調制(AmplitudeModulation,AM)(1)調制圖4-8(a)的框圖描述的為調幅過程。圖4-8幅度調制框圖及其頻譜函數(2)解調圖4-9描述的是調幅信號解調過程。圖4-9包絡檢波器4.脈沖幅度調制(PAM)圖4-10描述的為脈沖幅度調制的頻譜。圖4-10脈沖幅度調制的頻譜脈沖調幅信號包含了調制信號的所有信息，通過一=@m的理想低通濾波器就可以恢復1.頻分復用2.時分復用1.希爾伯特正變換2.希爾伯特反變換1.信號不失真?zhèn)鬏敃r域條件信號在傳輸過程中不失真，意味著響應r(t)與激勵e(t)波形相同，當個因子K,同時在時間上也可能延遲一段時間to,如圖4-11所示。圖4-11不失真?zhèn)鬏敃r，系統(tǒng)的激勵與響應波形2.信號不失真?zhèn)鬏旑l域條件圖4-12為不失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)頻域響應模量和輻角。圖4-12理想傳輸系統(tǒng)的轉移函數的模量和輻角4.1正弦交流電壓全波整流產生圖4-13(b)所示的周期性正弦脈沖信號。求此信號通過圖4-13(a)所示的RC電路濾波后，輸出響應中不為零的前三個圖4-13由圖4-13(a)所示RC電路可知其系統(tǒng)函數為所以，前三項響應分量分別是：所以，輸出的前三個分量為：4.2圖4-14(b)所示的周期性矩形脈沖信號，其脈寬為周期的一半，其頻率f=10kHz,加到一諧振頻率為l=30kHz的并聯諧振電路上，以取得三倍頻信號輸出。并聯諧振電路的轉移函數為如要求輸出中其他分量的幅度小于三次諧波分量幅度的1%,求并聯諧振電路的品質因數Q。圖4-14的振幅的1%即可。設,則三個分量波形圖如下圖4-15虛線所示，響應近似波形為實線所示。圖4-15激勵為：前三個分量的波形如下圖4-16虛線所示，激勵近似波形圖4-164.4設系統(tǒng)轉移函數為2求單位階躍響應，有e(t)=ee(t)時，因為所以4.5設系統(tǒng)轉移函數為,試求其沖激響應及2當激勵時，4.6一帶限信號的頻譜如圖4-17(a)所示，若此信號通過如圖4-17(b)所示系統(tǒng)。試繪出A、B、C、D各點的信號頻譜的圖形。系統(tǒng)中兩個理想濾波器的截止頻率均為@c,通帶內傳輸值為1,相移均為0,@e>E。圖4-17圖4-184.7理想高通濾波器的傳輸特性如圖4-19所示，亦即其轉移函數為圖4—19答：高通濾波器的轉移函數可用一個全通濾4.8求的信號通過圖4—20(a)的系統(tǒng)后的輸出。系統(tǒng)中理想帶通濾波器的傳輸特性如圖4—20(b)所示，其相頻特性圖4—20對于帶通濾波器,只允許4.9有一調幅信號為答：(1)已知調幅信號形式為則其調幅系數為mn。(2)調制信號的頻譜為圖4-21即調幅波中含有五個頻率分量，即振幅為100V的載頻分量；振幅為15V的一對上下邊頻分量，其頻率分別在|==;振幅為5V的一對上下邊頻分量，其頻率分別在(3)平均功率：載波功率：邊頻功率：4.10圖4-22為相移法產生單邊帶信號的系統(tǒng)框圖。如調制信號e(t)為帶限信號，頻譜如圖所示。其中，信號==經過90°移相網絡后的輸出為試寫出輸出信號a(t)的頻譜函數表達式，并繪其頻譜圖。圖4-22其中故其頻譜圖如圖4-23所示：圖4-234.11證明希爾伯特變換有如下性質；(2)-與三正交，即【證明】(1)因為希爾伯特變換式為故其頻譜能量為而由上述兩式可證故即可證(3)①如果f(t)為偶函數，則即一三為奇函數；②如果f(t)為奇函數，則4.12試分析信號通過圖4—24所示的斜格型網絡有無幅度失真與相位失真。圖4-24答：設,其戴維南定理等效電路圖如圖4-25所示。圖4-25從電阻R兩端看進去的等效電阻zo和等效電壓一E=分別為：所以系統(tǒng)函數該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，無幅度失真。對于相位，若無失真，則根據無失真?zhèn)鬏敆l件，=應與F成線性關系，即—=:=,展開上式有當x很小時，有,即當二很小時，有真條件，此時其輸出電壓的幅度不變，僅有時延4.13寬帶分壓器電路如圖4-26所示。為使電壓能無失真地傳輸，電路元件參數R1、C1、圖4-264.14在圖4-27所示電路中，為使輸出電壓一=與激勵電流i(t)波形一樣，求電阻R1、R2的數值。圖4-27答：由電路圖可知系統(tǒng)函數將元件值代入整理得由題意要求，有即波形中含有的直流分量為()。[中國科學院研究生院2012研]=1。而與三角函數形式的傅里葉級數的一般表達二、填空題1.對于線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)，穩(wěn)定的充分必要條件為;對于線性時不變離散時間系統(tǒng)，穩(wěn)定的充分必要條件為;在實際中通?？梢愿鶕鼈兿到y(tǒng)函數的極點在復平面中的位置來判定，對于因果穩(wěn)定的線性時不變連續(xù)時間對于因果穩(wěn)定的線性時不變離散時間系統(tǒng)，的極點應位于。[南京航天航空大學2012研]案2.有些信號的頻譜是連續(xù)的，有些是離散的；而有些信號的頻譜是周期的，有些是非周期的，對于單脈沖信號、周期脈沖信號以及抽樣信號(帶限非周期連續(xù)時間信號經理想抽樣得【答案】單脈沖信號，抽樣信號；周期脈沖信號；抽樣信號；單脈沖信號，周期脈沖信號。3.已知某周期信號的指數形式傅里葉級數為,該周期信號是。[北京郵電大學2012研]【答案】【解析】查看答案示示4.已知周期為F的沖激序列一：,其表達式為一：)=的傅里葉變換表達式為_。[北京郵電大學2012研]【解析】的傅里葉系數為則其傅里葉變換為5.已知f(t)的傅立葉變換為，則函數的傅立葉變換為。[華南理工大學2012研]【答案】【解析】令1.圖4-28所示系統(tǒng)中，激勵信號f(t)的傅立葉變換為已知，畫出該系統(tǒng)A點和B點的頻譜圖。[北京郵電大學2012研]圖4-28圖4-28答：圖4-292.正弦載波調制器和解調器如圖4-30所示：圖4-30(1)寫出信號一|:=、一：=和一|==的時域、頻域表達式并畫出頻譜示意圖；(2)若解調器本地載波存在相位(如上圖所示),討論作的不同會對解調產生什么樣(3)若解調器本地載波存在的是頻率差一，重復以上討論。[中國科學院研究生院2012答：(1)若調制信號·f(t)的頻譜為頻譜圖如圖4-31:圖4-31圖4-34(2)由S?(t)的頻譜圖可以看出，不同的Φ對解調輸出信號的波形大小有影響，而輸出波(3)若解調器本地載波存在的是頻率差△w,可以得到：圖4-353.若已知f(t)的傅里葉變換為一底，利用傅里葉變換的性質確定下列信號的傅里葉變換：答：(1)由時域微分性質可得：(2)由時移性得：(3)由尺度變換性質得：F=沖激信號串，即(1)試求周期信號f(t)指數形式的傅立葉級數的系數E;(2)試求周期信號f(t)的頻譜F(jw);(3)試求系統(tǒng)的輸出信號-。[中山大學2012研]F答：(1)由周期信號J()指數形式的傅立葉級數的系數n的定義可得：(2)由周期信號的傅里葉變換可得：則第5章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析5.1復習筆記(1)雙邊拉普拉斯變換(2)單邊拉普拉斯變換2.拉氏變換的物理意義拉普拉斯變換把函數分解成許多形式為的指數分量之和。每一對正、負②的指數分量決滿足絕對可積條件。在作平面(或稱復平面)上使—E=滿足絕對可積條件的的取值范圍稱為或一|==的收斂區(qū)。三、常用函數的拉普拉斯變換表5-1常見函數的拉普拉斯變換123456789時域函數1四、拉普拉斯反變換1.部分分式法該方法要求F(s)為實系數有理真分式，若F(s)為假分式，將其化為多項式加真分式的形式。對于多項式部分，對應的逆變換是沖激函數一=及其各階導數之和。對于真分式，有式中一稱為一的特征多項式，方程一稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率(或自然頻率)。n個特征根稱為F(s)的極點。(1)只有單極點(2)存在多重極點則如果=有高階重極點，設s=p1為r重極點，其余極點為相異單階極點，則可將一=展開為(3)存在共軛復數極點若L,分解F(s)有，2.圍線積分法(留數法)(2)若sk為p重極點，則留數為：1.線性2.尺度變換3.時間平移4.頻率平移5.時域微分6.時域積分7.復頻域微分與積分及9.初值定理10.終值定理11.卷積定理1.積分微分方程的拉普拉斯變換s域代數方程響應象函數描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為解得2.從信號分解的角度看拉普拉斯變換(拉氏變換求解電路問題)(1)用拉氏變換分析動態(tài)電路的步驟②畫出S域電路圖(特別注意初值電源);電感、電容和互感分別用其S域模型代替。(2)三種常用元件的s域模型表5-23種元器件的s域模型名稱3.系統(tǒng)函數(1)定義系統(tǒng)函數H(s)定義為在零狀態(tài)下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，即(2)系統(tǒng)函數的求解七、信號流圖利用梅森公式可以根據信號流圖很方便地求得輸入輸出間的系統(tǒng)函數。梅森公式為其中△稱為信號流圖的特征行列式，其中：為所有不同回路的增益之和；為所有兩兩互不接觸回路的增益乘積之和；為所有三個互不接觸回路的增益乘積之和；便是由源點到匯點的第條前向通路的標號。P;表示由源點到匯點的第i條前向通路增益；△;表示第i條前向通路特征行列式的余子式。5.2課后習題詳解5.1標出下列信號對應于s平面中的復頻率。(1)三；(2)三；(3)cos2t;(4)sin(-5t)5.2寫出下列復頻率對應的時間函數模式。5.3求下列函數的拉普拉斯變換，并注明收斂區(qū)。所以所以所以所以所以所以則所以所以5.4用部分分式展開法求下列函數的拉普拉斯反變換。拉氏逆變換，有拉氏逆變換，有取拉氏逆變換，有取拉氏逆變換，有取拉氏逆變換，有5.5用部分分式展開法求下列函數的拉普拉斯反變換。取拉氏逆變換(2)部分分式展開，得取拉氏逆變換(3)部分分式展開取拉氏逆變換(4)部分分式展開取拉氏逆變換5.6用留數法求下列函數的拉普拉斯反變換。各極點留數：所以，有一個單極點si=-3和一個二重極點s?=-2。各極點留數分別為：所以，有三個單極點各極點留數分別為：所以有兩個單極點s?=0,s2=-4。各極點留數分別為：5.7用尺度變換性質求下列函數的拉普拉斯變換。再由尺度變換特性，可得尺度變換特性，可得尺度變換特性，可得尺度變換特性，可得5.8畫出圖5-2時間函數的波形，并求其拉普拉斯變換答：各函數的波形圖如圖5-3(1)~(4)所示。圖5-3而一由時間平移特性，可得5.9用拉普拉斯變換的性質求圖5-4各波形函數的拉普拉斯變換。圖5-4而(b)由圖5-4(b)可知而所以所以(d)由圖5-4(d)可知 5.10從單位階躍函數的變換一|==出發(fā)，求圖5-5所示波形函數的拉普拉斯變換。圖5-5所以所以所以所以5.11求圖5-6所示波形的單邊周期函數的拉普拉斯變換。圖5-6因所以，周期序列f(t)的拉氏變換為故周期序列f(t)(T=2)的拉氏變換為(4)由題(3)可知根據頻率平移特性，有根據復頻域積分特性，有(6)由題(5)可知根據時域積分性質，有5.13求下列函數的拉普拉斯反變換。取拉氏反變換，可得因為所以令T=1,則根據拉氏變換時域卷積定理，有因為三=5.14已知系統(tǒng)函數與激勵信號分別如下，求零狀態(tài)響應的初值和終值。5.15用拉普拉斯變換分析法求下列系統(tǒng)的響應。答：(1)微分方程兩邊進行拉氏變換，有代入初始條件，整理得取拉氏反變換，響應為(2)微分方程兩邊進行拉氏變換，有代入及初始條件，整理得取拉氏反變換，響應為(3)對微分方程組進行拉氏變換，有代入及初始條件，整理得解得代入及初始條件，整理得解得取拉氏反變換，響應為5.16求微分方程是的系統(tǒng)，在如下激勵信號時的零狀態(tài)響應。答：對微分方程兩邊取拉氏變換，有整理得系統(tǒng)函數為故零狀態(tài)響應為故零狀態(tài)響應為5.17電路如圖5-7所示，激勵為e(t),響應為i(t),求沖激響應與階躍響應。圖5-7圖5-8由圖5-8可列出s域回路方程5.18已知圖5-9電路參數為,激勵為2V直流。設開關S在t=0時斷開，斷開前電路已達穩(wěn)態(tài)，求響應電壓u(t),并指出其中的零輸入響應與零狀態(tài)響圖5-9開關斷開后，電路的s域模型如圖5-10圖5-10求得故輸出為取拉氏反變換，可得全響應為故零輸入響應自由響應：瞬態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：5.19圖5—11中激勵信號,電路參量為.求零狀態(tài)響應u(t)。圖5-11圖5-12答：根據圖5-19所示電路可得系統(tǒng)的復頻域等效電路如圖5-12所示，則系統(tǒng)轉移函數當激勵時，有故5.20圖5—13所示電路中，已知電路參數為L1=L2=1H,R=2E=10V。設開關S在t=0時斷圖5-13開關斷開后電路的s域模型為圖5-14所示圖5-14故5.21圖5—15所示電路中，已知電路參數為R=1,Cl=C2=1F,El=E2=1V。設開關S在t=0時由①倒向②,求電容C1上的電壓一|:=及電流i(t)。圖5-15答：當t<0時，開關處于①位置，電路處于穩(wěn)態(tài)，此時系統(tǒng)初始條件為當t=0時，開關S由①倒向②,此時電路s域模型圖如圖5-16所示故圖5-165.22圖5-17所示電路中，已知R1=4F,R2=2F,L1=L2=M=1H,響應為i2(t)。求單位沖激響應與單位階躍響應。圖5-17答：根據圖5-17,電路的s域模型如圖5-18所示圖5-18列出方程，有整理得，系統(tǒng)函數為故單位沖激響應為當激勵為時，有故單位階躍響應為5.23求圖5-19(a)所示方波電壓作用下，RC電路的響應電壓u(t).圖5-19答：由圖5-19(a),可得激勵在一個周期內的表達式為故因為所以由圖5-19(b)可知系統(tǒng)函數為所以則所以T=2時，有則則系統(tǒng)函數故5.25已知某系統(tǒng)在一E作作用下全響應為,階躍電壓作用下的全響應。聯立12,可得當激勵時，5.26下列函數是否有雙邊拉普拉斯變換，如有求其Fd(s)并標注收斂區(qū)。答：(1)右邊函數的拉氏變換(2)右邊函數拉氏變換(3)因為右邊函數的收斂域為,左邊函數的收斂域為,二者沒有公共部分，5.27求下列Fd(s)的時間原信號。答：(1)由收斂域可知，左側極點一后，右側極點信。對應左邊函數所以原時間信號為(2)由收斂域可知，左側極點==,右側極點對應右邊函數對應左邊函數所以原時間信號為對應左邊函數所以原時間信號為對應右邊函數對應左邊函數所以原時間信號為5.28求對應于不同收斂區(qū)時的原時間函數。答：一間有三個極點，-3,-1,1。應用部分分式法化簡得到(1)當收斂域為一F=時，三個極點均為右側極點，對應左邊函數。對應右邊函數對應左邊函數(3)當收斂域為時，-3,-1為左側極點，1為右側極點。對應右邊函數圖5-20對應左邊函數(4)當收斂域為一：時，三個極點均為左側極點，對應右邊函數。5.29求激勵為答：當激勵一時，對應左邊函數面作，同系統(tǒng)函數有公共收斂區(qū)域，所以由收斂區(qū)域可知，1為左側極點，2為右側極點對應右邊函數對應左邊函數響應為5.30試繪出下列算子方程描述的系統(tǒng)直接模擬框圖。答：(1)系統(tǒng)直接模擬框圖如圖5-20(a)所示。(2)系統(tǒng)直接模擬框圖如圖5-20(b)所示。5.31已知二系統(tǒng)框圖如圖5-21所示，試求其系統(tǒng)函數，說明此二系統(tǒng)框圖對應的是同一系統(tǒng)。圖5-21答：(1)設第一個加法器的輸出為一三，則由圖5-21(a)所示的系統(tǒng)框圖可列出方程消去中間變量一E,可得系統(tǒng)函數為消去中間變量底，可得系統(tǒng)函數為所以此二系統(tǒng)框圖對應的是同一系統(tǒng)。5.32設系統(tǒng)函數H(s)如下，試繪其直接模擬框圖、并聯模擬框圖及級聯模擬框圖。答：(1)1由,可畫出直接模擬框圖如圖5-22所示。圖5-222對系統(tǒng)函數部分分式分解，有-,故其并聯模擬框圖如圖5-23所圖5-233因為二二,故其級聯模擬框圖如圖5-24所示。圖5-24(2)1由,可畫出直接模擬系統(tǒng)框圖如圖5-25所示。(2)1由圖5-252對系統(tǒng)函數進行部分分式分解，有,故其并聯模擬框圖如圖5-26所示。圖5-26,故其級聯模擬框