上海某中學2024-2025學年高二年級上冊期中考試數學試題

上海南匯中學2024-2025學年高二上學期期中考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.若p：=30，貝！1"=----

2.若球的半徑為2,則此球的表面積是—.

3.已知而成=（3,0,2）,元=（%0,4），若腸〃為，則苫=-----

4.若直線.〃平面覆，直線6在平面凌上，則直線〃與6的位置關系是——.

5.如圖，以長方體44G2的頂點。為坐標原點，過。的三條棱所在的直線

為坐標軸，建立空間直角坐標系，若函的坐標為（4,3,2）,則離的坐標為

6.若正四棱柱百G2的底面邊長為2,高為4,則直線2。與平面BfCG所成角

的正切值是一

7.某學校要從6名男生和4名女生中選出3人擔任進博會志愿者，則所選3人中男女生都

有的選法有一種.（用數字作答）

8.在正方體48cz中，二面角a-48-。的大小為----

9.正四棱錐底面邊長為4,側棱長為3,則其體積為_；

10.從0,1,2,3,4,5,6這7個數中任選5個組成一個沒有重復數字的“五位凹數％出％為%

（滿足%>%>%<%<生），則這樣的“五位凹數”的個數為——.（用數字作答）

試卷第11頁，共33頁

1L若(l+Zxy…+&3》2。24,〃=2(/+/+…+.24)'則正整數"的個

位數為

12.如圖，正方體4BCD-44G。]的棱長是4,E是￡)2上的動點，P、尸是上、下兩底

面上的動點，0是中點，EF=2,則的最小值是___.

二、單選題

13.已知a、尸表示兩個不同的平面，機是一條直線且加utz,則〃?，萬是a_LQ的

()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知乘積(％+%)伯+%+&)(C]+c2+c3H-bc“)(77eN,〃21)展開后共有6。項,則"

的值為()

A.5B.7C.10D.12

15.如圖，正六棱柱中，/是一個頂點，耳《=1,2,…,11)是除4外的其余11個頂點，貝1J

亞.亞J1,2,…11)的不同值的個數為()

試卷第21頁，共33頁

C.7D.4

16.在長方體/BCD-44CQ］中，AAt=AD,AB:AD=A,(A>0)<￡是棱/力的中點，

點P是線段QE上的動點，給出以下兩個命題：①無論2取何值，都存在點P,使得

PC1BD;②無論4取何值，都不存在點P,使得直線Ng,平面尸BC.貝U().

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

三、解答題

17.3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分別求不同排列方法的數目.

(1)學生甲不在最左邊；

(2)3名男生必須排在一起.

18.已知在(3x2+1］的二項展開式中.

(1)若〃=6,求展開式中含/項的系數；

(2)若展開式含有常數項，求最小的正整數”的值.

19.某種“籠具”由內、外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和一個圓柱,

試卷第31頁，共33頁

其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為36兀cm，高為

45cm,圓錐的母線長為30cm.

(1)求這種“籠具”的體積(結果精確到(Hen?)；

(2)現要使用一種紗網材料制作100個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少

元？(結果精確到1元)

20.楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究

成果.楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質與組合數的性質有關，圖1為楊輝

三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式

左右

積積

第

本積o行

商積。第1

行

第2

行

四一品立善建第3

行

第4

第

5行

乘

君

售

五六-O

第6

行

以

右

命

中

左?

謙

袤

:行

實

藏

袤

第

乘

乃

而

〃

者

乃

商

隅

第

除

皆

積

-1行

〃

方

算

之

廉

數

圖

⑴求圖2中第11行的各數之和；

(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數一直取到第100行的第3個數，求取出的所有

數之和；

(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數之比為3:8:14?若存在，試求出

這三個數；若不存在，請說明理由.

試卷第41頁，共33頁

21.如圖，在四棱錐「一/臺。中，已知產工人平面且四邊形NBC。為直角梯形,

-4mAB=BC=\

⑴證明：“5JD；

(2)線段CP上是否存在一點M,使得直線垂直平面PC。，若存在，求出線段工”的長,

若不存在，說明理由；

(3)點。是線段2P上的動點，當直線C。與。尸所成的角最小時，求線段8。的長.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

題號13141516

答案ACBC

L6

【分析】利用排列數公式額可得出關于〃的等式，即可解得正整數〃的值.

【詳解】因為P：="("-1)=30，即/—“-30=(”-6)(“+5)=0，

因為“22且“eN*，故”=6.

故答案為：6.

2-16TT

【分析】利用球的表面積公式直接計算可得結果.

【詳解】由球的半徑為2,可得此球的表面積是s=4兀22y兀.

故答案為：16兀

3.6

【分析】利用空間向量平行的坐標公式，即可得到結果.

【詳解】?.?而//元，.?.而=而

3=A_J_x=6

.?.<0=4.0，解得：2,

2=A-4

故答案為：6

4.平行或異面

【分析】由直線°與直線6沒有公共點可得結論.

【詳解】由直線々〃平面a得直線“與平面a沒有公共點，

答案第11頁，共22頁

由直線b在平面?上可知直線°與直線6沒有公共點，故直線°與直線6的位置關系為平行

或異面.

故答案為：平行或異面.

5?(-4,3,2)

【詳解】如圖所示，以長方體48co一4耳。。1的頂點。為坐標原點，

過。的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系,

因為函的坐標為(4,3,2),所以/(4,0,0)C(0,3,2)，

所以范=(-4,3,2).

6.

1

【分析】根據題意，由線面角的定義可知，2c為直線2D與平面2RCG所成角，代入

計算，即可得到結果.

【詳解】

D\C,

AB

因為為正四棱柱，則底面48CD為正方形，所以。C_L3C，

答案第21頁，共22頁

又CC]_L平面N5C￡＞，OCu平面N5C￡)，所以。C_LCG，

3C,CC]u平面為BCG，BCcCC[=C，所以。C_L平面4BCq，

由線面角的定義可知，/D3C為直線2。與平面4BCG所成角，

r)c

則tan/D8C=—=1.

BC

故答案為：1

7.96

【分析】分兩種情況，結合組合知識進行求解

【詳解】當所選3人中男生1人，女生2人，此時有爆戢=36種選擇，

當所選3人中男生2人，女生1人，此時有屋C；=60種選擇，

故共有36+60=96種選擇?

故答案為：96

8.-

4

【分析】由線面垂直性質得BqJ_/B，又BCLAB,可得二面角平面角為/弓8。，由

答案第31頁，共22頁

Q48_L平面2CC4，8cle:平面8cq耳BCX±AB

又BCLAB,8Cu平面48。/C^C即為二面角G-4臺一。的平面角

■：ACXBC=-一二面角C「"8一。的大小為生

44

故答案為工

4

【點睛】本題考查立體幾何中二面角的求解，關鍵是能夠根據二面角平面角的定義找到二

面角的平面角.

9.3

3

【分析】由正四棱錐的底面邊長求出底面中心到一個頂點的距離，結合棱長，求出正四棱

錐的高，然后利用體積公式進行求解.

【詳解】

如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=4,PA=3,設正四棱錐的高為PO,連接A0,則在直角

三角形尸。,中，PO7P足-Z=加-(2偽2=1,所以

%./BCD[S/BCD?尸0=；*16乂1=與,故答案為

【點睛】本題考查正棱錐的性質及棱錐的體積公式，解題的關鍵是熟悉正棱錐的幾何性質,

屬基礎題

答案第41頁，共22頁

10.

126

【分析】利用分步乘法計數原理和組合可得.

【詳解】第一步，從0,1,2,3,4,5,6這7個數中任選5個，共有C；種方法，

第二步，選出的5個數中，最小的為由，從剩下的4個數中選出2個分給4,％，

由題意可知，選出后“五位凹數而嬴”就確定了，共有c；種方法，

所以滿足條件的“五位凹數”共有=126個，

故答案為：126,

11.2

【分析】利用賦值丫7和丫一1求〃，再利用二項式定理的應用，轉化為余數問題，即可

求解.

【詳解】當x=l時，

6ZQ++Cl2+???+。2024=3，

當X=-1時，%—%+出+…+。2024=]'

2024

兩式相加得2(小+&+...+a20204)=3+l，

?=32024+1=91012+1=(10-1)1012+1

101210111010

=IO-C；012.IO+C^012.IO--10+C；^+1,

由展開式可知，〃的個位數為2.

故答案為：2

12-4V6-1Z-1+4V6

【分析】以48,C,Z＞為頂點，構造棱長為4的正方體-Z'8'C'D'，利用對稱性將

答案第51頁，共22頁

尸4+尸0轉化為尸1+尸。，再根據a,四點共線時取最小值完成計算.

【詳解】以48,C,O為頂點，構造棱長為4的正方體48。-HB'C'。'，如下圖所示:

由對稱性可知，PB、=PB'，PB}+PQ=PB'+PQ

又因為E是Z)n上的動點，下是下底面上的動點，所以VZ)1E尸是直角三角形，

又因為。是跖中點，EF=2,所以=g斯=1,

當PB'+PQ取得最小值時，此時Dt,Q,P,B/四點共線，

貝!+==_1=4V6-1，

故答案為：4A/6-1,

【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵點有兩個方面，一方面是找出國關于平面NBCD的

對稱點2',從而可將尸耳轉化為尸屬；另一方面是利用四點共線去分析求解最小值，將線

段和問題轉化為兩點間距離問題.

13.A

答案第61頁，共22頁

【分析】根據充分條件、必要條件的定義及線面關系判斷即可.

【詳解】由平面與平面垂直的判定定理知，機為平面a內的一條直線，如果加J.尸，則

a工/3，故充分性成立；

反過來機為平面a內的一條直線，由a_L^可能有機//尸或％_1_尸或加與尸相交（不垂

直）三種情況，故必要性不成立.

所以“加，。”是“a，0”的充分非必要條件.

故選：A.

14.C

【分析】根據二項展開式定理可得展開式中共有6〃項，即可得力的值.

【詳解】易知（%+出）他+8+幻的展開式中共有6項,

則乘積（％+。2）佃+小+.）（6+<2+，34---Fc?）（?GN,?>1）展開后共有6n項,

因此可得6〃=60，解得〃=10.

故選：C

15.B

【分析】利用數量積的定義，分別計算方，在貌上的射影，可以求出亞.數的值，即可

得到答案

【詳解】不妨設正六棱柱底面邊長為1,高為2.

AP2-API=^AP2|X|^4PI|XCOS30°=A/3xlxgg.

祠.萬2=函2=（百）2=3.

亞方3=|珂x府3|xcos3（F=6x2x券=3.

AP2'/尸4=|/乙M4P4|xCOS60°=A/3x6x；=g.

答案第71頁，共22頁

亞?猊=網x回5kcos90°=V3x1x0=0.

>O

AP2-T!P6=|^4/^|X|^4Z6|XCOS90=V3X2X0=0.

V3

3

亞.不7=網*回7卜COS/,/￡=A石x^=

2

*3.

AP2?/尸8=卜閭x14P8|xcos/RAP2=V3XV7

V7

xcosZF^AP,=V3x也

2^-ZP9=|Z^|X|2P9|

G

AP2-APw=^AP2Jx|^Pio|xcosZPl0AP2=y/3xV?x-2^=1-.

4R-T1PII=|^/^|X|^PII|XCOSZ^I^4/^=A/3xV5x0=0.

一共有3類不同結果，故選：B

16.C

【分析】根據空間中線、面的垂直關系結合長方體的特征及特殊情況一一判定即可.

【詳解】

如圖所示，假設在長方形中必存在；I使得尸G'BQj

又易知cq1平面4G，B,D,U平面4G，

所以cq_L42，

因為pqcccx=G,Pg、ccxu平面pqc，所以BRI平面pqc,

答案第81頁，共22頁

又B\DJ/BD，則8。/平面尸。（，

因為PCu平面PC]C，所以2D_LPC，即存在2使得區(qū)D_LPC，

但若2=2,如下圖所示，不妨設4A=L5x，

過￡作CF±交直線于尸，過尸作7WJL"G,

易得4E=4'，幺ER=NERN=45。，所以RN=NP，

又沖口=ZPCtBt=ZC.PN=>2C、N=PN，則QN=x,D、N=NP=2x>D、E=6x，

則尸在Dg延長線上，此時①不成立；

易知*G與BG不垂直，BfJIBC，所以與8c不垂直，

又2Cu平面P5C,所以/G不垂直于平面P5C，即②成立

故選：C

17.（1）4320

（2）720

【分析】（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置.

（2）相鄰問題用捆綁法，將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列

【詳解】（1）先排最左邊，除去甲外有A：種排法，余下的6個位置全排列有A：種排法，

則符合條件的排法共有A；.A：=4320種.

（2）將男生看成一個整體，進行全排列，有A；種排法，與其他元素進行全排列，有A；種

答案第91頁，共22頁

排法，

則符合條件的排法共有A；.A；=720種?

18.⑴⑵5

⑵5

【分析】（1）根據題意，由二項展開式的通項公式，即可求得展開式中含丁項的系數；

（2）根據題意，在二項展開式的通項公式中，令x的幕指數為°，代入計算，即可得到結

果.

【詳解】（1）當"=6時，展開式的通項公式為4M=晨（3/廣’

令12=7,解得’=2,所以展開式中含/項的系數為或了力？”

2

（2）展開式的通項公式為T?1]=Cr-3n^rx2"~^r'

令2〃-*r=0,解得廠=3〃，因為，

25

所以當〃=5時，/取得最小值4,此時展開式含有常數項，

所以最小的正整數〃的值為5?

3

19.（1）37661.4cm

（2）625元

【分析】（1）求出外層圓柱體積減去內層圓錐體積即可求得這種“籠具”的體積；

（2）易知紗網材料面積為圓柱側面積與圓錐側面積之和，再由“籠具”個數以及每平米的

單價可得總價.

【詳解】（1）根據題意可知這種“籠具”的體積等于外層圓柱體積減去內層圓錐體積；

答案第101頁，共22頁

由圓柱的底面周長為36兀cm可知，底面圓半徑為rfgcm，又高為"=45cm，

所以圓柱體積為jz=直砌=45版4580共cm3

由圓錐的母線長為30cm可知圓錐的高”,=,302—3=24cm，

因此圓錐體積為匕='就物'=必3259知=cm1

233

所以這種“籠具”的體積為匕-%=119887r韶661.4cm3

(2)易知制作1個“籠具”所使用的紗網材料面積為圓柱側面積與圓錐側面積之和；

圓柱側面積為d=36x457t!4207tcm2＞圓柱上底面面積S；=18詼2鈿cm2；

圓錐側面積為$2=18*30兀540兀cm2；

因此制作100個“籠具”需要的網材料面積為100,+5'+$2)=24840031?=24.847tm2,

根據材料的造價為每平方米8元，可知共需24.8471&625元，

20.(1)2048；

(2)166650；

(3)存在,這三個數為45,120,210.

【分析】(1)利用二項式系數的性質求和即可;

(2)利用C：+C：T=C3的性質進行化簡求和，得到答案;

(3)設在第“行存在三個相鄰的數之比為3:8:14,從而得到方程組，求出答案.

【詳解】(1)第11行的各數之和為c：［+C；i+C；i+L+C；；=2"=2048；

(2)楊輝三角中第2行到第100行，各行第3個數之和為

c；+c；+C：+…+C盆=C；+C；+C：+…+C：0c=C：+C；+…+c；oo=c：oi

答案第111頁，共22頁

""—=16665。

3x2x1

(3)存在，理由如下：

設在第〃行存在三個相鄰的數C.1,C：,C：+1，其中左,〃EN*，且左+lw〃，n>2f

C；i,C：,C：+i之比為3:8:14,

k化簡得一二=3k+1_8

痂ffi—C"2T—-3-------C---2-

t+ln-k14

dn8'cn14〃一人+18

8左=3〃一3無+3,解得k=3

即

14左+14=8〃一8左n=10

所以這三個數為C；o=45,C：o=12O,C：o=21O-

21.⑴證明見解析.

⑵存在，線段,的長為I技

(3)拽

5

【分析】(1)通過定義法證明線面垂直,即可證出兩線垂直.

(2)通過建立空間直角坐標系，表達坐標點，進而根據線面垂直的性質，證明直線與

而和麗都垂直，求出點M的坐標，進而求出線段的長.

(3)通過向量關系表達出的，再表達出而，列出直線CQ與DP所成的角的表達式,

求出最值和最值成立的條件，進而求出線段2。的長.

【詳解】(1)由題意，

在四棱錐尸-ABCD中，

PN_L面ABCD,ABu面/BCD，ADu面A8CD，

答案第121頁，共2